Lista - Séries geométricas, telescópicas e harmônicas

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Séries (Geométricas, telescópicas e harmônica)
1. Em cada item, encontre os valores exatos das quatro primeiras somas parciais, encontre
a forma geral para a enésima soma parcial e determine se a série converge calculando o
limite da enésima soma parcial. Se a série convergir, obtenha sua soma.
(a) 2 +
2
5
+
2
52
+ · · ·+ 2
5n−1
+ · · · R.: 2, 12
5
,
62
25
,
312
125
;
5
2
(
1−
(
1
5
)n)
; lim sn =
5
2
, converge.
(b)
1
4
+
2
4
+
22
4
+ · · ·+ 2
n−1
4
+ · · · R.: 1
4
,
3
4
,
7
4
,
15
4
; −1
4
(1− 2n) ; lim sn = +∞, diverge.
(c)
1
2 · 3 +
1
3 · 4 +
1
4 · 5 + · · ·+
1
(n+ 1)(n+ 2)
+ · · · R.: 1
6
,
1
4
,
3
10
,
1
3
;
1
4
− 1
n+ 2
; lim sn =
1
2
, converge.
2. Em cada item, encontre os valores exatos das quatro primeiras somas parciais, encontre
a forma geral para a enésima soma parcial e determine se a série converge calculando o
limite da enésima soma parcial. Se a série convergir, obtenha sua soma.
(a)
∞∑
n=1
(
1
4
)n−1
(b)
∞∑
n=1
4n−1
(c)
∞∑
n=1
(
1
n+ 3
− 1
n+ 4
)
3-16. Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
3.
∞∑
n=1
(
−3
4
)n−1
R.:
4
7
.
4.
∞∑
n=1
(
2
3
)n+2
5.
∞∑
n=1
(−1)n−1
(
7
6n−1
)
R.: 6.
6.
∞∑
n=1
1
(n+ 2)(n+ 3)
R.:
1
3
.
7.
∞∑
n=1
(
1
2n
− 1
2n+1
)
8.
∞∑
n=1
2
n2 + 2n
R.:
3
2
.
9.
∞∑
n=2
(
2
n2 − 1 + (−0, 75)
n−2
)
R.:
29
14
.
10.
∞∑
n=1
1
9n2 + 3n− 2 R.:
1
6
.
11.
∞∑
n=3
1
n− 2 R.: diverge.
12.
∞∑
n=1
( e
pi
)n−1
13.
∞∑
n=1
4n+2
7n−1
R.:
448
3
.
14.
∞∑
n=1
53n71−n
15.
∞∑
n=1
4
(4n− 3)(4n+ 1)
16.
∞∑
n=1
[ 1
4
(n− 3
4
)(n+ 1
4
)
+ 4n
]
1
17. Mostre que a série
∞∑
n=1
ln
(
n
n+ 1
)
diverge. (Obs: note que não é possível utilizar o
teste do n-ésimo termo para divergência).
18-19. Expresse a dízima periódica como uma função.
18. 0, 99999 . . . 19. 5, 373737 . . . R.: 532
99
.
20. O grande matemático suíço Leonhard Euler chegou, algumas vezes, a conclusões
erradas em seu pioneiro trabalho sobre séries infinitas. Por exemplo, Euler deduziu que
1
2
= 1− 1 + 1− 1 + · · ·
e
−1 = 1 + 2 + 4 + 8 + · · · .
substituindo r = −1 e r = 2 na fórmula
1
1− r = 1 + r + r
2 + r3 + · · · .
Qual é o problema com esse raciocínio?
21. Um bola é largada de uma altura de 10 m. Cada vez que bate no chão, ela retorna
verticalmente até uma altura que é 3/4 da altura precedente. Encontre a distância total
que a bola percorre, supondo que retorne indeterminadamente. R.: 70m.
22. A figura abaixo mostra uma “escadaria infinita” construída de cubos. Encontre o
volume total da escadaria, dado que o maior dos cubos tem um lado de comprimento 1
e que cada cubo sucessivo tem um lado de comprimento igual à metade do lado do cubo
precedente.
23. Encontre uma forma geral para a enésima soma parcial da série
ln
(
1− 1
4
)
+ ln
(
1− 1
9
)
+ ln
(
1− 1
16
)
+ · · ·+ ln
(
1− 1
(n+ 1)2
)
+ · · ·
e determine se a série converge. Se convergir, encontre sua soma. R.: sn = − ln(n+1); lim sn = −∞;
a série diverge.
24. É possível calcular a soma
∞∑
n=1
−1√
n+ 1 +
√
n
? R.: a série diverge.
25. Mostre que
∞∑
n=1
√
n+ 1−√n√
n2 + n
= 1.
26. Mostre que
∞∑
n=1
(
1
n
− 1
n+ 2
)
=
3
2
.
27. Mostre que
1
1 · 3 +
1
3 · 5 +
1
5 · 7 + · · · =
1
2
.
2