Cálculo Numérico - Aula 04

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CÁLCULO NUMÉRICO 
AULA 4 
 Solução de Equações Transcendentes e Polinomiais – Raízes de Equações 
Continuação 
Objetivos: 
1- Continuar apresentando alguns métodos numéricos; 
2- Comparar e aplicar para solução de equações transcendentais e polinomiais. 
Introdução: 
 Nesta aula, veremos a segunda parte do conteúdo em que vamos identificar, comparar e aplicar 
os métodos numéricos para a solução de equações transcendentais e polinomiais. 
Método de Aproximação 
Quando desejamos encontrar a convergência de uma função, analisamos uma sucessão de termos. Estes 
convergem para um valor exato; porém, devemos entender que este método também é um resultado 
aproximado e que é calculado com um número finito de operações elementares. O objetivo é encontrar 
sucessões que se aproximem do(s) valor(es) exato(s) com um número mínimo de operações elementares. 
Abaixo apresentamos dois métodos que trabalham com a ideia de aproximação: 
Ponto fixo e Newton-Raphoson 
Método do Ponto Fixo (MPF) ou Método Iterativo (MIL) 
 Para utilizarmos o MPF devemos trabalhar com uma função f(x) contínua em um intervalo [a,b] 
que contenha uma raiz de f(x); isto f(x)=0. O método inicia-se reescrevendo a função f(x) em uma função 
equivalente, pois a função original não facilita a procura da(s) raiz(es). 
 Então reescrevemos a função original como x=φ(x) para que possamos encontrar a(s) raiz(es), a 
partir da aproximação inicial Xo, e, com isto, gerar a sequência {Xk} de aproximações para ξ (raiz) pela 
relação Xk+1=φ(Xk), pois a função φ(X) será de tal forma que f(ξ)=0 se e somente se ξ=φ(ξ). A função φ(X) 
que satisfaz essa condição é chamada de função de iteração para f(x)=0. 
Para x² + x – 6 = 0 temos várias funções de iteração possíveis, tais como: 
a) φ(X)=6–x² b) φ(X)=(6/x)–1 c) φ(X)=6/(x+1) 
 Pode-se observar que existem infinitas funções φ(X). De acordo com a escolha da função, 
podemos não convergir para a raiz procurada. A forma geral desta função φ(X) será φ(X)=x+A(x).f(x), com 
a condição que em ξ, ponto fixo de φ(X), se tenha A(ξ)≠0. 
 Teorema: seja ξ seja uma raiz da equação f(x)=0, isolada num intervalo I e centrado em ξ. Seja 
φ(X) uma função de iteração para f(x)=0. Se todas as condições abaixo são satisfeitas, então, a sequência 
de Xk encontrada no processo iterativo convergem para ξ. 
a) φ(X) e φ'(X) são contínua em I 
b) φ'(X)|≤M≤1 para todos x ∈ I 
c) Xo ∈ I 
 No caso da função x²+x–6=0, sabemos como calcular sua raiz, ou seja, ξ=-3 e ξ=-2. Se testarmos as 
condições do teorema para φ(X)=6–x², veremos que a mesma não satisfaz a condição do item b, isto é, | 
φ'(X)|<1 se e somente se |2x|<1⇔-½<x<½. Então, não existe intervalo centrado em ξ=2. 
 Utilizando φ(X)=(6/x)-1 com ponto inicial Xo=-2.5 para encontrar a raiz ξ=-3. Esta função satisfaz 
todas as condições do teorema. Podemos definir o intervalo I=[-3.5, 2.5] e com isto a função convergirá. 
Temos: 
x¹=(6/2.5)-1=-3.4 
x²=(9/-3.4)-1=-2.764706 
∴ 
 Observe que neste caso conhecemos as raízes, portanto podemos escolher o intervalo que levará 
a convergência para a(s) raiz(es). Quando não conhecemos o intervalo, devemos defini-lo 
aproximadamente como nos métodos anteriores. Para se definir a outra raiz, devemos utilizar a função 
φ(X)=(√6-x) com Xo=1.5 
Método de Newton-Raphson ou Método de Newton 
 A avaliação de uma função pode ser complicada dependendo do tipo de função. Neste método, 
queremos estimar a(s) raiz(es) de uma função e, dependendo do tipo de função, tal tarefa pode ser um 
processo complicado. 
 O método de Newton procura obter a convergência de uma maneira mais rápida do que os 
métodos anteriores, para isto trabalharemos com a derivada da função, isto é, φ'(ξ)=0. Este método é 
também conhecido como método das tangentes em função da sua interpretação gráfica. 
Dada a função f(x)=0 e partindo de uma φ(X), queremos obter a função A(x) tal que φ'(ξ)=0. 
Como φ(X)=x+A(x).f(x) derivando esta função e aplicando o ponto ξ, encontramos que A(x)= -1/f'(x), 
então a função φ(X)=Xn+1= Xn-[f(Xn)/f'(Xn) 
Escolhendo Xo, encontramos a sequência Xk utilizando: 
Xn+1= Xn-[f(Xn)/f'(Xn) 
n represente a n-ésima iteração do algorítimo e f'(Xn) é a derivada da função f em Xn. 
Lembre-se: tangente é a derivada da função, tal conhecimento foi abordado em cálculo I. 
Observe graficamente o método: 
 Partimos de um ponto inicial X0. O ponto X1 é obtido de tal forma que X1 é a abscissa do ponto de 
interseção entre o eixo 0x e a reta tangente à curva f(x) no intervalo (X0, f(X0)) . No ponto (X0, f(X0)), 
traçamos a reta tangente a f(x), onde teremos tg(α)=f'(X0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: este método nem sempre converge, Se a derivada no ponto Xk se aproxima de zero, o 
método pode divergir, ou seja, não se aproximar da raiz exata. Note que requer que f(Xk) seja diferente 
de zero para todo k. 
 Porém trabalhamos com x e f'(x) diferente de zero, o método de Newton está bem definido, 
embora a convergência seja mais lenta. Além disso, temos como desvantagem o cálculo da derivada da 
função. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método da Secante 
O método de Newton, como vimos, utiliza a derivada da função f(x), o que pode transformar este método 
em algo nem sempre apropriado para a função estudada e, consequentemente, ser uma desvantagem. 
Uma forma de melhorar é substituir a derivada pelo quociente das diferenças, ou seja, utilizar a definição 
formal de derivada: 
Podemos melhorar esta função utilizando operações básicas da matemática. Esta ficará, então, da forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Interpretação geométrica 
 A partir das duas aproximações Xk e Xk-1, o ponto Xk+1 é obtido como sendo a abscissa do ponto de 
intersecção do eixo 0x e da reta secante que passa por (Xk-1, f(Xk-1)) e (Xk, f(Xk)). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade: 
1) Usando o método de Newton, resolva a equação x²-2=0, com ξ=10^-5, isto é, desejamos o cálculo da 
raiz da função que é √2, utilizando o ponto inicial x0=1.00000. 
RESPOSTA: 
 
 
 
 
 
 
2) Encontre, utilizando o método do ponto fixo, a sequencia de xk que leva a raiz ξ=2, utilizando a função 
de iteração φ(X)=√(6-x) com x0=1.5 em 5 iterações e xk com quatro casas decimais. 
RESPOSTA: 
 
 
 
 
 
 
 
Nesta aula, você: 
 Viu mais alguns métodos numéricos para solução de equações transcendentais e polinomiais; 
 Aplicou os métodos numéricos para a resolução de problemas em Engenharia e viu como implementá-los e 
entendê-los graficamente; 
 Resolveu alguns exemplos clássicos encontrados na literatura. 
Na próxima aula, você vai estudar: 
 Aplicação de diferentes métodos para solução de sistemas de equações lineares. Tais métodos são um 
importante passo para resolvermos alguns métodos numéricos que veremos no decorrer do curso.