Cálculo I - Aula 11 - 725

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André Gustavo Campos Pereira
Joaquim Elias de Freitas
Roosewelt Fonseca Soares
Cálculo ID I S C I P L I N A
Propriedades da integral 
definida e técnicas de integração
Autores
aula
11
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Apresentação
Na aula 10 (A integral definida), apresentamos a definição de integral definida e utilizamos o teorema fundamental do cálculo para calcular tais integrais quando a função que estamos integrando é contínua. Nesta aula, estudaremos as propriedades 
da integral definida e algumas técnicas (técnicas de integração) que nos permitem calcular a 
integral mesmo que a função não tenha uma primitiva aparente.
Objetivos
Esperamos que ao final desta aula você possa calcular as integrais 
definidas de muitas funções, não apenas utilizando as primitivas, 
mas aplicando as técnicas que desenvolveremos nesta aula.
Aula 11  Cálculo I� Aula 11  Cálculo I
+ +
- -
y
f(x)
b x
a
Propriedades
Assim como mostramos na aula 8 (A primitiva), podemos usar outras variáveis de 
integração (para expressar a variável independente) para expressar uma integral definida, 
tais como 
 b
a
f(t)dt,
 2
1
g(x)dx e
 x
a
f(t)dt .
Não sei se você notou, mas na definição das somas de Riemann, e posteriormente no 
cálculo da integral definida 
 b
a
f(x)dx, não falamos se a função f era positiva, negativa 
ou podia mudar de sinal no intervalo que a estamos estudando, no caso [a, b]. Entretanto, 
é bom perceber que quando estamos analisando num subintervalo onde a função f é 
negativa o termo f(x¯k)∆xk será negativo, e, como estamos somando todos eles, teremos 
que lim
P→0
n
k=1
f(x¯k)∆xk conterá parcelas positivas e negativas, sendo que as parcelas 
negativas representarão a “área” do retângulo de “altura” f(x¯k) (as aspas foram colocadas 
porquef(x¯k) é negativo e não existe altura em área negativas) e base ∆xk . A soma da 
área desses retângulos nos dará a área entre a curva e o eixo. Assim, em termos de áreas 
podemos dizer que a soma de Riemann calcula a soma das áreas entre o eixo e o gráfico da 
função, observando que se a função é positiva o valor dessa “área” é positiva, se negativa 
a “área” será negativa. Tal resultado negativo apenas indicará que a função no intervalo de 
integração produz área maior abaixo do eixo do que acima. A Figura 1 ilustra essa discussão 
de forma mais simplificada.
Figura 1 - Sinal que a área terá no cálculo da integral
A área resultante é a soma algébrica das áreas consideradas positivas, acima do eixo 
dos x, e negativas, abaixo do eixo dos x.
Aula 11  Cálculo I Aula 11  Cálculo I �
1
0,5
0
-0,5
-1
0 1 2 3 4 5 6
x
Figura � - Gráfico do seno no intervalo [0, 2π]
Como ela é contínua e possui primitiva, temos que 
 2π
0
sen(x)dx = −cos(x)

2π
0
= −cos(2π)− (−cos(0)) = −1− (−1) = −1 + 1 = 0 .
Ou seja, se observarmos apenas como área, teremos que a área seria zero. Ora, vemos 
claramente que a área não é zero. Então, tal integral não quer dizer área, e sim que a soma 
das áreas onde a área acima do gráfico recebe valor positivo e abaixo negativo é igual a zero. 
Isso ficou claro?
E se quisermos calcular a área dessas regiões? É o que veremos na próxima seção.
Como a aplicação de integral não se resume ao cálculo de áreas, não mais nos 
referiremos à integral como a área abaixo do gráfico da f, senão teríamos que ficar colocando 
aspas todas as vezes que aparecesse um número negativo.
Só para se ter idéia de como isso pode ficar confuso, imagine o gráfico do seno no 
intervalo [0, 2π] , ilustrado na Figura 2.
Aula 11  Cálculo I� Aula 11  Cálculo I
Como encontrar a área total
Para determinar analiticamente a área entre o gráfico da função y = f(x) e o eixo x no 
intervalo [a, b] proceda do seguinte modo.
1) Particione o intervalo [a, b] com as raízes da função f;
2) Integre a função f em cada subintervalo;
3) Some os valores absolutos das integrais.
Exemplo 1 
Determine a área total da região entre a curva y = −x2 − 2x e o eixo x no intervalo 
fechado −3 ≤ x ≤ 2 .
Solução
As raízes da função f(x) = −x2 − 2x são x = −2 e x = 0. Construindo a partição P 
do intervalo [−3, 2] com as raízes da função, obtemos P = {−3, −2, 0, 2}.
Integral sobre [−3, −2]:
 −2
−3
(−x2 − 2x)dx =

−
x3
3
− x2
−2
−3
= −

(−2)3
3
−
(−3)3
3
+ (−2)2 − (−3)2

= −
4
3
;
integral sobre [−3, 0]:
 0
−2
(−x2 − 2x)dx =

−
x3
3
− x2
0
−2
= −

0−
(−2)3
3
+ 0− (−2)2

= −
8
3
+ 4 =
4
3
;
integral sobre [0, 2]:
 2
0
(−x2 − 2x)dx =

−
x3
3
− x2
2
0
= −

23
3
− 0 + 22 − 0

= −
8
3
− 4 = −
20
3
;
área incluída:

 −2
−3
(−x2 − 2x)dx
+
 0
−2
(−x2 − 2x)dx+

 2
0
(−x2 − 2x)dx

=
−
4
3
+
4
3
+
−
20
3
 =
4
3
+
4
3
+
20
3
.
A área total entre o eixo x e a curva f(x) = −x2 − 2x é 28
3
.
Aula 11  Cálculo I Aula 11  Cálculo I 5
Exemplo 2
 Determine a área total da região entre a curva y = x3 − 4x e o eixo x, no intervalo 
fechado −2 ≤ x ≤ 2 .
Solução
 As raízes da função f(x) = x3 − 4x são x = −2, x = 0 e x = 2 . Construindo a 
partição P do intervalo [−2, 2] com as raízes da função, obtemos P = {−2, 0, 2} .
Integral sobre [−2, 0]:
 0
−2
(x3 − 4x)dx =

x4
4
− 2x2
0
−2
=

0−
(−2)4
4
− 0 + 2(−2)2

= −
16
4
+ 8 = 4;
integral sobre [0, 2]:
 2
0
(x3 − 4x)dx =

x4
4
− 2x2
2
0
=

24
4
− 0 + 2(2)2 + 0

=
16
4
− 8 = 4− 8 = −4;
área incluída:
 0
−2
(x3 − 4x)dx+

 2
0
(x3 − 4x)dx
 = 4 + | − 4| = 4 + 4 = 8.
Procedendo da mesma maneira, calcularemos a área entre o gráfi co e o eixo x.
Na defi nição de integral defi nida, supusemosque o limite inferior a é menor que o limite 
superior b, ou seja, a < b . Devido às propriedades da integral defi nida, é conveniente que 
estendamos esta defi nição aos demais casos a = b e a > b .
Defi nição 1
 Seja f uma função integrável no intervalo fechado [a, b] e c um ponto qualquer 
em [a, b], então, defi nimos:
I) 
 bb
aa

a

ff((xx))dxdx == −−
 bb
aa

a

ff((xx))dxdx ;
II) 
 cc
cc

c

ff((xx))dxdx = 0= 0 .
Como a integral defi nida é obtida através do cálculo de um limite de uma soma 
de Riemann, ela herda muitas propriedades de soma e de limites, do que decorre 
importantes propriedades enunciadas nos dois teoremas seguintes.
Aula 11  Cálculo I6 Aula 11  Cálculo I
a c c
x
y
f(x)
f(x)dx
c
a∫ f(x)dx
b
a∫
Teorema 1
Se f é uma função integrável no intervalo fechado [a, b] e se c é um ponto 
qualquer em [a, b], então,
 bb
aa

a

ff((xx))dxdx ==
 cc
aa

a

ff((xx))dxdx++
 bb
cc

c

ff((xx))dxdx..
Esse teorema é facilmente entendido interpretando-se a integral defi nida como o cálculo 
da área entre o eixo dos x e o gráfi co do integrando do limite inferior ao limite superior de 
integração, conforme a Figura 3.
Figura � - Interpretação da integral defi nida como área
 b
a
f(x)dx =
 c
a
f(x)dx+
 b
c
f(x)dx.
Teorema 2
Se f e g são funções integráveis no intervalo fechado [a, b] e k é uma constante 
qualquer, então,
I) 
 bb
aa

a

kfkf((xx))dxdx == kk
 bb
aa

a

ff((xx))dxdx;;;
II) 
 bb
aa

a

((ff((xx))±± gg((xx))))dxdx ==
 bb
aa

a

ff((xx))dxdx±±
 bb
aa

a

gg((xx))dxdx.
Neste ponto, achamos oportuno fazer a distinção entre integral defi nida e integral 
indefi nida.
Aula 11  Cálculo I Aula 11  Cálculo I 7
A integral defi nida tem os limites de integração 
 b
a
f(x)dx e o resultado é um número, 
enquanto a integral indefi nida 

f(x)dx não tem limites de integração e tem como resultado 
uma função ou uma família de funções (a primitiva).
Exemplo 3
 Seja f uma função constante defi nida pela equação f(x) = K , onde K é um número 
constante. Então,
 b
a
f(x)dx =
 b
a
Kdx = K
 b
a
dx = Kx

b
a
= K(b− a).
Geometricamente, isso signifi ca que um retângulo com largura b – a e altura |K| tem 
uma área igual a |K|(b− a) unidades quadradas.
Em particular,
 b
a
dx =
 b
a
1dx = b− a
e
 b
a
0dx = 0 · (b− a) = 0.
Teorema 3 (Teorema do valor médio para integrais) 
Suponhamos que f seja uma função contínua no intervalo [a, b]. Então, existe 
um número c em [a, b] tal que
f((cc)) ·· ((bb−− aa) =) =
 bb
aa

a

ff((xx))dxdx.
Defi nição 2 (Valor médio de uma função em um intervalo) 
Seja f uma função integrável no intervalo [a, b]. Então, o valor médio de f em 
[a, b] é dado por
11
bb−− aa
 bb
aa

a

ff((xx))dxdx..
O Teorema do valor médio para integrais simplesmente afi rma que uma função contínua 
f em um intervalo [a, b] assume seu valor médio em algum número c nesse intervalo.
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Exemplo 4
Calcule o valor médio da função f definida por f(x) = x2 no intervalo [1, 4] e calcule 
um valor de c, nesse intervalo, tal que f (c) dê seu valor médio.
Solução
O valor médio desejado é dado por
1
4− 1
 4
1
x2dx =
1
3

1
3
(43 − 13)

= 7.
Necessitamos encontrar o valor de c, com 1 ≤ c ≤ 4 , tal que f(c) = c2 = 7 . Então, 
c =
√
7 .
Exemplo 5 (Determinando áreas com primitivas) 
Determine a área da região entre o eixo x e o gráfico da função f(x) = x3 − x2 − 2x 
no intervalo fechado −1 ≤ x ≤ 2 .
Solução
Primeiro, determine as raízes da função f. Como
f(x) = x3 − x2 − 2x = x · (x+ 1)(x− 2),,
as raízes são x = 0, x = −1 e x = 2. As raízes [–1, 2] são particionadas em dois 
subintervalos [–1, 0], em que f(x) ≥ 0 , e [0, 2], em que f(x) ≤ 0 . Integramos f ao longo 
de cada subintervalo e somamos os valores absolutos dos valores calculados.
Integral sobre [–1, 0]: 
[−1, 0] :
 0
−1
(x3 − x2 − 2x)dx =

x4
4
−
x3
3
− x2
0
−1
= 0−

1
4
+
1
3
− 1

=
5
12
;
integral sobre [0, 2]:
[0, 2] :
 2
0
(x3 − x2 − 2x)dx =

x4
4
−
x3
3
− x2
2
0
=

4−
8
3
− 4

= −
8
3
;;
área incluída: área total incluída é a soma dos valores absolutos das integrais no intervalo 
total particionado
 0
−1
(x3 − x2 − 2x)dx+

 2
0
(x3 − x2 − 2x)dx
 =
5
12
+
−
8
3
 =
5
12
+
8
3
=
37
12
.
Aula 11  Cálculo I Aula 11  Cálculo I �
Atividade 1
1
�
�
�
5
su
a 
re
sp
os
ta
Calcule o valor médio da função f definida por f(x) = x3 no 
intervalo [1, 4] e calcule um valor de c, nesse intervalo, tal que f(c) 
dê seu valor médio.
Determine a área total da região entre o eixo x e o gráfico da 
função f(x) = x2 no intervalo fechado −1 ≤ x ≤ 1.
Determine a área total da região entre o eixo x e o gráfico da 
função f(x) = x2 − 1 no intervalo fechado −1 ≤ x ≤ 1.
Determine a área da região entre o eixo x e o gráfico da 
função f(x) = x2 + 1 , no intervalo fechado −1 ≤ x ≤ 1.
Determine a área total da região entre a curva y = x3 − 3x2 + 2x 
e o eixo x, no intervalo fechado 0 ≤ x ≤ 2.
Aula 11  Cálculo I10 Aula 11  Cálculo I
Técnicas de integração
Integral por partes
Quando não podemos encontrar uma primitiva para o integrando de modo que se 
possa aplicar os teoremas vistos nas aulas anteriores, devemos buscar outros métodos para 
calcular a integral. Um deles é a da integração por partes.
Sejam u e v funções deriváveis de x, aplicando a regra de derivação do produto temos
d
dx
(uv) = u
dv
dx
+ v
du
dx
,
u
dv
dx
=
d
dx
(uv)− v
du
dx
.
Integrando ambos os membros em relação a x, obtemos a menos de constantes

u
dv
dx
dx =

d
dx
(uv)dx−

v
du
dx
dx,

u
dv
dx
dx = uv −

v
du
dx
dx.
Esta é a fórmula de integral por partes que pode ser reescrita na forma diferencial 
a seguir 
udv = uv −

vdu.
Esta fórmula transforma uma integral em outra. Em alguns casos não conseguimos 
calcular a primeira integral, mas conseguimos a calcular a segunda, como veremos em 
alguns exemplos a seguir.
Esta técnica é muito usada nos casos quando se tem o produto de dois dos três tipos 
de funções: monômios em x, exponenciais e senos ou cossenos.
Exemplo 6
Calcule a integral 

xsenxdx pelo método da integração por partes.
Solução
Como não conseguimos visualizar uma primitiva imediata para xsen(x), devemos 
tentar outra forma de calcular essa integral. Vamos tentar utilizar integração por partes, ou 
seja, tentaremos usar a fórmula 

udv = uv −

vdu . Para tanto, devemos identificar 
quem fará o papel de u e de v. 
Aula 11  Cálculo I Aula 11  Cálculo I 11
Uma tentativa natural seria u = x, dv = senxdx, pois com isso 

xsenxdx =

udv 
e assim já estaríamos com o primeiro membro da fórmula da mudança de variáveis. 
Calculemos os termos do segundo membro. Para isso, precisamos saber quem é v e du.
Sabemos que é dv, logo, para encontrar v precisamos apenas integrar dv, já 
que 

dv = v +K . No momento, não nos preocuparemos com as constantes, 
para que fixemos nossa atenção no procedimento que deveremos executar. Assim, 
v =

dv =

sen(x)dx = −cos(x).
Como u = x, derivando u em relação a x teremos que 
du
dx
= (x) = 1⇒ du = dx e 
assim o segundo membro pode ser escrito como
uv −

vdu = x(−cos(x))−

(−cos(x))dx; escrevendo a equaçãotoda, temos

xsenxdx = x · (−cosx)−

(−cosx)dx,

xsenxdx = −xcosx+

cosxdx,

xsenxdx = −xcosx+ senx.
Note que quando estamos trabalhando com integrais impróprias (sem os limites de 
integração) encontramos uma primitiva para o integrando, logo temos que a primitiva de 
xsen(x) é − xcos(x) + sen(x) +K .
Exemplo 7
Calcule a integral 

xcosxdx .
Solução
Devemos identificar quem fará o papel de u e de v. Uma tentativa natural seria 
u = x, dv = cos(x)dx . Assim, 

xcosxdx =

udv , e usando integração por partes 
temos 

udv = uv −

vdu.
Calculando v e du, temos du = dx, v =

cosxdx = senx .
Aula 11  Cálculo I1� Aula 11  Cálculo I
Substituindo u, du e v no 2º membro da fórmula de integral por partes, obtemos

xcosxdx = x · senx−

senxdx,

xcosdx = xsenx− (−cosx),

xcosxdx = xsenx+ cosx.
A partir disso, podemos dizer que a primitiva de xcos(x) é xsen(x) + cos(x) +K .
Às vezes, precisamos utilizar a integração por partes mais de uma vez para chegarmos 
ao resultado, como ilustramos no exemplo a seguir
Exemplo 8
Calcule a integral 

x2senxdx .
Solução
 Devemos identificar quem fará o papel de u e de v. Uma tentativa natural seria 
u = x2, dv = sen(x)dx . Assim, 

x2sen(x)dx =

udv , e usando integração por 
partes temos 

udv = uv −

vdu.
Calculando v e du, temos 
du
dx
= (x2) = 2x⇒ du = 2xdx e v =

sen(x)dx = −cos(x).
Substituindo u, du e v no 2º membro da fórmula de integral por partes, obtemos

x2senxdx = x2 · (−cosx)−

(−cosx)2xdx,

x2senxdx = −x2cosx+ 2

xcosxdx
Note que a integral 

xcosxdx foi calculada no exemplo 5, utilizando o resultado 
obtido, chegamos a 

x2senxdx = −x2cosx+ 2(xsenx+ cosx),

x2senxdx = −x2cosx+ 2xsenx+ 2cosx.
A partir daí, podemos dizer que a primitiva de x2sen(x) é
−x2cos(x) + 2xsen(x) + 2cos(x) +K .
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Exemplo 9
Calcule a integral indefinida 

xexdx .
Solução 
Devemos identificar quem fará o papel de u e de v. Uma tentativa natural seria 
u = x, dv = exdx. Assim, 

xexdx =

udv , e usando integração por partes temos 

udv = uv −

vdu.
Calculando v e du, temos 
du
dx
= (x) = 1⇒ du = dx e v =

exdx = ex .
Substituindo u, du e v no 2º membro da fórmula de integral por partes,

xexdx = x · ex −

exdx,

xexdx = xex − ex
Daí podemos dizer que a primitiva de xex é xex − ex +K .
Você poderá perguntar: e se quisermos utilizar a integração por partes para calcular a 
integral definida ao invés da integral indefinida?
A idéia é exatamente a mesma, vamos repetir o procedimento anterior para ilustrar a 
única mudança,
Sejam u e v funções deriváveis de x. Aplicando-se a regra de derivação do 
produto temos
d
dx
(uv) = u
dv
dx
+ v
du
dx
,
u
dv
dx
=
d
dx
(uv)− v
du
dx
.
Calculando a integral definida no mesmo intervalo de integração em ambos os membros 
em relação a x, obtemos (a mudança foi exatamente aqui) 
 b
a
u
dv
dx
dx =
 b
a
d
dx
(uv)dx−
 b
a
v
du
dx
dx,
 b
a
u
dv
dx
= uv

b
a
−
 b
a
v
du
dx
dx.
Aula 11  Cálculo I1� Aula 11  Cálculo I
Esta é a fórmula de integral por partes (definida) que pode ser reescrita na forma 
diferencial a seguir
 v
a
udv = uv

b
a
−
 b
a
vdu .
Neste ponto quero deixar claro que as mudanças são feitas como anteriormente, 
ou seja, tanto o u quanto o v são funções de x e fizemos apenas as substituições 
necessárias para continuarmos com a igualdade. Refaçamos os exemplos anteriores, 
agora para integral definida.
Exemplo 10
Calcule a integral 
 π
2
0
xcosxdx .
Solução
Usando as mesmas escolhas do exemplo 7, teremos que 
 π
2
0
xcosxdx = x · senx

π
2
0
−
 π
2
senxdx
 π
2
0
xcosxdx =
π
2
sen
π
2

− 0sen(0)

− (−cosx)

π
2
0
,
 π
2
0
xcosxdx =
π
2
−

−cos
π
2

− (−cos(0))

=
π
2
− 1
Exemplo 11
Calcule a integral 
 π
2
0
x2senxdx .
Solução
 Usando as mesmas escolhas do exemplo 6, teremos que 
 π
2
0
x2senxdx = x2 · (−cosx)

π
2
0
−
 π
2
0
(−cosx)2xdx,
 π
2
0
x2senxdx =

−
π
2
2
cos
π
2

− (−02cos(0))

+ 2
 π
2
0
(cosx)xdx = 2
π
2
− 1

Aula 11  Cálculo I Aula 11  Cálculo I 15
Atividade 2
1
�
�
�
5
su
a 
re
sp
os
ta
Calcule a integral 

xx22cosxdxcosxdx pelo método da integração por 
partes.
Calcule a integral 

xx22eexxdxdx pelo método da integração por partes.
Utilize o método da substituição e a integração por partes para
calcular a integral 
Utilize o método da substituição e a integração por partes paraUtilize o método da substituição e a integração por partes paraUtilize o método da substituição e a integração por partes para
xx22eexx
22
dxdx .
Utilize o método da substituição e a integração por partes para
calcular a integral 
Utilize o método da substituição e a integração por partes paraUtilize o método da substituição e a integração por partes paraUtilize o método da substituição e a integração por partes paraππUtilize o método da substituição e a integração por partes paraπUtilize o método da substituição e a integração por partes paraUtilize o método da substituição e a integração por partes para
00

0

xx22coscos((xx22))dxdx .
Utilize o método da substituição e a integração por partes para
calcular a integral 
Utilize o método da substituição e a integração por partes paraUtilize o método da substituição e a integração por partes paraUtilize o método da substituição e a integração por partes paraUtilize o método da substituição e a integração por partes paraπUtilize o método da substituição e a integração por partes paraUtilize o método da substituição e a integração por partes paraUtilize o método da substituição e a integração por partes paraUtilize o método da substituição e a integração por partes para
22
00

0

xx22sensen((xx22))dxdx.
Aula 11  Cálculo I16
Resumo
1
�
�
Vimos nesta aula que a idéia de utilizar a integral apenas como área sob o 
gráfico de uma função pode causar certa confusão e que para calcular a área 
total devemos somar as áreas acima do eixo e tomar o valor positivo da integral 
que supostamente calcularia a área entre o gráfico e o eixo dos x. Vimos 
também que nem sempre a primitiva de uma função pode ser obtida de forma 
direta para que possamos usar o teorema fundamental do cálculo para resolver 
a integral. Quando isso acontece, podemos utilizar técnicas de integração para 
resolver a integral. Nesta aula, vimos ainda a técnica de integração por partes.
Auto-avaliação
Qual a diferença entre o resultado de uma integral definida e de uma indefinida?
Escreva com suas palavras o que ficou claro na discussão sobre utilizar a integral 
definida para cálculo de área compreendida entre o gráfico da função e o eixo x.
Você poderia fazer uma analogia com derivadas e escrever quais propriedades se 
repetem? Por exemplo, a derivada de uma função vezes uma constante é igual a 
constante vezes a derivada da função e a integral de uma constante vezes uma 
função é igual a constante vezes a integral da função.
Referências
ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. v 1.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. v 1.
SIMMONS, George F. Cálculo: com geometria analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. v 1.
THOMAS, George B. Cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 2002.
Aula 11  Cálculo I