Lista - Comprimento de Curvas

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Comprimento de Curvas Planas
1. Use o Teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento do segmento de reta y = 2x
entre (1, 2) e (2, 4) e confirme que o valor está de acordo com o comprimento calculado
usando as fórmulas
L =
∫ b
a
√
1 + [f ′(x)]2dx
e
L =
∫ d
c
√
1 + [g′(y)]2dy.
Resposta: L =
√
5.
2-7. Encontre o comprimento de arco exato das curvas acima dos intervalos dados.
2. y = 3x3/2 − 1 de x = 0 até x = 1. Resposta: 85
√
85−8
243
3. r = e−θ de θ = 0 até θ = 2pi. Resposta:
√
2(1− e−2pi)
4. y = x2/3 de x = 1 até x = 8. Resposta: 80
√
10−13√13
27
5. x =
1
3
y3 +
1
4y
de y = 2 até y = 5. Resposta: 1563
40
.
6. 24xy = y4 + 48 de y = 2 até y = 4. Resposta: 17/6
7. x = (y3/3) + 1/4y de y = 1 a y = 3. Resposta: 53/6.
8. Expresse o comprimento de arco exato da curva y = ln(secx) de x = 0 até x = pi/4
dado como uma integral que tenha sido simplificada para eliminar o radical. Resposta:
L = ln(1 +
√
2).
9. Determine a distância percorrida por uma partícula que se desloca entre os pontos
A(2, 3) e B(0, 3) cuja posição, no instante t, é dada por x(t) = 1 + cos(3
√
t) e
y(t) = 3 − sen(3√t) (observe que a resolução da integral envolve uma integral com
descontinuidade). Resposta: pi
10. A posição de uma partícula, num instante t, é dada por x(t) = 2 cos t + 2t sen t e
y(t) = 2 sen t−2t cos t. Calcule a distância percorrida por esta partícula entre os instantes
t = 0 e t = pi/2. Resposta: pi
2
4
.
11-13. Encontre o comprimento de arco da curva.
11. x =
1
3
t3, y =
1
2
t2, 0 ≤ t ≤ 1. Resposta: 2
√
2−1
3
.
12. x = cos 2t, y = sen 2t, 0 ≤ t ≤ pi/2. Resposta: pi.
13. x = et cos t, y = et sen t, 0 ≤ t ≤ pi/2. Resposta: (epi/2 − 1)√2.
14. Monte as integrais que permitem calcular o comprimento do arco da fronteira
da região que é simultaneamente interior à r = 1 + sen θ e r = 3 sen θ. Resposta:
L = 2
∫ pi/6
0
√
9 cos2 θ + 9
2
sen θdθ + 2
∫ pi/2
pi/6
√
cos2 θ + (1 + sen θ)2dθ.
1
15. Encontre o comprimento das curvas que limitam a região formada pela interseção das
curva r =
√
3 sen θ e r = 3 cos θ, situada no primeiro quadrante. Resposta:
√
3
3
pi + pi
2
16. A curva descrita por x(t) = 3e−t cos 6t e y(t) = 3e−t sen 6t é chamada de espiral
logarítmica (veja figura abaixo). Mostre que a curva descrita por esta espiral quando
t ∈ [0,+∞) possui comprimento finito. Resposta: O comprimento desejado é finito e
igual a
√
333.
2