inducao

Prévia do material em texto

Estruturas Alge´bricas I
Induc¸a˜o Matema´tica
M. Kennedy
UNEMAT
Ca´ceres-MT, 27 de marc¸o de 2015
M. Kennedy (UNEMAT) Estruturas Alge´bricas I Induc¸a˜o Matema´tica
Ca´ceres-MT, 27 de marc¸o de 2015 1 /
15
ELEMENTO MI´NIMO
Def. 2.1 Seja A um conjunto dos inteiros. Chama-se elemento m´ınimo
de A um elemento a ∈ A tal que a ≤ x para todo x ∈ A.
Notac¸a˜o: minA - lemos m´ınimo de A
Em s´ımbolos:
min A = a⇔ a ∈ A e ∀x ∈ A a ≤ x
M. Kennedy (UNEMAT) Estruturas Alge´bricas I Induc¸a˜o Matema´tica
Ca´ceres-MT, 27 de marc¸o de 2015 2 /
15
UNICIDADE DO MIN A
Teorema 2.1 Se a e´ o elemento m´ınimo de A, enta˜o este elemento e´ u´nico.
Ex. 2.1 N = {1, 2, 3, . . .}
Ex. 2.2 A = {x ∈ Z | x > 12}
Ex. 2.3 Z− = {0,−1,−2,−3, . . .}
Ex. 2.4 A =
{
x ∈ N | 3 divide x2}
M. Kennedy (UNEMAT) Estruturas Alge´bricas I Induc¸a˜o Matema´tica
Ca´ceres-MT, 27 de marc¸o de 2015 3 /
15
PRINC´IPIO DA BOA ORDENAC¸A˜O
Todo conjunto na˜o vazio A de inteiros na˜o negativos possui o elemento
m´ınimo
Em outras palavras, dado
A ⊂ Z+, com A 6= φ ⇒ ∃ minA.
com,
Z+ = {0, 1, 2, 3, . . .}
M. Kennedy (UNEMAT) Estruturas Alge´bricas I Induc¸a˜o Matema´tica
Ca´ceres-MT, 27 de marc¸o de 2015 4 /
15
TEOREMA DE ARCHIMEDES
Teorema 2.2 Se a e b sa˜o dois inteiros positivos quaisquer, enta˜o existe
um inteiros positivo n tal que na ≥ b.
M. Kennedy (UNEMAT) Estruturas Alge´bricas I Induc¸a˜o Matema´tica
Ca´ceres-MT, 27 de marc¸o de 2015 5 /
15
PRINC´IPIO DE INDUC¸A˜O FINITA
Teorema 2.3 Seja S um subconjunto do conjunto de N dos inteiros
positivos (S ⊂ N) que satisfaz as duas seguites condic¸o˜es:
1 1 pertence a S (1 ∈ S)
2 para todo inteiro, positivo k , se k ∈ S , enta˜o k + 1 ∈ S .
Nestas condic¸o˜es, S e´ o conjunto dos N dos inteiros
positivos: S = N.
M. Kennedy (UNEMAT) Estruturas Alge´bricas I Induc¸a˜o Matema´tica
Ca´ceres-MT, 27 de marc¸o de 2015 6 /
15
INDUC¸A˜O MATEMA´TICA
Teorema 2.4 Seja P(n) uma proposic¸a˜o associada a cada inteiro positivo
n e que satisfaz a`s duas seguintes condic¸o˜es:
1 P(1) e´ verdadeira;
2 para todo inteiro, positivo k , se P(k) e´ verdadeira,
enta˜o P(k + 1) tambe´m e´ verdadeira.
Nestas condic¸o˜es, a proposic¸a˜o P(n) e´ verdadeira para todo
inteiro positivo n.
M. Kennedy (UNEMAT) Estruturas Alge´bricas I Induc¸a˜o Matema´tica
Ca´ceres-MT, 27 de marc¸o de 2015 7 /
15
EXEMPLOS
Demonstrar as proposic¸o˜es:
Ex. 2.7 P(n) : 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n − 1) = n2, ∀n ∈ N
Ex. 2.8 P(n) :
1
1.2
+
1
2.3
+
1
3.4
+ . . .+
1
n(n + 1)
=
n
n + 1
, ∀n ∈ N
Ex. 2.9 P(n) : 3\(22n − 1), ∀n ∈ N
Ex. 2.10 P(n) : 2n > n, ∀n ∈ N
M. Kennedy (UNEMAT) Estruturas Alge´bricas I Induc¸a˜o Matema´tica
Ca´ceres-MT, 27 de marc¸o de 2015 8 /
15
M. Kennedy (UNEMAT) Estruturas Alge´bricas I Induc¸a˜o Matema´tica
Ca´ceres-MT, 27 de marc¸o de 2015 9 /
15
M. Kennedy (UNEMAT) Estruturas Alge´bricas I Induc¸a˜o Matema´tica
Ca´ceres-MT, 27 de marc¸o de 2015 10 /
15
M. Kennedy (UNEMAT) Estruturas Alge´bricas I Induc¸a˜o Matema´tica
Ca´ceres-MT, 27 de marc¸o de 2015 11 /
15
M. Kennedy (UNEMAT) Estruturas Alge´bricas I Induc¸a˜o Matema´tica
Ca´ceres-MT, 27 de marc¸o de 2015 12 /
15
M. Kennedy (UNEMAT) Estruturas Alge´bricas I Induc¸a˜o Matema´tica
Ca´ceres-MT, 27 de marc¸o de 2015 13 /
15
M. Kennedy (UNEMAT) Estruturas Alge´bricas I Induc¸a˜o Matema´tica
Ca´ceres-MT, 27 de marc¸o de 2015 14 /
15
M. Kennedy (UNEMAT) Estruturas Alge´bricas I Induc¸a˜o Matema´tica
Ca´ceres-MT, 27 de marc¸o de 2015 15 /
15