Cálculo Numérico - Aula 03

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CÁLCULO NUMÉRICO
AULA 3
 Solução de Equações Transcedentes e Polinomiais – Raizes de Equações
Objetivos:
1 - Identificar os primeiros métodos numéricos;
2- Comparar e aplicar os métodos para solução de equações transcendentais e 
polinomiais.
Introdução:
Nesta aula, vamos aplicar os Métodos Numéricos para a resolução de 
problemas em Engenharia e veremos como implementá-los. Resolveremos também 
alguns exemplos clássicos encontrados na literatura.
Nesta aula apresentaremos métodos numéricos para resolução de equações da
forma f(x) = 0, onde f(x) é uma função de uma variável real. Resolver a equação f(x) 
= 0 consiste em determinar a solução (ou soluções) real ou complexa c tal que f( c ) 
= 0 [achar o zero da equação ou achar a(s) raíz(es) da equação].
Métodos iterativos são desenvolvidos para determinar aproximadamente essa 
solução real c. Existem métodos iterativos específicos para determinar a solução c 
quando este é um número complexo. 
Os métodos que serão descritos nos permitem obter, por um processo 
interativo, uma solução de uma equação f(x) = 0 onde F(x) = R » R fornecendo uma 
aproximação inicial Xo. Obtém-se uma sucessão de pontos Xo, X1, …, Xn tal que Xn » p
quando n » ∞ e f(p) = 0.
Definição: Diz-se que p é a raiz da equação f(x) = 0 se f(p) = 0. Esta solução Xo
pode ser obtida através de recursos gráficos, ou seja, definimos um intervalo onde 
se encontra a solução c.
MÉTODOS DE INTERVALO
Método da Bisseção: baseia-se no teorema do valor intermediário estudado na 
disciplina de Cálculo I, este afirma que se uma função continua no interválo [a,b] 
satisfaz a condição f(a) < 0. onde f(a) e f(b) possuem sinais opostos, então existe c ∈
[a,b] tal que f(c) = 0, isto é, existe pelo meno uma raiz no intervalo [a,b].
Ideia Geral:
Esse método encontra-se por inspeção dois pontos a e b tais que f(a) e f(b) 
tenha sinais contrários. A partir de um intervalo [a,b] localizado inicialmente onde 
entrotra-se a raiz c, definidos anteriormente, determinar uma sequência de 
intervalos de forma que estaremos sempre dividindo-o na metade para verificar se a 
raiz ainda se encontra em uma das metades deste intervalo. Com este procedimento
estaremos diminuindo o intervalo e nos aproximando cada vez mais do valor da raiz 
da equação. Observe que se f(a) = 0 ou f(b) = 0 encontramos a raiz procurada. Caso 
contrário, existe pelo menos uma raiz de f(x) = 0 entre a e b. Para parar este 
procedimento utilizaremos uma tolerância “E“ pré-definida.
Exemplo 1:
Observe a figura 1 que f(- 4) < 0, ou seja, quando x vale – 4 o valor de y é 
negativo. E que f (- 2) > 0. Assim, existe um zero da função neste intervalo.
Nesta aula, você:
• Identificou, comparou e aplicou os Métodos Numéricos para solução de equações 
transcendentais e polinomiais; 
• Aplicou os Métodos Numéricos para a resolução de problemas em Engenharia, e viu 
como implementá-los e entendê-los graficamente; 
• Resolveu alguns exemplos clássicos encontrados na literatura. 
Na próxima aula, você vai estudar:
• Continuaremos a apresentar outros métodos para Solução de Equações 
Transcendentes e Polinomiais - Raízes de equações.