Aula_Equacoes(1)

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Assunto: Equações e Sistemas 
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Chamamos de equação toda sentença matemática
expressa por uma igualdade que contém um ou mais
termos desconhecidos representados por letras.
Exemplos: 
a) 4x + 8 = 3x - 5 
b) 3a - 4 = b + 1 
c) 9y - 11 = - 2 
d) x² - 3x + 2 = 0
e) sen x = 0,8660254
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São sentenças matemáticas que apresentam sinal de igualdade 
(=) e uma variável ou incógnita ( x , y ou qualquer outra letra). Ex:
a) 5x + 3 = 18 ( incógnita x )
b) 2y – 8 = 2 (incógnita y)
Levando em consideração o sinal de igualdade, podemos 
nomear os elementos envolvidos numa equação :
5x – 1 = x + 7 
Nesta equação cada membro possui 
1º membro dois termos:
2º membro 1º membro composto por 5x e - 1
2º membro composto pelo termo x e + 7
sinal igual
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Resolver uma equação do 1º grau é determinar um 
valor chamado raiz da equação registrado em seu 
conjunto verdade (V). 
Ex: a) Resolva e equação , sendo U= Q:
3x – 4 = 2x + 8
3x – 2x = 8 + 4
1x = 12 
x = 12/1
x = 12
V = { 12 }
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OBSERVE:
Para calcular a equação do exemplo utilizamos o método 
prático onde:
• Isolamos no 1º membro os termos em x e no 2º membro 
os termos que não apresentam x . Observe que houve 
troca de sinais dos termos que mudam de um lado para 
outro;
• Reduzimos os termos semelhantes;
• Para obter o valor da incógnita x, aplicamos a operação 
inversa, e dividimos o nº 12 por um.
• Veja outro exemplo, seja a equação : 4x = -12
x = -12/4 
x = - 3
V = { - 3 }
EQUAÇÕES COM SINAIS DE ASSOCIAÇÃO:
As equações que apresentar associações, devemos resolver eliminando 
na seguinte ordem:
1º Parênteses ( )
2º Colchetes [ ]
3º Chaves { }
Exemplo:
a) 4 (x – 3) = 4 OBS: Se calculamos a equação no 
4x – 12 = 4 universo dos inteiros Z ( U = Z ),a
4x = 4 + 12 resposta só é verdadeira se o valor 
4x = 16 obtido pertencer ao conjunto Z.
x = 16/4 
x = 4 V = { 4 } 
4
2 x + 5 = 13
Raiz ou solução de uma 
equação é todo número x que 
torna a igualdade verdadeira
Verifique se o número 4 é raiz da 
equação dada.
2 x + 5 = 13
Verificando 2 . 4 + 5 = 13
8 + 5 = 13
Esta sentença é verdadeira
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Método da Substituição



=+
=−
12
72
yx
yx 72 −= xy
31)72.(2 =→=−+ xxx
1−=→ y
Método da Adição



−=−−
=−
→



−×=+
=−
242
72 
)2( 12
72
yx
yx
yx
yx
155 −=→=− yy
3=→ x
Sistema é um conjunto, no caso, de equações do 1o grau.
Resolver um sistema é encontrar valores para as variáveis que
satisfaçam, simultaneamente, todas as equações.
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1) DEFINIÇÃO
• Chama-se de equação do 2º grau com uma incógnita, toda 
equação que assume a forma: 
ax² + bx + c = 0.
Onde:
� x é a incógnita.
� a, b e c são números reais, com a ≠ 0.
� a é coeficiente do termo em x².
� b é coeficiente do termo em x.
� c é o coeficiente do termo independente de x.
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Exemplos:
a) 3x² + 4x + 1 = 0 (incógnita x)
a = 3 b = 4 c = 1 (Equação completa)
b) p² - 5p + 6 = 0 (incógnita p)
a = 1 b = -5 c = 6 (Equação completa)
c) -5t² + 7t – 2 = 0 (incógnita t)
a = -5 b = 7 c = -2 (Equação completa)
d) 2y² - 10y = 0 (incógnita y) 
a = 2 b = -10 c = 0 (Equação incompleta)
e) 4z² - 100 = 0 (incógnita z)
a = 4 b = 0 c = -100 (Equação incompleta)
f) 7m² = 0 (incógnita m)
a = 7 b = 0 c = 0 (Equação incompleta)
FORMA NORMAL OU REDUZIDA DA 
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Uma equação do 2º grau, com uma incógnita, está na 
forma normal ou reduzida quando assume a forma geral 
ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0. 
Exemplos:
a) x² - 7x + 10 = 0
b) y² - 81 = 0
c) -2t² + 5t – 2 = 0
d) -6m² + m = 0
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FORMA NORMAL OU REDUZIDA DA 
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Vejamos alguns exemplos de equações do 2º grau, com uma 
incógnita, que serão representadas na forma reduzida aplicando os 
princípios aditivo e multiplicativo das equações.
a) x² - 16 = 48
x² - 16 – 48 = 0 - Aplicando o princípio aditivo.
x² - 64 = 0 - Forma reduzida.
b) y² + 2y = 3y + 1
y² + 2y – 3y – 1 = 0 - Aplicando o princípio aditivo.
y² - y – 1 = 0 - Reduzindo os termos semelhantes.
y² - y – 1 = 0 - Forma reduzida.
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1 2
bR
a
− + ∆
=
ax² + bx + c = 0
2 2
bR
a
− − ∆
=
2
bR
a
− ± ∆
=
∆ = b² - 4ac
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x2 -2x +1 = 0
a = 1; b = -2 e c = 1
x = 1
∆ = b² - 4ac
∆ = (-2)2 -4.1.1
∆ = 4 – 4 = 0
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 ∆2� � �
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 0
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∆ = 0
x’=x’’
∆ > 0
x’≠ x’’
∆ < 0
Não 
existem 
raízes 
reais.
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