Prova Geometria Analítica e Álgebra Linear - Explicada

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Prova Geometria Analítica e Álgebra Linear – 28/09/2015 
 
1 – Calcule m para que o ângulo formado pelas retas r₁ e r₂ seja de 60° 
 |x=1+2t 
 r₁ |y=t r₂ formada pelos pontos A(3,1,-2) e B(4,0,m) 
 |z=3-t 
 
Primeiro temos que descobrir os vetores diretores destas retas. 
O vetor diretor de r₁ é dado pelos coeficientes de t (ou qualquer outra variável que aparecer na 
fórmula), então 
 
n₁=(2t,t,-t) – ou seja (2,1,-1) 
 
Como temos dois pontos da reta, o vetor diretor de r₂ é dado por AB, 
 
AB=(4-3,0-1,m-(-2)) – ou seja (1,-1,m+2)=n₂ 
 
Para obtermos o ângulo entre dois vetores utilizamos a fórmula 
 
cosθ=n₁.n₂/||n₁||*||n₂|| - produto interno de n₁ e n₂, dividido pelas normas de n₁ e n₂ 
 
Primeiro vamos calcular o produto interno e as normas. 
 
n₁.n₂ = [(2*1)+(1*-1)+(-1*m+2)] = (2-1-m-2) = (-m-1) 
||n₁||= √2²+1²+(-1)² = √4+1+1 = √6 
||n₂|| = √1²+(-1)²+(m+2)² = √2+(m+2)² - não se tira (m+2)² dos parênteses 
 
Como o cosθ para 60° é ½, temos 
 
1/2 = (-m-1)/√6*√2+(m+2)² -> 1/2 = (-m-1)/√12+6(m+2)² - aqui deve-se multiplicar 2*(-m-1) e 
1*√12+6(m+2)² ficando assim 
(√12+6(m+2)²)² = (-2m-2)² - eleva-se tudo ao quadrado para tirar a raiz 
12+6(m+2)² = (-2m-2)² - aqui temos que efetuar aquela operação de completar o quadrado 
para os dois termos entre parênteses, funciona assim 
 
(-2m-2)² -> -2m*2 = -4m*(-2) = 8m – primeiro multiplica-se m (e seu coeficiente) por 2, depois 
pelo termo dentro do parênteses sem variável (-2), agora é só fazer o restante ao quadrado 
 
(-2m)² = 4m² - (-2)²=4 -> juntando tudo -> 4m²+8m+4 
 
Faça o mesmo com o outro termo (m+2)² 
 
(m+2)² -> m*2 = 2m*2 = 4m -> m² -> 2²=4 - juntando -> m²+4m+4 
 
Voltando à equação inicial 
 
12+6(m²+4m+4)=4m²+8m+4 -> 6m²+24m+24+12=4m²+8m+4 -> 6m²-4m²+24m-8m+36-4=0 
 
2m²+16m+32=0 -> agora aplica-se a fórmula de Bháskara 
 
Δ = 16²-4(2*32) = 256-256 = 0 - portanto Δ terá um valor só 
m = (-16±0)/2*2 = -16/4 = -4 
 
Portanto m=(-4) 
 
2 – Calcule a equação para a elipse com centro em C(-3,0), foco em F(-1,0) e que é tangente 
ao eixo y. 
 
Como o centro é C(-3,0) e o foco F(-1,0) tem-se que c=2, pois 
 
(-3)-(-1) = -2 ou 2 
 
Por ser tangente à y, significa que a elipse toca em y, então um dos vértices é A(0,0), sendo 
assim 
 
(-3)-0 = -3 ou 3, a=3 
 
Como na elipse b²=a²-c², temos que 
 
b² = 3²-2² = 9-4 = 5 = √5 
 
a=2; b=√5; c=2 
 
Então para a equação da elipse temos 
 
(x+3)/3²+(y-0)/( √5)²=1 ou (x+3)/9+(y-0)/5=1 
 
 3 – Com u=(a₁,b₁,c₁) e v=(a₂,b₂,c₂), prove que se u=kv, então ||u||=|k|||v|| 
 
u=kV -> (a₁,b₁,c₁)=k(a₂,b₂,c₂) 
 
||u||=|k|||v|| -> √(a₁)²+(b₁)²+(c₁)²=k√(a₂)²+(b₂)²+(c₂)² 
 
Na prática, u=(2,2,2), v=(1,1,1) e k=2 
 
(2,2,2)=2(1,1,1) 
 
√2²+2²+2²=2√1²+1²+1² -> √12=2√3=√12 
 
4 – Estabeleça as paramétricas da reta t que passa pelo ponto P(3,2,1) e é ortogonal à r e s 
simultaneamente 
 |x=1 
 r |y=t s=(x-3)/1 = y/2 = (z-4)/-1 
 |z=2 
 
Temos que os vetores diretores de r é n₁=(0,1,0) e s é n₂=(1,2,-1). Uma reta que seja 
simultaneamente ortogonal (90°) à r e s é o produto vetorial de n₁ e n₂, assim 
 
n₁ₓn₂ = |0 1 0| -> (-1-0),-(0-0),(0-1) -> (-1,0,-1) 
 |1 2 -1| 
 
Para obter as paramétricas da reta t basta fazer (x,y,z)=P+ t(n₁ₓn₂), assim 
 
(x,y,z)=(3,2,1)+t(-1,0,-1) 
 |x=3-t 
 t |y=2 
 |z=1-t 
 
5 – Determine os autovalores para A 
 | 1 0 0| 
 A |-1 0 -2| 
 | 1 1 3| 
 
Para obter os autovalores de A temos que fazer I₃-A=det0, onde I₃ é uma matriz identidade 
(aquela do 1 0 0, 0 1 0, etc.) de ordem 3x3 que quando subtraída A tem determinando igual à 
0, assim 
 
| k 0 0| | 1 0 0| |k-1 0 0| 
|0 k 0| - |-1 0 -2| = 0 ou | 1 k 2| = 0 
|0 0 k| | 1 1 3| |-1 -1 k-3| 
 
Calculando por Sarrus temos 
 
{[(k-1)*(k-3)*k]+0+0} - {0-2k+2} = 0 -> [(k²-4k+3)*k] +2k-2 = 0 -> k³-4k²+5k-2=0 
 
Como esperamos encontrar número inteiros, vamos verificar os multiplicadores do termo sem 
variável (-2). Assom temos 1 e 2, testando 
 
k = 1 -> 1³-4*1²+5*1-2=0 -> 1-4+5-2=0 -> 6-6=0 – fechou, 1 é raiz de k 
 
k = 2 -> 2³-4*2²+5*2-2=0 -> 8-16+10-2=0 -> 18-18=0 – fechou, 2 também é raiz de k 
 
Sendo assim temos só duas raízes para k, k=1 e k=2. 
 
6 – Sendo o operador linear F:R³->R³ da base canônica, onde F(1,0,0)=(2,3,1), F(0,1,0)=(5,2,7) 
e F(0,0,1)=(-2,0,7), determine F(x,y,z) 
 
Sabemos que na base canônica temos 
 
x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1)=(x,y,z) 
 
Assim 
 
xF(1,0,0)+yF(0,1,0)+zF(0,0,1)=(x,y,z) -> x(2,3,1)+y(5,2,7+z(-2,0,7)=(x,y,z) 
x = (2x+5y-2z); y = (3x+2y); z = (x+7y+7z) 
 
Desta forma F(x,y,z)=(2x+5y-2z, 3x+2y, x+7y+7z). 
 
7 – Dados A(-1,2), B(3,-1) e C(-2,4), determine D para que CD=1/2AB 
 
AB=(4,-3); 1/2AB=(2,-3/2); CD=(x+2,y-4) 
 
Como CD=1/2AB, temos 
 
(x+2,y-4)=(2,-3/2) -> x+2=2 -> x=2-2=0 
-> y-4=-3/2 -> y=(-3/2)+4=5/2 
 
Assim, para que CD=1/2AB, D deve ser D(0,5/2). 
 
8 – Analise o sistema linear 
2x-y+z-t=4 
3x+2y-z+2t=1 
2x-y-z-t=0 
5x+2t=1 
 
Utilizaremos o escalonamento. 
 
|2 -1 1 -1|4 |2 -1 1 -1|4 L1->L1-2L2 |1 3 -2 3|-3 L1->5L1-L3 
|3 2 -1 2|1 L2->L2-l1 |1 3 -2 3|-3 L2<->L1 |0 -7 5 -7|10 
|2 -1 -1 -1|0 L3->L3-L1 |0 0 -2 0|-4 L3<->L4 |5 0 0 2|1 
|5 0 0 2|1 |5 0 0 2|1 |0 0 -2 0|-4 
 
|0 15 -10 13|-16 L1->7L1+13L2 |0 14 -5 0|18 
|0 -7 5 -7|10 |0 -7 5 -7|10 
|5 0 0 2|1 |5 0 0 2|1 
|0 0 -2 0|-4 |0 0 -2 0|-4 
 
Retornando ao sistema temos 
 
-2z=-4 -> z=2 
14y-5z=18 -> 14y-5*2=18 -> 14y-10=18 -> y=28/14 -> y=2 
-7y+5z-7t=10 -> -7*2+5*2-7t=10 -> -14+10-7t=10 -> t=-14/7 -> t=-2 
5x+2t=1 -> 5x+2*(-2)=1 -> 5x-4=1 -> x=5/5 -> x=1 
 
Sendo assim, temos um sistema possível com S={1,2,2,-2}. 
 
Um método mais fácil seria utilizar os valores dados nas opções e verificar se fechava. 
 
9 – Determine as quádricas a partir das equações 
 
4x²-9y²-36z=0 – Parabolóide hiperbólico, note que é o mesmo que 4x²-9y²=36z 
z²-4x²-4y²=4 – Hiperbolóide de duas folhas 
4x²+9y²=36z – Parabolóide elíptico 
 
10 – Analise as afirmações. 
 
I – O volume do paralelepípedo formado por u=(2,-2,0), v=(0,1,0) e w=(-2,-1,-1) é 2. 
 
Para obter o volume do paralelepípedo basta fazer o produto misto. 
 | 2 -2 0| 
[u,v,w] | 0 1 0| 
 |-2 -1 -1| 
 
Utilizando Sarrus temos 
 
(-2+0+0)-(0+0+0) = -2 – em se tratando de volume, o mesmo não pode ser negativo, então o 
volume é 2. 
 
A afirmativa é verdadeira. 
 
II – A área do paralelogramo ABCD, em que AB=(1,1,-1) e AD=(2,1,4) é √62. 
 
Para obter a área do paralelogramo deve-se calcular a norma do produto vetorial, assim 
 
ABₓAD |1 1 -1| (4+1),-(4+2),(1-2) = (5,-6,-1) 
 |2 1 4| 
 
||ABₓAD|| = √5²+(-6)²+(-1)² = √25+36+1 = √62 
 
A afirmativa é verdadeira. 
 
III – O ângulo formado pelos vetores u=(√3/2,1/2,0) e v=(√3/2,1/2, √3) é de π/3 (60°). 
 
u.v = [(√3/2*√3/2)+(1/2*1/2)+(0*√3)] = (3/4+1/4) = 1 
 
||u|| = √(√3/2)²+(1/2)²+0² = √3/4+1/4 = √1 = 1 
||v|| = √(√3/2)²+(1/2)²+( √3)² = √3/4+1/4+3 = √4 = 2 
 
60° = cosθ=1/2 
 
cosθ = (u.v)/||u||*||v|| -> 1/2 = 1/1*2 -> 1/2 = ½ 
 
A afirmativa é verdadeira.