prova1

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Licenciatura em Matema´tica
Prof. M. Kennedy
Departamento de Matema´tica - UNEMAT
Estruturas Alge´bricas I
P1 de Estruturas Alge´bricas I - 27 de Abril de 2015
Aluno:
Observac¸a˜o 1. As questo˜es de 1 a 5 tera˜o o valor de 2,0 pontos cada e a questa˜o 6 valera´
1,0 ponto “extra”.
1. Resolva as equac¸o˜es:
(a) x− 5 = 4!
x− 5 = 4!
x− 5 = 4 · 3 · 2 · 1
x− 5 = 24
x = 24 + 5
x = 29
(b)
n!
(n− 1)! = 7
n!
(n− 1)! = 7
n(n− 1)!
(n− 1)! = 7
n(n− 1)!/////////
(n− 1)!/////////
= 7
n = 7
(c)
n!
(n− 2)! = 0
n!
(n− 2)! = 0
n(n− 1)(n− 2)!
(n− 2)! = 0
n(n− 1)(n− 2)!/////////
(n− 2)!/////////
= 0
n(n− 1) = 0
n = 0 ou (n− 1) = 0⇒ n = 1
(d)
(n− 1)!
(n− 3)! = 0
(n− 1)!
(n− 3)! = 0
(n− 1)(n− 2)(n− 3)!
(n− 3)! = 0
(n− 1)(n− 2)(n− 3)!/////////
(n− 3)!/////////
= 0
(n− 1)(n− 2) = 0
(n− 1) = 0 ou (n− 2) = 0
n = 0 ou n = 2
1
2. Qual a soluc¸a˜o da equac¸a˜o
(
n
2
)
=
(
n
3
)
· x?
Demonstrac¸a˜o. (
n
2
)
=
(
n
3
)
· x
n!
2!(n− 2)! =
n!
3!(n− 3)! · x
Isolando a varia´vel x temos:
3! · n! · (n− 3)!
2! · n! · (n− 2)! = x
3!
2!
· n!
n!
· (n− 3)!
(n− 2)! = x
3 · 2!
2!
· n!
n!
· (n− 3)!
(n− 2)(n− 3)! = x
3 · 2!//
2!//
·
n!//
n!//
·
(n− 3)!/////////
(n− 2)(n− 3)!/////////
= x
3
n− 2 = x
Portanto,
x =
3
n− 2
e´ a soluc¸a˜o da equac¸a˜o.
2
3. Se
(
n
3
)
+
(
n
4
)
= 5(n− 2), enta˜o n e´ igual a quanto?
Demonstrac¸a˜o. Pela propriedade de nu´meros binomiais consecutivos, temos que:(
n
3
)
+
(
n
4
)
=
(
n + 1
4
)
Assim, (
n
3
)
+
(
n
4
)
= 5(n− 2)(
n + 1
4
)
= 5(n− 2)
(n + 1)!
4! · ((n + 1)− 4)! = 5(n− 2)
(n + 1)!
4! · (n− 3)! = 5(n− 2)
(n + 1) · n · (n− 1) · (n− 2) · (n− 3)!
4 · 3 · 2 · 1 · (n− 3)! = 5(n− 2)
(n + 1) · n · (n− 1) · (n− 2) · (n− 3)!/////////
4 · 3 · 2 · 1 · (n− 3)!/////////
= 5(n− 2)
(n + 1) · n · (n− 1) · (n− 2)
24
= 5(n− 2)
(n + 1) · n · (n− 1) · (n− 2)
24(n− 2) = 5
(n + 1) · n · (n− 1) · (n− 2)////////
(n− 2)////////
= 5 · 24
(n + 1) · n · (n− 1) = 120
n3 − n = 120
Por definic¸a˜o de nu´mero binomial n e´ um nu´mero inteiro positivo, enta˜o vamos testar
alguns valores:
Se n = 1⇒ 13 − 1 = 0
Se n = 2⇒ 23 − 2 = 6
Se n = 3⇒ 33 − 3 = 24
Se n = 4⇒ 43 − 4 = 60
Se n = 5⇒ 53 − 5 = 120
Portanto, o valor de n e´ 5.
3
4. Calcule:
(a)
4∑
i=1
(2i + 3) =
Temos que:
4∑
i=1
(2i + 3) = 2 ·
4∑
i=1
i +
4∑
i=1
3
= 2 · (1 + 2 + 3 + 4) + 3 · 4
= 2 · 10 + 12
= 20 + 12
= 32
(b)
6∏
i=2
i2 =
Temos que:
6∏
i=2
i2) = 22 · 32 · 42 · 52 · 62
= 4 · 9 · 16 · 25 · 36
= 518400
4
5. Prove por induc¸a˜o:
(a) 1 + 2 + 3 + . . . + n =
n(n + 1)
2
, (n ≥ 1)
Demonstrac¸a˜o. Temos que, se n = 1 a proposic¸a˜o acima e´ verdadeira, pois
1 =
1(1 + 1)
2
.
Suponhamos que a proposic¸a˜o seja va´lida para k, enta˜o temos como hipo´tese de
induc¸a˜o
1 + 2 + 3 + . . . + k =
k(k + 1)
2
.
Queremos mostrar que:
1 + 2 + 3 + . . . + k + (k + 1) =
(k + 1) [(k + 1) + 1]
2
Vamos usar nossa hipo´tese de induc¸a˜o, da´ı
1 + 2 + 3 + . . . + k︸ ︷︷ ︸
Hipo´tese de Induc¸a˜o
+(k + 1) =
H de Induc¸a˜o︷ ︸︸ ︷
k(k + 1)
2
+(k + 1)
=
k(k + 1) + 2(k + 1)
2
=
(k + 1)(k + 2)
2
=
(k + 1) [(k + 1) + 1]
2
5
(b) n! > n2, (n ≥ 4)
Demonstrac¸a˜o. Temos que, se n = 4 a proposic¸a˜o acima e´ verdadeira, pois
4! > 42 ⇒ 24 > 16.
Suponhamos que a proposic¸a˜o seja va´lida para k, enta˜o temos como hipo´tese de
induc¸a˜o
k! > k2.
Queremos mostrar que:
(k + 1)! > (k + 1)2
Vamos usar nossa hipo´tese de induc¸a˜o, da´ı
k! > k2
(k + 1) · k! > (k + 1) · k2
(k + 1)! > k3 + k2
Como k ≥ 4, temos que k3 > 2k + 1, pois 43 > 2 · 4 + 1 (64 > 9). Enta˜o vamos
trocar o k3 por 2k + 1 e manter a desigualdade. Assim,
(k + 1)! > k3 + k2 > k2 + 2k + 1 = (k + 1)2
Do primeiro e do u´ltimo termos segue que
(k + 1)! > (k + 1)2
6
6. (Questa˜o desafio) Prove por induc¸a˜o sobre n que am · an = am+n, para quaisquer
m,n ∈ N, sempre que a 6= 0 e sabendo que a0 = 1 e an+1 = an · a(n ≥ 0).
Demonstrac¸a˜o. Se n = 1 a proposic¸a˜o acima e´ verdadeira, pois segue da definic¸a˜o dada
que
am · a = am · a1 = am+1
Suponhamos que a afirmac¸a˜o e´ verdadeira para k, enta˜o, temos a nossa hipo´tese de
induc¸a˜o:
am · ak = am+k
Queremos provar que a afirmac¸a˜o e´ verdadeira para k + 1, ou seja,
am · ak+1 = am+k+1
e´ verdadeira. Enta˜o temos que,
am · ak · a = am · ak · a
= am · a · ak
= am+1 · ak
= am+1 · ak
= am+1+k
= am+k+1
(1)
Portanto, a afirmac¸a˜o e´ verdadeira para todo inteiro positivo n.
7