EP13-2015-2 gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
EP13 – Métodos Determinísticos I – 2015-2
Neste EP vamos trabalhar o conteúdo estudado nas Aulas 13 e 14 do Caderno Didático.
Exercício 1 Num baú há 10 brinquedos diferentes. Pedro, Maria e Carlos, 3 crianças, abrem o baú
e Pedro pega 2 brinquedos, Maria pega 4 e Carlos pega 3 brinquedos. Para cada item a seguir, decida
se a relação entre conjuntos indicada é, ou não é, uma função. Justifique.
a) A relação entre o conjunto das crianças e o conjunto dos brinquedos do baú que liga cada
criança aos brinquedos pegos por ela.
b) A relação entre o conjunto das três crianças e o conjunto dos números naturais que associa
cada criança ao número de brinquedos que ela pegou.
c) A relação entre o conjunto dos brinquedos do baú e o conjunto das crianças que liga cada
brinquedo do baú à criança que o pegou.
d) A relação entre o conjunto dos brinquedos pegos e o conjunto das crianças que associa cada
brinquedo pego à criança que o pegou.
Solução:
a) Não é função, pois cada criança pegou mais de um brinquedo, e uma função deve associar
cada elemento do conjunto domínio a um único elemento do contra-domínio.
b) É função, pois para cada elemento do conjunto domínio, isto é, cada criança, está assinalado
um único elemento do conjunto contra-domínio, isto é, um único número natural.
c) Não é função, pois há brinquedos no baú que não foram pegos por nenhuma criança. Para que
a relação seja função todo elemento do domínio deve estar relacionado a um (e apenas um)
elemento do contra-domínio.
d) É função, pois cada elemento do domínio, isto é, cada brinquedo pego, foi pego por uma e
apenas uma criança, estando assim associado a um único elemento do contra-domínio.
Exercício 2 Considere a função f , dada por
f(x) = −3x
(
x+
2
3
)
+ x2, x ∈ R.
Determine o que é pedido em cada item a seguir.
a) f
(
1
2
)
b) f (a− b) , a, b ∈ R c) f (x2) , x ∈ R
Solução:
Métodos Determinísticos I EP13 2
a)
f
(
1
2
)
= −3
(
1
2
)(
1
2
+
2
3
)
+
(
1
2
)2
= −3
2
(
3
6
+
4
6
)
+
1
4
= −3
2
(
7
6
)
+
1
4
= −7
4
+
1
4
= −6
4
= −3
2
b)
f (a− b) = −3 (a− b)
(
a− b+ 2
3
)
+ (a− b)2
= −3
[
(a− b) (a− b) + 2
3
(a− b)
]
+ a2 − 2ab+ b2
= −3
[(
a2 − 2ab+ b2 + 2
3
a− 2
3
b
)]
+ a2 − 2ab+ b2
= −3a2 + 6ab− 3b2 − 2a+ 2b+ a2 − 2ab+ b2
= −2a2 + 4ab− 2b2 − 2a+ 2b
c)
f
(
x2
)
= −3 (x2)(x2 + 2
3
)
+
(
x2
)2
= −3
(
x4 +
2
3
x2
)
+ x4
= −3x4 − 2x2 + x4
= −2x4 − 2x2
= −2x2(x2 + 1)
Exercício 3 Em cada item a seguir, considere as funções dadas por suas regras e encontre o domínio
das mesmas. Isto é, para cada caso, encontre o maior subconjunto de R para o qual a regra faz
sentido, ou seja, o maior subconjunto de R, de modo que se aplicarmos a regra dada a um elemento
deste conjunto, obteremos um número real.
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Métodos Determinísticos I EP13 3
a) f1(x) =
√
x+ 5 b) f2(x) = 3
√
x+ 5
c) f3(x) =
√
x2 − 49 +√−(x− 2)(x− 9) d) f4(x) = x+ 2
x− 1
e) f5(x) =
1
x2 − 5x+ 6
Solução:
a) Na expressão de f1, como extraímos a raiz quadrada do polinômio x+5, é preciso que x+5 seja
maior ou igual a zero para que esta raiz esteja definida. Portanto,
Dom(f1) = {x ∈ R; x+ 5 ≥ 0}
= {x ∈ R; x ≥ −5}
= [−5,∞).
b) Na expressão de f2, extraímos a raiz cúbica do polinômio x + 5. Como raiz cúbica está definida
para todos os reais, não há qualquer restrição. Portanto,
Dom(f2) = R.
c) Na expressão de f3, como extraímos a raiz quadrada do polinômio x2 − 49 e do polinômio
−(x− 2)(x− 9), é preciso que estes polinômios sejam ambos maiores ou igual a zero para que estas
raizes estejam definidas. Portanto,
Dom(f3) = {x ∈ R;x2 − 49 ≥ 0 e − (x− 2)(x− 9) ≥ 0}
= {x ∈ R; (x− 7)(x+ 7) ≥ 0 e (x− 2)(x− 9) ≤ 0}
= {x ∈ R; (x ≤ −7 ou x ≥ 7) e (2 ≤ x ≤ 9)}
= [7, 9].
Confira pelas tabelas a seguir.
(−∞,−7) (−7, 7) (7,∞)
x+ 7 − + +
x− 7 − − +
(x− 7)(x+ 7) + − +
(−∞, 2) (2, 9) (9,∞)
x− 2 − + +
x− 9 − − +
(x− 2)(x− 9) + − +
Nas tabelas anteriores trabalhamos com intervalos abertos. Para complementar, é importante obser-
var que:
(x− 7)(x+ 7) = 0 ⇐⇒ x− 7 = 0 ou x+ 7 = 0
⇐⇒ x = 7 ou x = −7,
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Métodos Determinísticos I EP13 4
e
(x− 2)(x− 9) = 0 ⇐⇒ x− 2 = 0 ou x− 9 = 0
⇐⇒ x = 2 ou x = 9.
Desta forma, segue que
(x− 7)(x+ 7) ≥ 0 ⇐⇒ x ≤ −7 ou x ≥ 7
e
(x− 2)(x− 9) ≤ 0 ⇐⇒ 2 ≤ x ≤ 9.
Finalmente, observe que o intervalo [7, 9] foi obtido pela interseção dos conjuntos
{x ∈ R; x ≤ −7 ou x ≥ 7}
e
{x ∈ R; 2 ≤ x ≤ 9}.
d) Na expressão de f4, temos o polinômio x − 1 no denominador. Como o denominador não pode
ser zero, devemos excluir a raiz deste polinômio, que é x = 1. Desta forma, segue que
Dom(f4) = R\{1}
= {x ∈ R;x < 1 ou x > 1}
= (−∞, 1) ∪ (1∞).
e) Na expressão de f5, temos o polinômio x2 − 5x + 6 no denominador. Como o denominador não
pode ser zero, devemos buscar as raízes deste polinômio e excluí-las do domínio. Por Bhaskara,
vemos que as raízes são 2 e 3. Então o domínio é R\{2, 3}.
Dom(f5) = R\{2, 3}
= {x ∈ R;x < 2 ou 2 < x < 3 ou x > 3}
= (−∞, 2) ∪ (2, 3) ∪ (3,∞).
Exercício 4 Verifique se as funções f e g dadas abaixo são iguais.
f(x) =
√
(x− 2)(x− 3) e g(x) =
√
(x− 2)
√
(x− 3).
Solução: A função f não é igual à função g, pois seus domínios são diferentes. De fato, na expressão
de f , como extraímos a raiz quadrada do polinômio (x−2)(x−3), é preciso que este polinômio seja
maior ou igual a zero para que esta raiz esteja definida. Desta forma, temos que
Dom(f) = {x ∈ R; (x− 2)(x− 3) ≥ 0}
= {x ∈ R; x ≤ 2 ou x ≥ 3}.
Confira pela tabela a seguir.
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(−∞, 2) (2, 3) (3,∞)
x− 2 − + +
x− 3 − − +
(x− 2)(x− 3) + − +
Na tabela anterior trabalhamos com intervalos abertos. Para complementar, é importante observar
que:
(x− 2)(x− 3) = 0 ⇐⇒ x− 2 = 0 ou x− 3 = 0
⇐⇒ x = 2 ou x = 3.
Desta forma, segue que
(x− 2)(x− 3) ≥ 0 ⇐⇒ x ≤ 2 ou x ≥ 3.
Já na expressão de g, como extraímos a raiz quadrada do polinômio (x− 2) e do polinômio (x− 3),
é preciso que estes polinomios sejam ambos maiores ou iguais a zero para que estas raizes estejam
definidas. Desta forma, temos que
Dom(g) = {x ∈ R; (x− 2) ≥ 0 e (x− 3) ≥ 0}
= {x ∈ R; (x ≥ 2) e (x ≥ 3)}
= {x ∈ R;x ≥ 3}.
Ou seja, Dom(g) 6= Dom(g).
Exercício 5 Considere a função f dada a seguir.
f(x) =
√
−3x2 − 5x+ 2.
a) Determine, na forma de intervalo, o domínio da função f .
b) Determine, na forma de intervalo, para que valores de x pertencentes ao domínio de f , temos
que
3 + (f(x))2 ≥ x|x− 1|+ 5.
Solução:
a) Na expressão de f , como extraímos a raiz quadrada do polinômio −3x2 − 5x + 2, é preciso
que este polinômio seja maior ou igual a zero para que esta raiz quadrada esteja definida. Por
Bhaskara, vemos que as raízes dele são −2 e 1
3
. Desta forma, o polinômio −3x2 − 5x+ 2 pode
ser fatorado como,
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−3x2 − 5x+ 2 = −3
(
x− 1
3
)
(x+ 2) = −3
(
x2 +
5
3
x− 2
3
)
.
Portanto,
Dom(f) = {x ∈ R;−3
(
x− 1
3
)
(x+ 2) ≥ 0}
= {x ∈ R;
(
x− 1
3
)
(x+ 2) ≤ 0}
=
{
x ∈ R;−2 ≤ x ≤ 1
3
}
=
[
−2, 1
3
]
.
Confira pela tabela a seguir.
(−∞,−2) (−2, 1/3) (1/3,∞)
x+ 2 − + +
x− 1/3 − − +
(x+ 2)(x− 1/3) + − +
Na tabela anterior trabalhamos com intervalos abertos. Para complementar, é importante observar
que:
(x+ 2)(x− 1/3) = 0 ⇐⇒ x+ 2 = 0 ou x− 1/3 = 0
⇐⇒ x = −2 ou x = 1/3.
Desta forma, segue que
(x+ 2)(x− 1/3) ≤ 0 ⇐⇒ −2 ≤ x ≤ 1/3.b) Observe que
(f(x))2 = −3x2 − 5x+ 2, x ∈
[
−2, 1
3
]
.
Para determinar os valores de x ∈
[
−2, 1
3
]
que satisfazem a desigualdade
3 + (f(x))2 ≥ x|x− 1|+ 5,
devemos, portanto, resolver a inequação
3 + (−3x2 − 5x+ 2) ≥ x|x− 1|+ 5, x ∈
[
−2, 1
3
]
.
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Métodos Determinísticos I EP13 7
Uma vez que
|x− 1| =
{
x− 1, se x ≥ 1
1− x, se x < 1 ,
como x ∈
[
−2, 1
3
]
, temos que x < 1, de modo que |x− 1| = 1− x.
Desta forma,
3 + (f(x))2 ≥ x|x− 1|+ 5, x ∈
[
−2, 1
3
]
⇐⇒ 3− 3x2 − 5x+ 2 ≥ x(1− x) + 5, x ∈
[
−2, 1
3
]
⇐⇒ 3− 3x2 − 5x+ 2 ≥ x− x2 + 5, x ∈
[
−2, 1
3
]
⇐⇒ −2x2 − 6x ≥ 0, x ∈
[
−2, 1
3
]
⇐⇒ x2 + 3x ≤ 0, x ∈
[
−2, 1
3
]
⇐⇒ x(x+ 3) ≤ 0, x ∈
[
−2, 1
3
]
⇐⇒ x ∈ [−3, 0], x ∈
[
−2, 1
3
]
.
⇐⇒ x ∈ [−2, 0].
Observe que concluímos que x ∈ [−2, 0], uma vez que x deve pertencer ao intervalo [−3, 0] e deve
estar no domínio da função f , que é o intervalo
[
−2, 1
3
]
. Desta forma, x ∈ [−3, 0]∩
[
−2, 1
3
]
=
[−2, 0]
Confira pela tabela a seguir a determinação do conjunto solução da inequação
x2 + 3x = x(x+ 3) ≤ 0.
(−∞,−3) (−3, 0) (0,∞)
x+ 3 − + +
x − − +
x(x+ 3) + − +
Na tabela anterior trabalhamos com intervalos abertos. Para complementar, é importante observar
que:
x(x+ 33) = 0 ⇐⇒ x = 0 ou x+ 3 = 0
⇐⇒ x = 0 ou x = −3.
Desta forma, segue que
x(x+ 3) ≤ 0 ⇐⇒ −3 ≤ x ≤ 0.
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Exercício 6 Esboce os gráficos das funções dadas a seguir.
a) f(x) = x2 − x− 2
b) g(x) = x2 + 4x+ 6
c) h(x) = −x+ 7
d) r(x) = 2x− 5
Solução:
Note que os gráficos das funções f e g são parábolas e os das funções h e r são retas.
a) Usando Bhaskara, podemos encontrar as raízes da equação. A partir das raízes podemos encontrar
o vértice. Veja que estes pontos estão todos marcados no gráfico.
b) Neste item, quando usamos Bhaskara descobrimos que não há raízes reais para essa função. Então
precisamos determinar 3 pontos de alguma outra forma. É simples, vamos encontrar primeiro o ponto
(0, g(0)). Substituindo x por 0, temos g(0) = 6. Podemos, agora, encontrar o outro ponto em que
g vale 6: g(x) = 6⇔ x2 + 4x+ 6 = 6⇔ x2 + 4x = 0⇔ x(x+ 4) = 0⇔ x = 0 ou x = −4.
Como pode ser visto no gráfico, o valor da coordenada x do vértice deve ser a média entre 0 e -4,
isto é, no vértice temos x = −2. Calculando o valor da função nesse ponto, obtemos nossos três
pontos para traçar o gráfico.
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c) Nesse item e no próximo, como os gráficos das funções são retas, basta determinarmos dois pontos
de cada uma das retas. Vamos escolher estes dois pontos como sendo os pontos de interseção destas
retas com os eixos coordenados. Assim, neste caso, em que h(x) = −x+ 7, para encontrar os dois
pontos de interseção da reta y = −x+ 7 com os eixos coordenados temos:
- para x = 0, y = h(0) = −0 + 7 = 7. Logo, o par ordenado (0, 7) pertence ao gráfico de h.
- para y = 0, 0 = h(x) = −x+ 7 = 7 ⇐⇒ x = 7. Logo, o par ordenado (7, 0) pertence ao gráfico
de h.
d) Neste item, caso em que r(x) = 2x − 5, para encontrar os dois pontos de interseção da reta
y = 2x− 5 com os eixos coordenados temos:
- para x = 0, y = r(0) = 2 · (0)0− 5 = −5. Logo, o par ordenado (0,−5) pertence ao gráfico de r.
- para y = 0, 0 = r(x) = 2x− 5 = 7⇐⇒ x = 5
2
. Logo, o par ordenado
(
5
2
, 0
)
pertence ao gráfico
de r.
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Métodos Determinísticos I EP13 10
Exercício 7 Considere as funções f(x) = −x2 + 6x + 10 e g(x) = 3x − 8. Encontre o conjunto
dos valores de x para os quais f(x) ≥ g(x).
Solução:
Devemos resolver a inequação f(x) ≥ g(x). Temos assim, que
f(x) ≥ g(x) ⇔ f(x)− g(x) ≥ 0
⇔ −x2 + 6x+ 10− (3x− 8) ≥ 0
⇔ −x2 + 3x+ 18 ≥ 0.
Vamos achar as raízes da equação −x2 + 3x+ 18 = 0:
∆ = 9 + 4× 18 = 9 + 72 = 81
donde
x =
−3±√81
−2 =
−3± 9
−2
x = 6 ou x = −3.
Temos portanto, que y = −x2 + 3x+ 18 é uma parábola com concavidade voltada para baixo, pois
a = −1 < 0, cortando o eixo x nos pontos x = 6 e x = −3. Logo, y = −x2 + 3x + 18 será maior
ou igual a zero quando esta parábola estiver acima do eixo x, o que acontece quando −3 ≤ x ≤ 6.
Portanto, teremos f(x) ≥ g(x) quando x pertencer ao conjunto [−3, 6].
Observe que optamos, neste exemplo, por resolver inequação −x2+3x+18 ≥ 0 verificando quando
o sinal da parábola y = −x2 + 3x + 18 é maior ou igual a zero. Poderíamos ter resolvido esta
inequação fatorando −x2 + 3x+ 18 = −(x− 6)(x+ 3) e construindo a tabela de sinais. Contudo,
agora que já sabemos construir parábolas, vamos optar por este caminho. Um bom exercício seria
voltar aos exemplos anteriores e resolvê-los através de parábolas.
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Métodos Determinísticos I EP13 11
Exercício 8 Às 11 horas da manhã certa caixa d’água de 1000 litros que encontra-se cheia começa
a perder água por um furo na base com vazão constante. Às 17 horas, ela está com 850 litros.
Responda:
a) A que horas a caixa fica com 700 litros?
b) A que horas a caixa fica com 500 litros?
c) Encontre a função V (t) que para cada t nos dá o volume de água na caixa após t horas.
d) Esboce o gráfico da função V .
e) Quanto tempo levará para que a caixa fique vazia?
Solução:
a) Das 11 às 17 horas, passam-se 6 horas e a caixa d’água perde 150 litros. Isso significa que ela perde
25 litros por hora. Para chegar aos 700 litros, ela terá que perder mais 150 litros, logo decorrerão
mais 6 horas. A caixa ficará com 700 litros às 23 horas.
b) Para chegar aos 500 litros terá que perder mais 200 litros (depois de chegar a 700). Para isso
serão necessárias mais 8 horas. Portq anto a caixa estará com 500 litros às 7 horas da manhã do dia
seguinte.
c) V (t) = 1000− 25t (veja que essa fórmula é válida até a hora em que a caixa fica vazia. Depois
disso, ela continua com zero litros).
d)
e) Façamos V (t) = 0:
1000− 25t = 0⇔ 1000 = 25t⇔ t = 40
Logo ela ficará vazia após 40 horas (como vemos no gráfico).
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Métodos Determinísticos I EP13 12
Exercício 9 Certo banco cobra taxa de juros diária no cheque especial de 0,3% (isto é, 9% mensal).
Nessas condições se você ficar devendo 1000 reais por x dias no cheque especial, vai pagar como
encargos (juros) um valor
y = 1000× 0, 3
100
× x.
Já o cartão de crédito deste mesmo banco, em caso de atraso de pagamento, cobra uma multa fixa
de 2% mais juros diários de 0,2% (isto é, 6% ao mês) sobre o valor devido. Portanto, se você ficar
devendo 1000 reais no cartão de crédito por x dias (até um mês), terá como encargos (juros +
multa) o valor
y = 1000× 2
100
+ 1000× 0, 2
100
× x.
a) Uma pessoa fica devendo 1000 reais a esse banco por dez dias. Quanto pagará de encargos se
a dívida for no cheque especial?
b) Ainda devendo 1000 reais por 10 dias, quais serão os encargos se a dívida for no cartão de
crédito?
c) Devendo 1000 reais por 30 dias, quais são os encargos se a dívida for no cheque especial e
quais são os encargos se a dívida for no cartão de crédito?
d) Imagine que uma pessoa precisa contrair uma dívida de 1000 reais nesse banco por menos de
um mês e sabe que levará exatamente x dias para pagar a dívida. Quanto deve ser x para que
o cartão de crédito seja mais vantajoso?
Solução:
Observe que quando a pessoa fica devendo 1000 reais no cheque especial por x dias, paga como
encargos
y = 1000× 0, 3
100
× x = 3x
e quando a dívida é no cartão de crédito, os encargos são de
y = 1000× 2
100
+ 1000× 0, 2
100
× x = 20 + 2x.
a) Se a pessoa ficar devendo 1000 reais por 10 dias no cheque especial pagará como encargos
y = 3× 10 = 30 reais.
b) Se a pessoa ficar devendo 1000 reais por 10 dias no cartão de crédito pagará comoencargos
y = 20 + 2× 10 = 20 + 20 = 40 reais.
c) Devendo 1000 reais por 30 dias, os encargos no cheque especial são de
y = 3× 30 = 90 reais.
e os do cartão de crédito são de
y = 20 + 2× 30 = 20 + 60 = 80 reais.
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Métodos Determinísticos I EP13 13
d) Para decidir entre o cheque especial e o cartão de crédito, temos que descobrir qual das duas
formas resultará em menos encargos. Isto é, se vamos levar x dias para pagar a dívida, devemos usar
o cheque especial se
3x < 20 + 2x,
e devemos usar o cartão de crédito se
3x > 20 + 2x
e podemos usar qualquer um dos dois quando valer a igualdade 3x = 20 + 2x.
Vemos que 3x < 20+ 2x⇔ x < 20, isto é, devemos usar o cheque especial se pretendemos pagar a
dívida em menos de 20 dias. Se pagamos em 20 dias, tanto faz usar um ou outro. Para pagamentos
após o vigésimo dia, é melhor que a dívida seja feita no cartão de crédito.
Exercício 10 A empresa de telefonia FALE oferece aos seus clientes diversos planos de serviço para
celulares. Veja alguns deles:
• Plano 60: o cliente paga 60 reais e tem direito a falar 60 minutos para qualquer número fixo
ou móvel (franquia de 60 minutos). Por cada minuto que exceda os 60 da franquia, o cliente
deve pagar mais 90 centavos.
• Plano 110: o cliente paga 80 reais e tem direito a falar 110 minutos para qualquer número
fixo ou móvel (franquia de 110 minutos). Por cada minuto que exceda os 110 da franquia, o
cliente deve pagar mais 60 centavos.
O Plano 60 pode ser modelado pela função f : R+ → R+, onde R+ = {x ∈ R; x ≥ 0}, dada por:
f(t) =
{
60 , se t ≤ 60 (isto é, se a pessoa falar até 60 minutos)
60 + 0.9(t− 60) , se t > 60 (isto é, se a pessoa falar mais que 60 minutos)
Acima, t é o tempo das chamadas feitas pelo cliente e f(t) nos dá quanto o cliente pagará por esse
tempo usando o Plano 60.
Já o Plano 110 é modelado pela pela função g : R+ → R+ dada por:
g(t) =
{
80 , se t ≤ 110
80 + 0.6(t− 110) , se t > 110.
Acima, t também indica o tempo das chamadas feitas pelo cliente e g(t) nos dá quanto o cliente
pagará por esse tempo usando o Plano 110.
A seguir vemos os gráficos de cada uma dessas funções:
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Métodos Determinísticos I EP13 14
Considerando as informações acima, responda aos itens a seguir.
a) Se uma pessoa fala sempre 70 minutos por mês, quanto ela pagará se usar o Plano 60? E se
usar o Plano 110?
b) Se a pessoa falar sempre 100 minutos, quanto ela pagará mensalmente com cada um dos planos
acima?
c) Quanto a pessoa deve falar mensalmente para que o Plano 60 seja mais vantajoso? Qual deve
ser o consumo mensal para que o Plano 110 seja mais em conta?
d) A empresa FALE oferece ainda um terceiro plano, o Plano 170. Neste plano o cliente paga
100 reais por mês e usufrui de uma franquia de 170 minutos. Cada minuto excedente custa
50 centavos. Encontre a função h : R+ → R+ que modela este plano, esboce sobre a figura
acima o gráfico da função h e descubra qual deve ser o consumo mensal para que este plano
seja mais vantajoso que os outros dois.
Solução:
a) Falando 70 minutos por mês, no Plano 60, a pessoa pagará os 60 reais da franquia mais 90
centavos por cada um dos 10 minutos excedentes, resultando em 69 reais. Outra forma de fazer este
cálculo é usar a fórmula da função f que nos dá o valor a ser pago nos plano 60. Para t > 60, a
função nos dá que
f(t) = 60 + 0, 9(t− 60), logo, f(70) = 60 + 0, 9(70− 60) = 60 + 0, 9× 10 = 69
Usando o Plano 110, a pessoa pagará os 80 reais da franquia (não há minutos excedente, pois o
consumo foi menor que a franquia).
b) Pelo Plano 60, a pessoa que fala 100 minutos paga f(100) = 60+0, 9(100−60) = 60+0, 9×40 =
96 reais.
Usando o Plano 110, ela pagará apenas os 80 reais da franquia.
c) No gráfico apresentado na questão está marcado um ponto B. À esquerda do ponto B, vemos
que o Plano 60 sai mais barato, à direita do ponto B, vemos que o custo do Plano 60 ultrapassa o
do Plano 110 e este último fica mais em conta. Temos então que descobrir a que tempo corresponde
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Métodos Determinísticos I EP13 15
o ponto B. Pelo gráfico, vemos que este ponto encontra-se entre as retas t = 60 e t = 110. Logo,
a abcissa, t, do ponto B é o valor para o qual f(t) = 60 + 0, 9(t− 60) se iguala com g(t) = 80:
60 + 0, 9(t− 60) = 80⇔ 0, 9t− 54 = 20⇔ 0, 9t = 74⇔ t = 74/0, 9 ≈ 82, 22
Desta forma, o Plano 60 é mais vantajoso se a pessoa falar até 82 minutos. A partir daí se torna
mais interessante o Plano 110.
d) A função h que corresponde ao Plano 170 é:
h(t) =
{
100 , se t ≤ 170
100 + 0.5(t− 170) , se t > 170.
O gráfico é:
Vemos que o Plano 170 se torna mais vantajoso à direita do ponto P. Vamos achar o tempo corres-
pondente a este ponto igualando h(t) = 100 a g(t) = 80 + 0, 6(t− 110):
80 + 0, 6(t− 110) = 100⇔ 0, 6t− 66 = 20⇔ 0, 6t = 86⇔ t ≈ 143, 33
Logo, a partir de 143 minutos, o Plano 170 é o melhor dos três.
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