Funcoes_Nocoes_Elementares

func ¸ \u02dc oes: noc ¸ \u02dc oes element ares F ernando Pestana da Costa Maria Jo\u02dc ao Ol iv eira 18 de agost o de 2010 Resumo Este texto foi elab orado para ap oio ao m´ odulo in trodu t´ o rio sobre fun¸ c\u02dc oes da unidade curricular de Matem´ a tica do Curs o de Quali\ufb01ca¸ c \u02dc ao para Estudos Sup eriores da Univ ersidade Ab erta. O seu ob jetiv o pri- mordial ´ e o de r elem brar e consolidar os conceitos adq uiridos ao n ´ \u0131v el do Ensino Secund´ ario, b em co mo ap on tar dire¸ c\u02dc oes de desen v olvimen to e de aprofundamen to de conceito s que ser\u02dc ao p osteriormen te ab ordados em u nidades curriculares de An´ alise Matem´ atica d as licenciaturas em matem´ atic a, ci \u02c6 encias, engenharias, economia e gest\u02dc ao. Con te ´ udo 1 O conceito in t uitiv o de fun¸ c\u02dc ao 2 2 F un¸ c\u02dc oes reais de v ari ´ av el real: conceitos b´ asicos 4 2.1 De\ufb01ni¸ c\u02dc a o, gr´ a\ufb01co e dom ´ \u0131nio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 . 2 C o n t r a d o m ´ \u0131 n i o .......................... 1 1 2.3 Op era¸ c\u02dc oes elemen tares com fun¸ c\u02dc oes . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3.1 Adi¸ c\u02dc ao , subtra¸ c\u02dc ao , m ultiplica¸ c\u02dc ao e quo ciente de fun¸ c\u02dc oes 14 2.3.2 Comp osi¸ c\u02dc a o de fun¸ c\u02dc oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4 Injetividade, sobrejetividade, bijetividade e fun¸ c\u02dc oes in vers as . 26 2.4.1 Injetividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 2.4.2 Sobrejetividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 2.4.3 Bijetividade e fun¸ c\u02dc oes inv ersas . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5 F un¸ c\u02dc oes crescen tes e decrescen tes; p ontos not´ ave is do g r´ a\ufb01co . 34 2.6 F un¸ c\u02dc oes pares e ´ \u0131mpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.7 F un¸ c\u02dc oes p eri´ odicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 1 3 F un¸ c\u02dc oes elemen tares 47 3.1 F un¸ c\u02dc ao m´ odulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7 3.2 F un¸ c\u02dc oes trigonom´ etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2.1 F un¸ c\u02dc ao seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.2.2 F un¸ c\u02dc ao cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4 3.2.3 Rela¸ c\u02dc o es entre as fun¸ c\u02dc o es seno e cosseno . . . . . . . . 65 3.2.4 Outras fun¸ c\u02dc oes trigo nom ´ etricas . . . . . . . . . . . . . 70 3.3 F un¸ c\u02dc ao exp onencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.4 F un¸ c\u02dc ao logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4 Limites e con tin uidade 80 4 . 1 L i m i t e s ............................... 8 1 4.1.1 De\ufb01ni¸ c\u02dc a o e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.1.2 Alguns resultados fundamen ta is . . . . . . . . . . . . . 9 1 4.1.3 Limites no in\ufb01nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.1.4 Limites in\ufb01nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 4 . 2 C o n t i n u i d a d e .................. ......... 1 0 7 4.2.1 De\ufb01ni¸ c\u02dc a o e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.2.2 Alguns resultados fundamen ta is . . . . . . . . . . . . . 110 4.2.3 Con tinuidade em in t erv a los limitados e fec hados . . . . 113 1 O conceit o in tuitiv o d e fun¸ c\u02dc ao O mais imp ortan te conceito de to da a matem´ atica ´ e, sem d ´ uvida, o conceito de fun¸ c\u02dc ao. P ara os ob jetiv os da presen te unidade curricular n\u02dc ao ´ e necess´ ario (nem ´ e pedagog icamen te conv enien te) in tro duzir uma de\ufb01ni¸ c\u02dc ao forma l do que se en tende por \u201cfun¸ c\u02dc ao \u201d, bastando interiorizar que a no¸ c\u02dc ao in tuitiv a de \u201cfun¸ c\u02dc ao \u201d traduz matematicamen te a no¸ c\u02dc a o de corresp ond \u02c6 encia, ou seja, utilizaremos a seguin te De\ufb01ni¸ c\u02dc ao In tuitiv a 1 Dados dois c onjuntos n\u02dc ao-vazios A e B , uma fun¸ c\u02dc ao f de A em B ´ e uma c orr esp ond\u02c6 enc ia que a c a da elemento x de A ( escr evemos x \u2208 A e desig- namos, usualmente, x p or v ari´ avel indep endente) a sso cia um, e ap enas um, elemento f ( x ) de B (escr evemos f ( x ) \u2208 B e designamo s f ( x ) , usualmente, p or vari´ avel d ep endente, j´ a q ue dep ende do x ). P ara represen tar sim b olicamen te a frase \u201c f ´ e uma fun¸ c\u02dc ao de A em B \u201d escrev eremos simplesmen te f : A \u2192 B . O conjun to A ´ e c hamado o d om ´ \u0131 nio de f e o conjun t o B ´ e o c o njunto de che gada . 2 Note-se que nada do que foi escrito acima ´ e esp eci\ufb01camen te matem´ a tico: a de\ufb01ni¸ c\u02dc ao in tuitiv a e a nota¸ c\u02dc ao in tro duzida aplicam-se a situa¸ c\u02dc o es da vida corren te que nada t\u02c6 em de matem´ atico. V ejamos alguns exemplos: Exemplo 1 Consider e-se o c onjunto A c om o sendo o c onjunto de to dos os p a ´ \u0131ses da Eur op a e o c onj unto B o c onjunto de to das as c idades c apitais eur op e ias. Se p or f r epr es entarmos a c orr esp ond\u02c6 encia \u201ca c apital d e . . . ´ e\u201d, ent\u02dc ao f : A \u2192 B ´ e uma fun¸ c\u02dc ao no sentido r eferido acima, j´ a que c ada p a ´ \u0131s eur op eu tem uma ´ unic a c apital. Por exem plo, p o demos e scr ever f ( Portugal ) = Lisb o a e f ( A rm´ enia ) = Er ev an p ar a r epr esen tar as a\ufb01rma¸ c\u02dc oes de que a c apital de Portugal ´ e Lisb o a e de que a c apital da Arm ´ enia ´ e Er ev an, r esp etivamente. \ue004 Exemplo 2 Consider e-se ago r a A c omo send o o c onjunto dos pintor es e B o c on junto dos n´ umer os inteir os. R ep r esentando p or f a c orr esp ond\u02c6 encia \u201co ano do nasci- mento de . . . ´ e\u201d, ter emos uma f un¸ c\u02dc ao f : A \u2192 B que a c ada pintor faz c or- r esp onder o seu ano de nasc imento. Note que esta c o rr esp ond\u02c6 encia ´ e mesmo uma fun¸ c\u02dc ao (no sentido da do acima a este termo), p or que a c ada p intor c or- r esp onde um, e ap e nas um, ano de n ascimento. Assim , f ( Pic asso ) = 1881 e f ( C´ ezanne ) = 1839 tr aduzem simb olic amente as a\ufb01rma¸ c\u02dc oes \u201co ano de nas- cimento de Pic asso ´ e 1881 \u201d e \u201co ano de nascimento de C´ ezanne ´ e 1839 \u201d, r esp etivamente. \ue004 ´ E claro que o que verdade iramen te nos interes sa nesta unidade curricular s\u02dc ao as fun¸ c\u02dc oes que traduzem corresp ond \u02c6 encias entre conjun tos A e B , am b os constituidos p or n ´ umeros. Considerem-se agor a alguns exemplos deste tip o. Exemplo 3 Sup ondo que A = B = N = { 1 , 2 , 3 , 4 ,... } , a c orr esp ond\u02c6 encia \u201co dobr o de . . . ´ e\u201d p o d e ser r epr esentada p ela fun¸ c\u02dc ao f que a c ad a n´ umer o a \u2208 N faz c orr esp onder o n ´ umer o 2 a \u2208 N . Diz-se q ue o n´ ume r o 2 a assim obtido ´ e a \u201cimagem de a p or aplic a¸ c\u02dc ao da fun¸ c \u02dc ao f \u201d e r epr esenta-se p or f ( a ) . Deste mo do, esta fun¸ c \u02dc ao f aplic ada a o n´ umer o a r esulta em f ( a ) = 2 a. Cla r o que c oncr etizando o valor de a \u2208 A ter emos o c orr esp ond ente valor de f ( a ) , p or exemplo: f (1) = 2 , f (3) = 6 , f (264) = 528 , etc. \ue004 Exemplo 4 Sup ondo que A = N = { 1 , 2 , 3 , 4 ,... } e q ue B = R , p o dem os c onsider ar a 3 c orr esp ond\u02c6 enc ia que c on siste em \u201ctomar um n´ umer o d e A , adicionar-lhe 3 e c alcular o inverso do r esultado\u201d. Isto c orr esp onde a tomar um n ´ umer o natur al a , adic ionar-lhe 3 , p ar a dar a + 3 , e dep ois c alcular o inverso deste valor, o u seja, 1 a +3 . Se r epr esentarmos p or f esta c orr esp ond\u02c6 enc ia, a c ada a \u2208 N estamos a asso ciar o n´ umer o r e al f ( a ) = 1 a +3 e, c oncr etizando v alor es de a obtemos os c orr es p ondentes valor es de f ( a ) , p or exe mplo: f (2) = 1 5 , f (7) = 1 10 e f (176) = 1 179 , etc. \ue004 An tes de prosseguir conv ´ em notar que h´ a muitas corresp ond\u02c6 encias, quer na vida real, quer na matem´ atica, que n\u02dc ao corresp ondem a fun¸ c\u02dc oes no sentido que acima demos a este termo. Isto tem a v er com o facto de que fun¸ c\u02dc o es dev em fazer corresp onder a cada ob jeto de A um, e um s´ o, ob j eto de B . V eja mos alguns exemplos de corresp ond\u02c6 encias que n\u02dc ao s\u02dc ao func\u02dc oes: Exemplo 5 Se A for o c onjunto c onstituido p or to dos os p a ´ \u0131ses eur op eus e B for o c on- junto de to das as cidades eur op eias, a c orr esp o nd\u02c6 encia que a c ada p a ´ \u0131s (i.e. a c ada elem ento de A ) faz c orr esp onder as cidades desse p a ´ \u0131s n\u02dc ao ´ e uma fun¸ c\u02dc ao p ois, em g er al, um p a ´ \u0131s tem m ais do que uma cidade 1 . \ue004 Exemplo 6 Se c onsid er armos A = R + =]0 , + \u221e [ e B = R , a c orr esp ond\u02c6 encia que a c ad a n´ umer o a \u2208 A faz c orr esp onder o (s) elemento(s) b \u2208 B c ujo quadr ad o ´ e o n´ umer o a dado, n\u02dc ao c onstitui uma fun¸ c\u02dc ao p ois, p or exe mplo, p ar a o n´ umer o 4 \u2208 A = R + existem do is n ´ umer os b de B = R cujo quadr ado ´ e 4 : b = \u2212 2 e b = 2 (visto que ( \u2212 2) 2 = 4 e tamb´ em 2 2 = 4 ). \ue004 2 F un¸ c\u02dc oes reais de v ari´ av e l real: conceit os b´ asicos 2.1 De\ufb01ni¸ c\u02dc ao, gr´ a\ufb01co e dom ´ \u0131nio A partir desta sec¸ c\u02dc ao cen traremos a nossa aten¸ c\u02dc a o, exclusiv amen t e, no estudo de fun¸ c\u02dc oes f : A \u2192 B em que A e B s\u02dc ao o conjun to do n ´ umeros reais R ou alguns dos seus sub conjun tos. Estas fun¸ c\u02dc o es s\u02dc ao c hamadas \u201cfun¸ c\u02dc oes reais 2 de v ari´ av el real 3 \u201d. Estas fun¸ c\u02dc oes est\u02dc ao muito long e de constituirem to das as 1 Com alguma s, muito po ucas, exc e¸ c\u02dc o es como o V aticano . 2 Porque B \u2286 R . 3 Porque A \u2286 R . 4 fun¸ c\u02dc o es imp ortantes em matem´ atica, mas to das as outras classes de fun¸ c\u02dc oes imp ortan tes s\u02dc ao construidas, de algum mo do, com ba se ne stas. Por esta raz\u02dc ao, o estudo das fun¸ c\u02dc oes reais de v ari´ av el real constitui um primeiro passo fundamen tal no estudo das fun¸ c\u02dc oes e ser´ a o ´ unico tip o de fun¸ c\u02dc oes que iremos considerar nesta unidade curricular. No con texto da s fun¸ c\u02dc o es reais de v ari´ av el r eal ´ e usual represen tar os elemen tos de A e de B p or letras min ´ usculas do \ufb01nal do alfab eto latino ( x, y , w , z ). Usualmen te utiliza- se x para designar o s elemen tos de A e y os elemen tos de B . Se b em que n\u02dc ao ha ja nenh um s igni\ufb01cado matem´ atico neste h´ abito e qualquer o utra s ´ \u0131m b ologia seja aceit´ av el, iremos man ter esta tradi¸ c\u02dc ao. Assim, a fun¸ c\u02dc ao f que aos elemen tos x \u2208 A fa z correspo nder elemen tos y \u2208 B ´ e, p or vez es, represen tada explicitamen te p ela corres p ond \u02c6 encia em causa, ou seja, algo como f : x 7\u2192 y . Mais vulgarmen te, f ´ e tamb ´ em re- presen tada p or y = f ( x ), se b em que esta nota¸ c\u02dc ao tenha o incon ve nien te de confundir a fun¸ c\u02dc ao f (que ´ e, como se referiu na De\ufb01ni¸ c\u02dc ao Intuitiv a 1, uma \u201ccorresp ond \u02c6 encia\u201d en tre dois conjun tos) com o v alor que f assume no ele- men to x do conjunto A (e que represen t´ amos p or y ). Usualmen te, se tiv ermos presen te esta distin¸ c\u02dc ao , a utiliza¸ c\u02dc ao da nota¸ c\u02dc ao y = f ( x ) para represen tar a fun¸ c\u02dc a o f , n\u02dc ao a carreta incon v enien tes de maior. Exemplo 7 A fun¸ c\u02dc ao f : R \u2192 R que a c ada x \u2208 R faz c orr esp onder o se u do br o, 2 x , p o de ser r epr esentada p or qualquer das nota¸ c\u02dc oes se guintes: x f 5 5 2 x , ou f : x 7\u2192 2 x , ou f ( x ) = 2 x , ou y = 2 x . \ue004 P ort an t o, uma fun¸ c\u02dc ao f \ufb01ca completamen te conhecida se conhecermos o conjun to de to dos os poss ´ \u0131ve is pares de v alores ( x, y ), onde x \u2208 A e y = f ( x ) ´ e o elemen to de B que resulta de x p or aplica¸ c\u02dc a o de f . Note-se que, p elo que \ufb01cou escrito na De\ufb01ni¸ c\u02dc ao In tuitiv a 1, a cada x de A corresp onder´ a um, e ap enas um, elemen t o y de B . Ou seja, se no conjun to de pares ordenados que represen tam uma determinada rela¸ c\u02dc a o matem´ atica estiv erem incluidos sim ultaneamen te os pares ( a, b ) e ( a, c ) com b 6 = c , en t\u02dc ao p o demos concluir que a rela¸ c\u02dc ao em causa n\u02dc ao ´ e uma fun¸ c\u02dc ao. Recipro camen te, se f for uma fun¸ c\u02dc a o, e se os par es ( a, b ) e ( a, c ) estiv erem no conjun to de to dos os p oss ´ \u0131v eis pares de v alores determinados p or f , en t\u02dc ao, necess ariamen te, tem de se ter b = c . Esta brev e discuss\u02dc a o motiv a a seguin te de\ufb01ni¸ c\u02dc ao (rigo rosa) de fun¸ c\u02dc ao. De\ufb01ni¸ c\u02dc ao 1 Uma fun¸ c\u02dc ao f : A \u2282 R \u2192 B \u2282 R ´ e uma c ole¸ c \u02dc ao (ou seja, um c o njunto) de p ar es or denados ( x, y ) \u2208 A × B c om a se guinte pr oprie d ade: se ( a, b ) e ( a, c ) est\u02dc ao amb os na c ol e¸ c\u02dc ao, ent\u02dc ao b = c. 5 N\u02dc ao obstante esta de\ufb01ni¸ c\u02dc ao rigorosa de fun¸ c\u02dc ao, po demos (e dev emos!) con tinuar a p ensar em fun¸ c\u02dc oes como tr aduzindo o conceito de corresp ond \u02c6 encia en tre elemen to s de dois conjuntos, de acordo com a D e\ufb01ni¸ c\u02dc ao In tuitiv a 1. No en tanto, a no¸ c\u02dc ao de fun¸ c\u02dc ao expressa na D e\ufb01ni¸ c\u02dc ao 1 n\u02dc ao ´ e totalmen te irrele- v an te para a constru¸ c\u02dc a o \u201cpsicol´ ogica\u201d da ideia de fun¸ c\u02dc ao, j´ a que sugere uma forma visual para represen tar o mo do de a¸ c\u02dc ao das fun¸ c\u02dc oes que ´ e extrema- men te imp o rtan te: repre sen tando geometricamente no plano to dos os pares ( x, y ) (onde y = f ( x )) \ufb01camos com o que se ch ama o gr´ a\ufb01c o da fun¸ c\u02dc ao f , que represen t aremos p ela nota¸ c\u02dc ao G ( f ). Exemplo 8 A fun¸ c\u02dc ao f : R \u2192 R que a c ada x \u2208 R faz c orr esp onde r o se u dob r o, 2 x , e que r epr esentar emo s p or f ( x ) = 2 x tem o gr´ a\ufb01c o 4 apr ese ntado na Figur a 1, onde, p ar a ilustr a¸ c\u02dc ao, for am indic ad os explicitame nte alguns p ar es or denados ( x, f ( x )) . \ue004 Exemplo 9 A fun¸ c\u02dc ao g : R \u2192 R que a c a da x \u2208 R faz c orr es p onder o seu quadr ado, x 2 , e que r epr ese ntar emos p or g ( x ) = x 2 tem o gr´ a\ufb01c o apr esentado na Figur a 2 (c onsider ando ap enas valo r es de x entr e \u2212 2 e 3 ). \ue004 Nem sempre ´ e p oss ´ \u0131ve l dar sen tido matem´ atico a certas express\u02dc o es, p elo que, nesses casos, se a express\u02dc ao pretender traduzir sim b olicamen te uma certa fun¸ c\u02dc a o, a regi\u02dc ao onde p o demos considerar os v´ a rios v alores de x n\u02dc ao coincidir´ a com to do o conjun to R . Um exemplo de uma situa¸ c\u02dc ao dessas o cor re quando consideramos a raiz quadrada de n ´ umeros reais: como o quadrado de um n ´ umero real nunca ´ e negativ o, se considerarmos uma esp ´ ecie de \u201cop era¸ c\u02dc a o in vers a\u201d, ou seja, uma op era¸ c\u02dc ao que a cada real a faz corresp onder um real b cujo quadrado ´ e o n ´ umero a dado, esta n\u02dc ao p oder´ a estar de\ufb01nida para reais a 0 (p ois n\u02dc ao existe nenh um real b para o qual b 2 = a 0) . P orta n t o, teremos de restringir esta \u201cop era¸ c\u02dc a o in v ersa\u201d ap enas a v a lores de a par a os quais a > 0. Se estiv ermos interess ados ap enas em reais b > 0, en t\u02dc ao p o demos considerar a f un¸ c\u02dc ao \u201craiz quadrada\u201d, h ( x ) = \u221a x , de\ufb01nida do seguin te mo do: para cada x > 0 a fun¸ c\u02dc ao raiz quadrada faz corresp onder o ´ unico y > 0 tal que y 2 = x e este v alor represen ta -se p or y = \u221a x . 4 ´ E claro que, e stritamente falando, n\u02dc ao ´ e poss ´ \u0131vel repr esentar o g r´ a\ufb01co duma fun¸ c\u02dc a o, ainda mais no caso do conjunto dos x ser ilimitado, como ´ e o caso. O que r epresentamos na Fig ura 1 ´ e o gr´ a\ufb01co cor resp ondente a v alores de x ent re \u2212 2 e 9 2 , o u seja, o conjunto dos pares or denados ( x, y ) r epresentado p ela linha vermelha. 6 G ( f ) 2 x y x x ( x, 2 x ) (2 , 4) (4 , 8) ( \u2212 3 2 , \u2212 3) 0 2 \u2212 3 4 4 \u2212 3 2 8 Figura 1: O gr´ a\ufb01co da fun¸ c\u02dc ao f ( x ) = 2 x com x entre \u2212 2 e 9 2 . G ( g ) x 2 y x x ( x, x 2 ) (2 , 4) (3 , 9) ( \u2212 2 , 4) 0 2 \u2212 2 4 3 9 Figura 2: O gr´ a\ufb01co da fun¸ c\u02dc ao g ( x ) = x 2 com x en tre \u2212 2 e 3. 7 G ( h ) \u221a x y x x ( x, \u221a x ) (1 , 1) (4 , 2) (9 , 3) 0 1 1 2 4 3 9 Figura 3: O gr´ a\ufb01co da fun¸ c\u02dc ao h ( x ) = \u221a x com x entre 0 e 9. Exemplo 10 A fun¸ c\u02dc ao h : R + 0 = [0 , + \u221e [ \u2192 R que a c ada x \u2208 R + 0 faz c orr esp o nder a sua r aiz quadr ada, \u221a x , e que r epr esentar em os p or h ( x ) = \u221a x tem o gr´ a\ufb01c o apr esentado na Figur a 3 (c onsider ando ap enas valor es de x entr e 0 e 9 ). \ue004 Como j´ a tinhamos de\ufb01nido anteriormen te (cf. p´ ag ina 2), o dom ´ \u0131nio de uma fun¸ c\u02dc ao f ´ e o conjunto dos v alores de x para os quais a fun¸ c\u02dc ao f est´ a de\ufb01nida, o u seja, para os quais p o demos calcular a cor respondente i magem y = f ( x ). ´ E usual a doptar-se a seguin te conv en¸ c\u02dc ao : A menos que algo s eja explicitamen te esc rito em con t r´ ario, o dom ´ \u0131nio de uma fun¸ c\u02dc ao dada, f , ser´ a sempre o maior sub con- jun to A de R pa ra o qual f ( x ) faz sen tido para to dos os elemen tos x \u2208 A . Note-se que para de\ufb01nir uma fun¸ c\u02dc ao n\u02dc ao basta dar uma express\u02dc ao para calcular a fun¸ c\u02dc ao f n um p onto x : ´ e necess´ ario esp eci\ufb01car qual ´ e o conjun to onde x \u201cviv e\u201d, ou seja, qual ´ e o dom ´ \u0131nio de f . O q ue e sta con ve n¸ c\u02dc ao a\ufb01rma ´ e que, se nada for dito em con tr´ ario , o dom ´ \u0131nio de uma fun¸ c\u02dc ao f ser´ a sempre o maior conjun t o p oss ´ \u0131v el. Habitualmente represen t´ a- lo-emos p or D f . Exemplo 11 A fun¸ c\u02dc ao \u03d5 : [0 , 9] \u2192 R de\ufb01nida p or \u03d5 ( x ) = \u221a x e a fun¸ c \u02dc ao \u03c8 : [4 , 8] \u2192 R de\ufb01nida p or \u03c8 ( x ) = \u221a x s\u02dc ao duas fun¸ c\u02dc oes distintas: se b em que tenham a 8 G ( \u03d5 ) G ( \u03c8 ) \u221a 8 y x 0 1 1 2 4 3 8 9 Figura 4: Os gr´ a\ufb01cos das fun¸ c\u02dc oes \u03d5 (a verme lho) e \u03c8 (a azul), de\ufb01nidas no texto. P or motiv os ´ obv ios, diz-se que \u03c8 ´ e a restri¸ c\u02dc a o de \u03d5 ao conjunto [4 , 8] (e que \u03d5 ´ e a restri¸ c\u02dc ao de h , de\ufb01nida no Exemplo 10, ao in terv a lo [0 , 9]). mesma expr ess\u02dc ao alg´ ebric a, os s eus dom ´ \u0131nios s\u02dc ao difer entes (ve ja-se a Fi- gur a 4). Sempr e que escr evermos algo do tip o \u201c a fun¸ c\u02dc ao f ( x ) = \u221a x \u201d e n\u02dc ao esp e ci\ufb01c armos o dom ´ \u0131nio on de tomamos os x , estar emos, de a c or do c om a c onven¸ c\u02dc ao acima , a sup or que este ´ e o maior sub c onjunto de R p ar a o qual a expr ess\u02dc ao faz s entido; neste c as o, ser´ a 5 { x \u2208 R : x > 0 } , ou seja, R + 0 . \ue004 ´ E claro que uma fun¸ c\u02dc ao real de v ari´ avel real p o de n\u02dc a o ter uma express\u02dc ao anal ´ \u0131tica simples ( ou, mesmo que a tenha, p o de ser-nos desconhecida), mas desde que satisfa¸ ca a condi¸ c\u02dc ao imp osta na De\ufb01ni¸ c\u02dc ao 1 ser´ a uma fun¸ c\u02dc ao t\u02dc ao leg ´ \u0131tima como as que consider´ amos nos exemplos a n t eriores. O exemplo seguin te pretende ilustrar algumas destas fun¸ c\u02dc oes \u201cmenos naturais\u201d. Exemplo 12 Exemplos d e fun¸ c\u02dc oes r e ais de vari´ ave l r e al c o m de\ufb01ni¸ c\u02dc oes menos dir etas do que as i ndic adas nos exemplos an terior es: a) (fun¸ c\u02dc ao de Dirichlet) d ( x ) = ( 0 , se x ´ e irr aciona l 1 , se x ´ e r acional . b) f ( x ) = ( n, se a exp ans\u02dc ao de cimal de x tem exatam ente n algarismos 7 \u2212 \u03c0 , c aso c ontr´ ario . 5 A express \u02dc ao matem´ a tica seguinte l \u02c6 e -se de seguinte modo: \u201co conjun to dos x p erten- centes a R tais que x ´ e maio r ou igual a 0 \u201d. 9 G ( d ) 0 1 x y Figura 5: Uma tentativ a de esb o¸ car o gr´ a\ufb01co da fun¸ c\u02dc ao de Diric hlet, d , de\ufb01nida no Exemplo 12a ). Note-se que as duas \u201cr etas\u201d a verme lho n\u02dc a o s\u02dc ao, de facto, retas usuais, constituidas p or to dos os p o n tos p oss ´ \u0131v eis: a \u201c reta\u201d assen te no eixo dos xx ap enas cont ´ em p ontos com a b cissa x ir racional e a \u201creta\u201d assen te em y = 1 ap enas con t ´ em p o n tos com ab cissa x racional. c) \u2113 ( x ) = \uf8f1 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f2 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f4 \uf8f3 4 , se x \u2212 2 x 2 , se \u2212 2 6 x 2 5 , se x = 2 7 \u2212 2 x, se 2 4 1 , se x > 5 . d) \u03be ( x ) = max { 1 \u2212 x 2 , x 2 \u2212 1 } \ue004 Como se p o de inferir facilmen te p elos dois primeiros casos do Exemplo 12, nem sempre ´ e f´ acil (o u mesmo p oss ´ \u0131v el) esbo ¸ car o gr´ a\ufb01co de uma fun¸ c\u02dc ao dada. P or exemplo, no primeiro caso, como en tre dois racionais h´ a sempre in\ufb01nitos irracionais e entre dois irracionais h´ a sempre in\ufb01nitos racionais, a represen ta¸ c\u02dc ao g r´ a\ufb01ca de d ´ e imp oss ´ \u0131v el de fazer com rig or, p ois o gr´ a\ufb01co de d oscila in\ufb01nitamen te en tre os v alores 0 e 1 em qualquer in terv alo real, p or mais p equeno que seja. Um p o ss ´ \u0131vel esb o¸ co, p ouco rigoroso mas intuitiv amen te elucidativ o do c omp ortamen to desta fun¸ c\u02dc ao, seria o indicado na Figura 5. Note-se que, como cada x \u2208 R ´ e, ou racional o u irracional (mas n\u02dc ao as duas coisas ao mesmo temp o), o p on to corresp onden te do gr´ a\ufb01co de d , ( x, d ( x )), ´ e ou ( x, 1), ou ( x, 0), mas n\u02dc ao as duas coisas a o mesmo temp o e, p ort an t o, de acordo com a De\ufb01ni¸ c\u02dc ao 1, d ´ e, de facto, uma fun¸ c\u02dc ao. J´ a no caso b) do Exemplo 12, o esb o¸ co do gr´ a\ufb01co requer que conhe¸ camos com p ormenor as propriedades das expans\u02dc oes decimais nos n ´ umeros reais, sem o qual ´ e imp oss ´ \u0131v el ter uma ideia do gr´ a \ufb01co de f . 10

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