Matemática Aplicada à Economia

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA 
DO RIO GRANDE DO SUL 
FACULDADE DE MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Francisco Leal Moreira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2011/1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
1. FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 1 
1.1. FUNÇÕES HOMOGÊNEAS 3 
1.2. CURVAS DE NÍVEL 4 
1.3. SITE RELACIONADO 5 
1.4. RESPOSTAS 6 
2. DERIVADAS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 9 
2.1. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS 11 
2.2. TAXAS DE VARIAÇÃO 12 
2.3 ELASTICIDADE 13 
2.4. DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM 15 
2.5. HESSIANO 16 
2.6. REGRA DA CADEIA(RC) 17 
2.7. FUNÇÃO IMPLÍCITA 18 
2.8. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 19 
2.9. TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO 21 
2.10. SITES RELACIONADOS 22 
2.11. RESPOSTAS 22 
3. DIFERENCIAIS 24 
3.1. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTICA DA DIFERENCIAL 25 
3.2. DERIVADA COMO UM QUOCIENTE 26 
3.3. DIFERENCIAL TOTAL 27 
3.4. RESPOSTAS 29 
4. ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE UMA FUNÇÃO 30 
4.1. PONTO CRÍTICO 31 
4.2. FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE 31 
4.3. DETERMINAÇÃO DOS INTERVALOS DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO 31 
4.4. DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS RELATIVOS DE UMA FUNÇÃO 32 
4.4.1. TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA(TDP) 32 
4.4.2. TESTE DA DERIVADA SEGUNDA(TDS) 33 
4.5. CONCAVIDADE E INFLEXÃO 34 
4.5.1. TESTE DA CONCAVIDADE 34 
4.5.2. PONTO DE INFLEXÃO 34 
4.6. TAXA DE VARIAÇÃO DE UMA TAXA DE VARIAÇÃO 36 
4.7. WINPLOT 37 
4.8. SITES RELACIONADOS 38 
4.9. RESPOSTAS 38 
5. MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 40 
5.1. PONTO CRÍTICO DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS 41 
5.2. CRITÉRIO PARA CARACTERIZAÇÃO DE PONTOS EXTREMANTES 42 
5.3. MÁXIMOS E MÍNIMOS CONDICIONADOS 43 
5.3.1. MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO 44 
5.3.2. MÉTODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 45 
5.4. SITES RELACIONADOS 46 
5.5. RESPOSTAS 47 
6. INTEGRAL INDEFINIDA 48 
6.1. PRIMITIVA 48 
6.2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL INDEFINIDA 48 
6.3. REGRAS DE INTEGRAÇÃO 49 
6.4. SITES RELACIONADOS 55 
6.5. RESPOSTAS 56 
7. INTEGRAL DEFINIDA 58 
7.1. PROPRIEDADES BÁSICAS 59 
7.2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA 60 
7.3. ÁREA DA REGIÃO ENTRE DUAS CURVAS 61 
 
7.4. EXCEDENTE DO CONSUMIDOR 64 
7.5. EXCEDENTE DO PRODUTOR 65 
7.6. SITES RELACIONADOS 66 
7.7. RESPOSTAS 66 
8. BIBLIOGRAFIA 67 
9. APÊNDICE 68 
1.CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 68 
2. OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 69 
3. SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES 69 
4. INTERVALOS 70 
5. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 71 
6. PRODUTOS NOTÁVEIS 72 
7. FATORAÇÕES COMUM E DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS 73 
8. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE 1
O
 GRAU 73 
9. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE 2
O
 GRAU 74 
10. PRODUTO NULO 75 
11. RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1
O
 GRAU 75 
12. RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1
O
 GRAU 76 
13. POTÊNCIAS 77 
14. EQUAÇÃO PONTO-DECLIVIDADE 78 
15. IMAGEM DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO 79 
16. RESPOSTAS 80 
17. DERIVADAS DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL 82 
17.1. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO OU FUNÇÃO DERIVADA 82 
17.2. REGRAS DE DERIVAÇÃO 82 
17.3. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO 87 
17.4. APLICAÇÕES DE DERIVADAS 88 
17.5. SITES RELACIONADOS 90 
17.6. RESPOSTAS 90 
18. BIBLIOGRAFIA 92 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 
1. FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
 
 
 Uma função f de duas variáveis é uma relação que a cada par ordenado de números reais (x,y) faz 
 
 corresponder um único número real f(x,y). 
 
 
 
Exemplo: 
Seja a função dada por f(x,y) =
22 yx
. Determine f(0,0), f(–1, –1), f(1,2), Dom f e Im f. 
 
 
Solução: 
 
a) f(0,0) =
0000 22
 b) f(–1, –1) =
2)1()1( 22
 c) f(1,2) =
521 22
 
 
d) O domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de pares ordenados do 
2
 para os quais a função 
 
tem sentido, neste caso, para os quais a f(x,y) =
22 yx
é um número real. Como x
2
 +y
2
 0, para qualquer 
 
(x,y)
2
, o Dom f =
2
. 
 
e) A imagem de f é o conjunto formado pelas imagens de todos os elementos do domínio de f, neste caso, como a 
 
imagem de qualquer (x,y)
2
par é dada por f(x,y) =
22 yx
0, a im f = . 
 
O gráfico de f é a superfície do 
3
que apareça abaixo. 
x y
z
 
 
Observação: 
 
 As funções de três ou mais variáveis não podem ser representadas graficamente. 
 
 
 
 
 
 2 
E1) Seja a função dada f(x,y) = x
2
 + y
2
 (duas variáveis). Encontre: 
 
 1) f(1,2) 2) f(0,0) 3) f(–3, –4) 4) Dom f 5) Im f 
 
 O gráfico de f é uma superfície do 
3
(parabolóide abaixo). 
x
y
z
 
E2) Seja a função dada por f(x,y) =
xy
x3
. Determine: 
 
 1) f(1,0) 2) f(3, –7) 3) f(1, –1) 4) Dom f 5) a representação gráfica do Dom f 
 
 
E3) Seja f(x,y) =
yx
1
2
. Determine: 
 
 1) f(1,0) 2) f(3, –7) 3) f(1, –1) 4) Dom f 5) a representação gráfica do Dom f 
 
 
E4) Represente graficamente os domínios das seguintes funções : 
 
 1) f(x,y)=
1yx
 2) 
1yx2
1
)y,x(f
 3) f(x,y)= ln (x
2
- y + 1) 4) f(x,y) =
1x
xln
 
 
E5) Uma loja vende apenas dois produtos, o primeiro a 50 u.m. a unidade e o segundo a 60 u.m. a unidade. 
 
 Sejam x e y as quantidades vendidas dos dois produtos. Determine: 
 
 a)função receita 
 
 b)a representação gráfica dos pontos (x,y) para os quais a receita é 300 u.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
1.1. FUNÇÕES HOMOGÊNEAS 
 
 Uma função z = f(
n21 x...x,x
) é dita homogênea de grau m se, 
,0
 f(
n21 x...x,x
) =
m
f(
n21 x...x,x). 
 
 
Interpretação: 
 
 Se uma função f é homogênea de grau m, multiplicando-se as variáveis independentes por um certo 
 
número real (lambda) positivo, o valor da função f ficará multiplicado por 
m
. 
 
 
Exemplo: 
Verifique se a função dada por f(x,y) =
33 yx
 é homogênea, em caso afirmativo determine o grau. 
 
Solução: 
 
)y,x(f.λ)y(xλ)y(xλyλxλ)yλ(λx)()λyλx,(f 2/3333333333333
 
 
Logo, a função f é homogênea de grau 3/2. 
 
Observação: 
 
 Como
)(f.λ)λ,λ(f y,xyx 2/3
, se multiplicarmos, por exemplo, x e y por 4, a f(x,y) ficará multiplicada 
 
por 8, isto é, f(4x,4y) =
)(f.8)(f.4 y,xy,x2/3
. 
 
 
E6) Uma função f é homogênea de grau 2. Se f(5) = 20, encontre f(15). 
 
E7) Uma função f é homogênea de grau –1. Se f(2,3) = 4, encontre f(10.15). 
 
E8) Uma função f é homogênea de grau –2. Se f(4,2) = 10, encontre f(2,1). 
 
E9) Verifique se as funções abaixo são homogêneas, em caso afirmativo determine o grau. 
 
 1) f(x,y) = x – y 2) f(x) = 2x –1 3) f(x,y) = xy 4) f(x,y) = 2x + 3y 
 
 5) f(x,y) = xy – x2 6) f(x,y) = xy + 5x 7) f(x,y) = 2x2 + 3xy – y2 8) f(x,y) =
y3
x2
 
 9) f(x,y) =
44 y2x
 10) f(x,y) =
5 2xy6
 11) f(x,y) = y
3
 + 4xy
2
 + 3x
2
 12) f(x,y) =
2x2
y3x10
 
E10) Seja a função dada por f(x,y) = 
y2x
x
. 
 1)Determine e represente graficamente o domínio da f; 
 
 2)f é homogênea ? Em caso afirmativo determine o grau; 
 
E11) Uma função P = f(x,y) é homogênea do grau –1. Por quanto devem ser multiplicados x e y para 
 
 que P seja multiplicada por 2 ? 
 
 4 
1.2. CURVAS DE NÍVEL 
 
 
 Ck =
k)(f/)( y,xy,x 2
 
 
Exemplo: 
 
 Seja a função dada por z= x
2
 + y
2
 . Determine as curvas de nível para z = 1 , z =2 , z = 3 e z = 4. 
 
Solução: 
 
z = 1 x
2 
+ y
2 
= 1 (circunferência de centro C(0,0) e raio 1 ) 
 
z = 2 x
2 
+ y
2 
= 2 (circunferência de centro C(0,0) e raio 
2
 ) 
 
z = 3 x
2 
+ y
2 
= 3 (circunferência de centro C(0,0) e raio 
3
 ) 
 
z = 4 x
2 
+ y
2 
= 4 (circunferência de centro C(0,0) e raio 2 ) 
 
Mapa de curvas de nível 
x
y
 
Observação: As curvas de nível nunca se interceptam. 
 
Gráfico da Função (parabolóide) 
x
y
z
 
 
 5 
E12) Esboce as curvas de nível das funções: 
 
 1) z = y – x2 para z = 0, z =1 e z =2 
 
 2) z = y – x para z = 0, z =2 e z =4 
 
 3) z = y – ln x para z = 0, z =1 e z =2 
 
 
E13) Seja a função dada por z =
22 yx4
. Faça as curvas de nível para z = 0, z = 1 e z = 2 
 
 
E14) Seja C(x,y) = 2x + 3y + 5 a função Custo Total para dois produtos de quantidades x e y. Faça as curvas 
 
 de nível para C = 11 , C = 17 , C = 23 e C = 29. 
 
 
As curvas de nível da função Custo são denominadas curvas de isocusto, pois representam as combinações 
 
de quantidades x e y que possuem o mesmo custo. 
 
 
E15) Seja P(x,y) = x
2
.y a função Produção de uma empresa, onde x e y são quantidades de insumos(mão– 
 
 de-obra e capital). Faça as curvas de nível para P = 10 e P = 20. 
 
 
As curvas de nível da função Produção são denominadas isoquantas, pois representam as combinações 
 
de quantidades x e y que correspondem a mesma produção. 
 
 
E16) Seja U(x,y) = xy a função que dá a utilidade de um consumidor que deseja adquirir dois produtos em 
 
 quantidades x e y. Faça as curvas de nível para U = 2 e U = 4. 
 
 
As curvas de nível da função Utilidade são denominadas curvas de indiferença, pois representam as 
 
combinações de quantidades x e y que fornecem o mesmo nível de utilidade ou satisfação ao consumidor. 
 
 
E17) Seja q1( p1, p2 ) = –p1
2
 + p2 + 2 a função Demanda de um produto em função do próprio preço p1 e do 
 
 preço p2 de outro produto que lhe é substituto. Faça as curvas de nível para q1 = 0 , q1 = 2 e q1 = 4. 
 
 
As curvas de nível da função Demanda são denominadas curvas de isodemanda, pois representam as 
 
combinações de preços p1 e p2 que determinam a mesma demanda do produto de quantidade q1. 
 
 
1.3. SITE RELACIONADO 
 
www.uel.br/revistas/geografia/V14N1/Artigo15.pdf 
 
 6 
1.4. RESPOSTAS 
 
 
E1) 1) 5 2) 0 3) 25 4) 
2
 5) 
),0[
 
 
E2) 1) –3 2) -
10
9
 3) 
2
3
 4)
}xy/)y,x{( 2
 
E3) 1) 1 2) 
4
1
 3) 
2
2
 4)
}xy/)y,x{( 22
 
 
 
E4) 1) 
}1xy/)y,x{( 2
 2) 
}1x2y/)y,x{( 2
 
 
 3) 
}1xy/)y,x{( 22
 4) 
}1xe0x/)y,x{( 2
 
 
 
 y 
 5 
 
E5) 1) R = 50x + 60y 2) 
 0 6 x 
 
E6) 180 
 
 
E7) 0,8 
 
 
E8) 40 
 
 
E9) 1) Sim, grau 1 2) Não 3) Sim, grau 2 4) Sim, grau 1 
 
 5) Sim, grau 2 6) Não 7) Sim, grau 2 8) Sim, grau 0 
 
 9) Sim, grau 2 10) Sim, grau 0,6 11) Não 12) Sim, grau –1 
 
 
E10) 1) 
}0y2x/)y,x{( 2
 2) Sim, grau 0 
 
 
E11) 
2
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
E12) 1) 2) 3) 
 
x
y
 
x
y
 
x
y
 
 
 
 
 
E13) x
y
 
 
 
 
E14) 
x
y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E15) 
 
 8 
 
x
y
 
 
 
 
E16) 
x
y
 
 
 
 
E17) 
 
p1
p2
 
 9 
 
2. DERIVADAS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
 
 
 Se y = f(x) é uma função de uma variável real, sua derivada f ’(x) =
x
)x(f)xx(f
lim
0x
 pode ser 
 
 interpretada como a taxa de variação de y em relação a x ou como a função declividade da reta tangente 
 
ao gráfico de f. 
 
 Se z = f(x,y) é uma função de duas variáveis, podemos falar em duas derivadas, por isso, denominadas 
 
derivadas parciais. Uma derivada parcial é obtida quando x varia e y permanece constante e, a outra, quando 
 
y varia e x permanece constante. 
 
 As derivadas parciais de f em relação a x e a y são denotadas por fx ou 
x
f
 e fy ou 
y
f
 e são definidas 
 
por fx(x,y) =
x
)y,x(f)y,xx(f
lim
0x
 e fy(x,y) =
y
)y,x(f)yy,x(f
lim
0y
 
 
Nota: é uma variante da letra grega (delta minúsculo). 
 
 
Exemplo: 
 
 Seja a função dada por f(x,y)= x
2
 + y
2
 – 2x3y + 5xy4 – 1 . Determine as derivadas parciais de f. 
 
 
Solução: 
 
 
x
f
(x,y) = 2x – 6x2y + 5y4 
y
f
(x,y) = 2y – 2x3 + 20xy3 
 
 
E1) Determine as derivadas parciais 
x
z
e 
y
z
das funções: 
 
 1) z = 4x
2
y – 5x3y2 + 2x – y 2) z = 
yx
 3) z = ln(xy
2
) 
 
 4) z = 
1yx 22
 5) z = 
y2x3
xy2
 6) z = 
y4x
y3x2
2
 
 
 7) z = (2x – y)exy 8) z = 2x2y.ln 2y 9) z = 
y2
1
x
1
 + ln e
xy
 
 
 
 
 
 
 10 
E2)Sejam px = 8 – x e py = – 2y + 34 as equações da demanda para dois produtos de quantidades x e y. 
 
 Se C = 8 + 4x + 6y é a função Custo associada, determine a função Lucro e as funções Lucro Marginal. 
 
 
E3) Seja 
25,075,0 y.xz
 uma função Produção. Determine as funções Produção Marginal. 
 
 
Nota: Dois produtos são chamados de produtos substitutos se o aumento da demanda de um resulta na 
 
diminuição da demanda do outro. Produtos substitutos são competitivos, como manteiga e margarina. Dois 
 
produtos são chamados de produtos complementares se o aumento da demanda de um resulta no aumento 
 
da demanda do outro. É o caso, de câmaras fotográficas e filmes fotográficos. . 
 
 
E4) Se qx = –px –2py + 10 a função que descreve a demanda de um produto em função do seu preço px e do 
 
 do preço de outro produto. Esses produtos são substitutos ou complementares ? Por que ? 
 
 
E5) A produção semanal de certa fabrica é dada pela função P(x,y) = 1200x + 500y + x
2
y –x3 – y2 unidades, 
 
 onde x é o número de operários especializados e y o número de operários não-especializados no trabalho. 
 
 No momento, a mão-de-obra disponível é constituída por 30 operários especializados e 60 operários não- 
 
 especializados. 
 
1) Determine as funções produção marginal. 
 
2) Use os métodos de análise marginal(uso de uma derivada parcial) para estimar a variação da produção 
 
 se mais um operário especializado for contratado. 
 
 3) Calcule a variação exata da produção, caso o operário especializado seja contratado. 
 
 
E6) Um fabricante estima que a produção mensal de certa fábrica é dada pela função de Cobb-Duglas 
 
 P(K,L) = 50K
0,4
L
0,6
 , onde K é o capital imobilizado em milhares de reais e L é o volume de mão-de-obra 
 
 em homens-hora: 
 
 1) Determine as funções produtividade marginal, para um capital imobilizado de R$ 750.000,00 e um 
 
 volume de mão-de-obra de 991 homens-horas. 
 
2) O fabricante deve aumentar o capital imobilizado ou o volume de mão-de-obra para aumentar mais 
 
 rapidamente a produção ? 
 
 
 
 11 
2.1. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS 
 
 Considere a superfície abaixo, gráfico de uma função z = f(x,y). 
 
 Para y = k (constante) a função f se reduz a uma função de uma variável x, z = f(x,k). 
 
 z t 
 z = f(x,y) 
 
 P 
 y1= k 
 0 y 
 x1 
 
 x z= f(x,k) 
 
 Portanto, a derivada parcial de f em relação a x no ponto (x1,y1) representa a declividade da superfície no 
 
ponto (x1,y1) na direção paralela ao eixo x, isto é
x
f
(x1,y1) = at 
 
 Analogamente , a derivada parcial de f em relação a y no ponto (x1,y1) representa a declividade da 
 
superfície no ponto (x1,y1) na direção paralela ao eixo y, isto é
y
f
(x1,y1) = at 
 
Exemplo: 
 
Encontrar a declividade da reta tangente à curva resultante da intersecção de: f(x,y) = x
2
 + y
2
 – 2x3y + 5xy4– 1 
 
com o plano x = –1 no ponto (–1,1, –2). 
 
 
Solução: 
 
A intersecção do plano com o gráfico da f é uma curva com a direção do eixo y, logo at =
y
f
(x1,y1). 
Como 
y
f
(x,y) = 2y – 2x3 + 20xy3 e 
y
f
(–1,1) = –16, a declividade da reta tangente é a = –16. 
 
 
E7) Encontrar a declividade da reta tangente à curva resultante da intersecção de: 
 
 1) z = x
2
 + y
2
 com o plano x = 1, no ponto ( 1,2,5) 
 
 
 2) z = x
2
 + y
2
 com o plano y = 2, no ponto (2,2,8) 
 
 
 3) z =
22 y4x934
com o plano y = 2, no ponto (1,2,3) 
 
 
 
 12 
E8) Dada a função f(x,y) =
,
yx
1
y
22
2
 determine : 
 1) o domínio de f 2) fx(3,4) 3) fy(3,4) 
 
 4) o coeficiente angular da reta tangente à curva que é a intersecção do gráfico de f com o plano x = 3 no 
 
 ponto em que y = 4. 
 
 
E9) Seja a função dada por f(x,y) =
yx
 
 1)Represente graficamente o domínio da f. 2)Encontre 
y
f
. 
 3) f é homogênea ? Em caso afirmativo determine o grau. 
 
 
E10) Seja a função dada por f(x,y) =
xy
yxy3x 22
 
 
 1) Determine e represente graficamente o domínio da f. 
 
 2) Verifique se f é homogênea, em caso afirmativo, determine o grau. 
 
 3) Encontre 
x
f
 
 
 
 
2.2. TAXAS DE VARIAÇÃO 
 
 
x
f
 fornece a taxa de variação de f(x,y) em relação à x para y = k (constante), isto é, mede a taxa de variação 
 de f(x,y) quando (x,y) se move na direção do eixo x. 
 
 
y
f
 fornece a taxa de variação de f(x,y) em relação à y para x = k (constante), isto é, mede a taxa de variação 
 de f(x,y) quando (x,y) se move na direção do eixo y. 
 
 
 
E11) Uma placa de metal aquecida está situada em um plano xy de modo que a temperatura T no ponto (x,y) 
 
 é dada por T(x,y) =10( x
2
 + y
2
 )
2
 . Determine a taxa de variação de T em relação à distância no ponto 
 
 P(1,2) na direção: 
 
 1) do eixo das abscissas 2) do eixo das ordenadas 
 
 
 
 
 
 
 13 
2.3 ELASTICIDADE 
 
 Seja y = f(x) uma função. 
 y 
 
 y+
y
 f 
 
 
 
 y 
 
 0 x x+
x
 x 
 
Da figura acima, observa-se que uma variação 
xem x corresponde uma variação 
y
 em y. 
 
A variação relativa em x é 
x
x
 e a variação relativa em y é 
y
y
. 
A variação relativa média em y por unidade de variação relativa em x é 
y
x
.
x
y
x
x
.
y
y
x
x
y
y
. (1) 
Como 
y
 = f(x+
x
) – f(x), podemos escrever a (1) como 
y
x
.
Δx
f(x)Δx)f(x
, cujo limite quando 
x
 tende 
a zero é 
y
x
.
x
)x(f)xx(f
lim
0x
= f’(x).
y
x
 ou 
y
x
.
dx
dy
. 
 
Este limite fornece a variação percentual aproximada da função correspondente a uma variação de 1% em x. 
 
Se y = f(x) representar a função demanda, onde x representa o preço unitário de venda do produto, então o 
 
produto 
y
x
.
dx
dy
 é denominado elasticidade-preço da demanda e representado por e. 
 
e =
y
x
.
dx
dy
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Seja q = 110 – 4p2 a equação da demanda para um certo produto, onde q é a quantidade demandada e 
 
P é o preço unitário do produto. Determine: 
 
a) a variação relativa da demanda quando o preço da unidade passa de 5 u.m. para 5,1 u.m., 
 
b) use o resultado anterior para obter uma aproximação da elasticidade da demanda para o preço de 5 u.m., 
 
c) calcule a elasticidade da demanda em relação ao preço de 5 u.m. 
 
 
 14 
 
Solução: 
a) A variação relativa da demanda é dada por 
q
q
. 
 Para p =5, q = 10 e, para p = 5,1; q = 5,96, logo, 
q
= -4,04 e 
q
q
=
10
04,4
= -0,404. 
 
 Portanto, a demanda terá um decréscimo de 40,4 %. 
 
 
b) Um aumento de 2% no preço p, representa um decréscimo de 40,4% na demanda. Portanto, um aumento 
 
 de 1% no preço p, representará um decréscimo de 
2
4,40
= 20,2 % na demanda. 
 
 c) A elasticidade da demanda é dada por e =
q
p
.
dp
dq
. 
 
 Como 
dp
dq
-8p e = -8p. 
q
p
=
q
p8 2
. Para p = 5 e q = 10, temos e = -20 
 
Um acréscimo(ou decréscimo) de 1 % no preço no preço unitário 5, representará um decréscimo(ou aumento) 
 
aproximado de 20% na demanda. 
 
 
 
 
 Seja q = f(p1,p2) a equação da demanda de um certo produto em função do seu preço p1 e do preço p2 de 
 
outro produto . 
 
 
q
p
.
p
q
e
1
1
 
q
p
.
p
q
ce
2
2
 
 
 
 A elasticidade e representa, aproximadamente, a variação percentual da demanda decorrente da variação 
 
de 1% no preço . 
 
 
Observação: 
 
 Quando a quantidade demandada de um produto é expressa em função do preço de outro produto, a 
 
 elasticidade é chamada de elasticidade cruzada. 
 
 
 
 
 
 
 
 15 
Exemplo: 
 
 Seja q1 =
10pp 2
2
1
a função que descreve a demanda de um certo produto em função do seu preço p1 e do 
 
 Preço p2 de outro bem. Determine a elasticidade da demanda em relação ao preço p2, para p1 = 2 e p2 = 3 e 
 
 interprete o resultado obtido. 
 
Solução: 
Estamos interessados, nesse caso, na elasticidade cruzada, portanto: 
1
2
2
1
c
q
p
.
p
q
e
. 
1
p
q
2
1
, q1= – 2
2
 – 3 + 10 = 3 e 
3
3
q
p
1
2
 
1
3
3
.1ec
 
 
Interpretação: Se o preço p2 aumentar 1%, a demanda do produto de quantidade q1 vai cair aproximadamente 
 
1%(produtos complementares). 
 
 
E12) Seja q1 = 200
21 p3,0p6,0
 a equação que descreve a demanda da manteiga em função do seu preço 
 
 p1 e do preço p2 da margarina. Suponha que os preços desses produtos são p1 = 300 e p2 = 200. 
 
 1) Determine a elasticidade da demanda da manteiga em relação ao próprio preço. 
 
 2) Determine a elasticidade da demanda da manteiga em relação ao preço da margarina. 
 
 
E13) Se qx = – px – 2py + 10 a função que descreve a demanda de um produto em função do seu preço px e do 
 
 preço py de outro produto, determine a elasticidade da demanda em relação ao preço py . 
 
 
 
2.4. DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM 
 
 
 Derivadas puras: 
xx2
2
f
x
f
x
f
x
 ; 
yy2
2
f
y
f
y
f
y
 
 
 
 Derivadas mistas ou cruzadas:
yx
2
f
yx
f
y
f
x
 ; 
xy
2
f
xy
f
x
f
y
 
 
 
Observação: 
 
 As derivadas parciais de segunda ordem mistas, são iguais para funções continuas com derivadas parciais 
 
continuas. 
 
 
 
 16 
Exemplo: 
 
 Encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função dada por f(x,y) = x
2
 + y
2
 – 2x3y + 5xy4– 1 
 
 
Solução: 
 
 
x
f
(x,y) = 2x – 6x2y + 5y4 
32
2
2
2
y20x6)y,x(
xy
f
y62)y,x(
x
f
 
 
 
 
y
f
(x,y) = 2y – 2x3 + 20xy3 
32
2
2
2
2
y20x6)y,x(
yx
f
xy602)y,x(
y
f
 
 
 
E14) Determinar as derivadas parciais de segunda ordem das funções dadas por: 
 
 1) z = x
2
y – xy2 + 2x – y 2) z = 
xy
 3) z = ln(xy) 4) z = 2xye 
 
 5) z = 
x
y2
 6) z = x
3
y
2
 7) z = xe
-y
 8) z = xln e
xy
 
 
E15) Seja a função dada por z = 
.
y
x
 
 1) Encontre as derivadas parciais de segunda ordem da z. 
 
 2) A função f é homogênea ? Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade. 
 
 
 
 
 
 
2.5. HESSIANO 
 Chama-se Hessiano da função z = f(x,y) a função H(x,y) = 
)y,x(f)y,x(f
)y,x(f)y,x(f
yyyx
xyxx
 
 
 
 Exemplo: 
 
 Calcule o Hessiano da função dada por f(x,y) = 2x
3
y
2
 + 4x
2
y
4– 3 no ponto (1, -1) 
 
 
 
 17 
Solução: 
 
 fx(x,y) = 6x
2
y
2
 + 8xy
4
 
32
xy
42
xx
xy32yx12)y,x(f
y8xy12)y,x(f
 
 
 fy (x,y) = 4x
3
y + 16x
2
y
3
 
32
yx
223
yy
xy32yx12)y,x(f
yx48x4)y,x(f
 
 
H(x,y) = 
22332
3242
yx48x4xy32yx12
xy32yx12y8xy21
 H(1,-1) = 
4444
4429
= 1276-1936=-660 
 
 
 
E16) Calcule o Hessiano da função dada por: 
 
 1)f (x,y) = x
3
 – y3 + 2xy – 1 no ponto (2, – 1) 2) f(x,y) = x2y3 + 2xy – 4x + 3y – 5 no ponto (– 1, – 1) 
 
 
 
 
2.6. REGRA DA CADEIA(RC) 
 
a) Se y = f(u) e u=g(x), isto é, u é função de x, então 
dx
du
.
du
dy
dx
dy
 
 
 
b) Se z = f(x,y) , onde x = g(t) e y = h(t) então 
dt
dy
.
y
f
dt
dx
.
x
f
dt
dz
 
 
 Considere o seguinte problema: 
 
 Se z = x
2
y + 2xy
2
 , onde x = 2t e y = t
2
, encontre 
dt
dz
 para t = 1. 
 
 Como x e y dependem de t, podemos escrever z como função de uma única variável t . 
 
 z = 4t
4
 + 4t
5
 e daí, 
dt
dz
= 16t
3
 + 20t
4
. 
 
 Logo, 
dt
dz
(1) = 36 
 
E17) Use a Regra da Cadeia para calcular 
dt
dz
(1) do problema acima. 
 
E18) Determine 
dt
dz
, sendo: 
 
 1) z = x
2
 + xy – y2 , x = 1 – t , y = et 2) z = x2y + xy – 3 , x = – t , y = ln t 
 
 18 
2.7. FUNÇÃO IMPLÍCITA 
 
 Uma função dada na forma y = f(x) é chamada função explícita porque y está explicitado, isto é, isolado. 
 
Por exemplo, asequações y = x
2
 –3 e y = –2x – 1 definem explícitamente duas funções. 
 
 x
y
 
x
y
 
 
 
 Nem sempre uma função é definida explícitamente. Por exemplo, as equações y
2
 – x = 3, x2 + y2 = 4 e 
 
x
2
 +2y
3
 = 3xy. 
 x
y
 
x
y
x
y
 
 
 
O gráfico da equação y
2
 – x = 3 pode ser pensado como os gráficos de, pelo menos, duas funções y = f(x). 
 
Nesse caso, dizemos que estas funções são definidas implícitamente pela equação. 
 
 
O gráfico da equação x
2
 + y
2
 = 4 pode ser pensado como os gráficos de, pelo menos, duas funções y = f(x). 
 
Funções definidas implícitamente pela equação. 
 
O gráfico da equação x
2
 +2y
3
 = 3xy pode ser pensado como os gráficos de, pelo menos, três funções y = f(x). 
 
Funções definidas implícitamente pela equação. 
 
Em determinadas condições, uma equação F(x,y) = 0 pode definir uma ou mais funções y = f(x). Nesse caso, 
 
 
 19 
essas funções são denominadas funções implícitas definidas pela equação F(x,y) = 0. Do último exemplo, 
 
podemos observar que nem sempre é possível explicitar y na equação, isto é, escrever a função na forma 
 
explícita. 
 
 
E19) Encontre uma função y = f(x) definida implicitamente por cada uma das equações abaixo. 
 
 1) 2x – xy +1 = 0 2) x2 + y2 – 4 = 0 3) ey – x = 0 
 
 
 
2.8. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 
 
 Vamos supor que numa aplicação, estamos interessados em analisar o comportamento de uma função 
y = f(x), definida implicitamente por uma equação F(x,y) = 0, isto é, precisamos da derivada 
dx
dy
 para estudar 
a função implícita f. Vamos admitir também, que seja impossível explicitar y na equação. Para resolver um 
 
problema desse tipo observe o exemplo abaixo. 
 
 
Exemplo: 
 
 Encontre 
dx
dy
 de uma função y = f(x) definida implicitamente pela equação x
2
 +2y
3
 = 3xy. 
 
Solução: 
Podemos encontrar a derivada 
dx
dy
= y’ de duas maneiras: 
1ª ) Derivação Implícita 
 
Derivando ambos os membros: Dx( x
2
 + 2y
3
 ) = Dx3xy 
 
Como Dx3xy é a derivada de um produto e Dx(y)
p
 = Dx[f(x)]
p
 = p.y
p-1.y’, temos: 2x + 6y2.y’ = 3x.y’ + 3y 
 
Isolando y’:. 6y2.y’ – 3x.y’ = 3y – 2x ou y’(6y2 – 3x) = 3y – 2x 
 
Logo: y’ = 
dx
dy
=
x3y6
x2y3
2
 (1) 
 
Esta fórmula é válida para todas as funções deriváveis que a equação x
2
 +2y
3
 = 3xy define implicitamente. Se 
 
queremos, por exemplo, a derivada no ponto 1, devemos encontrar primeiro o correspondente valor de y na 
 
equação x
2
 +2y
3
 = 3xy. 
 
x = 1 1 + 2y
3
 = 3y 2y
3
 – 3y + 1 = 0 y = 1 
 
Logo, 
dx
dy
(1) =
3
1
3.1-6.1
2.1 -3.1 
 
 
 
 20 
 
2ª ) regra da Cadeia 
 
 Se z = f(x,y) , onde x = g(t) e y = h(t) então 
dt
dy
.
y
f
dt
dx
.
x
f
dt
dz
 
 
 No caso, z = F(x,y) = 0 e y =h(x), segue que:
dx
dy
.
y
F
dx
dx
.
x
F
dx
dz
 
 
 Como, neste caso,
0
dx
dz
, pois z = 0 e 
1
dx
dx
, resulta: 0 =
dx
dy
.
y
F
1.
x
F
 
 
x
F
= – 
dx
dy
.
y
F
 
 
 
dx
dy
= –
y
F
x
F
 
 
Que é uma fórmula válida para todas as funções deriváveis que a equação F(x,y) = 0 define implicitamente. 
 
Comparando com a situação anterior em que F(x,y) = x
2
 +2y
3
 – 3xy, 
x
F
 2x – 3y e 
y
F
 6y
2
 – 3x 
 
dx
dy
= –
y
F
x
F
= –
x3y6
y3x2
2
= 
x3y6
x2y3
2
 (2) 
Compare a (2) com a (1). 
 
 
E20) Encontre as derivadas 
dx
dy
 das funções y = f(x) definidas implicitamente pelas equações: 
 
 1) 2xy – ln xy + 5 = 0 2) 4x3y – 3xy2 – 6 = 0 3) 9x + 3y – 7xy2 – 8 = 0 
 
 
E21) Determine 
dx
dy
 para a função ( 2x – 1 )4 + 10 = y2 + 20, dada em forma implícita. 
 
E22) Seja y = f(x) uma função dada implicitamente pela equação e
xy
 + 3x = 3y
3
+ 4 . Encontre 
).0,1(
dx
dy
 
 
E23) Seja y = f(x) uma função dada implicitamente pela equação ln (xy) = 2x – 2y2 . Encontre 
).1,1(
dx
dy
 
 
 
 
 
 
 21 
2.9. TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO 
 
 Se z = F(x,y) é uma função e z = k(constante) , a equação F(x,y) = k representa todas as combinações 
 
de x e y que fornecem o mesmo valor k para a função F. Seja y = f(x) uma função definida implícitamente pela 
 
equação F(x,y) = 0. 
 
 TMS = 
y
F
x
F
dx
dy 
 
 
 A TMS representa, aproximadamente, a quantidade de y que pode ser substituída por uma unidade de x, 
 
 para que se tenha o mesmo valor k para a função. 
 
 
Exemplo: 
 
Encontre a TMS no ponto (4,3), onde U = 6xy + 9x +3y +3 é a função que dá a utilidade de um consumidor 
 
de dois produtos de quantidades x e y. Interprete o resultado obtido. 
 
 
Solução 
 
x
U
= 6y + 9 e 
y
U
= 6x + 3 TMS =
3x6
9y6
y
U
x
U
dx
dy , logo TMS(4,3) = 
27
27
= –1 
 
Interpretação: A utilidade do consumidor no ponto (4,3), será aproximadamente a mesma se for substituída 
 
 uma unidade de y por uma unidade de x. 
 
 
E24) Seja U = x
2
y a função utilidade de um consumidor que deseja adquirir dois produtos de quantidades x e y. 
 
 1) Calcule o valor da utilidade no ponto (4,5). 
 
 2) Encontre a TMS de x por y no ponto (4,5). 
 
 3) Qual a quantidade de y que pode ser substituída por uma unidade de x, em (4,5), usando y = f(x) ? 
 
 
 
E25) Seja z =10x
2
y a função Produção de uma empresa que utiliza dois insumos em quantidades x e y. 
 
 
 Calcule a Taxa Marginal de Substituição no ponto (2,3). 
 
 
 
 
 22 
2.10. SITES RELACIONADOS 
 
http://didisurf.googlepages.com/calculo2 
 
http://didisurf.googlepages.com/calculo2 
 
http://www.ucs.br/ccet/denq/prof/ana/deripar.htm 
 
http://www.las.pucpr.br/anderson/arquivos/DERIVADAS%20PARCIAIS.pdf 
 
http://www.pucrs.br/famat/demat/facin/calcb/material_200502/Topico_09_Derivadas_parciais.pdf 
 
http://www.dmat.ufba.br/mat042/aula26/aula26.htm 
 
http://www.sorocaba.unesp.br/professor/luiza/CDI-III/func3.pdf 
 
http://www.esce.ips.pt/disciplinas/licenciatura/pe/materiais/Adm/Aulas%20Te%C3%B3ricas_elastic_T.Cons.pdf 
 
http://www.uma.pt/ppereira/micro1200320042.ppt 
 
http://books.google.com.br/books?id=lBQCU3svvFEC&pg=PA176&lpg=PA176&dq=taxa+marginal+de+substit
ui%C3%A7%C3%A3o&source=web&ots=OLa7rlQt_h&sig=QRZ-AlCYvRgkBGCbMA_zHLFh6hw&hl=pt-
BR#PPA255,M1 
 
http://ube-164.pop.com.br/repositorio/1824/meusite/03%20-%20Teoria%20do%20Consumidor.ppt 
 
 
 
2.11. RESPOSTAS 
 
E1) 1) 8xy – 15x2y2 + 2 ; 4x2 – 10x3y – 1 2)
y
 ; 
y2
x
 3) 
x
1
 ; 
y
2
 
 
 4)
1yx
x
22
 ; 
1yx
y
22
 5)
2
2
)y2x3(
y4
 ; 
2
2
)y2x3(
x6
 
 
 6) 
22
2
)y4x(
y8xy6x2
; 
22
2
)y4x(
x8x3
 7)e
xy
(2xy – y2 + 2) ; exy(2x2– xy – 1) 
 
 8) 4xyln 2y ; 2x
2
(ln 2y + 1) 9)Nota: ln e
xy
 = xy , 
y
x
1
2
 ; 
x
y2
1
2
 (ln e
xy
 = xy) 
 
E2) L = – x2 – 2y2 + 4x + 28y – 8 , Lx = – 2x + 4 , Ly = – 4y + 28 
 
E3) 
25,0
25,0
x
x
y75,0
z
 , 
75,0
75,0
y
y
x25,0
z
 
 
E4) Complementares 
 
 
E5) 1) Px(x,y) = 1200 + 2xy – 3x
2
 , Py(x,y) = 500 + x
2
 – 2y 2) 2100 3)2069 
 
 23 
E6) 1) 23,64 e 26,84 2) mão-de-obra 
 
E7) 1) 4 2) 4 3) – 3 
 
E8) 1) 
)}0,0{(2
 2)
125
3
 3)
125
996
 4) 
125
996
 
 
E9) 1) 
}0yx/)y,x{( 2
 2) 
yx2
1
f y
 3) Sim , grau 0,5 
E10) 1) 
}0yx/)y,x{( 2
 2) Sim, grau 1 3) 
2
22
)xy(
xy2y2x
 
 
E11) 1) 200 2) 400 
 
 
E12) 1) – 2,25 2) 0,75 
 
E13) 
10p2p
p2
e
yx
y
c
 
E14) 1) 2y ; -2x ; 2x – 2y 2) 0 ; 0 ; 1 3)
2x
1
 ; 
2y
1
 ; 0 
 4)
2xy4ey
; 
)1xy2(xe2 2xy
2
 ; 
)yxy(e2 3xy
2
 5)
3x
y4
; 0 ; 
2x
2
 6) 6xy
2
 ; 2x
3
 ; 6x
2
y 
 
 7) 0 ; xe
-y
 ; -e
-y
 8) 2y ; 0 ; 2x 
 
E15) 1) zxx = 0 , zyy =
3y
x2
 , zxy = zyx =
2y
1
 2) Sim , grau 0 
 
E16) 1) 68 2) – 4 
 
E18) 1) –2e2t – tet + 2t – 2 2) 2tln t – ln t + t – 1 
 
E19) 1) y = 2 + 
x
1
 2) y = 
2x4
 ou y = 
2x4
 3) y = ln x 
E20) 1)
x
y
 2)
xy6x4
y3yx12
3
22
 3)
xy143
y79 2
 
E21) 
y
)1x2(4 3
 
 
E22) –3 
 
E23) 
5
1
 
 
E24) 1) 80 2) – 2,5 3) 1,8 
 
E25) -3 
 
 
 24 
3. DIFERENCIAIS 
 
 
 
Se f é uma função dada por y = f(x), chamamos de diferencial de f a função dada por dy = f’(x)
xΔ
 onde x 
 
está no domínio de f’e
xΔ
 é um acréscimo arbitrário de x. 
 
 
 
Exemplo: 
 
 Se y = x
4
 – 8x2, então f(x) = x4 – 8x2 e f’(x) = 4x3 – 16x . Logo, da definição, dy = (4x3 – 16x)
xΔ
. 
 
 Em particular, se x = –1, dy = 12
xΔ
. 
 
 
 
 Queremos definir agora, a diferencial da variável independente x, isto é a diferencial de y = x. Nesse caso, 
 
dy = 1. 
xΔ
, como y = x, concluímos que dx = 
xΔ
. 
 
 
 
Se f é uma função dada por y = f(x), a diferencial de x é definida por dx = 
xΔ
 onde x está no domínio de f’e 
 
xΔ
 é um acréscimo arbitrário de x. 
 
Assim, a diferencial de dy é uma função é obtida pela multiplicação da derivada f’(x) pela diferencial de x. 
 
dy = f’(x)dx 
 
 
 
Exemplo: 
 
 Se y = 3x
2
 – 2 então dy = 6xdx. 
 
 Em particular, se x = 3 e dx =–0,1; dy = –1,8. 
 
 
 
E1)Use diferencial para encontrar um valor aproximado para a variação da área de um quadrado quando seu 
 
 lado passa de 2 cm para 1,8 cm. 
 
 
E2) O raio de uma circunferência aumenta de 10 m para 10,1 m. Utilize diferencial para estimar o aumento 
 
 da área da circunferência. Compare essa estimativa com a variação 
A
. 
 
 
 
 
 
 
 25 
3.1. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTICA DA DIFERENCIAL 
 
 y f 
 
 f(x1 + xΔ ) Q 
 
 
 
 
 t 
 
yΔ
 
 T 
 
 dy 
 P 
α
 
 f(x1) R 
 dx=
xΔ
 
 0 x1 x1 + xΔ x 
 
 
A medida do segmento orientado PR é dx =
xΔ
. 
 
A medida do segmento orientado RQ é 
yΔ
. 
A declividade da reta t, tangente ao gráfico de f em P é at = tg
α
=
dx
)RT(med
)PR(med
)RT(med
 
Como at = f’(x1), f’(x1) =
dx
)RT(med
 ou 
)RT(med
 = f’(x1)dx dy =
)RT(med
. 
 
Então, podemos dizer que dy é o acréscimo
yΔ
 caso seguíssemos a reta tangente t ao invés do gráfico de f. 
 
Da figura acima, observa-se que a diferencial dy num ponto depende de 
xΔ
 e, quanto menor for 
xΔ
 mais 
 
próximo dy estará de 
yΔ
. 
 
 
Conclusão: 
 
 A diferencial de uma função pode ser usada para calcular aproximadamente variações da função, para 
 
 pequenos valores de 
xΔ
. 
 
 
Exemplo: 
 
 Use diferenciais para aproximar o valor de 
3 62
. 
 
Solução: 
 
dy = f’(x) dx e para 
xΔ
 pequeno, 
yΔ
dy f(x+
xΔ
) – f(x) f’(x).dx f(x+
xΔ
) f’(x).dx + f(x) (1) 
 
 
 26 
Como queremos calcular a raiz cúbica de 62, a função f é f(x) = 
3 x
e a derivada de f é f’(x) =
3 2x3
1
. 
O valor mais próximo da 
3 62
 que conhecemos é 
4643
, logo, devemos considerar x = 64 e dx = -2. 
 
Substituindo em (1) estes dados, temos: f(64+(-2)) 
3 2643
1
(-2) + 
3 64
 f(62) 
16.3
2
 + 4. 
Mas f(62) = 
3 62
, logo 
3 62
24
1
+ 4 = 
953,3
24
95
 
 
 
Observação: 
 
 Uma calculadora fornecerá o valor será aproximado 3,952. 
 
 
 
E3) Seja P = 0,1q
3
 – 2q uma função produção e q a quantidade de insumo. Use diferencial para calcular o 
 
 acréscimo aproximado da produção quando q passa de 10 para 10,2. 
 
 
E4) Seja R = 100q – 2q2 uma função receita e q a quantidade vendida. Use diferencial para calcular a 
 
 variação aproximada da receita quando q passa de 30 para 31. 
 
 
 
3.2. DERIVADA COMO UM QUOCIENTE 
 
Da definição de diferencial dy = f’(x)dx, se dx 0, podemos escrever 
dx
dy
= f’(x) ou 
dx
)x(df
= f’(x). Logo,a 
 
derivada de y, em relação a x é igual à razão da diferencial de y, ou f(x), e a diferencial de x. 
 
 
Observações: 
 
a)
dx
dy
 é a notação de Leibniz para derivada. 
 
b)
dx
d
 pode ser interpretado como um operador da mesma forma que Dx e, portanto, também é correto 
 escrever 
dx
d
(y). 
 
 
Exemplo: 
 
 Se y = 2x
3
 – 5x2 + 6x – 1 então 
dx
dy
=
dx
d
(= 2x
3
 – 5x2 + 6x – 1) = 6x2 – 10x + 6 
 
 
 27 
 
E5) O raio de uma esfera metálica cresceu de 8,0 cm para 8,1 cm com aquecimento. Use diferencial para 
 
 calcular o acréscimoaproximado do volume. 
 
 
E6) Encontre um valor aproximado para a variação da área de um Triângulo eqüilátero quando seu lado 
 
 passa de 4 cm para 4,001 cm. 
 
 
E7) Um cubo de 10 cm de aresta cobriu-se uniformemente com uma camada de gelo de 0,1 cm de 
 
 espessura. Use diferencial para estimar o volume aproximado do gelo. 
 
 
E8) O raio de uma esfera de aço mede 1,5 cm e sabe-se que o erro cometido na sua medição não excede 
 
 0,1 cm. O volume da esfera é calculado a partir da medida de seu raio. Estime o erro possível no cálculo 
 
 do volume. 
 
 
E9) Use diferencial para aproximar: 
 
 a)
3 10
 b)
4 80
 c)
35
 d) 
5 2,32
 
 
 
3.3. DIFERENCIAL TOTAL 
 
Analogamente ao que foi visto para função de uma variável, se z = f(x, y) é uma função de duas variáveis , 
 
definiremos os diferenciais dx e dy como variáveis independentes; ou seja podem ter qualquer valor. Então 
 
o diferencial dz, também chamado de diferencial total, é definido por dz = fx (x,y) dx + fy (x,y) dy . 
 
Assim dz é a variação de z, ao longo do plano tangente à superfície de equação z = f( x,y) em ( x0,y0,z0), 
 
produzida pelas variações dx e dy em x e y respectivamente. Enquanto que 
z
 representa a variação de z ao 
 
longo da superfície, produzida pelas variações de 
x
 e 
y
 em x e y, isto é, 
)y,x(f)yy,xx(fz
. 
 
 
E10) Seja z = 4.x
3.
y
2. 
Determine dz. 
 
E11) Determine a diferencial de 
22 yx)y,x(f
 no ponto (4, 3). 
 
E12) Utilize diferencial para estimar a quantidade de metal em uma lata cilíndrica fechada de 10cm de altura e 
 
 4cm de diâmetro se o metal das tampas de cima e de baixo têm 0,1 cm de espessura e o das laterais tem 
 
 espessura de 0,05cm. 
 
 
 
 28 
E13) Calcule 
z
e dz para as seguintes funções, se: 
 
 a) f(x,y) = 
2x2
- 3xy varia de (1,2) a (1,01;2,02) b) f(x,y) = 
22 yx
 varia de (2,1) a (2,1;1,01) 
 
E14) Calcule um valor aproximado para a variação da área de um triângulo retângulo quando seus catetos 
 
 passam de 4 cm para 4,1 cm e 3 cm para 2,8 cm. 
 
E15) Considere uma caixa, com tampa, com a forma de um paralelepípedo retângulo de dimensões a = 2 cm , 
 
 b = 3 cm c = 4 cm. Se as arestas sofrerem acréscimos de 1 % , 10 % e 2 %, respectivamente, determine: 
 
 a) o acréscimo aproximado do volume b) o acréscimo exato do volume 
 
E16) Use diferencial para calcular o aumento aproximado do volume de um cilindro circular reto, quando seu 
 
 raio varia de 2 cm para 2,1 cm e a altura varia de 6 cm para 6,2 cm. 
 
E17) Considere um retângulo de lados a = 3 cm e b = 4 cm. Determine a variação aproximada da diagonal se 
 
 o lado a aumentar 0,01 cm e o lado b diminuir 0,2 cm. 
 
E18) Mediram-se o raio e altura de um cilindro circular reto, obtendo-se 3 cm e 8 cm, respectivamente, com um 
 
 erro de medida possível de 
1,0
cm. Use diferencial para obter uma aproximação do erro máximo no 
 
 volume calculado do cilindro. 
 
E19) Considere um recipiente, com tampa, de forma cilíndrica, com dimensões: raio = 2 cm e altura = 5 cm. Se 
 
 o custo custo do material usado em sua confecção é de R$ 0,81 por cm
2
 e suas sofrerem um acréscimo de 
 
 10 % no raio e 2 % na altura, determine: 
 
 a) o valor aproximado do acréscimo no custo do recipiente 
 
 b) o valor exato do acréscimo no custo do recipiente 
 
E20) Use diferencial para encontrar um valor aproximado para a expressão (1,001)
3,02
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 29 
3.4. RESPOSTAS 
 
 
E1) dA = - 0,8 cm
2
 
 
E2) dA = 2 m
2
 , 
A
= 2,01 m
2
 e = 0,01 m
2 
E3) 5,6 
E4) -20 
 
E5) dV = 25,6 cm
3
 
 
E6) dA = 0,002
3
 cm
2
 
 
E7) . dV = 60cm
3
 
 
E8) dV = 0,9 cm
3
 
 
E9) a) 2,17 b) 2,99 c) 5,92 e) 2,00 
 
E10) dz = 12x
2
y
2
dx + 8x
3
ydy 
 
E11) df(4,3) = 
dy
10
3
dx
5
2
 
 
E12) dV = 2,8 cm
3 
E13) a) 
z
= - 0,0804 , dz = - 0,08 b)
z
= 0,3899 , dz = 0,38 
 
E14) dA = - 0,25 cm
2
 
 
E15) dV = 3,12 cm
3
 , 
V
= 3,19728 cm
3
 
E16) dV = 3,2 cm
3
 
E17) dD = -0,154 cm 
E18) dV =
85,2
cm
3
 
E19) a) dC = R$ 10,17 b) 
C
= R$ 10,47 
E20) 1,003 
 
 
 30 
 
4. ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE UMA FUNÇÃO 
 
 
 
 Considere o gráfico abaixo, de uma função polinomial f. 
 
 y 
 f 
 20 
 
 10 
 
 
 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 x 
 
 -10 
 
 -20 
 
 
 a) A função f é crescente em ( , 0]

[15,25]

[40, ). 
 
 b) A função f é decrescente em [0,15]

[25,40]. 
 
 
Observações: 
 
 a) Os intervalos onde f é crescente ou decrescente são partes do domínio da f. 
 
 b) Os pontos onde f muda o crescimento apresentam retas tangentes ao gráfico de f horizontais. 
 
 c) Retas horizontais tem declividade “zero”, portanto f’(0) = f’(15) = f’(25) = f’(40) = 0. 
 
 d) A função f não possui máximo, pois não existe o ponto mais alto do gráfico. 
 
 e) A função f não possui mínimo, pois não existe o ponto baixo do gráfico. 
 
 f) A função f possui máximos, por exemplo, nos intervalos (-5,5) e (20,30). Este tipo de máximo é 
 
 denominado máximo local ou relativo. 
 
 g) A função f possui mínimos, por exemplo, nos intervalos (10,20) e (35,45). Este tipo de mínimo é 
 
 denominado mínimo local ou relativo. 
 
 h) Os máximos relativos de f são 20 e 10, que acontecem, respectivamente, nos pontos 0 e 25. 
 
 i) Os mínimos relativos de f são -10 e -20, que acontecem, respectivamente, nos pontos 15 e 40. 
 
 j) Os máximos e mínimos relativos de f são denominados extremos relativos de f. 
 
 
 
 
 
 
 
 31 
 
4.1. PONTO CRÍTICO 
 
 
 Um ponto c do domínio de uma função f é chamado de ponto crítico de f se f ’(c) = 0, ou f ’(c) não existe. 
 
 
 
Geometricamente:y y y y 
 
 t t t t 
 
 0 c x 0 c x 0 c x 0 c x 
 
 y y y t y t 
 
 t 
 
 0 c x 0 c x 0 c x 0 c x 
 
 
 
E1) Encontre os pontos críticos de f, sendo: 
 
 1)f(x)=x
3
 – 3x + 2 2) f(x)=x4– 2x2 + 3 3) f(x)=
5 3x
 4) f(x)= 
3 2 4x
 
 
 
 
4.2. FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE 
 
 
 Uma função f é dita crescente num intervalo I, se a medida que x cresce, o valor de f(x) também cresce. 
 
 Uma função f é dita decrescente num intervalo I, se a medida que x cresce, o valor de f(x) decresce. 
 
 
 
 
4.3. DETERMINAÇÃO DOS INTERVALOS DE CRESCIMENTO E 
DECRESCIMENTO 
 
 Seja f uma função continua em [a,b] e derivável em (a,b). 
 
 a) Se f ’(x)>0 para todo x (a,b) então f é crescente em [a,b] 
 
 b) Se f ’(x)< 0 para todo x (a,b) então f é decrescente em [a,b] 
 
Exemplo: 
 
 Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função dada por f(x) = x
3
 – 6x2 + 1. 
 
 
 
 32 
Solução: 
 
1
o
) Determinação dos pontos críticos: 
 
 f’(x) = 3x2 – 12x 3x2 – 12x = 0 3x.(x – 4) = 0 3x = 0 ou x – 4 = 0 C={0,4} 
 
2
o
) Determinação do sinal da derivada nos intervalos ( ,0) , (0,4) e (4,+ ): 
 
 Para qualquer x ( ,0) , f’(x) > 0, logo f é crescente em ( ,0). 
 
 Para qualquer x (0,4) , f’(x) < 0, logo f é decrescente em (0,4). 
 
 Para qualquer x (4, + ) , f’(x) > 0, logo f é crescente em (4, + ). 
 
 
Importante: 
 
 Para determinar o sinal da derivada num intervalo, basta escolher um ponto qualquer do intervalo e 
 
 calcular a derivada nesse ponto. 
 
 
E2)Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das funções dadas por: 
 
 1) f(x)=x
3
 –5 2) f(x)=x4– 8x2 – 5 3) f(x)= 2x – 1 4) f(x)= x4– 4x3 
 
 
 
4.4. DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS RELATIVOS DE UMA FUNÇÃO 
 
 
4.4.1. TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA(TDP) 
 
 
Seja f uma função continua e derivável em (a,b), exceto possivelmente em c (a,b) 
 
 a) Se f ’ passa de positiva para negativa em c então f(c) é máximo relativo de f 
 
 b) Se f ’ passa de negativa para positiva em c então f(c) é mínimo relativo de f 
 
 c) Se f ’ não muda de sinal em c então f(c) não é extremo relativo de f 
 
 
Geometricamente: 
 
 y y y y 
 
 t t t t 
 
 0 c1 x 0 c2 x 0 c3 x 0 c4 x 
 
c1 é ponto de máximo relativo e f(c1) é máximo relativo de f 
 
c2 é ponto de mínimo relativo e f(c2) é mínimo relativo de f 
 
c3 e c4 não são pontos extremantes 
 
 33 
 
Exemplo: 
 
 Determine os máximos e os mínimos relativos da função dada por f(x) = x
4
 – 8x2 . 
 
Solução: 
 
1
o
) Determinação dos pontos críticos: 
 
 f’(x) = 4x3 – 16x 4x3 – 16x = 0 4x.(x2 – 4) = 0 4x = 0 ou x2 – 4 = 0 C={-2,0,2} 
 
2
o
) Determinação do sinal da derivada nos intervalos ( ,-2) , (-2,0) , (0,2) e (2,+ ): 
 
 Para qualquer x ( ,-2) , f’(x) < 0, logo f é decrescente em ( ,-2). 
 
 Para qualquer x (-2,0) , f’(x) > 0, logo f é crescente em (-2,0). 
 
 Para qualquer x (0,2) , f’(x) < 0, logo f é decrescente em (0,2). 
 
 Para qualquer x (2, + ) , f’(x) > 0, logo f é crescente em (2, + ). 
 
 TDP 
 
 f(-2) = -16 é mínimo relativo de f, f(0) =0 é máximo relativo de f e f(2) = -16 é mínimo relativo de f. 
 
 
E3) Encontre os máximos e mínimos relativos das funções dadas por: 
 
 1) f(x)= x
4
 – 8x2 + 1 2) f(x)= x3 + 3x2 – 5 3) f(x) = 3x4 + 4x3 – 12x2 + 16 4) f(x) = x3 – 12x 
 
 
 
4.4.2. TESTE DA DERIVADA SEGUNDA(TDS) 
 
 
 Seja f uma função derivável em (a,b) e c (a,b), tal que f ’(c)= 0. 
 
 a) Se f ’’(c) > 0 então f(c) é mínimo relativo de f. 
 
 b) Se f ’’(c) < 0 então f(c) é máximo relativo de f. 
 
 c) Se f ’’(c) = 0, nada podemos concluir. 
 
 
Exemplo: 
 
 Determine os máximos e os mínimos relativos da função dada por f(x) = x
4
 – 8x2 . 
 
Solução: 
 
1
o
) Determinação dos pontos críticos: 
 
 f’(x) = 4x3 – 16x 4x3 – 16x = 0 4x.(x2 – 4) = 0 4x = 0 ou x2 – 4 = 0 C={-2,0,2} 
 
 
 
 
 34 
2
o
) Determinação da derivada segunda: 
 
 f’’(x) = 12x2 – 16 
 
 TDS 
 
 f’’(-2) = 32 > 0 então f(-2) = -16 é mínimo relativo de f 
 
 f’’(0) = -16 < 0 então f(0) =0 é máximo relativo de f 
 
 f’’(2) = 32 > 0 então f(2) = -16 é mínimo relativo de f 
 
 
 
E4) Encontre os máximos e mínimos relativos das funções dadas por: 
 
 1) f(x)= x
3–12x+4 2) f(x)=x3– 3x2+5 3) f(x)= x4 – 8x2 + 6 4) f(x)= 3x5– 5x3 
 
 
 
4.5. CONCAVIDADE E INFLEXÃO 
 
 4.5.1. TESTE DA CONCAVIDADE 
 
 Se f ’’(x) existe em um intervalo (a,b) então o gráfico de f é 
 
 a) côncavo para baixo (CPB) se f ’’(x) < 0, x (a, b). 
 
 b) côncavo para cima (CPC) se f ’’(x) > 0, x (a, b). 
 
 
 
 4.5.2. PONTO DE INFLEXÃO 
 
 Um ponto c pertencente ao domínio da f é um ponto de inflexão de f se o gráfico de f muda a 
 
 concavidade em c. Neste caso, (c,f(c)) é um ponto de inflexão do gráfico de f. 
 
 
Exemplo: 
 
 Determine os intervalos de CPC, os intervalos de CPB e os pontos de inflexão da função dada por 
 
 f(x) = x
3
 – 6x2 + 1. 
 
Solução: 
 
1
o) Determinação dos pontos críticos da f’: 
 
 f’(x) = 3x2 – 12x f’’(x) = 6x – 12 6x – 12 = 0 x = 2 C’={2} 
 
2
o
) Determinação do sinal da derivada segunda nos intervalos ( ,2) e (2,+ ): 
 
 Para qualquer x ( ,2) , f’’(x) < 0, logo o gráfico de f é CPB em ( ,2). 
 
 Para qualquer x (2, + ) , f’(x) > 0, logo o gráfico de f é CPC em (2, + ). 
 
 35 
Importante: 
 
 Para determinar o sinal da derivada segunda num intervalo, basta escolher um ponto qualquer do intervalo 
 
e calcular a derivada segundanesse ponto. 
 
 
E5) Encontre os intervalos de CPC e CPB das funções dadas por: 
 
 1) f(x)= x
3
–3x 2) f(x) = 2x
4
– 12x
2
 3) f(x)= 3x
4
 – 12x3 + 26 4) f(x)=x3+ 3x2 – 9x–5 
 
 
E6) Faça um estudo completo do comportamento das funções abaixo. 
 1)f(x)= 3x
4
 – 8x
3
+ 6x
2
 2) f(x)=2x
3 
– 3x
2
 – 12x + 10 3) f(x) = 
10x3x2
3
x 2
3
 
 
 4) f(x) = x2 – 4x + 6 5) f(x) = x3 – 6x2+ 12x – 4 
 
 
E7) Deseja-se cercar um terreno retangular de área 60 m
2
, de modo que o custo para cercar as laterais seja 
 
 R$ 300,00 por metro linear e o custo para cercar a frente e o fundo seja de R$ 500,00 por metro linear. 
 
 Determine as dimensões do terreno de modo que o custo para cercá-lo seja o menor possível. Neste 
 
 caso, qual o custo mínimo? 
 
 
E8) Por várias semanas, o serviço de transito vem pesquisando a velocidade do tráfego numa auto-estrada. 
 
 Verificou-se que, num dia normal de semana, à tarde, entre 1 e 6 horas a velocidade do tráfego é de, 
 
 aproximadamente v(t) = 2t
3
–21t
2
 + 60t + 40 km/h, onde t é o número de horas transcorridas após o 
 
 meio-dia. A que horas, dentro do intervalo de tempo mencionado, o tráfego se move mais rapidamente 
 
 e a que horas se move mais lentamente ? 
 
 
E9) De uma folha laminada quadrada de 2 dm de lado, foram cortados quadrados iguais nos quatro cantos e 
 
 com o restante da folha foi construída uma caixa sem tampa. Determine as dimensões do quadrado 
 
 retirado para que o volume da caixa seja máximo. 
 
 
E10) Seja P = – x3 + 300x a função que dá a quantidade produzida de certo produto agrícola em função 
 
 da quantidade de fertilizante. 
 
 1) Determine a quantidade de fertilizante necessária para que se tenha a produção máxima. 
 
 2) Determine os intervalos de CPC e CPB do gráfico da função Produção. 
 
 3) Faça um esboço do gráfico de P, observando os resultados obtidos nos ítens anteriores 
 
 36 
 E11) Seja R(q) = – q3 + 15q2 , a função Receita. 
 
 1) Para que valores de q a função Receita tem sentido ? 
 
 2) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da função Receita. 
 
 3) Determine, se houver, os intervalos de CPC e CPB. 
 
 4) Qual é a receita máxima e a receita mínima ? 
 
 5)Faça o gráfico da função, assinalando os resultados obtidos no itens anteriores. 
 
 6) Determine a Receita Marginal para q = 5 e interprete o resultado obtido. 
 
 
E12) Se L(x)= –x2 + 6x – 5 é a função lucro na venda de x unidades de um certo produto, determine o lucro 
 
 máximo. 
 
 
E13) Seja C(x) = x
3
 – 6x2 +100x a função custo total para produzir x unidades de um certo produto. 
 
 Determine: 
 
 1) o Custo Marginal 2) o Custo Médio 3) o Custo Médio Marginal 4) o Custo Médio Mínimo 
 
 
4.6. TAXA DE VARIAÇÃO DE UMA TAXA DE VARIAÇÃO 
 
 Podemos ouvir de um economista que, embora a taxa de inflação esteja crescendo, a taxa segundo a 
 
 qual ela cresce está decrescendo. Isto significa que os preços ainda continuam a subir, mas não tão 
 
 rapidamente quanto antes. Observe os gráficos abaixo: 
 y y 
 f 
 
 
 
 f 
 0 a c b x 0 a c b x 
 
 
 No primeiro gráfico observa-se que: 
 
 a) em (a,c), f é crescente (y ’ > 0) e y ’’ > 0 (f ’ é crescente), portanto f cresce a taxas crescentes. 
 
 b) em (c,b), f é crescente (y ’ > 0) e y ’’ < 0(f ’ é decrescente), portanto f cresce a taxas decrescentes. 
 
 No segundo gráfico observa-se que: 
 
 a) em (a,c), f é decrescente (y ’ < 0) e y ’’ < 0 (f ’ é decrescente), portanto f decresce a taxas decrescentes. 
 
 b) em (c,b), f é decrescente (y ’ < 0) e y ’’ > 0 (f ’ é crescente), portanto f decresce a taxas crescentes. 
 
 
 
 37 
E14) Aumentando seu gasto x com propaganda(em milhares de reais), uma empresa constata que pode 
 
 aumentar as vendas y (em milhares de reais) de um produto de acordo com o modelo 
 
 
.200x0),xx300(
000.10
1
y 32
 
 
 Ache o ponto de diminuição de resultados para este produto(ponto de retorno decrescente). 
 
E15) Um índice de preços ao consumidor(IPC) é descrito pela função 
 
 I = – 0,2t3 + 3t2 + 100, 
9t0
 
 
 onde t = 0 corresponde ao ano de 1991. Encontre o ponto de inflexão da função I e discuta o 
 
 seu significado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.7. WINPLOT 
 
O winplot é um programa para plotagem de gráficos de funções de uma e duas variáveis, extremamente 
 
simples de ser utilizado pois dispensa o conhecimento de qualquer linguagem de programação e é distribuído 
 
gratuitamente, podendo ser baixada da internet pelo site baixaki.ig.com.br/download/WinPlot.htm ou da 
 
página do professor com manual. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 38 
 
4.8. SITES RELACIONADOS 
 
http://pt.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_I/%C3%8Dndice/Aplica%C3%A7%C3%B5es_
das_derivadas 
 
http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/ 
 
http://www.ufpi.br/uapi/conteudo/disciplinas/matematica/download/unidade5.pdf 
 
http://www.exatec.unisinos.br/~kessler/arquivos/edirigido.doc 
 
http://www.google.com.br/search?sourceid=navclient&ie=UTF-
8&rlz=1T4SUNA_enBR239BR240&q=aplica%c3%a7%c3%b5es+de+derivadas+na+adminis
tra%c3%a7%c3%a3o 
 
http://www.scribd.com/doc/271621/Apostila-de-limites-e-derivadas 
 
http://www.vestibular1.com.br/revisao/revisao_matematica_III.pdf 
 
 
 
4.9. RESPOSTAS 
 
 
E1) 1) –1 ; 1 2) –1 ; 0 ; 1 3) –3 4) –2 ; 0 ; 2 
 
 
E2) 1) Cresc. 2) Cresc.:[-2,0] 
),2[
, Decresc.:
]2,(
[0,2] 
 
 3) Cresc. 4) Cresc.:
),3[
, Decresc.:
]3,(
 
 
 
E3) 1) Máx. Relativo: f(0) = 1 Mín. relativo : f(–2) = f(2) = –15 
 
 2) Máx. Relativo: f(–2) = –1 Mín. relativo : f(0) = –5 
 
 3) Máx. Relativo: f(0) = 16 Mín. relativo : f(-2) = -16 e f(1) = 11 
 
 4) Máx. Relativo: f(–2) = 16 Mín. relativo : f(2) = –16 
 
 
E4) 1) Máx. Relativo: f(–2) = 20 Mín. relativo : f(2) = –12 
 
 2) Máx. Relativo: f(0) = 5 Mín. relativo : f(2) =1 
 
 3) Máx. Relativo: f(0) = 6 Mín. relativo : f(–2) = f(2) = –10 
 
 4) Máx. Relativo: f(–1) = 2 Mín. relativo : f(1) = –2 
 
 
 
 39 
E5) 1) CPB: 
)0,(
, CPC:
),0(
 2) CPB: 
)1,1(
, CPC:
),1()1,(
 
 
 3) CPB: 
)2,0(
, CPC:
),2()0,(4) CPB: 
)1,(
, CPC:
),1(
 
 
E6) 1) Cresc.:
),0[
, Decresc.:
]0,(
, Máx. Relativo: NE , Mín. relativo : f(0) = 0 , CPB: 
)1,
3
1
(
, 
 CPC:
),1()
3
1
,(
, PI : 
3
1
 e 1 
 
 2) Cresc.:
),2[]1,(
, Decresc.:[-1,2] , Máx. Relativo: f(–1) = 17 , Mín. relativo : f(2) = –10 , 
 
 CPB: 
)
2
1
,(
, CPC:
),
2
1
(
, PI : 
2
1
 
 3) Cresc.:
),3[]1,(
, Decresc.:[ –1,3] , Máx. Relativo: f(1) = 
3
34
 , Mín. relativo : f(3) = 10 , 
 
 CPB: 
)2,(
, CPC:
),2(
, PI : 2 
 
 4) Cresc.:
]2,(
, Decresc.:
),2[
 , Máx. Relativo:NE , Mín. relativo : f(2) = 2 , CPC:
),(
, 
 
 PI : NE 
 
5) Cresc.:
),(
, Máx. Relativo: NE , Mín. relativo : NE , CPB: 
)2,(
, CPC:
),2(
, PI : 2 
 
 
E7) 10 m, 6 m e R$ 12000,00 
 
 
E8) 2. horas e 5 horas 
 
E9) 
3
1
dm 
 
E10) 1) x = 10 2) CPB: 
]310,0[
 
 
 
E11) 1) [0,15] 2) C: [0,10] , D: [10,15] 3) CPC: [0,5] , CPB: [5,15] 
 
 4) Rmáx = 500 , Rmín = 0 6) 75 
 
 
E12) 1) Lmáx = 4 
 
 
E13) 1) Cmg = 3x
2
 – 12x + 100 2) Cme = x
2
 – 6x + 100 3) 
Ç
'
me
= 2x – 6 4) 91 
 
 
E14) 100 
 
 
E15) 5 
 
 40 
 
5. MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS 
VARIÁVEIS 
 
 Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que um ponto (xo,yo) do domínio de f é ponto de 
 
máximo relativo ou local de f, se existir uma bola aberta de centro em (xo,yo) e raio r tal que, para todo ponto 
 
P(x,y) do domínio situado no interior dessa bola, tenhamos f(x,y) f(xo,yo). 
 
 O número f(xo,yo) recebe o nome de máximo relativo ou local de f. Exemplos: Figuras 2 e 3 
 
 Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que um ponto (xo,yo) do domínio de f é ponto de 
 
mínimo relativo ou local de f, se existir uma bola aberta de centro em (xo,yo) e raio r tal que, para todo ponto 
 
P(x,y) do domínio situado no interior dessa bola, tenhamos f(x,y) f(xo,yo). 
 
 O número f(xo,yo) recebe o nome de mínimo relativo ou local de f. Exemplos: Figuras 1 e 3 
 
 
 
 
 Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que um ponto (xo,yo) do domínio de f é ponto de 
 
máximo absoluto ou global de f, se para todo ponto P(x,y) do domínio, tivermos f(x,y) f(xo,yo). 
 
 O número f(xo,yo) recebe o nome de máximo absoluto ou global de f. Exemplo: Figura 2 
Figura 1 Figura 2 
Figura 3 Figura 4 
 
 41 
 Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. Dizemos que um ponto (xo,yo) do domínio de f é ponto de 
 
mínimo absoluto ou global de f, se para todo ponto P(x,y) do domínio, tivermos f(x,y) f(xo,yo). 
 
 O número f(xo,yo) recebe o nome de mínimo absoluto ou global de f. Exemplo: Figura 1 
 
 
5.1. PONTO CRÍTICO DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS 
 
 Seja z = f(x,y) uma função definida num conjunto aberto D
2
. Um ponto (xo,yo) D é um ponto crítico 
 
de f se as derivadas parciais fx(xo,yo) e fy(xo,yo) são nulas(extremos suaves) ou não existem(extremos bruscos). 
 
Geometricamente, são pontos do gráfico da função onde o plano tangente é horizontal ou não existe. 
 
Exemplo: 
 
Encontre os pontos críticos da função dada por f(x,y) = 
1yx 22
. 
 
Solução: 
 
fx = 
22
2/122
yx
x
x2)yx(
2
1
 fy = 
22
2/122
yx
y
y2)yx(
2
1
 
 
0
yx
y
f
0
yx
x
f
22
y
22
x
 se x = 0 e y = 0, fx e fy não existem, logo o ponto (0,0) é o ponto crítico de f. 
 
O gráfico da f é a superfície abaixo. 
x
y
z
 
E1) Encontre os pontos críticos das funções: 
 
 1) f(x,y) = x
2
 + y
2
 2) f(x,y) = x
3
 + y
3
 – 3x2 – 3y 3)f(x,y) = 4x – 2y + 4 
 
 
 42 
5.2. CRITÉRIO PARA CARACTERIZAÇÃO DE PONTOS EXTREMANTES 
 
 
 TESTE DO HESSIANO 
 
 
 Seja z = f(x,y) uma função continua, com derivadas parciais até segunda ordem continuas e (xo,yo) um 
 
ponto crítico de f, tal que fx(xo,yo) = fy(xo,yo) = 0. 
 
 a)Se H(xo,yo) > 0 e fxx(xo,yo) > 0 então (xo,yo) é ponto de mínimo relativo de f. 
 
 b) Se H(xo,yo) > 0 e fxx(xo,yo) < 0 então (xo,yo) é ponto de máximo relativo de f. 
 
 c) Se H(xo,yo) < 0 então (xo,yo) não e ponto extremante, é ponto de sela. 
 
 d) Se H(xo,yo) = 0, nada se pode afirmar. 
 
 
Exemplo: 
 
 Determine e caracterize os pontos extremantes da função f(x,y) = –3x2 – y2 + xy – 5. 
 
 
Solução 
 
a) Determinação dos pontos críticos da função: 
 fx = –6x + y fy = –2y + x 
)2(0xy2
)1(0yx6
 isolando y na equação (1), vem: 
 
 y = 6x. Substituindo na equação (2), y por 6x, vem: – 2.6x + x = 0 
 
 –12x + x = 0 –11x = 0 x = 0. Como y = 6x e x = 0 y = 0. 
 
 Logo, o ponto crítico de f é (0,0). 
 
 
b) Determinação do Hessiano de L: 
 
 
 fx = –6x + y fxx = –6 e fxy = 1 fy = –2y + x fyy = –2 e fyx = 1 
 
 H(x,y) = 
21
16
 
 
c) Caracterização do ponto crítico: 
 
 H(0,0) = 
21
16
= 12 – 1 = 11> 0, logo (0,0) é ponto extremante(de máximo ou de mínimo). 
 
 Como fxx(0,0) = –6 < 0, o ponto (0,0) é ponto de máximo. 
 
 
 
 
 43 
 
E2) Determine e caracterize os pontos extremantes das funções: 
 
 
 1)f(x,y) = 3x
4
 + 8x
3 – 18x2 + 6y2 + 12y – 4 2) f(x,y) = x2 + y2 – 2x + 1 
 
 
 3) f(x,y) = x
3 
+ 3xy + y
2
 – 2 4) f(x,y) = 8x3 – 3x2 + y2 + 2xy + 2 
 
 
 5) f(x,y) = x
3 
+ y
2
 – 6xy + 6 6) f(x,y) = x3 + 2y2 – 3x – 4y – 8 
 
 
 7) f(x,y) = –x2 – y3 + 4x + 3y 8) f(x,y) =
1yx3xy2
3
x8 22
3
 
 
 
 
E3) A função lucro de uma loja foi determinada como sendo L(x,y) = – x3– x2 – y2 + 2xy + 3x + 10, onde x e 
 
 y são as quantidades de dois produtos negociados . Quais os valores de x e y que maximizam o lucro ? 
 
 
E4) Sejam px = 27 – x
2
 e py = 12 – y
2
 as funções Demanda para dois produtos de quantidades x e y. Determine 
 
 a receita máxima. 
 
 
E5) Seja z = 10 – 2x2 + xy – y2 + 5y uma função Produção, onde x e y são quantidades de dois insumos 
 
 utilizados na fabricação da quantidade z de um produto. O preço unitário de cada insumo é 3, e o 
 
 produto acabado é vendido por 6. Calcule o lucro máximo. 
 
 
 
 
5.3. MÁXIMOS E MÍNIMOS CONDICIONADOS 
 
 
 Seja z = f(x,y) a função da qual se quer determinar o máximo ou mínimo sujeito à condição R(x,y) = 0. 
 
 z z 
 máx de f sem restrição 
 máx de f com restrição