Exercício de Geometria Analítica e Álgebra Linear - Com explicações Passo-à-passo II

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Primeiro vamos montar a matriz dos coeficientes do x, y e z de T 
 
3x-y+z 
-x+5y-z -> isso pode ser escrito como uma matriz como abaixo 
x-y+3z 
 
Matriz A 
 3 -1 1 
-1 5 -1 
 1 -1 3 
 
Sabemos que a matriz identidade é 
 
1 0 0 λ 0 0 
0 1 0 se multiplizarmos ela por λ teremos - 0 λ 0 
0 0 1 0 0 λ 
 
Agora devemos diminuir a matriz com λ pela outra (Matriz A) 
 
λ 0 0 3 -1 1 
0 λ 0 - -1 5 -1 
0 0 λ 1 -1 3 
 
Assim ficamos com a seguinte matriz 
 λ-3 1 -1 
 1 λ-5 1 
 -1 1 λ-3 
 
A questão é que o determinante desta matriz deve ser 0 (será sempre 0), vamos calcular o 
determinante usando o método de Sarrus 
 
 λ-3 1 -1 | λ-3 1 
 1 λ-5 1 | 1 λ-5 
 -1 1 λ-3|-1 1 
 
Assim temos 
(λ-3)*(λ-5)*(λ-3)=( λ²-3 λ-3 λ+9)*( λ-5)=( λ³-6 λ²+9 λ-5 λ²+30 λ-45) 
1*1*(-1)=-1 
(-1)*1*1=-1 
 
Somando os três resultados de um lado teremos λ³-11 λ²+39 λ-47. 
 
Do outro lado 
 
(-1))*(λ-5)*(-1)= λ-5 
1*1*(λ-3)= λ-3 
(λ-3)*1*1=λ-3 
 
Somando tudo 3λ-11. 
 
Agora fazemo a subtração 
 
(λ³-11 λ²+39 λ-47)-( 3λ-11) = λ³-11 λ²+36 λ-36=0 – lembrando que o determinante é 0 
 
Este é o polinômio característico. Nota-se que por ser uma equação de 3º grau podemos ter 
até valores diferentes. 
 
Para resolver esse polinômio vamos tentar da seguinte forma, utilizando o termo sem variável 
(36), vamos verificar quais os divisores de 36 que dão números inteiros, assim temos 
 
36/1=36; 36/2=18; 36/3=12; 36/4=9 36/9=4; 36/12=3; 36/18=2 e 36/36=1 – temos então os 
divisores 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18 e 36 
 
Vamos tentar substituir λ por um valor de cada vez e ver se fecha igual à 0 
 
λ =1 -> 1³-11(1)²+36(1)-36 -> 1-11+36-36=-10 – não fechou 
 
λ=2 -> 2³-11(2)²+36(2)-36 -> 8-44+72-36=0 – fechou, então 2 é uma raiz do polinômio 
 
λ =3 -> 3³-11(3)²+36(3)-36 -> 27-99+108-36=0 – fechou, 3 também é raiz 
 
λ =4 -> 4³-11(4)²+36(4)-36 -> 64-176+144-36=-4 – não fechou 
 
λ =6 -> 6³-11(6)²+36(6)-36 -> 216-396+216-36=0 – fechou, 6 também é raiz 
 
Como numa equação de 3º grau só podemos ter no máximo 3 raizes não precisamos 
continuar. Lembrando que esse método só funciona para raizes inteiras. 
 
Outra dica pra saber se está correto é que a multiplicação das três raizes da equação (neste 
caso 2,3 e6) tem que ser igual ao número sem variável dividido pelo coeficiente de λ³, testando 
 
2*3*6=36 -> 36/1=36 – fechou, essas são mesmo as raizes da equação 
 
 
 
As quantidade de notas serão as variáveis x, para as notas de R$ 20, e y, para as notas de R$ 5. 
Assim temos 
 
x+y=15 – total de notas utilizadas; e 
20x+5y=165 – total gasto 
 
Transformando em matrizes temos 
 
 1 1 | 15 1 1 | 15 
20 5 | 165 - L2-5*L1 15 0 | 90 
 
Ficamos então com 15x=90, o que podemos concluir que x=90/15=6. Se x=6, então 
 
x+y=15 -> 6+y=15 -> y=9 
 
S=(6,9) 
 
 
 
I – Para saber se uma transformação é linear basta provar que o vetor (0,0,0) de R³ é igual ao 
vetor (0,0) de R², assim 
 
(x,y,z)=(0,0,0)=(3x+2, 2y-z)=(0,0) -> (3*(0)+2, 2*(0)-0)= (2,0) que é diferente de (0,0) portanto 
não é linear. A afirmação é falsa. 
 
II – Aqui vamos utilizar de base os vetores dados inicialmente (1,0) e (0,1). Sabemos que 
 
xT(1,0)+yT(0,1) são base de R² - Substituindo T(1,0) e T(0,1) pelas suas transformações 
teremos 
 
x(3,-2)+y(1,4) – Multiplicando e somando temos (3x+y, -2x+4y), diferente do que aparece na 
afirmação. 
 
Outra forma é aplicar a fórmula da transformação da afirmação nos vetores (1,0) e (0,1) e ver 
se os resultados fecham 
 
T(1,0) = (3*(1)-0, -2(1)+4*(0)) = (3,-2) – fechou 
T(0,1) = (3*(0)-1, -2*(0)+4*(1)) = (-1,4) – não fechou 
 
A afirmação é falsa. 
 
III – O núcleo de uma transformação linear sempre deve conter (0,0), senão não é uma 
transformação linear, como visto na afirmativa I. Portanto a afirmativa é verdadeira. 
 
 
 
Para resolver o sistema vamos utilizar o escalonamento. Montando a matriz temos 
 
1 1 1 | 1 1 1 1 | 1 x+y+z=1 
1 -1 -1 | 1 L2-> L2+L1 2 0 0 | 2 Assim 2x=2 x=1 
2 1 1 | 3 L2 -> L3+L2 3 0 0 | 4 3x=4 x=4/3 
 
Sistema impossível 
 
 
 
Para descobrirmos o peso das crianças devemos calcular o determinante da matriz, a qual x 
equivale à idade das crianças. Para facilitar sabemos que x=5, basta substituirmos este valor na 
matriz e calcular o determinante, utilizarei Sarrus 
 
 
1 -1 1 | 1 -1 
3 0 -5 | 3 0 
0 2 2/3 | 0 2 
 
(0+0+6)-(0-10-2)= 6+12=18 
 
O determinante da matriz é 18 
 
 
 
Verificando cada alternativa 
 
I - A – DetA=17 
 
3 -1 
2 5 
 
(3*5)-(2*-1) = 15+2=17 – Correta 
 
II - B – Matriz triangular superior é quando todos os elementos embaixo da diagonal principal 
(aquela que corta a matriz ao meio, seguindo da esquerda para a direita) são 0. A matriz 
triangular superior fica assim 
 
b11 b12 b13 
b21 b22 b23 
b31 b32 b33 - os item b21, b31 e b32 são 0 pois as suas linhas (i) são maiores que as colunas 
(j), então bij=0 para todo i>j 
 
A afirmação é incorreta 
 
III – Para definir se uma matriz é inversível primeiro calculamos o determinante, se ele for igual 
à 0 não é possível invertê-la. Está correta. 
 
IV - C – como mostrado no item II, o elemento c22 equivale à 4. Para transpor uma matriz 
basta trocar suas linhas por colunas, como C é uma matriz de ordem 2x3 (duas linhas e três 
colunas) então a transposta será de ordem 3x2. Está correta. 
 
V – D – o determinante de D é, utilizando Sarrus, 
 
 1 3 5 | 1 3 
 2 4 6 | 2 4 
-4 1 -1 | -4 1 
 
(-4-72+10)-(-80+6-6) = -66+80 = 14 – Está correta 
 
 
 
Neste caso temos os valores para A e I (identidade, matriz 1,0, etc.), precisamos definir X, 
sabemos que A*X=I, montando as matrizes 
 
2 1 * a b = 1 0 
1 1 c d 0 1 
 
Pra multiplicar fazemos a linha de A pela coluna de X, Assim montamos os sistemas 
 
2a+c=1 2b+d=0 
a+c=1 b+d=0 
 
Temos então que c=-a e d=-2b, substituindo nos sistemas 
 
2a+(-a)=1 -> a=1 -> c=-1 
 
b+(-2b)=1 -> b=-1 -> d=2 
 
Montando a matriz X 
 1 -1 
-1 2 
 
 
 
Sabemos que o núcleo de T é (0,0) e que T(x,y,z)=(x-z, 2x+y+3z), pelos sistemas temos 
 
x-z=0 -> x=z 
2x+y+3z=0 -> 2z+y+3z=0 -> y=-5z 
 
Assim o núcleo de T (NucT) é qualquer vetor do tipo (z, -5z, z), ou 
 
{(z,-5z,z), z ϵ R}, com dimensão dimNucT=1 
 
Para a segunda parte, a dimImT, sabemos que a dimensão de R³ é 3, e que 
 
dimV(ou R³) = dimNucT + dimImT 
 
Se dimR³ é 3 e dimNucT é 1, então dimImT só pode ser 2. Para provar 
 
ImT = (x-z, 2x+y+3z) ou x(1,2)+y(0,1)+z(-1,3) – neste caso estamos falando de transformação 
para R², que tem dimensão 2, então precisamos usar só dois itens da base de ImT, 
independente de quais forem, só escolher 
 
ImT = {(1,2), (0,1)} ou {(1,2), (-1,3)} ou {(0,1), (-1,3)} de qualquer forma sempre dá dimensão 2. 
 
 
 
Vamos verificar cada item. 
 
I – (A*B)t é de ordem 2x3, A é de ordem 3x2 e B de ordem 2x2, como temos 2 colunas em A e 
duas linhas em B elas podem ser multiplicadas 
 
2 3 3 -1 [(2*3)+(3*2)] [(2*(-1))+(3*0)] 12 -2 
4 -1 * 2 0 = [(4*3)+((-1)*2)] [(4*(-1))+((-1)*0)] -> 10 -4= A*B de ordem 3x2 
0 2 [(0*3)+(2*2)] [(0*(-1))+(2*0)] 4 0 
 
Queremos a transposta de A*B, para isso basta mudar as linhas pelas colunas 
 
12 10 4 
-2 -4 0 = (A*B)t de ordem 2x3 (duas linhas e três colunas) 
 
A afirmativa é verdadeira. 
 
II – Vamos inverter a matriz B e ver se a matriz dada é correspondente. 
 
Para inverter fazemos o seguinte, repetimos a matriz com outra matriz logo em seguida, essa 
outra é uma matriz identidade (aquela do 1 0, 0 1, etc.) 
 
3 -1 | 1 0 
2 0 | 0 1– agora vamos tentar transformar a matriz antes do | na mesma que temos depois 
dele 
 
3 -1 | 1 0 3 -1 | 1 0 L1 -> 2L1+L2 6 0 | 0 3 L1 -> L1/6 1 0 | 0 3/6 (ou ½) 
2 0 | 0 1 L2 -> 3L2-2L1 0 2 | -2 3 0 2 | -2 3 L2 -> L2/2 0 1 | -1 3/2 
 
Portanto a inversa de B, ou B-¹ é 
 
 0 1/2 
-1 3/2 
 
A afirmativa é falsa. 
 
III – Aqui temos C, matriz de ordem 2x1, e B, matriz de ordem 2x2, como C tem menos colunas 
que B tem linhas (1 e 2 respectivamente) não é possível multiplicá-las nesta ordem. 
 
Para facilitar basta verificar o segundo número da primeira matriz (C) e o primeiro número da 
segunda matriz (B), se eles forem iguais a multiplicação seria possível. 
 
Caso fosse B*C, seria possível pois o segundo número na ordem de B é 2, e o primeiro de C é 2. 
 
A afirmativa é verdadeira. 
 
 
 
Para resolver vamos montar a matriz, assim 
 
a11 a12 a13 a14 a15 
a21 a22 a23 a24 a25 
a31 a32 a33 a34 a35 
a41 a42 a43 a44 a45 
a55 a52 a53 a54 a55 
 
A expressão 5i-2j indica qual o número em cada posição de a, sendo i o primeiro número e j o 
segundo. Exemplo: 
 
Na posição a53 teremos i=5 e j=3, aí é só jogar na equação 5*5-2*3 = 25-6 = 19. Fazendo o 
mesmo para todas as outras posições, fica assim 
 
 3 1 -1 -3 -5 
 8 6 4 2 0 
13 11 9 7 5 
18 16 14 12 10 
23 21 19 17 15 
 
Agora basta somar os valores da diagonal principal em vermelho, como solicitado na questão 
 
3+6+9+12+15 = 45 
 
Outra forma seria só montar os itens da diagonal principal (a11, a22, a33, a44 e a55), sem 
precisar montar a matriz inteira, e calculá-los 
 
Espero ter ajudado.