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1 Assunto: Introdução à Teoria das Funções 2 ������������� ��� �� ������ � Relação entre duas grandezas Quantidade de pães de queijo Preço (R$) 1 1,50 2 3,00 3 4,50 4 6,00 5 7,50 ... n 1,50n FE R NA ND O FA VO R ET TO /C ID 3 Observemos que o valor de y depende do valor de x, de forma que para cada x colocado, teremos um único y que satisfaz à expressão característica da função, ou seja, à regra determinada pela função, que é: Não são todos os tipos de relações que são funções, como veremos mais a frente. Em verdade, para que uma relação seja uma função, é necessário que para cada elemento de x – conjunto de partida – haja um único elemento no conjunto de chegada – y. 4 Tipos de Funções: Conceitos preliminares: •Pares ordenados •Produto Cartesiano • Relação de A em B • Função de A em B •Representação de Funções •Gráfico de uma Função •Domínio, Contradomínio e Conj. Imagem •Crescimento de uma Função •Paridade de Funções 5 ���� � ����������� ������� �� ������ ��� � � � �������������� ���������������� ������� �� ������� ��������� � �� ������������ ���������� ����� ��� ����� ������ Pares ordenados No par ordenado (5,7), por exemplo, a abscissa é 5, a ordenada é 7, e as coordenadas são 5 e 7. x - abscissa y - ordenada x e y - coordenadas 6 y x Ordenadas Abscissas Origem P (a,b) a b . O (0,0) . O eixo horizontal (x) é o eixo das abscissas, orientado para a direita; e o eixo vertical (y) é o eixo das ordenadas, orientado para cima. . A . B .C . D . E .F x y G. . H . I A (-7,4) B (-3,-2) C (2,-1) D (9/2,1) E (7,0) F (0,3) G (pi,5) H (-3,0) I (-6,-7/2) 7 G . . . . . . . A B C D E F x y . . H I Observe que os pontos do eixo x têm ordenada nula (E e H) e os pontos do eixo y têm abscissa nula (F). x y Os eixos coordenados dividem o plano em quatro regiões, chamadas quadrantes. 1º quadrante (+,+) 3º quadrante (-,-) 2º quadrante (-,+) 4º quadrante (+,-) 8 Produto Cartesiano Chamamos Produto cartesiano de um conjunto não vazio A por um conjunto não vazio B ao conjunto dos pares ordenados: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {3, 4}. Com auxílio do diagrama de flechas ao lado formaremos o conjunto de todos os pares ordenados em que o 1º elemento pertença ao conjunto A e o 2º pertença ao conjunto B. Obtemos o conjunto: {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)} Produto cartesiano de A por B Relação de A em B Dados os conjuntos A e B, chamamos a relação de A em B a qualquer subconjunto do produto cartesiano A x B. Em outras palavras, uma relação de A em B é qualquer conjunto de pares ordenados (x, y), com x A e y B, ou o conjunto vazio. 9 Relação de A em B Relação de A em B 10 O que é função? É um modo especial de relacionar grandezas. Nesse tipo de relação, duas grandezas, x e y, se relacionam de tal forma que: • x pode assumir qualquer valor em um conjunto A dado; • a cada valor de x corresponde um único valor de y em um dado conjunto B; • os valores que y assume dependem dos valores assumidos por x. x1 x2 x3 y1 y2 y3 x1 x2 x3 y1 y3 É função. É função. 11 x1 x3 y1 y2 y3 x1 x2 x3 y1 y2 Não é função. Não é função. ������� �� �������� � �� ����� �� � ������� � � ������ �� ��������� ��� ��� � ������� ����� �������� ��� ������� ��� ����� ��� !���� ����� �� � ������� ������� ��� �� "�� � ��� ���� ����� ������� ����� � ����� "�� ����� � ����� �� �� ������� 12 #�$���%�& �#�'$��(�& �#�'(��'(& ������� �� �������� � Determine, a partir do plano cartesiano, os pares ordenados dos seguintes pontos: 1o quadrante 2o quadrante 3o quadrante 4 o quadrante )� ���� ������*���� �� +���� � �������������� ����������� ��� ����� ����� �� ������� ���������, • ����������������� ������������ �� • ������������� �������������������������� ���������� ������ • ������������ !���� 13 )� ���� ������*���� �� �� � -� � �������� ��� ��� ������� ������ "�� 14 �� � -� � �������� ��� ��� ������� ������ "�� � ������������. ��������������� �� ��������/���������� �� 15 0�������1�������������. ��� x Valor máximo e valor mínimo Valor mínimo Valor mínimo x y 16 ������� �� � ���. �� �� ��� �� �� ���� ��� ��� � � � ���� �� ������� �� 1 ���� �� ���� � �� �� �1���� � � �� �� ��� 2����� ������ ���. ������������ ������� ���. ���� � ������. ��������������� ������ �� ����,����. �� �����,� � ������. �� �����,������� (x) 17 Função – representação f: A B Domínio Contra-domínio Função – uma lei 1 -2 0 2 -3 Fórmula: y = 2x + 4 6 0 4 8 -2 Domínio Contra-domínio 18 E a imagem? Ex.: Dados os conjuntos A={1;2;3} e B={2;4;6;8} e a função f: A B representada por f(x)=2x. Observe o diagrama que representa f. 1 2 3 2 4 6 8 E a imagem? Domínio = A={1;2;3} Contra-domínio = B={2;4;6;8} Imagem = {2;4;6} 1 2 3 2 4 6 8 Imagem 19 ��3������������� �� 4����/���3������������� ������ "��, �&�f#�&�5�(� 6 78 �&�h#�&�5����������8 9x − f(x) = 0 2 Gráfico de uma função " #���� � ����� $ #����!���%��!&�'����( )�(�*������������+���������� !&,-'���&,-'( )�(���� !&.'���&.'( )�(���( !&�'���&�'( )�(���-- 0����� ��/�� ����������� ��
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