Lista - Séries comparação

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Séries (Testes da comparação, comparação no
limite, razão e raíz)
1. Use o teste da comparação para confirmar se a série
∞∑
n=1
1
5n2 − n converge ou diverge.
2. Use o teste da comparação para confirmar se a série
∞∑
n=2
n+ 1
n2 − n converge ou diverge.
3. Em cada item, use o teste da comparação para mostrar que a série converge.
(a)
∞∑
n=1
1
3n + 5
(b)
∞∑
n=1
5 sen2 n
n!
4. Em cada item, use o teste da comparação para mostrar que a série diverge.
(a)
∞∑
n=1
lnn
n
(b)
∞∑
n=1
n
n3/2 − 1
2
5-8. Use o teste da comparação no limite para determinar se a série converge.
5.
∞∑
n=1
4n2 − 2n+ 6
8n7 + n− 8
6.
∞∑
n=1
5
3n + 1
7.
∞∑
n=1
1
3
√
8n2 − 3n
8.
∞∑
n=1
lnn
n3/2
9-12. Use o teste da razão para determinar se a série converge. Se o teste for inconclusivo,
informe isso.
9.
∞∑
n=1
3n
n!
10.
∞∑
n=1
1
5n
11.
∞∑
n=1
n!
n3
12.
∞∑
n=1
n
n2 + 1
13-16. Use o teste da raíz para determinar se a série converge. Se o teste for inconclusivo,
informe isso.
13.
∞∑
n=1
(
3n+ 2
2n− 1
)n
14.
∞∑
n=1
( n
100
)n
15.
∞∑
n=1
n
5n
16.
∞∑
n=1
(
1− e−n)n
17-30. Use qualquer método para determinar se a série converge.
1
17.
∞∑
n=0
7n
n!
18.
∞∑
n=1
n2
5n
19.
∞∑
n=1
n50e−n
20.
∞∑
n=1
√
n
n3 + 1
21.
∞∑
n=1
1√
n(n+ 1)
22.
∞∑
n=1
2 +
√
n
(n+ 1)3 − 1
23.
∞∑
n=1
1
1 +
√
n
24.
∞∑
n=1
lnn
en
25.
∞∑
n=0
(n+ 4)!
4!n!4n
26.
∞∑
n=1
(
n
n+ 1
)n2
27.
∞∑
n=1
1
4 + 2−n
28.
∞∑
n=1
arctann
n2
29.
∞∑
n=0
(n!)2
(2n)!
30.
∞∑
n=1
lnn
3n
31. Encontre o termo geral da série
1 +
1 · 2
1 · 3 +
1 · 2 · 3
1 · 3 · 5 +
1 · 2 · 3 · 4
1 · 3 · 5 · 7 + · · ·
e use o teste da razão para mostrar que a série converge.
32. Mostre que lnx <
√
x se x > 0 e use este resultado para inverstigar a convergência
de
(a)
∞∑
n=1
lnn
n2
(b)
∞∑
n=2
1
(lnn)2
2
Respostas
1. Converge.
2. Diverge.
3.
4.
5. Converge.
6. Converge.
7. Diverge.
8. Converge.
9. Converge.
10. Inconclusivo.
11. Diverge.
12.
13. Diverge.
14.
15. Converge.
16.
17. Converge.
18. Converge.
19. Converge.
20. Converge.
21. Diverge.
22. Converge.
23. Diverge.
24. Converge.
25. Converge.
26.
27. Diverge.
28. Converge.
29. Converge.
30. Converge.
31. an =
n!
1 · 3 · 5 · · · · · (2n− 1); ρ =
lim
n+ 1
2n+ 1
=
1
2
; converge.
32. (a) Converge;
(b) Diverge.
3