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Prova Geometria Analítica e Álgebra Linear II - Explicada

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Prova Geometria Analítica e Álgebra Linear – 10/10/2015 
 
1 – Verifique de a matriz A é inversível e, se for, determine sua inversa 
 |1 1 -1| 
 A= |2 1 1| 
 |3 -1 1| 
 
Para saber se uma matriz é inversível basta calcular sua determinante, se for 0 ela não é 
inversível. Utilizando Sarrus chegamos ao determinante 8, então A é inversível. Vamos calcular 
a inversa de A 
 
|1 1 -1| 1 0 1| |1 1 -1| 1 0 0|L1->L1+L2 |1 0 2|-1 1 0|L1->4L1+L3 
|2 1 1| 0 1 0|L2->L2-2L1 |0 -1 3|-2 1 0| |0 -1 3|-2 1 0|L2->8L2+3L3 
|3 -1 1| 0 0 1|L3->L3-3L1 |0 -4 4|-3 0 1|L3->L3-4L2 |0 0 -8| 5 -4 1|L3/(-8) 
 
|4 0 0| 1 0 1 |L1/4 |1 0 0| 1/4 0 1/4| 
|0 -8 0| -1 -4 3 |L2/(-8) |0 1 0| 1/8 1/2 -3/8| 
|0 0 1|-5/8 1/2 -1/8| |0 0 1|-5/8 1/2 -1/8| 
 
A é inversível pois seu determinante é 8, a inversa de A é dada por 
 
 | 1/4 0 1/4| 
A⁻¹ | 1/8 1/2 -3/8| 
 |-5/8 1/2 -1/8| 
 
2 – A partir do resultado “a transformação linear F:U->V é injetora se, e somente se, 
Nuc(F)={0}, onde 0 representa o vetor nulo de U”, verifique se a transformação T:R³->R² dada 
por T(x,y,z)=(x-y+4z,3x+y+8z) é injetora. 
 
Nuc(F)=(0,0,0)=(x-y+4z,3x+y+8z)=(0,0) 
 
Como (x,y,z)=(0,0,0) temos 
 
0-0+4*0=0 
3*0+0+8*0=0 
 
T:R³->R² é injetora. 
 
 3 –Seja F:R³->R² a transformação linear dada por F(x,y,z)=(x+y,2x-y+z). Determine a base e a 
dimensão de Nuc(F). 
 
Nuc(F) é qualquer vetor de R³ que aplicada a transformação F resulte em um vetor (0,0), para 
isso temos o seguinte 
 
x+y=0 -> y=-x 
2x-y+z=0 -> 2x-(-x)+z=0 -> 3x+z=0 -> z=-3x 
 
Então o Nuc(F) será qualquer vetor na forma {(x,-x,-3x)}. Pra tirar a prova real vamos 
considerar x=1 
 
(1,-1,-3)=(x+y,2x-y+z)=(0,0) 
1+(-1)=0 
2*1-(-1)+(-3)=0 
 
Sendo assim a base do Nuc(F) é dada por {(x,-x,-3x)} e sua dimensão é dimNuc(F)=1. 
 
4 – Determine os autovalores e os autovetores do operador linear cuja matriz na base 
canônica é dada por A. 
 A= |4 -1| 
 |2 1| 
 
Para saber os autovalores basta fazer I₂-A=0, sendo I₂ a matriz identidade de ordem 2. Então 
 
|λ 0| |4 -1| = |λ-4 1 | 
|0 λ| ⁻ |2 1| |-2 λ-1| 
 
[(λ-4)*(λ-1)]-(-2*1) = λ²-5λ+6=0 
 
Utilizando Bhaskara 
 
Δ=(-5)²-4(1*6) = 25-24 = 1 
λ=(-(-5)±1)/2*1 = (5-1)/2=2 e (5+1)/2=3 
 
Autovalores de λ são 2 e 3. 
 
Autovalores 
Λ=2 
| λ-4 1 | = | 2-4 1 | = | 2 1| 
|-2 λ-1| |-2 2-1| |-2 1| 
 
Λ=3 
|3-4 1 | = | 1 1| 
|-2 3-1| |-2 2| 
 
5 – Verifique se os pontos A(1,2,4), B(-1,0,-2), C(0,2,2) e D(-2,1,-3) estão no mesmo plano. 
 
Primeiro deve-se criar o plano com três pontos, neste caso A, B e C. 
 
AB=(-2,-2,-6) AC=(-1,0,-2) 
 
ABxAC= |-2 -2 -6| = (4-0),-(4-6),(0-2) = (4,2,-2) 
 |-1 0 -2| 
 
d=-(A*ABxAC) = -(4*1+2*2+4*(-2) = -(4+4-8) = 0 
 
A equação do plano formado por ABC é π=4x+2y-2z=0, ou, 2x+y-z=0. 
 
Para verificar se D está no plano basta utilizar a equação 
 
2*(-2)+1-(-3)=0 -> -4+1+3=0 -> -4+4=0 
D pertence ao plano, ou seja, A, B, C e D estão no mesmo plano. 
 
6 – Obtenha a equação da forma simétrica da reto r que passa pelos pontos A(2,1,-3) e 
B(4,0,-2). Em seguida, verifique se o ponto D(3,1,-4) pertence a essa reta. 
 
AB=(2,-1,1) r=A+kAB 
 |x=2+2k 
 r= |y=1-k s=(x-2)/2=(y-1)/-1=(z+3)/1 
 |z=-3+k 
 
D(3,1,-4) -> (3-2)/2=1/2 = (1-1)/-1=0/-1 = (-4+3)/1=-1 – Absurdo 
 
As simétricas da reta são s=(x-2)/2=(y-1)/-1=(z+3)/1, o ponto D não pertence à reta. 
 
7 – Determine a equação da parábola de vértice V(3,-1) sabendo que y-1=0 é a equação da 
diretriz. 
 
Sabendo que a diretriz é dada por y-1=0, ou y=1. 
Por se tratar de uma parábola, a distância da diretriz para o foco é o dobro da distância do 
vértice para a diretriz, ou seja, se tomarmos o ponto A(3,1) na diretriz, temos que 
 
AV=(0,-2) - Assim a distância de FA (sendo F o foco da parábola) será 2AV, ou seja FA=(0,-4) 
 
Então F=A+2AV, ou seja 
 
F=(3,1)+2(0,-2) = (3,-3) 
 
Sabendo que o foco da parábola está em F(3,-3) temos que p=d(A,F), ou seja, p é igual a 
distância de A à F. A distância é a norma do vetor FA, assim 
 
P=√0²+(-4)² = √16 = 4 – como p e y tem que ter o mesmo sinal, então p=-4 
 
Com a fórmula (x-h)²=2p(y-k), sendo V(h,k), aplicando os valores 
 
(x-3)²=-8(y+1) 
 
A parábola com vértice V(3,-1) e diretriz y-1=0 possui foco em F(3,-3) e a sua equação é dada 
por (x-3)²=-8(y+1) 
 
8 – Com relação a aplicação T:R³->R⁴ dada por T(x,y,z)=(x,x-y,y-z,z), marque a alternativa 
INCORRETA: 
 
Analisando as alternativas 
 
A – T(1,-2,0) = (1,3,-2,0) – jogando na fórmula de T 
x = 1 , y = 1-(-2)=3, z = -2-0=-2, w = 0 -> (1,3,-2,0) - Alternativa CORRETA. 
 
B – Nuc(T) ≠ {(0,0,0,0)} – o núcleo de uma transformação linear sempre será sempre o vetor 
nulo. Alternativa INCORRETA. 
 
C – dimIm(T) = 3 – Analisando a transformação T(x,y,z)=(x,x-y,y-z,z) temos que 
Im(T) = {(x,x,0,0), (0,-y,y,0), (0,0,-z,z)}, dimIm(T) = 3 – Alternativa CORRETA. 
 
D – T é linear – uma transformação é linear se o vetor nulo for seu núcleo, então 
 
T(0,0,0) = ( x,x-y,y-z,z) = (0,0,0,0) 
x=0, x-y = 0-0=0, y-z = 0-0=0, z=0 -> (0,0,0,0) – Alternativa CORRETA. 
 
E – T(1,0,0) = (1,1,0,0) - jogando na fórmula de T 
x = 1 , y = 1-0=1, z = 0-0=0, w = 0 -> (1,1,0,0) - Alternativa CORRETA. 
 
 
9 – Para que seja de 30° o ângulo formado entre os planos π₁: x+my+2z-7=0 e π₂: 4x+5y+3z-
2=0, o valor de m deve ser: 
 
Primeiro deve-se obter os vetores normais de π₁ e π₂ 
 
n₁ = (1,m,2), n₂ = (4,5,3) 
 
n₁.n₂ = (1*4+m*5+2*3) = (4+5m+6) = 10+5m 
 
|| n₁|| = √1²+m²+2² = √1+m²+4 = √5+m² 
|| n₂|| = √4²+5²+3² = √16+25+9 = √50 = 5√2 
 
O ângulo de 30° é esquivalente à cosθ=(√3)/2, então 
 
(√3)/2=(10+5m)/[(√5+m²)*(5√2)] -> (√3)/2=(10+5m)/5(√10+2m²) -> (√3)/2=(2+m)/ (√10+2m²) 
 
(√30+6m²)²=(4+2m)²-> 30+6m²=4m²+16m+16 -> 2m²-16m+14=0 -> m²-8m+7=0 
 
Δ=(-8)²-4(1*7) -> 64-28=36 
 
m=(-(-8)±6)/2 -> (8-6)/2=2/2=1 ou (8+6)/2=14/2=7 -> m=1 ou 7 
 
Para que os planos formem o ângulo de 30° o valor de m deve ser 1 ou 7. 
 
10 – Analise as afirmações. 
 
I – Quaisquer qu sejam u e v de R², tem-se u.v = v.u 
 
O produto interno de u por v é uma multiplicação e a ordem dos fatores não altera o produto. 
A afirmativa é verdadeira. 
 
II – uₓv é ortogonal a u e v 
 
O produto vetorial de dois vetores é sempre ortogonal (forma 90°) à eles. 
A afirmativa é verdadeira. 
 
III – Se u=(-3,2,1) e v=(7,-3,-1), então u.v = (-21,-6,-1) 
 
O produto interno de dois vetores é sempre um número real, nunca um vetor. 
A afirmativa é falsa.

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