Resumão de Calculo de Probabilidades (Responde Ai)

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- RESUMÃO - 
CÁLCULO DE PROBABILIDADES 
(Probabilidade e Estatística) 
Formulário, Dicas e Macetes para a Prova 
www.respondeai.com.br 
 
 
 
1 
 
 
 
Introdução à Probabilidade 
 
Conceitos importantes: 
 
 
Vou representar isso em diagramas pra você ... 
 
Daí vem o conceito clássico: 
 
𝑃(𝐴) = 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑟 
 
𝑃(𝐴) =
n° de resultados favoráveis
n° de resultados possíveis
=
#(𝐴)
#(Ω)
 
 
#(𝐴) = 3 𝑒 #(Ω) = 6 → 𝑃(𝐴) =
3
6
=
1
2
= 0,5 = 50% 
 
Probabilidade e Conjuntos 
 
Existem infinitos eventos em um mesmo espaço amostral e a gente pode combinar 
eles de algumas formas. Vem comigo! 
𝐴 → 𝑠𝑎𝑖𝑟 𝑛º 𝑝𝑎𝑟 𝑛𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜 
𝐵 → 𝑠𝑎𝑖𝑟 𝑛º 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 𝑛𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜 
Experimento Aleatório: todo experimento que você sabe os 
possíveis resultados, mas não pode afirmar qual acontecerá. 
 Lançamento de um dado 
Espaço Amostral: conjunto dos possíveis resultados. 
 Ω → {1,2,3,4,5,6} 
Evento: um subconjunto do espaço amostral. 
 𝐴 = 𝑠𝑎𝑖𝑟 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 𝑛𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜 → {2,4,6} 
 
 
2 
 
 
 
 
A gente pode ter: 
 União dos eventos; 
 Interseção dos eventos; 
 Complementar de um evento. 
 
Interseção: 𝐴 ∩ 𝐵 → quando ocorrer 𝐴 e 𝐵. 
 
Se são eventos independentes (a ocorrência de um não interfere na probabilidade 
de ocorrer o outro): 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵) 
 
União: 𝐴 ∪ 𝐵 → quando ocorrer 𝐴 ou 𝐵. 
 
 
Não esquece que pra eventos mutuamente exclusivos (𝐴 ∩ 𝐵 = ∅), a gente tem: 
 
 
 
Complementar: 𝐴𝑐 → tudo que tá no espaço amostral e não faz parte do evento. 
 
 
Aqui: 
𝑃(𝐴𝑐) = 1 − 𝑃(𝐴) 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) 
 
 
3 
 
 
 
Análise Combinatória 
 
Agora você nunca mais vai se perder sobre qual técnica usar, saca só! 
 
Permutação 
𝑛 elementos e quero 
ordená-los 
𝑃𝑛 = 𝑛! 
Arranjo 
𝑛 elementos e quero 
escolher 𝑘 elementos 
desses com a ordem de 
escolha sendo importante 
𝐴𝑛
𝑘 =
𝑛!
(𝑛 − 𝑘)!
 
Combinação 
𝑛 elementos e quero 
escolher 𝑘 elementos 
desses com a ordem de 
escolha não sendo 
importante. 
𝐶𝑛
𝑘 =
𝑛!
𝑘! × (𝑛 − 𝑘)!
= (
𝑛
𝑘
) 
Regra da Multiplicação 
𝑥 resultados possíveis para 
um experimento aleatório 
e 𝑦 para outro, então 
tenho 𝑥 × 𝑦 resultados 
possíveis para os dois 
 
 
 
Probabilidade Condicional 
 
É quando o fato de um evento ter acontecido interfere na probabilidade de outro 
evento acontecer. 
𝑃(𝐴|𝐵) → 𝑝𝑟𝑜𝑏. 𝑑𝑒 𝐴 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝐵 
 
Pra isso tem uma fórmula simples: 
𝑃(𝐴|𝐵) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
 
 
Nesse tipo de exercício tem algumas formas de pensar que facilitam as coisas. Vale a 
pena tentar: 
 montar uma árvore de probabilidade; 
 usar a tática do espaço amostral reduzido: depois que 𝐵 acontece, você 
pode reduzir o espaço amostral (vira o próprio 𝐵) e calcular 𝑃(𝐴). 
 
 
 
 
4 
 
 
 
Probabilidade Total 
 
Em algumas situações, seu espaço amostral pode ser dividido em vários pedaços 
mutuamente exclusivos... 
 
Exemplo: 
 Uma arara com camisas de 4 marcas: 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, 𝐴4. 
 
Aí você pode ter um evento que seja dependente dessas partes do espaço amostral. 
 
𝑉 → 𝑡𝑖𝑟𝑎𝑟 𝑢𝑚𝑎 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑠𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎 
 
Afinal a camisa vermelha pode ser de qualquer uma das marcas... 
 
Pra calcular a prob. total de você retirar uma camisa vermelha (independente da 
marca), é só usar o Teorema da Probabilidade Total (inovador ein!): 
 
𝑃(𝑉) = ∑ 𝑃(𝑉|𝐴𝑖) ⋅ 𝑃(𝐴𝑖)
4
𝑖=1
 
 
𝑃(𝑉) = 𝑃(𝑉|𝐴1) × 𝑃(𝐴1) + 𝑃(𝑉|𝐴2) × 𝑃(𝐴2) + 𝑃(𝑉|𝐴3) × 𝑃(𝐴3) + 𝑃(𝑉|𝐴4) × 𝑃(𝐴4) 
 
O que o exercício vai te dar pra isso: 
 A proporção de camisas de cada marca → 𝑃(𝐴𝑖). 
 As prob. condicionais da camisa ser vermelha dado que é de cada marca 
→ 𝑃(𝑉|𝐴𝑖). 
Se o exercício te der esses tipos de informações sobre alguma coisa, já fica ligado! 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
Teorema de Bayes 
 
E se eu pedisse a prob. da camisa ser da marca 𝐴2 sabendo que ela é vermelha?! 
 
𝑃(𝐴2|𝑉) = ? 
Observe: 
 Eu já sei que ela é vermelha! Quero que você “volte” e me dê a prob. dela ser 
de uma marca tal. 
Isso é a cara de Bayes!! 
 
A fórmula de Bayes é: 
 
𝑃(𝐴2|𝑉) =
𝑃(𝑉|𝐴2) × 𝑃(𝐴2)
𝑃(𝑉)
 
Olha esses detalhes marotos: 
 Você já precisa conhecer a prob. total 𝑃(𝑉). 
 O numerador ali é uma das parcelas da conta da prob. total que a gente fez 
antes. 
 
Já que você precisa conhecer a prob. total, é muito comum os exercícios seguirem a 
ordem: 
1. pedir prob. total de alguma coisa; 
2. fazer você usar Bayes depois de calcular a prob. total. 
 
 
 
 
Muita coisa para estudar em pouco tempo? 
 
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Excelentes notas nas provas, galera :)