LISTAPROVA1 CÁLCULOII

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE 
UNACET 
DISCIPLINA: Cálculo II 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Avaliação I – Integrais Indefinidas e Definidas; Substituição ou mudança de variável 
para integração e Integração de Funções Trigonométricas 
 
As atividades a seguir estão apresentadas por tema de estudo. Para aprofundamento dos estudos, você pode também 
consultar as referências a seguir: 
 
FLEMING, D. M. e GONÇALVES, M. B. Cálculo A. Florianópolis: Editora da UFSC, 1988. 
GRANVILE, W. A. Elementos de cálculo diferencial e integral. Rio de Janeiro: Row do Brasil, 1977, Volume 1. 
LEITHOLD, Louis. O Cálculo em Geometria Analítica. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1984. Volume I e II. 
DOMÊNICO, Luiz Carlos de. Matemática. Volume 1. Ed. IBEP, 1997. 
GIOVANI, José Ruy. Matemática. Volume 1. São Paulo: Atual, 1997. 
IEZZI, Gelson e MURATONI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar. Conjuntos e Funções. Volume 1. São 
Paulo: Atual, 1994. 
MACHADO, A. dos S., Funções e Derivadas. Matemática – Temas e Metas. São Paulo: Atual, 1991. Volume 6. 
TAYLOR, R. e Thomas, W. Cálculo Diferencial e Integral. México: Limusa Willey S.A. 
Bons Estudos! 
 
LISTA 1 
 
 Integrais Imediatas Indefinidas e Integração de Funções Básicas 
 
1. Calcule as integrais indefinidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
    
        
  












































dx
x
x
udxxxtgtdx
x
x
s
dt
t
t
e
rdx
x
xxxx
qdx
x
x
p
dx
x
senx
odt
t
tn
x
dx
m
dx
x
senxldx
xx
senx
ekdx
x
j
dxxxidxxxxhdxxg
dxxxfxdxedxxd
dxcdxxbdx
x
x
a
t
x
84
.seccos..
5
.
1
2
.
12698
.
1
.
cos
.
1
9..
1
7.
8
cos
6.
5
.
12.11.2.
21..34.
3.2.
3
.
5
22
3/1
2
234
2
2
23
2
3
492
2222
2
2
3
 
UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE 
UNACET 
DISCIPLINA: Cálculo II 
 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Calcule a integral e verifique sua resposta por derivação. 
a) 
dxxx  )1(
2
 
b) 
dx
x 6
1
 
 
c) 
dy
y
y
y










410
3
4
3
 
d) 
dxx  )1(
2
 
e) 
dxxx  )sec2cos3(
2
 
f) 
dx
x
xx


cos2
cossec
 
 
 
 
 
 
 
 
Cx
x
uCtgxtCx
x
s
Ct
te
rC
x
xx
xx
qC
x
xp
CxoC
t
tnC
x
m
C
x
xlC
x
xekCxj
Cxx
xx
iCx
x
hCx
xx
g
Cx
x
fC
x
eCxxd
CxcC
x
bC
x
a
spostas
t
x









ln8
5
4
))ln5
3
)
ln
3
2
2
)
1
ln26
2
9
3
8
)
1
)
sec)
2
1
3)
2
1
)
1
cos7)
1
sec6)ln5)
44
3
5
4
)
4
)4
3
4
5
)
3
2
)
2
)32)
3)
3
2
)
2
3
).1
:Re
5
3
323
2
3
2
8
2
34435
2
32
2
32
  CxtgxfCxtgxseneC
x
xxd
Cyy
y
cC
x
bC
xx
a
spostas



)(
2
1
))(2)(3)
3
)
408
4
3
)
5
)
24
).2
:Re
3
4
3
4
524

 
UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE 
UNACET 
DISCIPLINA: Cálculo II 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
3. Resolva as integrais aplicando o método das integrais imediatas: 
 
𝑎) ∫ (3𝑒𝑥 +
1
4𝑥
− 𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑑𝑥 b) ∫(𝑥 − 2)2(𝑥 + 2)²𝑑𝑥 
 
c) ∫(
2
√𝑥
+
√𝑥
2
)²𝑑𝑥 d) ∫
3𝑥+1
3𝑥²+2𝑥−1
 𝑑𝑥 
 
 
Respostas: 
3. 𝑎) 3𝑒𝑥 +
1
4
𝑙𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐 𝑏) 
𝑥5 
5
−
8
3
𝑥3 + 16𝑥 + 𝑐 
𝑐) 4𝑙𝑛𝑥 + 2𝑥 + 1/4 
𝑥2
2
+ 𝑐 𝑑) 
1
2
ln|3𝑥2 + 2𝑥 − 1| + 𝑐 
 
 
4. Resolva os problemas de valor inicial. 
a) 
),()(sec2 tsent
dt
dy
 1)
4
( 

y
 
b) 
,
1
x
x
dx
dy 

 y(1) = 2 
𝑐) 
2)0(,  yx
dx
dy
 
d) 
0)1(,33  yxx
dx
dy
 
e) 0)2(,13  yx
dx
dy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4
2
3
)
4
5
2
3
4
)
2
2
)
3
2
)3(
3
2)
2
2
)()cos().4
:Re
224
2






x
x
ye
xx
yd
x
ycx
x
ybttgtya
spostas
 
UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE 
UNACET 
DISCIPLINA: Cálculo II 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 
LISTA 2 
 
 Teorema Fundamental do cálculo: Integrais Imediatas Definidas 
 
1. Determine o valor das seguintes integrais definidas: 
 
a) b) c) d) 
 
e) f) g) h)
  
2
1
2 2 dxxx
 
i) 
  

2
1
2 45 dxxx
 j) 
  

2
1
2 343 dxxx
 
k) 


3
3
3dxx
 l) 
 
 
 
 
2. Determine o valor das seguintes integrais definidas. 
a) 
  


1
2
11 dxxx
 b) 
 


3
1
23 dxxx
 c) 
   
3
1
22 dxxx
 
d)
   
2
0
2 1 dxxx
 e) 
   

1
2
22 dyyy
 
 
 
 
 
  
3
1
5 12 dxx
  
3
1
5 12 dxx  


1
2
1 dxx   
1
0
3 54 dxxx
 
1
0
2 46 dxxx  
a
xdx
1
2   
1
0
2 2 dxx

3
0
23 25 dxxx
4/237)0)12)6/45)
3/16)3/7)1)3/4)
2/3)2/3)4/5)3/734)
:Re
2
lkji
hgafe
dcba
spostas


9)3/20)3/98)20)0)
:Re
edcba
spostas
 
UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE 
UNACET 
DISCIPLINA: Cálculo II 
 
 
 
5 
 
 
 
 
 
 
LISTA 3 
 
 Aplicações de Integrais Indefinidas e Definidas 
 
1. C(x) é o custo de se produzir x unidades de uma determinada mercadoria, e o C(m) = C’(x). Para uma siderúrgica 
que tem 𝐶(𝑚) =
3𝑥²
4
+ 7,5𝑥 + 325, por toneladas produzidas, determinar qual o C(x) para se produzir 7,2 toneladas. 
O custo fixo da siderúrgica é $ 87.560,00. 
Resposta: 𝐶(𝑥) =
3
2
𝑥³ +
7,5
2
𝑥² + 325𝑥 + 𝐶 ; 𝑅$ 90.654,272 
2. Uma partícula move-se ao longo de um eixo s. Use a informação dada para encontrar a função-posição da partícula 
3 2v(t) t 2t 1 e s(0) 1   
. 
Resposta: 
4 31 2t t t 1
4 3
  
 
3. Estima-se que daqui a t meses a população de certa cidade esteja aumentando à taxa de 4+5t 2/3 habitantes por 
mês. Se a população atual é 10.000 habitantes, qual será a população daqui a 8 meses? 
 
Resposta: 10.128 habitantes. 
 
 
4. Um corpo está se movendo de tal forma que sua velocidade após t minutos é v(t) = 1 + 4t + 3t2 m/min. Que 
distância o corpo percorre no terceiro minuto? 
 
Resposta: o corpo percorre 30 metros no terceiro minuto. 
 
 
5. Um estudo ambiental realizado em certa cidade revela que daqui a t anos o índicede monóxido de carbono no ar 
estará aumentando á razão de 0,1t + 0,1 partes por milhão por ano. Se o índice atual de monóxido de carbono no ar é 
de 3,4 partes por milhão, qual será o índice daqui a 3 anos? 
 
Resposta: 4,15 partes por milhão. 
 
6. Um botânico descobre que certo tipo de árvore cresce de tal forma que sua altura h(t), após t anos, está variando a 
uma taxa de 0,06t2/3 + 0,3t1/2 metros/ano. Se a árvore tinha 60 cm de altura quando foi plantada, que altura terá 
após 27 anos? 
 
Resposta: após 27 anos a árvore medirá 37,41 metros. 
 
 
UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE 
UNACET 
DISCIPLINA: Cálculo II 
 
 
 
6 
 
 
 
 
 
 
LISTA 4 
 
 Métodos de Integração (substituição ou mudança de variável e integração de funções trigonométricas). 
 
1. Calcule as integrais usando substituições adequadas: 
a) 
dx
e
e
x
x
 1
 b) 
dxxx 
232 )1(2
 c) 
dxxxsen
3cos)(
 
d)  xx
dx
ln
  
dx
x
x
e
2
ln
)
 
 2cos
)
2 t
t
e
dte
f
 
 dxxxg 54 cos)
 
 
    CxsengCetgfCxe
CxdCxcCxbCea
spostas
t
x


5
3
4242
5
1
))
3
ln
)
))ln(ln()cos
4
1
))1(
24
1
))1ln().1
:Re
 
 
 
2. Resolva as integrais empregando os conceitos desenvolvidos: 
 
a) ∫(cos 𝑥 + 𝑡𝑔 𝑥)² 𝑑𝑥 
 
b) ∫(𝑒𝑥 − 5)2𝑑𝑥 
 
c) ∫
𝑥³+5𝑥−2
𝑥+2
 𝑑𝑥 
 
d) ∫ 𝑠𝑒𝑛3(2𝑥 − 3). 𝑐𝑜𝑠𝑥 (2𝑥 − 3)𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 C+3)-(2x sen 
8
1
)+C|2+x|20ln-9x+x²-
3
x³
c)
 C+25x+10e-e 
2
1
)C+tgx+2cosx-sen2x 
4
1
+
2
x-
).2
:Re
4
x2x
d
ba
spostas
 
UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE 
UNACET 
DISCIPLINA: Cálculo II 
 
 
 
7 
 
 
 
 
 
 
3. Calcule as integrais, por meio da integração por substituição de variável. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
     
C
xxx
lCxkC
x
jC
x
i
C
xtgx
hCgxxgCxfC
x
e
CxdCxcCusenbCxa
spostas
















3
28
5
28
7
22
)ln)
9420
1
)
1216
1
)
3
3
2
)cotseccosln)1ln)
3515
1
)
cosln)32cos))(ln)6ln).3
:Re
357
2
58
2
3
2
 
 
4. Calcule as integrais. 
a) 


5
1 12x
dx
 b) c) d) 
 
1)1)3272)2).4
:Re
dcba
spostas

 
 









tgxdxd
dxxsenc
gudub
dx
x
x
a
.
32.
cot.
6
2
.
2
 
  









dxxxh
udug
dx
x
f
x
dx
e
3sec.
seccos.
1
1
.
35
.
2
4
 
 










dx2x.x.
2
.
94
.
12
.
2
2
6
9
l
dx
x
x
k
x
dt
j
x
dx
i
dx
xx
x



3
1
2 74
2

4
0
)cos()(4

dxxxsen   


2
5
cos1)(6 dxxxsen