Apostila - Estatística Básica

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Estat´ıstica Ba´sica
Profa. Daniela Paula
Instituto de Matema´tica -UFRRJ
2012
Gabriel
Underline
Contents
1 Introduc¸a˜o 1
2 Ana´lise explorato´ria de dados - Resumo de Dados 2
2.1 Tipos de varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Distribuic¸a˜o de frequeˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Gra´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Medidas resumo - Medidas de posic¸a˜o central . . . . . . . . . 9
2.5 Me´dia geome´trica e Me´dia harmoˆnica . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6 Medidas de dispersa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.7 Quantis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.8 Box-plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.9 Exerc´ıcios - lista 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.10 Exerc´ıcios - lista 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.11 Exerc´ıcios - lista 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Ana´lise bidimensional 27
3.1 Associac¸a˜o entre varia´veis qualitativas . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Associac¸a˜o entre varia´veis quantitativas . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Exerc´ıcios - lista 04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 Exerc´ıcios - lista de revisa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Probabilidade 43
4.1 Modelo probabil´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Probabilidade condicional e independeˆncia . . . . . . . . . . . 46
4.3 Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4 Exerc´ıcios - lista 05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5 Varia´veis aleato´rias discretas 59
5.1 Func¸a˜o de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3 Valor esperado e variaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.4 Modelo uniforme discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.5 Modelo Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.6 Modelo Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.7 Modelo Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.8 Exerc´ıcios - lista 06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
i
6 Varia´veis aleato´rias cont´ınuas 78
6.1 Func¸a˜o de densidade de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2 Func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.3 Me´dia e variaˆncia para varia´veis aleato´rias cont´ınuas . . . . . 84
6.4 Modelo uniforme cont´ınuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.5 Modelo exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.6 Modelo Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.7 Exerc´ıcios - lista 07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7 Infereˆncia estat´ıstica 98
7.1 Populac¸a˜o e amostra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.2 Paraˆmetros e estimadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.3 Distribuic¸o˜es amostrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.4 Estimac¸a˜o por intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.5 Intervalo de confianc¸a para µ para amostras grandes . . . . . . 107
7.6 Teste de hipo´tese para me´dia µ com variaˆncia conhecida . . . 108
7.7 Exerc´ıcios - lista 08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
ii
1 INTRODUC¸A˜O 1
1 Introduc¸a˜o
Em alguma fase do seu trabalho, o pesquisador se depara com um conjunto
de dados relevante ao seu objeto de estudo. Atrave´s desses dados ele buscara´
extrair informac¸o˜es a fim de tomar deciso˜es relativas ao seu cotidiano.
Essa realidade, aparentemente distante de no´s, esta´ presente em grande
parte das cieˆncias. Nas cieˆncias agra´rias por exemplo, o engenheiro deve
trabalhar os dados do solo, rendimento e fertilizac¸a˜o para tomar deciso˜es a
respeito do melhoramento do solo e da produc¸a˜o. Nas cieˆncias econoˆmicas,
o administrador muitas vezes se depara com se´ries de dados com atrave´s
das quais deve decidir sobre investimentos, taxas etc. Ale´m das a´reas citadas
acima, existem muitas outras aplicac¸o˜es da estat´ıstica, podemos citar apenas
a t´ıtulo de exemplificac¸a˜o as cieˆncias biolo´gicas e de sau´de, geografia, qu´ımica,
matema´tica etc. Por isso, o domı´nio da estat´ıstica se torna essencial quando
devemos trabalhar com um grande volume de dados independentemente da
a´rea em estudo.
Neste curso, vamos inicialmente aprender a trabalhar com os dados, ex-
trair medidas importantes e representac¸o˜es gra´ficas que nos ajudara˜o a in-
terpretar e resumir o conjunto de informac¸o˜es. Na segunda etapa, iremos es-
tudar modelos probabil´ısticos para caracterizar os dados. O objetivo enta˜o,
e´ construir modelos para os dados em questa˜o e, dessa forma, extrair in-
formac¸o˜es e prever comportamentos futuros sem a necessidade de observar
novos conjuntos de dados. Na etapa final do curso, veremos brevemente como
verificar a adequac¸a˜o dos modelos propostos a` realidade.
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 2
2 Ana´lise explorato´ria de dados - Resumo de
Dados
2.1 Tipos de varia´veis
Para introduzir as formas de resumir os dados falaremos um pouco sobre
como classificar os dados.
Suponha que estejamos realizando uma pesquisa e que desejamos investi-
gar sala´rio, n´ıvel de instruc¸a˜o, idade e classe social de um grupo de pessoas.
Algumas dessas caracter´ısticas, que chamaremos de varia´veis, apresen-
tam como poss´ıveis resultados atributos ou qualidades. Outras, teˆm como
resultados quantidades, nu´meros. As primeiras sa˜o chamadas varia´veis qual-
itativas e as segundas varia´veis quantitativas.
Qualitativas- Tem como poss´ıveis resultados qualidades ou atributos.
Quantitativas- Tem como poss´ıveis resultados quantidades ou nu´meros.
Podemos subdividir as qualitativas em nominais e ordinais. Ja´ as quan-
titativas sa˜o subdivididas em discretas e cont´ınuas.
Qualitativas

Nominal −Nao existe nenhuma ordenacao
nas realizacoes.
Exemplo : sexo, local de nascimento.
Ordinal − Existe uma ordem em seus resultados.
Exemplo : classe social, nivel de instrucao.
Quantitativas

Discretas− V alores formam um conjunto finito
ou enumeravel de valores. Resultam de uma contagem.
Exemplo : idade, numero de filhos.
Continuas− V alores pertencem a um intervalo
de numeros reais. Resultam frequentemente de
uma mensuracao.
Exemplo : estatura, peso.
Para cada tipo de varia´vel existem te´cnicas apropriadas para resumir
informac¸o˜es. Em algumas situac¸o˜es podemos atribuir valores a`s qualidades
de uma varia´vel qualitativa e proceder a ana´lise como se quantitativa fosse.
Podemos citar como exemplo a varia´vel que descreve o resultado obtido em
um lanc¸amento de uma moeda, ao atribuir 0 a cara e 1 a coroa podemos
analisar a varia´vel como quantitativa. Veremos outros exemplos mais adiante.
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 3
2.2 Distribuic¸a˜o de frequeˆncias
Quando estudamos uma varia´vel podemos investigar seu comportamento
estudando a ocorreˆncia de suas realizac¸o˜es, isso se torna mais fa´cil atrave´s da
organizac¸a˜o e resumo dos dados em uma tabela que chamaremos de tabela
de distribuic¸a˜o de frequeˆncias. Daremos aqui dois exemplos de tabelas de
frequeˆncias, para os outros tipos de varia´veis a construc¸a˜o e´ ana´loga.
Exemplo 1: Varia´vel qualitativa ordinal.
Suponha que realizamos uma pesquisa com 36 funciona´rios de um setor A
de uma fa´brica e estamos interessados no n´ıvel de escolaridade. Observamos
3 n´ıveis de escolaridade com as frequeˆncias descritas na tabela a seguir.
Setor A
Denominamos frequeˆncia ni, frequeˆncia absoluta. A proporc¸a˜o fi, chamamos
de frequeˆncia relativa, ela e´ obtida fazendo fi =
ni
total
. Atrave´s da frequeˆncia
relativa podemos comparar resultados de duas pesquisas distintas. Por ex-
emplo, se fizermos a mesma pesquisa com 2000 funciona´rios deum outro
setor B da fa´brica e desejarmos comparar em qual dos setores existem mais
funciona´rios com n´ıvel superior podemos usar a frequeˆncia relativa.
Setor B
Gabriel
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2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 4
Neste caso podemos perceber que o setor A tem percentualmente mais
empregados com n´ıvel superior que o setor B.
Exemplo 2: Varia´vel quantitativa cont´ınua.
Nesse caso precisamos dividir os dados em classes para construir a tabela
de distribuic¸a˜o de frequeˆncias. Suponha que desejamos construir uma tabela
de distribuic¸a˜o de frequeˆncias para os sala´rios dos empregados do setor A.
Para isso, entrevistamos os 36 empregados e obtivemos os seguintes dados:
4; 4,2; 7,5; 4,1; 7,3; 6,6; 5,7; 5,1; 6,2; 7,7
8,1; 9,2; 9,5; 11,1; 9,3; 9,6; 8,7; 10,1; 11,2; 10,7; 9,3; 10,4
12,1; 13,2; 14,5; 15,6; 12,1; 12,2; 13,5; 14,6
19,1; 18,2; 17,5; 16,6; 19,8; 20,3
Como estamos trabalhando com uma varia´vel cont´ınua (sala´rio), vamos
dividir os dados em classes. Suponha que desejamos construir uma tabela
com 5 classes de amplitudes iguais. Uma poss´ıvel tabela e´ a seguinte:
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 5
2.3 Gra´ficos
Atrave´s da representac¸a˜o gra´fica tambe´m podemos resumir informac¸o˜es
sobre a variabilidade dos dados.
Gra´ficos para varia´veis qualitativas
Existem va´rios tipos de gra´ficos usados para representar as varia´veis quali-
tativas, vamos apresentar dois deles: gra´ficos em barras/ colunas e em setores.
Exemplo 3: Vamos voltar ao exemplo 1. Grau de instruc¸a˜o.
gra´fico em colunas
gra´fico em setores
Gra´ficos para varia´veis quantitativas
Para as varia´veis quantitativas podemos considerar uma variedade maior
de representac¸o˜es gra´ficas. Ale´m dos gra´ficos usados para as varia´veis quali-
tativas, temos tambe´m o gra´fico de dispersa˜o unidimensional para as varia´veis
discretas. Vamos ver um exemplo e em seguida faremos os gra´ficos poss´ıveis.
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 6
Exemplo 4: Suponha que fizemos uma pesquisa com 20 pessoas e esta-
mos interessados no nu´mero de filhos.
gra´fico em barras/colunas
gra´ficos de dispersa˜o
Construir gra´ficos para as varia´veis quantitativas cont´ınuas requer algu-
mas adaptac¸o˜es. Para utilizarmos os mesmos tipos de gra´ficos usados no caso
Gabriel
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2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 7
de varia´veis discretas a primeira ide´ia que surge e´ aproximar uma varia´vel
aleato´ria cont´ınua por uma discreta sem perder muita informac¸a˜o. Isso pode
ser feito aproximando-se os valores de uma classe pelo ponto me´dio dessa
classe.
Exemplo 5: Voltando ao exemplo 2, na figura 3 temos a tabela para a
varia´vel sala´rio que esta´ dividida em classes. Discretizando a varia´vel pode-
mos contruir o gra´fico em barras, em setores ou o diagrama de dispersa˜o.
Em seguida temos o gra´fico em barras para a varia´vel sala´rio.
Com o artif´ıcio utilizado acima perdemos muita informac¸a˜o. Uma alter-
nativa utilizada nesses casos e´ o gra´fico connhecido como histograma. No
eixos das abscissas representamos as classes e, no eixo das ordenadas pode-
mos representar a frequeˆncia absoluta ni, a relativa fi ou a densidade de
frequeˆncia.
Ramo-e-folhas
Tanto o histograma como o gra´fico em barras da˜o uma ide´ia da forma
da distribuic¸a˜o dos dados. Um procedimento alternativo para resumir um
conjunto de dados e dar uma ide´ia de sua distribuic¸a˜o e´ utilizar o diagrama
de ramo-e-folhas. Uma vantagem desse diagrama sobre o histograma e´ que
ele tem uma perda menor de informac¸a˜o. Na˜o ha´ uma regra fixa determi-
nante para a construc¸a˜o de um diagrama ramo-e-folhas, geralmente sa˜o feitas
Gabriel
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Para não perder informações, se faz interessante arredondar os valores aproximando-os dos valores de uma classe pelo ponto médio da mesma classe.
Gabriel
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Histograma: Eixo das abscissas(parte de baixo = classes) e Eixo das Ordenadas (Parte lateral = Frequência)
Gabriel
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2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 8
adaptac¸o˜es para cada conjunto de dados. A ide´ia ba´sica por tra´s da estru-
tura e´, em linhas gerais, a seguinte: cada nu´mero, dentre os que compo˜em
o conjunto de dados a serem organizados, e´ considerado em relac¸a˜o a seus
algarismos, como sendo constitu´ıdo por duas partes. Estas sa˜o separadas
por uma linha vertical (trac¸ada justamente para estabelecer essa separac¸a˜o),
de modo que os algarismos registrados a` esquerda da linha sa˜o chamados de
ramo, os da direita, denominam-se folha. Para entender melhor vamos ver
os seguintes exemplos.
Exemplo 6: Os dados abaixo referem-se ao comprimento em cent´ımetros
de 20 pec¸as de alumı´nio:
53 70 84 69 77 87 53 82 67 54
70 71 95 51 74 55 63 85 53 64
Se considerarmos como ramo as dezenas e como folha a unidade, o dia-
grama de ramo-e-folhas fica da seguinte forma:
Exemplo 7: Suponha que entrevistamos 10 pessoas em um departamento
e estamos interessados no sala´rio desses empregados. Obtivemos os seguintes
dados:
4,0; 4,56; 5,2; 6,6; 6,8; 7,14; 8,2; 9,13; 10,53; 11,5.
Nesse caso, como existem dados com um e duas casas decimais podemos
arredondar os dados ou colocar como folha as duas casas decimais de cada
nu´mero, se optarmos por arredondar vamos obter o seguinte diagrama de
ramo-e-folhas:
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 9
2.4 Medidas resumo - Medidas de posic¸a˜o central
Vimos que podemos resumir a informac¸a˜o atrave´s de tabelas e gra´ficos que
fornecem muitas informac¸o˜es sobre o comportamento dos dados. Podemos
resumir os dados usando um ou alguns valores para representar a se´rie toda.
Sa˜o eles:
Moda- Realizac¸a˜o mais frequente do conjunto de dados. Em alguns
casos pode na˜o haver moda, dizemos enta˜o que a distribuic¸a˜o e´ amodal, ou
haver mais de uma moda, nesses casos dizemos tratar-se de uma distribuic¸a˜o
bimodal, trimodal etc.
Exemplo 8: Para a tabela da varia´vel nu´mero de filhos do exemplo 4,
temos moda igual a 2.
Mediana- E´ a realizac¸a˜o que ocupa a posic¸a˜o central da se´rie de ob-
servac¸o˜es, quando ordenadas em ordem crescente.
Exemplo 9: Para os dados 3,7,5,8,8 a mediana sera´ 7.
Para 3,7,5,8,8,9 a mediana sera´ 7,5.
Media aritme´tica- E´ a soma das observac¸o˜es dividida nu´mero de ob-
servac¸o˜es no conjunto.
Exemplo 10: Para os dados acima 3,7,5,8,8, a me´dia sera´ 6,2.
Observac¸a˜o 1: Para identificar a moda precisamos apenas da frequeˆncia
absoluta, ja´ para identificar a mediana precisamos de alguma ordenac¸a˜o entre
dos dados e, finalmente, para calcular a me´dia, precisamos que a varia´vel seja
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 10
quantitativa.
Observac¸a˜o 2: Para as varia´veis qualitativas nominais podemos apenas
identificar a moda. Para as qualitativas ordinais podemos identificar a moda
e a mediana. A me´dia so´ pode ser calculada para as varia´veis quantitativas.
Resumindo:
moda- Pode ser identificada para todos os tipos de varia´veis.
mediana- Pode ser identificada para todas exceto qualitativas nominais.
me´dia- Somente para as varia´veis quantitativas.
Exemplo 11: Vamos voltar ao exemplo da varia´vel nu´mero de filhos do
exemplo 4.
Nesse caso temos moda 2, mediana valor10+valor11
2
= 2 e me´dia 0.4+1.5+2.7+3.3+5.1
20
=
33
20
= 1, 65. Podemos perceber que as treˆs medidas tem valores pro´ximos e
representam de maneira semelhante as observac¸o˜es.
Fo´rmula geral para a me´dia
Se x1, x2, x3, ..., xn sa˜o n valores assumidos pela varia´vel x, dizemos que
x¯ e´ a me´dia aritme´tica dos n valores assumidos pela varia´vel x.
x¯ =
∑n
i xi
n
.
Agora se tivermos n observac¸o˜es para a varia´vel x das quais n1 sa˜o iguais
a x1, n2 sa˜o iguais a x2, n3 sa˜o iguais a x3 ate´ nk sa˜o iguais a xk de tal forma
que n1 + ...nk = n, podemos simplificar a fo´rmula anterior por:
x¯ =
∑k
i ni.xi
n
.
Podemos tambe´m substituir a frequeˆncia relativa fi =
ni
n
na fo´rmula an-
terior:
x¯ =
∑k
i fi.xi.
Fo´rmula geral para a mediana
Consideremosas n observac¸o˜es x1, x2, x3, ..., xn ordenadas em ordem cres-
cente. Denotemos a menor observac¸a˜o por x(1), a segunda por x(2) e assim
por diante ate´ n-e´sima x(n):
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 11
x(1) ≤ x(2) ≤ x(3) ≤ ... ≤ x(n).
As observac¸o˜es ordenadas como acima sa˜o chamadas estat´ısticas de or-
dem. A mediana e´ enta˜o definida por:
med(x) =
{
x(n+1
2
) − Se n e impar.
x(n2 )
+x
(n+12 )
2
− Se n e par.
Exemplo 12: Ca´lculo das medidas de posic¸a˜o para varia´veis cont´ınuas.
Vamos retornar a terceira tabela da varia´vel sala´rio.
Como a varia´vel sala´rio e´ uma varia´vel cont´ınua uma aproximac¸a˜o que
pode ser feita e´ considerar todos os valores dentro de uma classe iguais ao
ponto me´dio da classe, essa aproximac¸a˜o e´ chamada de discretizac¸a˜o. Pode-
mos discretizar para encontrar os valores aproximados de me´dia, mediana e
moda. Dessa forma, para a varia´vel sala´rio S temos:
moda(S)≈ 10
mediana(S) ≈ S(18)+S(19)
2
= 10+10
2
= 10
me´dia (S) ≈ 6.10+10.12+14.8+18.5+22.1
36
= 11, 22
2.5 Me´dia geome´trica e Me´dia harmoˆnica
Me´dia harmoˆnica
A me´dia harmoˆnica e´ utilizada quando estamos tratando observac¸o˜es de
grandezas inversamente proporcionais como velocidade e tempo. Por exem-
plo suponha que temos va´rios valores de velocidade e, para cada valor temos a
distaˆncia que percorremos desenvolvendo tal velocidade. A frequeˆncia agora
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 12
e´ dada em termos de outra varia´vel, a distaˆncia. Como podemos calcular a
velocidade me´dia enta˜o? Para que fique mais claro que tipo de me´dia deve-
mos usar em cada caso vejamos alguns exemplos:
Exemplo 13: Se a metade da distaˆncia de um percurso percorremos
com a velocidade de 60 km/h e a outra metade com velocidade 40 km/h.
Qual e´ a velocidade me´dia? isto e´, com qual velocidade podemos percorrer
todo trajeto de modo a gastar o mesmo tempo?
Na primeira metade gastamos o tempo de 4t1 = d60 , na segunda metade
o tempo de 4t2 = d40 enta˜o nesse caso a velocidade me´dia para percorrer
todo o percurso de modo a gastar o mesmo tempo e´:
vmedia =
2d
d
60
+ d
40
= 48.
Nesse caso, se usa´ssemos a velocidade de 50 km/h para percorrer todo o
percurso gastar´ıamos o tempo d
25
< d
24
. Portanto na˜o podemos usar a me´dia
aritme´tica, devemos usar a me´dia harmoˆnica. A velocidade me´dia calculada
acima podia ter sido encontrada usando a fo´rmula da me´dia harmoˆnica dada
a seguir.
Definic¸a˜o:
A me´dia harmoˆnica de n valores reais x1, x2, x3, ..., xn e´ dada por:
mh =
n
1
x1
+ 1
x2
+...+ 1
xn
Exemplo 14: Custo me´dio de ac¸o˜es.
Suponha que compramos ac¸o˜es por 3 meses com um montante sempre de
1000 reais. No primeiro meˆs compramos ac¸o˜es no valor de 8 reais, no segundo
meˆs no valor de 9 e, no terceiro de 10. Qual o custo me´dio das ac¸o˜es?
Sabendo que a relac¸a˜o entre custo e montante e´ dada por custo = montante
num.acoes
e que nesse caso temos os valores de custo e, associados a eles, o montante
empregado, qual me´dia devemos usar? aritme´tica ou harmoˆnica? Para re-
sponder devemos olhar a varia´vel na˜o citada no problema, o nu´mero de ac¸o˜es.
Essa varia´vel esta´ se relacionando com o custo de maneira inversamente pro-
porcional ( veja a fo´rmula), da mesma maneira, t´ınhamos no exemplo anterior
a velocidade e o tempo. Portanto, devemos usar a me´dia harmoˆnica.
mh =
3000
1000
8
+ 1000
9
+ 1000
10
= 8, 92
Repare que se tive´ssemos comprado 1000 ac¸o˜es no valor de 8, 1000 no valor
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 13
de 9 e 1000 no valor de 10. Para saber o custo me´dio das ac¸o˜es usar´ıamos a
me´dia aritme´tica:
mari =
1000.8+1000.9+1000.10
3000
= 9
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 14
Me´dia geome´trica
Usamos a me´dia geome´trica quando os dados esta˜o relacionados de maneira
multiplicativa e o objetivo e´ conhecer uma taxa me´dia de crescimento ou de-
crescimento dos dados.
Definic¸a˜o:
A me´dia geome´trica de n valores reais x1, x2, x3, ..., xn e´ dada por:
mg = n
√
x1.x2.x3...xn
Exemplo 15: Se um investimento rende 10 por cento no primeiro ano e
20 por cento no segundo ano a juros compostos, qual e´ o rendimento me´dio
do investimento?
Se comec¸armos com um montante X ao final do primeiro ano teremos
1,1X e ao final do segundo ano teremos 1,2.(1,1X)=1,32X.
Queremos encontrar uma taxa me´dia, isto e´, uma u´nica taxa que aplicada
durante dois anos a juros compostos retornara´ 1,32X.
Podemos pensar que uma poss´ıvel candidata a taxa me´dia seria 15 por
cento, mas quando aplicamos o montante de X a essa taxa em dois anos
teremos (1, 15)2X=1,3225X que representa um pouco a mais do que obtemos
quando aplicamos a 10 por cento no primeiro ano e 20 por cento no segundo.
Como encontrar enta˜o a taxa me´dia? A resposta vem atrave´s do fator.
A cada taxa podemos associar um fator multiplicativo, por exemplo, para a
taxa de 10 por cento, multiplicamos o valor inicial por 1,1. Para essa taxa
temos portanto, um fator de 1,1. Para a taxa de 20 por cento, um fator
de 1,2. Para a taxa de 25 por cento, um fator de 1,25. Enta˜o o problema
de encontrar a taxa u´nica e´ equivalente ao problema de encontrar um fator
multiplicativo u´nico.
Para o exemplo acima temos que encontrar um fator multiplicativo u´nico
f, tal que f 2X = 1, 32X ou seja f e´ a me´dia geome´trica dos fatores 1,1 e 1,2.
f =
√
1, 32 =
√
1, 1.1, 2 = 1, 148
Logo, podemos concluir que a me´dia e´ de 14,8 por cento. Se tive´ssemos
aplicado um montante durante um pe´riodo maior, e dispuse´ssemos de va´rias
taxas, para encontrar a taxa me´dia dever´ıamos proceder da mesma forma:
encontrar um u´nico fator igual a` me´dia geome´trica de todos os fatores.
De forma geral, a me´dia aritime´tica e´ sempre maior ou igual aos outros
tipos de me´dia. Temos a seguinte relac¸a˜o entre as me´dias:
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 15
mg ≤ mh ≤ ma
2.6 Medidas de dispersa˜o
O resumo de um conjunto de dados por uma u´nica medida de posic¸a˜o cen-
tral ignora toda a informac¸a˜o sobre a variabilidade dos dados. Por exemplo,
suponha que desejamos analisar o comprimento de pec¸as produzidas por 3
diferentes tipos de ma´quinas. Selecionamos enta˜o grupos de pec¸as prove-
nientes de cada ma´quina e registramos os comprimentos em cm:
ma´quina A- 3,4,5,6,7
ma´quina B- 3,5,5,7
ma´quina C- 5,5,5,5,5,5
Podemos perceber que as me´dias dos comprimentos e´ igual para os 3
grupos. Nesse caso, perdemos a informac¸a˜o sobre a variabilidade dos dados
se considerarmos apenas a me´dia como medida representativa dos dados.
Num primeiro momento, podemos pensar que uma boa medida para a
variabilidade dos dados nos grupos e´ a soma das diferenc¸as entre os dados e
a me´dia. Por exemplo, para a ma´quina A ter´ıamos
∑5
i=1 xi−x¯, mas podemos
observar que a soma dos desvios com relac¸a˜o a` me´dia e´ sempre igual a zero.∑5
i=1 xi− x¯ =
∑5
i=1 xi−
∑5
i=1 x¯ =
∑5
i=1 xi− 5x¯ =
∑5
i=1 xi−
∑5
i=1 xi = 0
Uma maneira de contornar esse problema e´ considerar as duas medidas
seguintes:
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 16
∑5
i=1 | xi − x¯ |∑5
i=1(xi − x¯)2
Chamamos enta˜o∑n
i=1
|xi−x¯|
n
- desvio me´dio absoluto - dm(x).∑n
i=1
(xi−x¯)2
n
- variaˆncia - var(x).
Para a ma´quina A temos:
dm(x) =
∑5
i=1
|xi−x¯|
5
= |3−5|+|4−5|+|5−5|+|6−5|+|7−5|
5
= 6
5
= 1, 2.
var(x) =
∑5
i=1
(xi−x¯)2
5
= 2
Para a ma´quina B temos:
dm(x) =
∑4
i=1
|xi−x¯|
4
= |3−5|+|3−5|+|5−5|+|5−7|
4
= 1.
var(x) =
∑4
i=1
(xi−x¯)2
4
= 2
Podemos concluir enta˜o que segundo o desvio me´dio a ma´quina B e´ mais
homogeˆnea que ma´quina A e que ambas sa˜o igualmente homogeˆneas segundo
a variaˆncia.
Sendo a variaˆncia uma medida de dimensa˜o igual ao quadrado da di-
mensa˜o dos dados, no caso cm2, a interpretac¸a˜o da variaˆncia como medida
de variac¸a˜o dos dados pode gerar alguns problemas. Costumamos usar enta˜o
o desvio padra˜o que e´ definido como raiz quadrada da variaˆncia.
dp(x) =
√
var(x)
Para o grupoA e o B temos dp(x) =
√
2.
Ambas as medidas de dispersa˜o (desvio me´dio e desvio padra˜o) indicam
em me´dia qual o ”erro” que cometemos ao substituirmos cada observac¸a˜o
pela me´dia.
No caso em que observamos n1 vezes o valor x1, n2 vezes o valor x2 e
assim sucessivamente, ate´ nk vezes o valor xk, temos:
dm(x) =
∑k
i=1
ni|xi−x¯|
n
=
∑k
i=1 fi | xi − x¯ |
var(x) =
∑k
i=1
ni(xi−x¯)2
n
=
∑k
i=1 fi(xi − x¯)2
dp(x) =
√
var(x)
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 17
O ca´lculo aproximado das medidas de dispersa˜o no caso das varia´veis
cont´ınuas agrupadas em classes pode ser feito de modo ana´logo a`quele usado
para encontrar a me´dia.
Exerc´ıcio: Calcule o desvio me´dio, variaˆncia e desvio padra˜o para as
varia´veis nu´mero de filhos e sala´rio dos exemplos anteriores.
Coeficiente de variac¸a˜o
Coeficiente de variac¸a˜o e´ uma medida que nos permite comparar a dis-
persa˜o em amostras diferentes. O desvio padra˜o e´ uma medida de dispersa˜o
com relac¸a˜o a` me´dia, como duas amostras podem ter me´dias diferentes na˜o
conseguiremos, nesses casos, comparar a dispersa˜o dos dados usando o desvio
padra˜o. Para isso usamos o coeficiente de variac¸a˜o:
cv = dp(x)
x¯
Exemplo:
Considere uma amostra com me´dia 40 e desvio padra˜o 4 e outra com
me´dia 5 e desvio padra˜o 4. Qual das amostras e´ a mais homogeˆnea? De
acordo com o coeficiente de variac¸a˜o temos na amostra 1, cv= 4/40=0,1 e na
amostra 2, cv=4/5=0,8. Portanto a amostra 2 tem maior grau de dispersa˜o
dos dados.
2.7 Quantis
A me´dia aritme´tica pode muitas vezes na˜o ser uma medida adequada pois:
a) Pode ser afetada por valores extremos.
b) Na˜o da´ ide´ia da distribuic¸a˜o e dispersa˜o dos dados.
Exemplo 16: Para os dados 1,2,5,7,100 a me´dia aritme´tica vale 115/5
= 23, um valor muito distante da maioria dos dados. A me´dia portanto na˜o
e´ uma boa medida de representac¸a˜o para esses valores.
A mediana, igual a 5, representa melhor os dados nesse caso. Outra me-
dida de posic¸a˜o muito utilizada e´ o quantil.
Definic¸a˜o:
Chamamos quantil de ordem p ou p-quantil onde p e´ uma proporc¸a˜o,
0 < p < 1, ao valor q(p) tal que 100.p por cento da amostra seja menor que
q(p).
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 18
Essa definic¸a˜o parece um pouco complicada a primeira vista, vamos ver
um exemplo.
Exemplo 17: Para a amostra 1,2,3,5,7,8,10, desejamos saber o valor de
q(0,5) e q(0,25).
Qual e´ o valor de q(0,5)? q(0,5) e´ o valor tal que 100.0,5=50 por cento
da amostra esteja abaixo dele. Portanto q(0,5)= mediana.
Primeiramente devemos ordenar os dados e encontrar as estat´ısticas de
ordem, nesse caso os dados ja´ esta˜o ordenados:
x(1) = 1;x(2) = 2;x(3) = 3...x(7) = 10
Como temos 7 dados na amostra q(0,25) e´ o valor que deixa 25 por cento
dos dados abaixo dele. Como 0,25.7=1,75 na˜o e´ inteiro calculamos um valor
aproximado para q(0,25). Fazemos q(0, 25) =x(2). Para q(0,5), fazemos
7.0,5=3,5. Como 3,5 na˜o e´ inteiro aproximamos o quantil para a estat´ıstica
de ordem subsequente que no caso e´ x(4). O mesmo procedimento feito an-
teriormente para encontrar a mediana.
Como calcular os quantis?
Na˜o existe apenas uma maneira de obter os quantis, geralmente obtemos
valores aproximados que representam a divisa˜o da amostra. Segue abaixo
uma das maneiras para descobrir os quantis.
Dada uma amostra com n observac¸o˜es ordenadas de maneira crescente,
uma das formas para se obter o quantil de ordem p e´ a seguinte:
1) Se n.p e´ um nu´mero inteiro enta˜o q(p) =
x(n,p)+x(n,p+1)
2
.
2) Se n.p na˜o e´ um nu´mero inteiro enta˜o q(p) = x(| n.p | +1)
Percentil, decil e quartil
Os percentis sa˜o constru´ıdos atrave´s da divisa˜o da amostra em cem partes
iguais. O primeiro percentil deixa 1 por cento dos dados abaixo dele, o se-
gundo 2 por cento e assim sucessivamente ate´ o 99◦ percentil, que deixa 99
por cento dos dados abaixo dele. Ao dividirmos a amostra em 10 partes iguais
podemos calcular os decis. O primeiro decil deixa 10 por cento dos dados
abaixo dele, o segundo deixa 20 por cento dos dados abaixo e finalmente o
nonage´simo decil deixa 90 por cento dos dados abaixo dele. Os quartis sa˜o
obtidos dividindo a amostra em 4 partes iguais. O primeiro quartil deixa
25 por cento dos dados abaixo dele, o segundo quartil e´ a mediana e o ter-
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 19
ceiro deixa 75 por cento dos dados abaixo dele. Podemos perceber a seguinte
equivaleˆncia entre os percentis, quartis e decis:
q(0,1)- 1◦ decil, 10◦ percentil.
q(0,25)- 1◦ quartil, 25◦ percentil.
q(0,5)- 5◦ decil, 2◦ quartil, 50◦ percentil.
q(0,75)- 3◦ quartil, 75◦ percentil.
q(0,95)- 95◦ percentil.
Exemplo 18: Suponha que entrevistamos 10 pessoas e perguntamos o
peso da cada uma delas. As respostas foram as seguintes:
45; 54; 48; 51; 63; 50; 74; 83; 91; 105.
Qual e´ o peso ma´ximo que uma pessoa pode ter para estar entre as 25
por cento mais magras e qual e´ peso mı´nimo para estar entre as 25 por cento
mais gordas?
O que queremos saber e´ quem sa˜o q(0,25) e q(0,75).
Primeiramente devemos ordenar os dados.
45; 48; 50; 51; 54; 63; 74; 83; 91; 105.
o quantil q(0,25) e´ o valor que deixa 25 por cento dos dados abaixo que
nesse caso e´ o valor que ocupa a terceira posic¸a˜o. Enta˜o q(0,25)=50. q(0,75)
e´ o valor que deixa 75 por cento dos dados abaixo, aquele que ocupa a oitava
posic¸a˜o, portanto q(0,75)=83.
2.8 Box-plot
O box-plot nos da´ uma ide´ia da dispersa˜o de uma amostra e da existencia
de dados distoantes do conjunto. Ele e´ construido da seguinte maneira:
1) Calculamos os valores dos quartis, q(0,25), q(0,5) e q(0,75) que sera˜o
respectivamente a base, a linha me´dia e o topo da caixa.
2) Calculamos a diferenc¸a dq = q(0, 75)− q(0, 25).
3) Calculamos 3/2.dq, esse valor nos ajudara´ a construir os limites superior
e inferior do gra´fico. Os valores da amostra na˜o contidos nesse intervalo
devem ser representados como pontos isolados e por isso sa˜o denominados
outliers.
O box-plot e´ um gra´fico muito u´til quando queremos investigar a simetria,
valores at´ıpicos e a dispersa˜o em um conjunto de valores. A representac¸a˜o
gra´fica e´ a seguinte:
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 20
Assimetria dos dados se reflete em assimetria na caixa e ou nos limites
inferiores e superiores e valores at´ıpicos se refletem em outliers. Vamos ver
um exemplo para que fique mais claro o processo de construc¸a˜o.
Exemplo 19: Suponha que realizamos uma pesquisa com 15 pessoas e
estamos interessados na varia´vel nu´mero de filhos. Obtivemos os seguintes
resultados 2 pessoas na˜o teˆm filhos, 5 teˆm 1 filho, 4 teˆm 2 filhos, 3 teˆm 3
filhos e finalmente 1 pessoa tem 5 filhos. Construa o box-plot para a varia´vel
nu´mero de filhos. Primeiramente vamos calcular os quartis:
Primeiro quartil- 0,25.15= 3,75 que na˜o e´ inteiro portanto q(0,25)=x(4)=1.
Segundo quartil- 0,5.15= 7,5 que na˜o e´ inteiro portanto q(0,5)=x(8)=2.
Terceiro quartil- 0,75.15= 11,25 que na˜o e´ inteiro portanto q(0,75)=x(12)=3.
Temos o seguinte box-plot:
Como o menor valor observado foi 0 e o maior foi 5 os limites inferior
e superior devem ser 0 e 5 respectivamente. Deixar o limite inferior como
-2 e o superior como 6 significaria dizer que existem valores entre -2 e 0
e tambe´m entre 5 e 6, o que na˜o e´ verdade. Portanto devemos calcular
os limites inferiores e superiores como anteriormente e depois olhar para os
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 21
dados para saber quem e´ o menor e o maior valor observado. O boxplot
enta˜o, fica melhor representado da seguinte maneira:
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 22
2.9 Exerc´ıcios - lista 01
Questa˜o 1
Suponha que realizamos uma pesquisa com 80 pessoas cuja varia´vel de
interesse era a idade. Suponha tambe´m que foram encontrados os seguintes
valores: 21; 35; 49 e 16 anos, com frequeˆncias respectivamente iguais a 10;
0,3; 0,2. Encontre a frequeˆncia absoluta de 16 anos. Construa a tabela de
frequeˆncias, o gra´ficoem barras e em setores.
Questa˜o 2
Os juros recebidos por um grupo de 12 ac¸o˜es em um per´ıodo de dois meses
foram:
3,67; 1,28; 3,96; 2,93; 7,77; 2,78;
1,82; 8,14; 6,54; 2,82; 4,65; 5,54.
Construa a tabela de frequeˆncias para esses dados dividindo-os em 4
classes de amplitudes iguais a 2. Construa tambe´m o histograma para as
frequeˆncias relativas.
Questa˜o 3
Suponha que desejamos estudar o nu´mero de erros de impressa˜o de um
livro. Para isso escolhemos uma amostra com 50 pa´ginas e verificamos que
das 50 pa´ginas analisadas, 25 na˜o apresentavam erros, 20 apresentavam 1
erro, 3 possuiam 2 erros e finalmente duas pa´ginas apresentavam uma 3 e
outra 4 erros.
a) Calcule o nu´mero me´dio de erros por pa´gina e nu´mero mediano.
b) Qual e´ o desvio padra˜o?
c) Fac¸a um gra´fico em barras para a distribuic¸a˜o.
d) Se o livro tem 500 pa´ginas qual e´ o nu´mero total de erros esperado no
livro?
Gabriel
Sticky Note
Lembrando que frequência absoluta significa Ni
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 23
2.10 Exerc´ıcios - lista 02
Questa˜o 1
Suponha que observamos os valores de 20, 50, 60, 40 e 20 para uma
varia´vel X.
• a) Calcule a me´dia harmoˆnica de X.
• b) Se os valores acima fossem medidas, em km/h, da velocidade de um
automo´vel observadas em distaˆncias iguais a 2km, qual a relac¸a˜o da
velocidade me´dia com a resposta obtida no item anterior?
• c) Se os valores se referissem a` velocidade do mesmo automo´vel medidas
em intervalos iguais a` meia hora qual a relac¸a˜o da velocidade me´dia com
o valor obtido em b)?
Questa˜o 2
O que acontece com a me´dia, a mediana e a variaˆncia quando:
• a) Somamos um valor fixo a cada observac¸a˜o? (Por exemplo, se somar-
mos 10?)
• b) E quando multiplicamos cada observac¸a˜o por um valor fixo?
Questa˜o 3
Um objeto e´ constru´ıdo com 300g de cobre, 150g de prata e 100g de
bronze. Sabendo que a densidade me´dia e´ dada por dmed =
massa
volume
e as
densidades do cobre, da prata e do bronze sa˜o respectivamente 1, 5g/cm3,
1, 2g/cm3 e 2g/cm3. Encontre a densidade me´dia do objeto.
Questa˜o 4
Realizando um experimento qu´ımico repetidamente em baixas temperat-
uras, obtivemos os seguintes rendimentos em porcentagem: 1; 2; 5; 3 e 1.
Ao aumentar a temperatura, aumentamos o rendimento da reac¸a˜o para 40.
Qual o rendimento me´dio da reac¸a˜o?
Questa˜o 5
O departamento pessoal de uma empresa fez um levantamento dos sala´rios
de seus funciona´rios e os dividiu em quatro classes. A primeira classe con-
tinha todos os sala´rios menores do que dois e a frequeˆncia observada foi 30.
A segunda classe, os sala´rios maiores ou iguais a 2 e menores que 4 com
frequeˆncia 48. A terceira classe, os sala´rios maiores ou iguais a 4 e menores
que 6 com frequeˆncia 24. A quarta classe, os sala´rios maiores ou iguais a 6 e
menores que 10 com frequeˆncia 18.
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 24
• a)Construa o histograma.
• b) Calcule a me´dia, a variaˆncia e o desvio padra˜o.
• c) Calcule o primeiro quartil, a mediana, o terceiro quartil e construa
o box-plot.
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 25
2.11 Exerc´ıcios - lista 03
Questa˜o 1
Suponha que entrevistamos 20 pessoas e estamos interessados em estudar
o comportamento da varia´vel peso nesse grupo. Os dados observados foram
os seguintes:
53 ; 70,2; 84,3; 69,5; 77,8; 87,5; 53,4; 82,5; 67,3; 54,1
70,5; 71,4; 95,4; 51,1; 74,4; 55,7; 48,2; 45,7; 43,2; 50,7
• a) Fac¸a o diagrama ramo-e-folhas.
• b) Encontre os quartis e fac¸a o box-plot.
• c) Divida os dados em 6 classes de amplitude igual a 10. Construa a
tabela de frequeˆncias e o histograma. Existe alguma semelhanc¸a com
o diagrama ramo-e-folhas?
• d) Encontre a moda, me´dia, mediana e desvio padra˜o para a tabela do
item anterior.
Questa˜o 2
O departamento de atendimento ao consumidor de uma concessiona´ria
de ve´ıculos recebe ligac¸o˜es de reclamac¸o˜es de clientes. Foram anotados os
nu´meros de reclamac¸o˜es em 20 dias:
3; 4; 5; 4; 4; 5; 6; 9; 4; 4;
5; 6; 4; 3; 6; 7; 4; 5; 5; 7.
• a) Construa a tabela de frequeˆncias e o gra´fico em barras.
• b) Qual o nu´mero me´dio e o nu´mero mediano de reclamac¸o˜es por dia?
• c) Em 1 meˆs qual o nu´mero total de reclamac¸o˜es esperado?
• d) Se cada telefonema acarreta novos servic¸os que custam 50 reais para
a concessiona´ria, qual e´ a despesa me´dia por dia da concessiona´ria
oriunda do atendimento ao consumidor?
Questa˜o 3
O tempo em horas para um determinado medicamento fazer efeito foi
investigado em um grupo de 20 pessoas e obteve-se os seguintes tempos:
1; 2; 1; 2; 1; 2; 3; 1; 2; 2 3; 3; 2; 2; 1; 1; 4; 2; 1; 4
• a) Construa a tabela de frequeˆncias para a varia´vel.
2 ANA´LISE EXPLORATO´RIA DE DADOS - RESUMO DE DADOS 26
• b) Calcule a me´dia e a variaˆncia.
• c) Quando o medicamento demora mais de 3 horas para agir, dizemos
que o paciente e´ insens´ıvel ao tratamento. Se isso ocorre em 25 por
cento dos casos ou mais enta˜o os pacientes devem trocar de medicac¸a˜o.
Os pacientes acima devem ou na˜o trocar de medicac¸a˜o?
Questa˜o 4
Realizando um cultivo de laranjas inicialmente com 100 mudas, um agricul-
tor percebeu que apo´s a primeira colheita o rendimento da produc¸a˜o aumen-
tava consideravelmente com relac¸a˜o a colheita anterior. As taxas de aumento
de produc¸a˜o nas 5 colheitas que se seguiram foram de: 10; 15; 10; 5 e 20 por
cento respectivamente. Qual a taxa me´dia de aumento de produc¸a˜o?
Questa˜o 5
Alguns cientistas sociais acreditam que a opinia˜o sobre o aborto inde-
pende da situac¸a˜o familiar. Foi feita uma pesquisa com 200 pessoas:
• a) Qual estado civil apresenta mais pessoas favora´veis ao aborto?
• b) Construa as tabelas de frequeˆncias marginais.
• c) Escolhendo uma pessoa ao acaso, qual e´ a probabilidade de ser casada
ou favora´vel ao aborto?
• d) Construa a tabela de frequeˆncias com relac¸a˜o ao total geral.
• e) De acordo com o crite´rio de frequeˆncias as varia´veis sa˜o ou na˜o
independentes?
3 ANA´LISE BIDIMENSIONAL 27
3 Ana´lise bidimensional
Vimos ate´ agora como organizar e resumir informac¸o˜es pertinentes a uma
varia´vel. Agora vamos aprender a analisar o comportamento de duas varia´veis
com o objetivo de investigar a relac¸a˜o entre elas. Podemos ter:
a) Duas varia´veis qualitativas.
b) Duas varia´veis quantitativas.
c) Uma varia´vel qualitativa e outra quantitativa.
As te´cnicas para se investigar a relac¸a˜o entre as varia´veis pode ser difer-
ente para cada caso. De uma maneira geral, medimos a relac¸a˜o entre duas
varia´veis atrave´s dos coeficientes de associac¸a˜o, eles expressam se as varia´veis
sa˜o ou na˜o dependentes. Para as varia´veis qualitativas temos a medida qui-
quadrado X 2 e para as quantitativas temos o coeficiente de correlac¸a˜o.
Duas varia´veis qualitativas
Suponha que queremos comparar as varia´veis grau de instruc¸a˜o e regia˜o de
procedencia e investigar se existe alguma relac¸a˜o entre elas. Para isso fizemos
uma pesquisa com 36 pessoas e montamos a seguinte tabela conjunta:
Atrave´s dessa tabela podemos recuperar as tabelas de frequeˆncia para
a regia˜o de procedeˆncia e grau de instruc¸a˜o que chamaremos de tabelas de
frequeˆncia marginais.
3 ANA´LISE BIDIMENSIONAL 28
Para duas varia´veis podemos tambe´m construir a tabela de frequeˆncias
relativas. Diferentemente do caso unidimensional podemos considerar a frequeˆncia
relativa:
a) Ao total de cada linha.
b) Ao total de cada coluna.
c) Ao total geral.
No caso do exemplo anterior podemos obter a seguinte tabela de frequeˆncia
relativa ao total de cada coluna:
E com relac¸a˜o ao total geral temos:
A tabela com relac¸a˜o ao total de cada linha e´ constru´ıda de maneira
ana´loga a` tabela com relac¸a˜o ao total de cada coluna.
Agora vamos aprender como investigar a relac¸a˜o entre duas varia´veis
atrave´s das tabelas de frequeˆncias.
3.1 Associac¸a˜o entre varia´veis qualitativas
Um dos objetivos de construir uma distribuic¸a˜ao conjunta de duas varia´veis
e´ conhecer o grau de dependencia entre elas.No caso de duas varia´veis qual-
itativas vejamos como podemos estudar a dependencia atrave´s da tabela de
frequencias. Primeiramente um exemplo em que as varia´veis parecem na˜o
estar associadas.
3 ANA´LISE BIDIMENSIONAL 29
Exemplo 1: Suponha que entrevistamos 200 alunos dos cursos de econo-
mia e administrac¸a˜o e queremos investigar se existe alguma relac¸a˜o entre o
sexo e o curso.
Com as frequeˆncias absolutas fica dif´ıcil tirar alguma conclusa˜o. Vamos
construir a tabela para a frequeˆncia relativa ao total de cada coluna.
Nessa tabela vemos que 60 por cento dos alunos fazem economia e 40
por cento fazem administrac¸a˜o. Na˜o havendo dependeˆncia entre as varia´veis,
esperar´ıamos essa mesma proporc¸a˜o para cada sexo. Como as proporc¸o˜es
sa˜o pro´ximas para ambos os sexos: 61 e 58 por cento para economia e 39 e
42 por cento para administrac¸a˜o as varia´veis sexo e curso parecem na˜o estar
associadas. Agora vamos ver um exemplo em que as varia´veis parecem estar
associadas.
Exemplo 2: Suponha agora que entrevistamos 200 alunos dos cursos de
f´ısica e cieˆncias sociais e, queremos identificar se ha´ relac¸a˜o entre sexo e o
curso.
3 ANA´LISE BIDIMENSIONAL 30
Nesse caso parece haver associac¸a˜o ja´ que as porcentagens dos alunos de
f´ısica e de cieˆncias sociais para o sexo feminino e masculino sa˜o distantes.
Veremos agora como podemos medir essa dependencia.
Medida de dependeˆncia qui-quadrado
Retomemos o exemplo anterior. Na pesquisa observamos as seguintes
frequeˆncias:
Se as varia´veis fossem independentes, os valores esperados para as frequeˆncias
masculino e feminino seriam:
Nesse caso a tabela dos desvios com a diferenc¸a entre os valores observados
de frequeˆncia e os esperados ficaria:
3 ANA´LISE BIDIMENSIONAL 31
A medida qui-quadrado X 2 mede o quanto as varia´veis esta˜o longe da
independeˆncia e leva em conta esses desvios entre a tabela das frequeˆncias
observadas e a tabela que esperar´ıamos encontrar se as varia´veis fossem in-
dependentes.
A medida qui-quadrado X 2 e´ enta˜o definida por:
X 2 =
∑
(oi−ei)2
ei
onde oi sa˜o os valores observados de frequeˆncia e ei sa˜o os esperados.
Logo abaixo daremos a fo´rmula da medida X 2 explicitando como obter ei
sem a necessidade de construir outra tabela de valores esperados.
Se a hipo´tese de na˜o associac¸a˜o for verdadeira enta˜o as frequeˆncias obser-
vadas estara˜o muito pro´ximas das frequeˆncias esperadas portanto, a ”distaˆncia”
entre as tabelas deve ser pequena o que implica um valor de X 2 pro´ximo de
zero, um valor muito grande de X 2 indica associac¸a˜o entre as varia´veis.
Vamos calcular enta˜o a medida X 2 para o exemplo acima:
X 2 = (16)2
84
+ (−16)
2
56
+ (16)
2
56
+ (−16)
2
36
+ (16)
2
24
= 3, 05+4, 51+7, 02+10, 54 = 25
Como encontramos um valor grande para X 2, as varia´veis parecem estar
associadas.
Notac¸a˜o geral Para obter a medida X 2 para as tabelas de dupla entrada
na˜o precisamos construir uma nova tabela de valores esperados e uma outra
tabela de desvios. Podemos fazer o seguinte:
Para X e Y, duas varia´veis assumindo os valoresA1, A2, ...Ar eB1, B2, ..., Bs
respectivamente. Suponhamos que elas possuam a seguinte tabela de frequeˆncias
conjunta:
3 ANA´LISE BIDIMENSIONAL 32
Enta˜o a medida X 2 e´ dada por:
X 2 =
∑r
i=1
∑s
j=1(nij−nij∗ )2
nij∗
onde nij∗ e´ a frequeˆncia esperada se as varia´veis fossem independentes e,
e´ dada por nij∗ =
ni..n.j
n..
.
3.2 Associac¸a˜o entre varia´veis quantitativas
Quando as varia´veis sa˜o quantitativas, para idenficar a existeˆncia de asso-
ciac¸a˜o entre as varia´veis podemos usar uma medida denominada coeficiente
de correlac¸a˜o linear que mede o quanto a relac¸a˜o entre as varia´veis esta´
pro´xima de uma relac¸a˜o linear e um recurso gra´fico chamado diagrama de
dispersa˜o. Vamos comec¸ar pelo gra´fico de dispersa˜o.
Gra´fico de dispersa˜o
Para construir o gra´fico de dispersa˜o para duas varia´veis X e Y quanti-
tativas plotamos os valores (X,Y) obtidos num sistema de eixos coordenados.
Vamos ver um exemplo:
Exemplo 3: Suponha que entrevistamos 7 agentes imobilia´rios e quer-
emos investigar se existe relac¸a˜o entre os anos de servic¸o e o nu´mero de
clientes.
3 ANA´LISE BIDIMENSIONAL 33
O gra´fico de dispersa˜o fica enta˜o:
Pelo gra´fico de dispersa˜o podemos perceber que as varia´veis perecem estar
associadas. Quanto maior o tempo de servic¸o maior parece ser o nu´mero de
clientes. Vamos ver agora um gra´fico de dispersa˜o em que os dados parecem
na˜o estar associados:
Exemplo 4: Suponha que fizemos uma pesquisa da populac¸a˜o rural e
urbana nos u´ltimos anos. O gra´fico de dispersa˜o abaixo indica que as varia´veis
na˜o esta˜o relacionadas.
No primeiro exemplo, podemos perceber que e´ razoa´vel aproximar os
dados por uma linha reta que seja a mais pro´xima poss´ıvel dos dados e
que atrave´s dela podemos identificar a relac¸a˜o existente entre os dados. A
equac¸a˜o dessa reta que minimiza o erro, isto e´ a distancia entre os dados e a
reta, estabelece um modelo que chamamos de modelo de regressa˜o linear. Por
hora, so´ investigaremos se a relac¸a˜o existente entre os dados e´ uma relac¸a˜o
pro´xima da linear e, quem nos dira´ isso sera´ o coeficiente de correlac¸a˜o linear.
Coeficiente de correlac¸a˜o linear
E´ uma medida do grau de associac¸a˜o linear entre duas varia´veis quan-
titativas.
3 ANA´LISE BIDIMENSIONAL 34
Definic¸a˜o:
Dados n pares com os valores observados para as varia´veis X e Y quantita-
tivas: (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) definimos o coeficiente de correlac¸a˜o linear
entre X e Y por:
corr(X, Y ) = 1
n
∑n
i=1
(xi−x¯)(yi−y¯)
dp(x)dp(y)
A parcela
∑n
i=1
(xi−x¯)(yi−y¯)
n
e´ denominada covariaˆncia.
Outra fo´rmula equivalente para calcular o coeficiente de correlac¸a˜o e´ a
seguinte:
corr(X, Y ) =
∑n
i=1(xiyi−nx¯y¯)√
(
∑
x2i−nx¯2)(
∑
y2i−ny¯2)
Podemos perceber que −1 ≤ corr(X, Y ) ≤ 1. O ca´lculo do coeficiente de
correlac¸a˜o e´ muito custoso analiticamente, muitas vezes e´ conveniente utilizar
programas estat´ısticos como o R.
Para valores positivos do coeficiente de correlac¸a˜o, a nuvem de pontos
do gra´fico de dispersa˜o segue uma tendeˆncia de crescimento, quanto mais
pro´ximo de 1 o valor esta´, mais alinhados os pontos esta˜o. Por exemplo:
Para valores negativos do coeficiente de correlac¸a˜o, a nuvem de pontos
segue uma tendeˆncia de decrescimento, aqui tambe´m quanto mais pro´ximo
de -1 o valor esta´, mais alinhados os pontos esta˜o. Por exemplo:
3 ANA´LISE BIDIMENSIONAL 35
E finalmente, para valores de correlac¸a˜o pro´ximos a zero, na˜o ha´ uma
tendeˆncia de crescimento/decrescimento linear clara para os pontos, como
abaixo podemos observar:
Vamos agora encontrar o coeficiente de correlac¸a˜o linear para o exemplo
3 e verificar que o valor esta´ pro´ximo de 1, que vai ao encontro do que
observamos no gra´fico de dispersa˜o.
Temos n=7, para X temos dp(X)= 1.98 e para Y temos dp(Y)= 7.48,
enta˜o o coeficiente de correlac¸a˜o entre as varia´veis X e Y e´ 0.81, um valor
pro´ximo de 1 , como espera´vamos quando observamos o gra´fico de dispersa˜o.
3 ANA´LISE BIDIMENSIONAL 36
3.3 Exerc´ıcios - lista 04
Questa˜o 1
Suponha que realizamos uma pesquisa com 100 funciona´rios de uma
empresa. Nessa pesquisa esta´vamos interessados nas varia´veis regia˜o de
procedeˆncia e n´ıvel de escolaridade. Para a regia˜o de procedeˆncia observamos
os valores capital, interior e outra. Para o n´ıvel de escolaridade observamos os
valores fundamental, me´dio e superior. Com os dados montamos a seguinte
tabela de frequeˆncias absolutas:
• a) Construa a tabela de frequeˆncias relativas com relac¸a˜o ao total geral.
• b) Construa a tabela de frequeˆncias marginais para cada uma das
varia´veis.
• c) Qual a porcentagem dos funciona´rios que possuem n´ıvel me´dio?
• d) Qual a porcentagem dos funciona´rios que sa˜o da capital?
• e) Escolhendo um funciona´rio ao acaso qual sera´ provavelmente seu
grau de instruc¸a˜o? E a sua regia˜o de procedeˆncia?
• f) As varia´veis parecemdependentes? Porque?
Questa˜o 2
Uma companhia de seguros analisou a frequeˆncia com que 2000 segurados
usaram o hospital, dentre eles 1000 homens e 1000 mulheres. Os resultados
foram:
3 ANA´LISE BIDIMENSIONAL 37
• a) Calcule a proporc¸a˜o de homens dentre os indiv´ıduos que utilizaram
o hospital.
• b) Calcule a proporc¸a˜o de homens dentre os indiv´ıduos que na˜o uti-
lizaram o hospital.
• c) Baseado nos ca´lculos das frequeˆncias e do coeficiente X 2 voceˆ diria
que o uso do hospital independe do sexo do segurado?
Questa˜o 3
Lanc¸am-se simultaneamente uma moeda de um real e uma de 25 centavos.
Em cada tentativa anotou-se o resultado cujos dados esta˜o resumidos na
tabela abaixo:
• a) Esses dados sugerem que os resultados das moedas de um real e os
da moeda de 25 centavos esta˜o associados?
• b) Definindo as varia´veis X1 e X2 tais que X1 = 0 quando ocorre cara
e X1 = 1 quando ocorre coroa na moeda de um real. Analogamente
X2 = 0 quando ocorre cara e X2 = 1 quando ocorre coroa na moeda
de 25 centavos. Calcule a correlac¸a˜o entre X1 e X2. Essa medida esta´
de acordo com o que voceˆ respondeu anteriormente?
Questa˜o 4
E´ esperado que a massa muscular de uma pessoa diminua com a idade.
Para estudar essa relac¸a˜o, uma nutricionista selecionou 8 mulheres, com idade
entre 40 e 79 anos, e observou em cada uma delas a idade (X) e a massa
muscular (Y).
3 ANA´LISE BIDIMENSIONAL 38
Construa o gra´fico de dispersa˜o e calcule o coeficiente de correlac¸a˜o. A
hipo´tese da nutricionista se confirma com os dados?
3 ANA´LISE BIDIMENSIONAL 39
3.4 Exerc´ıcios - lista de revisa˜o
Questa˜o 1
Numa pesquisa realizada com 100 famı´lias foram observadas 17 famı´lias
sem filhos, 20 com 1 filho, 28 com 2 filhos, 19 com 3 filhos, 7 com 4 filhos e
9 com 5 filhos.
• a) Calcule o nu´mero me´dio, o nu´mero mediano de filhos e o desvio
padra˜o.
• b) Se selecionarmos 1 dessas famı´lias qual sera´ provavelmente seu nu´mero
de filhos?
• c) Fac¸a o gra´fico em barras e o gra´fico em setores.
Questa˜o 2
Foram investigadas idades de 10 alunos do curso de po´s-graduac¸a˜o em
agronomia:
22, 23, 22, 21, 22, 23, 21, 22 , 35, 40.
• a) Calcule a me´dia e a mediana das idades.
• b) Qual e´ a melhor medida para representar os dados.
• c) Fac¸a o box-plot e observe os valores extremos. A distribuic¸a˜o parece
sime´trica?
Questa˜o 3
Em uma empresa A a me´dia dos salarios e´ 10.000 e o terceiro quartil e´
5.000. Se voceˆ foi contratado e o seu sala´rio foi escolhido aleato´riamente e´
mais prova´vel que voceˆ ganhe mais ou menos que 5.000? Em outra empresa
B a me´dia de sale´rios e´ 7.000 e a variaˆncia e´ praticamente zero. Em qual das
empresas voceˆ preferiria trabalhar?
Questa˜o 4
Os dados abaixo referem-se ao sala´rio (em sala´rios mı´nimos) de 20 fun-
ciona´rios administrativos em uma indu´stria.
10.1, 7.3, 8.5, 5.0, 4.2, 3.1, 2.2, 9.0, 9.4, 6.1,
3.3, 10.7, 1.5, 8.2, 10, 4.7, 3.5, 6.5, 8.9, 6.1
• a) Construa uma tabela de frequeˆncias agrupando os dados em inter-
valos de amplitude 2 a partir de 1.
• b) Calcule a me´dia, a mediana e o desvio padra˜o usando a tabela con-
struida em a).
3 ANA´LISE BIDIMENSIONAL 40
• c) Se classificarmos os funciona´rios com sala´rios abaixo de 5 como fun-
ciona´rios de baixa renda. Entre 5 e 7 como de renda me´dia. Maior que
7 como renda alta. Construa uma tabela de frequeˆncias para o perfil
de renda.
• d) Escolhendo um funciona´rio, qual e´ a probabilidade de ele ser de
renda me´dia? Qual sera´ provavelmente o seu perfil de renda?
Questa˜o 5
Dois medicamentos para cicatrizac¸a˜o esta˜o sendo testados em um ex-
perimento feito para estudar o tempo (em dias) necessa´rio para o completo
fechamento de cortes. Uma amostra com 30 cobaias foi analisada, sendo
metade tratada com o medicamento A e a outra metade com o B, e forneceu
os seguintes valores:
A - 15, 17, 16, 15, 17, 14, 17, 16, 16, 17, 15, 18, 14, 17, 15
B - 14, 15, 16, 17, 18, 18, 17, 15, 16, 14, 18, 18, 16, 15, 14
• a) Construa uma tabela de frequeˆncias para o tempo do medicamento
A e outra para o B.
• b) Para o medicamento A qual a porcentagem das observac¸o˜es esta˜o
abaixo dos 16 dias? E para o B?
• c) Os medicamentos precem ter o mesmo efeito?
Questa˜o 6
Suponha que o pa´ıs A receba de volta uma parte de seu territo´rio T,
que por certo tempo esteve sob a administrac¸a˜o do pa´ıs B, devido a um
tratado entre A e B. A populac¸a˜o de A, antes de receber T, era 1,2 bilha˜o
de habitantes, e a de T era 6 milho˜es de habitantes. Se as me´dias de idade
das populac¸o˜es A e T, antes de se reunirem, eram, respectivamente, 30 anos
e 25 anos. Qual e´ a me´dia de idade apo´s a reunia˜o?
Questa˜o 7
Numa classe com vinte alunos, as notas do exame final podiam variar
de 0 a 100 e a nota mı´nima para aprovac¸a˜o era 70. Realizado o exame,
verificou-se que 8 alunos foram reprovados. A me´dia aritme´tica das notas
desses oito alunos foi 65, enquanto que a me´dia dos aprovados foi 77. Apo´s a
divulgac¸a˜o dos resultados, o professor verificou que uma questa˜o havia sido
mal formulada e decidiu atribuir 5 pontos a mais para todos os alunos. Com
essa decisa˜o, a me´dia dos aprovados passou a ser 80 e a dos reprovados 68,8.
• a) Calcule a me´dia aritme´tica das notas da classe toda antes da atribuic¸a˜o
dos cinco pontos extras.
3 ANA´LISE BIDIMENSIONAL 41
• b) Com a atribuic¸a˜o dos cinco pontos extras, quantos alunos, inicial-
mente reprovados, atingiram nota para a aprovac¸a˜o?
Questa˜o 8
Suponha que a relac¸a˜o entre o tempo necessa´rio para animais adquirirem
um certo peso e a quantidade de animais no rebanho pode ser descrita por:
peso = racao(kg)
animais
A pesagem dos animais e´ feita semanalmente e o acompanhamento foi
feito durante 3 semanas.
• a) Na primeira semana utilizamos 500kg para alimentar o rebanho e,
nesse per´ıodo houve um ganho me´dio de 2kg. Na segunda semana
foram utilizados 1000kg e houve um ganho me´dio de 2,5kg. Na terceira
semana utilizamos 200kg e o ganho me´dio foi de 3kg. Qual o ganho
me´dio de peso nessas 3 semanas?
• b) Se alimentamos 100 animais durante a primeira semana, 150 du-
rante a segunda e 500 durante a terceira e os ganhos de peso foram
respectivamente 2, 1.5 e 2.5. Qual e´ o ganho me´dio de peso durante
essas 3 semanas?
Questa˜o 9
Suponha que aplicamos um capital durante 6 meses e as taxas de retorno
foram de 10,15,30,40,60,50 por cento respectivamente. Suponha tambe´m que
decidimos continuar com o investimento se a taxa me´dia de retorno for de pelo
menos 34 por cento. Qual e´ a decisa˜o a juros simples? E a juros compostos?
Questa˜o 10
Foram entrevistados 200 alunos de treˆs cursos, obtendo a seguinte tabela:
• a) Qual e´ a porcentagem de alunos do curso de f´ısica? Existem mais
homens ou mulheres no curso de f´ısica?
• b) Qual e´ a porcentagem de mulheres no curso de matema´tica?
3 ANA´LISE BIDIMENSIONAL 42
• c) Escolhendo um aluno ao acaso e, sabendo que o escolhido e´ mulher
qual e´ a probabilidade de ela ser do curso de qu´ımica?
• d) Qual o curso tem um nu´mero maior de homens f´ısica ou matema´tica?
• e) De acordo com o coeficiente X 2 e com a tabela de frequeˆncias, essas
varia´veis sa˜o independentes?
Questa˜o 11
Um geo´logo esta´ procurando identificar a relac¸a˜o existente entre a pre-
senc¸a de magne´sio e a existeˆncia de calcificac¸a˜o de um determinado tipo em
um solo. Para isso, ele coletou uma amostra de solo com 5 observac¸o˜es e an-
otou a quantidade de magne´sio encontrada (X) e o correspondente nu´mero
de calcificac¸o˜es (Y).
Fac¸a o gra´fico de dispersa˜o para as varia´veis e calcule o coeficiente de
correlac¸a˜o. Qual e´ a conclusa˜o do geo´logo?
4 PROBABILIDADE 43
4 Probabilidade
Ate´ agora, analisamos um conjunto de dados atrave´s de te´cnicas gra´ficas
e medidas de posic¸a˜o ou dispersa˜o.
A distribuic¸a˜o de frequeˆncias foi um instrumento importante para avaliar-
mos o comportamento da varia´vel que estudamos, seus valores e suas variac¸o˜es
observadas na amostra.
As frequeˆncias relativas estudadas ate´ enta˜o, sa˜oestimativas das proba-
bilidades de ocorreˆncia dos valores da varia´vel de interesse.
Fazendo suposic¸o˜es adequadas e sem observarmos amostras, podemos
criar um modelo teo´rico que reproduza a distribuic¸a˜o de frequeˆncias obser-
vadas na populac¸a˜o. Esses modelos sa˜o chamados modelos probabil´ısticos.
Uma outra interpretac¸a˜o para o conceito de probabilidade, um pouco
diferente da interpretac¸a˜o frequentista que estamos acostumados ate´ agora e´
a interpretac¸a˜o cla´ssica. Nesse caso, quando cada um dos resultados (eventos
elementares) tem igual chance de ocorrer definimos a probabilidade de um
evento A ocorrer como a raza˜o entre o nu´mero de resultados favora´veis ao
evento A e o nu´mero de resultados poss´ıveis.
4.1 Modelo probabil´ıstico
Um modelo probabil´ıstico e´ constitu´ıdo por:
1)- Um espac¸o amostral Ω que consiste em todos os resultados poss´ıveis
para o experimento.
Ω = {w1, w2, w3, ..., wn, ...}
O espac¸o amostral pode ser finito ou infinito. Qualquer subconjunto de
Ω e´ denominado evento. O evento wi e´ chamado evento elementar.
2)- Uma probabilidade P(.), definida para cada evento elementar wi em
Ω, de tal forma que seja poss´ıvel encontrar a probabilidade P(A) para qual-
quer evento A em Ω.
Exemplo 1: Modelo probabil´ıstico para o lanc¸amento de um dado.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
onde P (wi) =
1
6
, para todo wi ∈ Ω.
Para o evento A: observar face ı´mpar, temos A={1, 3, 5} e P(A)=1/2.
Exemplo 2: Modelo probabil´ıstico para o lanc¸amento de um dado e uma
moeda.
4 PROBABILIDADE 44
Ω = {(c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4), (c, 5), (c, 6), (k, 1), (k, 2), (k, 3), (k, 4), (k, 5), (k, 6)}
onde P (wi) =
1
12
, para todo wi ∈ Ω.
Para o evento B: observar face par e cara, temos B={(c, 2), (c, 4), (c, 6)}
e P(B)=1/4.
Axiomas de probabilidade
A func¸a˜o de probabilidade do modelo probabil´ıstico deve satisfazer:
• (1) P (Ω) = 1
• (2) 0 ≤ P (A) ≤ 1, para todo evento A ∈ Ω.
• (3) P (E1 ∪ E2) = P (E1) + P (E2) para E1, E2 ∈ Ω, eventos disjuntos,
isto e´ E1 ∩ E2 = ∅.
A partir dos axiomas anteriores podemos definir algumas propriedades
para a func¸a˜o de probabilidade:
• (1) P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B), para todo A,B ∈ Ω.
Dem:
P (A ∪B) = P (A−B) + P (A ∩B) + P (B − A)
= P (A)− P (A ∩B) + P (A ∩B) + P (B)− P (A ∩B)
= P (A) + P (B)− P (A ∩B)
• (2) P (Ac) = 1− P (A).
Dem:
P (Ω) = 1 =⇒ P (A ∪ Ac) = 1 =⇒ P (A) + P (Ac) = 1.
• (3) P (∅) = 0.
Dem : Em sala.
• (4) P (⋃ni=1 Ei) = ∑ni=1 P (Ei) . Para toda colec¸a˜o de eventos {E1, E2, ..., En}
disjuntos dois a dois isto e´ Ei ∩ Ej = ∅, para todo i 6= j.
Obs: Os eventos satisfazem a`s mesmas propriedades para as operac¸o˜es
entre conjuntos:
4 PROBABILIDADE 45
• a) (A ∩B)c = Ac ∪Bc
• b) (A ∪B)c = Ac ∩Bc
• c) A ∩ ∅ = ∅
• d) A ∪ Ω = A
• e) Ωc = ∅
• f) A ∩ Ac = ∅
• g) A ∪ Ac = Ω
• h) A ∪ ∅ = A, A ∩ Ω = Ω
Exemplo 3: Ao se retirar uma carta do baralho (com 52 cartas) qual e´
a probabilidade de se obter uma carta vermelha ou um a`s?
evento A: carta e´ a`s.
evento B: carta e´ vermelha.
P (A∪B) = P (B) +P (A)−P (A∩B) = 26/52 + 4/52− 2/52 = 28/52 =
7/13.
Exemplo 4: Lanc¸ando uma moeda e um dado, qual e´ a probabilidade
de na˜o se observar o nu´mero 1?
evento A: foi observada a face 1.
A = {(c, 1), (k, 1)}
queremos P (Ac) = 1− P (A) = 1− 2/12 = 5/6.
Exerc´ıcio: Suponha que entrevistamos 100 alunos e perguntamos em
quais mate´rias eles estavam inscritos. Obtivemos os seguintes valores:
47 alunos inscritos em matema´tica.
31 alunos inscritos em f´ısica.
11 alunos inscritos em estat´ıstica.
20 alunos inscritos em matema´tica e f´ısica.
7 alunos inscritos em matema´tica e estat´ıstica.
6 alunos inscritos em f´ısica e estat´ıstica.
5 alunos inscritos em matema´tica, f´ısica e estat´ıstica.
a) Selecionando um aluno ao acaso, qual e´ a probabilidade de ele estar
inscrito somente em matema´tica?
b) Qual e´ a probabilidade de ele estar inscrito em matema´tica ou f´ısica?
c) Qual e´ a probabilidade de ele estar inscrito em pelo menos 1 mate´ria?
4 PROBABILIDADE 46
Me´todos de contagem
Quando estamos trabalhando com um espac¸o amostral finito e equiprova´vel
Ω = {w1, w2, w3, ..., wn} isto e´, quando todos os eventos elementares wi teˆm
igual probabilidade 1/n de ocorrer, podemos utilizar te´cnicas de ana´lise com-
binato´ria para calcular de uma maneira mais simples a probabilidade de um
evento A ocorrer.
P (A) = ]A
]Ω
onde ]A e´ o nu´mero de resultados favora´veis e ]Ω e´ o nu´mero de resulta-
dos poss´ıveis.
Exemplo 5: Suponha que num lote com 20 pec¸as existam 5 defeituosas.
Escolhendo 4 pec¸as do lote, qual e´ a probabilidade de 2 pec¸as serem defeitu-
osas e 2 perfeitas?
A: Escolher 2 pec¸as defeituosas e 2 perfeitas.
]A = C52 .C
15
2 (nu´mero de casos favora´veis).
]Ω = C204 (nu´mero de casos poss´ıveis).
Logo, P (A) = ]A
]Ω
=
C52 .C
15
2
C204
=
5.4
2!
15.14
2!
20.19.18.17
4!
= 0, 2167
Exerc´ıcio: Lanc¸ando-se 2 dados, qual e´ a probabilidade de todos os
nu´meros aparecerem 2 vezes?
Exerc´ıcio: Em um grupo de 5 me´dicos e 5 enfermeiras, devemos formar
uma equipe com 2 me´dicos e 2 enfermeiras. Qual e´ a probabilidade do me´dico
Jose´ e a enfermeira Maria fazerem parte da mesma equipe?
Exerc´ıcio: Um baralho conte´m 52 cartas das quais 4 sa˜o ases. Se 4
jogadores recebem 13 cartas cada um qual e´ a probabilidade de cada jogador
receber 1 a`s?
4.2 Probabilidade condicional e independeˆncia
Definic¸a˜o : Para dois eventos A e B ∈ Ω com P (B) > 0, a probabilidade
condicional de A dado B e´ dada por:
4 PROBABILIDADE 47
P (A|B) = P (A∩B)
P (B)
Exemplo 6: Dois dados sa˜o lanc¸ados e foi observada a soma das faces
ı´mpar. Qual e´ a probabilidade de que a soma seja menor do que 8?
B: Sair soma ı´mpar.
B = {3, 5, 7, 9, 11}
A: Soma menor que 8.
A = {2, 3, 4, 5, 6, 7}
P (A|B) = P (A∩B)
P (B)
A ∩B = {3, 5, 7} =

Soma 3− (1, 2); (2, 1)
Soma 5− (1, 4); (4, 1); (2, 3); (3, 2)
Soma 7− (1, 6); (6, 1); (2, 5); (5, 2); (3, 4); (4, 3)
enta˜o P (A ∩B) = 12
36
.
B = {3, 5, 7, 9, 11} =

Soma 3− (1, 2); (2, 1)
Soma 5− (1, 4); (4, 1); (2, 3); (3, 2)
Soma 7− (1, 6); (6, 1); (2, 5); (5, 2); (3, 4); (4, 3)
Soma 9− (3, 6); (6, 3); (4, 5); (5, 4)
Soma 11− (5, 6); (6, 5)
enta˜o P (B) = 18
36
Logo P (A|B) = 123618
36
= 12
18
= 2
3
Regra da multiplicac¸a˜o
Dada a definic¸a˜o de probabilidade condicional, podemos escrever:
P (A ∩B) = P (A|B)P (B)
Essa regra em geral, vale para mais eventos:
P (A ∩B ∩ C) = P (C|A ∩B)P (B|A)P (A)
P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ ... ∩ An) = P (An|A1 ∩ ... ∩ An−1)P (An−1|A1 ∩ ... ∩
An−2)...P (A1)
Exemplo 7:
Em um lote com 100 laˆmpadas 20 sa˜o defeituosas. Selecionando 2 laˆmpadas
ao acaso e sem reposic¸a˜o, qual e´ a probabilidade:
a) De serem ambas defeituosas?
4 PROBABILIDADE 48
b) Da segunda laˆmpada ser defeituosa?
a) Sejam os eventos A: 1o pec¸a e´ defeituosa. B: 2o pec¸a e´ defeituosa.
P (A ∩B) = P (B|A).P (A) = 20
100
.19
99
= 38
99
b) P (B) = P (B ∩ A) + P (B ∩ Ac) = P (B|A)P (A) + P (B|Ac)P (Ac) =
20
100
.19
99
+ 20
99
. 80
100
= 0, 2
c) Selecionando treˆs laˆmpadas ao acaso, qual e´ a probabilidade de reti-
rarmos a 1o laˆmpada defeituosa, a 2o e a 3o perfeitas?
Para o evento C: 3o pec¸a e´ defeituosa.
Queremos P (A ∩Bc ∩ Cc) = P (Cc|A ∩Bc)P (Bc|A)P (A) = 79
98
80
99
20
100
Definic¸a˜o (Partic¸a˜o):
Dizemos que os eventos A1, A2, A3, ..., An formam uma partic¸a˜o para Ω
se:
• (i) Ω = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ An
• (ii) Ai ∩ Aj = ∅, ∀i 6= j, i, j ∈ {1, 2, ..., n}
Teorema: Lei da probabilidade total
Seja B um evento e {A1, A2, A3, ..., An} uma partic¸a˜o do espac¸o amostral
Ω, enta˜o:
P (B) = Σni=1P (B|Ai)P (Ai)
Demonstrac¸a˜o:
P (B) = P (B ∩ Ω) = P (B ∩ (A1, A2, A3, ..., An))
= P ((B ∩ A1) ∪ (B ∩ A2) ∪ ... ∪ (B ∩ An))
= P (B ∩ A1) + P (B ∩ A2) + ...+ P (B ∩ An)
= P (B|A1)P (A1) + P (B|A2)P (A2) + ...+ P (B|An)P (An)
=
n∑
i=1
P (B|Ai)P (Ai)
4 PROBABILIDADE 49
Podemos verificar na figura abaixo como interpretar a lei da probabilidade
total.
Quando o evento B pode ser formado pela unia˜o de va´rias partes sem in-
tersec¸a˜o (eventos disjuntos)e, sabemos calcular a probabilidade de cada uma
dessas partes, podemos calcular a probabilidade total do evento B ocorrer
atrave´s da soma das probabilidades de todas as partes que unidas formam o
evento B.
4 PROBABILIDADE 50
Exemplo 8:
Em uma fa´brica, duas ma´quinas A e B operam em dias alternados. A
ma´quina A opera em 20 por cento dos dias e a probabilidade de produzir um
item defeituoso e´ 0,3, ja´ para a ma´quina B essa probabilidade e´ de 0,1. Se-
lecionando dois equipamentos produzidos em um dia, qual e´ a probabilidade
de serem ambos defeituosos?
Pela lei da probabilidade total temos:
C: Selecionar 2 equipamentos defeituosos
A : Ma´quina A ativa.
B : Ma´quina B ativa.
P (C) = P (C|A)P (A)+P (C|B)P (B) = (0, 3)2.0, 2+(0, 1)2.0, 8= 0,018+0,008=0,026.
Independeˆncia
Dizemos que dois eventos A e B ∈ Ω, sa˜o independentes se
P (A ∩B) = P (A).P (B)
Exemplo 9:
Uma urna conte´m 2 bolas brancas e 3 vermelhas. Suponha que sejam
retiradas 2 bolas sem reposic¸a˜o.
Nesse caso, para o evento A: retirar uma bola branca na segunda extrac¸a˜o
temos
A = {(v, b), (b, b)}
e para o evento C: retirar uma bola branca na 1o extrac¸a˜o temos
A = {(b, v), (b, b)}
Os eventos A e C sa˜o independentes? Para responder, vamos descrever o
espac¸o amostral e as probabilidades.
Resultados Probabilidade
(b,b) 2/5.1/4=2/20
(b,v) 2/5.3/4=6/20
(v,b) 3/5.2/4=6/20
(v,v) 3/5.2/4=6/20
enta˜o P (A) = P (b, b) +P (v, b) = 2/20 + 6/20 = 2/5, P (C) = P (b, b) +
P (b, v) = 2/20+6/20 = 2/5 e P (A∩C) = P (b, b) = 2/20 6= P (A).P (C) =
4/25.
4 PROBABILIDADE 51
Logo os eventos A e C na˜o sa˜o independentes.
Se tive´ssemos retirado duas bolas com reposic¸a˜o ter´ıamos
Resultados Probabilidade
(b,b) 2/5.2/5=4/25
(b,v) 2/5.3/5=6/25
(v,b) 3/5.2/5=6/25
(v,v) 3/5.3/5=6/25
P (C) = P (b, b) + P (b, v) = 4/25 + 6/25 = 10/25, P (A) = P (b, b) +
P (v, b) = 4/25 + 6/25 = 10/25
enta˜o
P (A ∩ C) = P (b, b) = 4/25 = P (A).P (C) = 10/25.2/5 = 4/25
Logo, nesse caso os eventos A e C sa˜o independentes.
Exemplo 10:
Lanc¸ando um dado e uma moeda, os eventos: obter cara e obter um
nu´mero menor que 3 sa˜o independentes?
A: obter cara.
B: obter um nu´mero menor que 3.
A={(c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4), (c, 5), (c, 6)}
B={(c, 1), (k, 1), (c, 2), (k, 2)}
P (A ∩B) = 2/12, P (A) = 6/12 e P (B) = 4/12
Como P (A ∩ B) = 2/12 = P (A).P (B) = 1/6, temos que os eventos A e
B sa˜o independentes.
Obs: Se os eventos A e B sa˜o independentes enta˜o Ac e Bc tambe´m sa˜o
independentes.
P (Ac ∩Bc) = P ((A ∪B)c) = 1− P (A ∪B)
= 1− [P (A) + P (B)− P (A ∩B)]
= 1− P (A)− P (B) + P (A)P (B)
= 1− P (A)− P (B)[1− P (A)]
= [1− P (A)][1− P (B)]
= P (Ac)P (Bc)
Exemplo 11:
4 PROBABILIDADE 52
Se uma ma´quina A e uma ma´quina B operam de maneira independente
e a probabilidade da ma´quina A falhar e´ de 0,4 e para a ma´quina B essa
probabilidade e´ de 0,1. Qual e´ a probabilidade de ambas funcionarem corre-
tamente?
resp: 0,6.0,9=0,54.
4.3 Teorema de Bayes
Exemplo 12:
Se temos duas urnas, a urna 1 com 2 bolas brancas e 1 vermelha e a urna
2 com 1 bola branca e 1 vermelha. Se selecionamos uma bola vermelha, qual
e´ a probabilidade de ela ter vindo da urna 1?
C: A urna 1 e´ selecionada.
V: Uma bola vermelha e´ selecionada.
Queremos saber P (C|V ), mas sabemos calcular P (V |C). Como podemos
usar essa informac¸a˜o?
Podemos usar o fato de P (C|V ) = P (C∩V )
P (V )
= P (V |C)P (C)
P (V )
e ale´m disso, pelo
teorema da probabilidade total sabemos que
P (V ) = P (V |C)P (C) + P (V |Cc)P (Cc)
enta˜o P (C|V ) = P (V |C)P (C)
P (V |C)P (C)+P (V |Cc)P (Cc) =
2
3
1
2
2
3
1
2
+ 1
2
1
2
= 4
7
.
Podemos generalizar a fo´rmula acima da seguinte maneira:
Para {A1, A2, ..., An} uma partic¸a˜o de Ω, considere B um evento qualquer
em Ω. Suponhamos conhecidas P (B|Ai) e P (Ai) enta˜o temos:
Teorema de Bayes
A probabilidade de ocorreˆncia do evento Ai dada a ocorreˆncia do evento
B e´:
P (Ai|B) = P (B|Ai)P (Ai)∑n
i=1 P (B|Ai)P (Ai)
4 PROBABILIDADE 53
Podemos pensar em {A1, A2, ..., An} como um conjunto de hipo´teses.
Dado que B ocorreu, a probabilidade inicial de Ai, P (Ai) e´ modificada para
se obter P (Ai|B).
Chamamos P (Ai)- Probabilidade a priori.
P (Ai|B)- Probabilidade a posteriori.
Para se obter P (Ai|B) multiplicamos P (Ai) por:
P (B|Ai)∑n
i=1 P (B|Ai)P (Ai)
Exemplo 12:
Supondo que um teste para uma certa doenc¸a pode resultar em positivo
ou negativo e que a probabilidade do teste dar positivo, dado que a pessoa
esta´ doente e´ 0,9 e, de dar negativo dado que a pessoa na˜o esta´ doente e´ 0,9.
Sabendo ainda que a incideˆncia da doenc¸a na populac¸a˜o e´ de 1/100, se um
individuo desta populac¸a˜o faz o teste e resulta positivo, qual e´ a probabili-
dade de realmente ele estar doente?
A: teste resultou positivo
B: individuo esta´ doente
P (B|A) = P (A|B)P (B)
P (A|B)P (B)+P (A|Bc)P (Bc) =
0,9.0,01
0,9.0,01+0,1.0,99
= 0, 08
Antes de fazer o teste o indiv´ıduo tinha uma chance de 1 por cento de ter
a doenc¸a, como o teste deu positivo, temos um aumento na probabilidade,
que passou para 8 por cento.
4 PROBABILIDADE 54
4.4 Exerc´ıcios - lista 05
Probabilidade e suas propriedades
Questa˜o 1 Defina um modelo probabil´ıstico para os experimentos abaixo
(espac¸o amostral e probabilidades para cada elemento do espac¸o amostral):
• a) Um dado e´ lanc¸ado duas vezes e a ocorreˆncia de face par ou ı´mpar
e´ observada.
• b) Dois dados sa˜o lanc¸ados simultaneamente e a soma e´ observada.
• c) Uma urna conte´m 10 bolas azuis e 10 vermelhas, 4 bolas sa˜o sele-
cionadas ao acaso e com reposic¸a˜o e as cores sa˜o anotadas.
• d) Idem ao anterior mas sem reposic¸a˜o.
Questa˜o 2
Para o exerc´ıcio anterior, deˆ a probabilidade para os seguintes eventos:
• a) Observar pelo menos 1 face ı´mpar em 1a).
• b) Observar soma mu´ltipla de 3 em 1b).
• c) Observar primeira e segunda bolas azuis e terceira e quartas vermel-
has em 1c).
• d) Observar duas bolas azuis e duas vermelhas em 1c).
• e) Observar primeira e segunda bolas azuis e terceira e quata vermelhas
em 1d).
• f) Observar duas bolas azuis e duas vermelhas em 1d).
Questa˜o 3
Uma universidade tem 10 mil alunos dos quais 4 mil sa˜o considerados
esportistas. Temos ainda que 500 alunos sa˜o do curso de biologia diurno,
700 da biologia noturno, 100 sa˜o esportistas e da biologia diurno e 200 sa˜o
esportistas e da biologia noturno. Um aluno e´ escolhido ao acaso e pergunta-
se a probabilidade de:
• a) Ser esportista.
• b) Ser esportista e aluno da biologia noturno.
• c) Na˜o ser da biologia.
4 PROBABILIDADE 55
• d) Ser esportista ou aluno da biologia.
• e) Na˜o ser esportista nem aluno da biologia.
Questa˜o 4
Sejam A e B dois eventos em um dado espac¸o amostral, tais que P(A)=0,2,
P(B)=p, P(AUB)=0,5 e P(A
⋂
B)=0,1. Determine o valor de p.
Questa˜o 5
Uma fa´brica produz molas de tamanhos 1,2,3,4,5 e 6 cm. Sabendo que
a probabilidade de a mola resistir a uma forc¸a empregada e´ proporcional ao
comprimento e a constante de proporcionalidade e´ a mesma para cada mola,
qual e´ a probabilidade da mola de 2cm resistir a` forc¸a?
Questa˜o 6
Uma moeda e´ viciada de modo que a probabilidade de sair cara e´ 4 vezes
a probabilidade de sair coroa. Para 2 lanc¸amentos dessa moeda determinar:
• a) O espac¸o amostral.
• b) A probabilidade de sair somente uma cara.
• c) A probabilidade de sair pelo menos uma cara.
• d) A probabilidade de dois resultados iguais.
Questa˜o 7
Sorteamos ao acaso, com reposic¸a˜o, 2 nu´meros dentre 4 dos quais dois
sa˜o positivos, dois sa˜o negativos e nenhum deles e´ zero. Determine a proba-
bilidade de:
• a) Um deles ser negativo.
• b) O quociente ser negativo.
• c) Os dois nu´meros terem o mesmo sinal.
Questa˜o 8
Pec¸as produzidas por uma ma´quina sa˜o classificadas como defeituosas, re-
cupera´veis ou perfeitas com probabilidade de 0.1,0.2 e 0.7, respectivamente.
De um grande lote dessas pec¸as foram sorteamdas duas delas e sua classi-
ficac¸a˜o e´ observada. Determine a probabilidade de:
• a) Duas serem defeituosas.
• b) Pelo menos uma ser perfeita.
4 PROBABILIDADE56
• c) Uma ser recupera´vel e uma ser perfeita.
Probabilidade condicional
Questa˜o 9
Dois arma´rios guardam as bolas de voleibol e basquete. O arma´rio 1 tem
3 bolas de voleibol e 1 de basquete, enquanto o arma´rio 2 tem 3 de voleibol
e 2 de basquete. Escolhendo-se ao acasoum arma´rio e, em seguida, uma de
suas bolas, calcule a probabilidade dela ser:
• a) De voleibol, sabendo-se que o arma´rio 1 foi escolhido.
• b) De basquete, sabendo-se que o arma´rio 2 foi escolhido.
• c) De basquete.
Questa˜o 10
Duas caixas conte´m la´pis e canetas, a primeira conte´m 60 la´pis e 40
canetas, a segunda conte´m 10 la´pis e 20 canetas. Suponha que uma caixa e´
selecionada e um objeto e´ escolhido, qual e´ a probabilidade de escolher uma
caneta?
Questa˜o 11
Treˆs diferentes ma´quinas sa˜o utilizadas para produzir uma pec¸a. Sabendo
que a ma´quina 1 produz 20 por cento das pec¸as das quais 1 por cento sa˜o
defeituosas. A ma´quina 2 produz 30 por cento das pec¸as das quais 2 por cento
sa˜o defeituosas e, a ma´quina 3 produz 50 por cento das pec¸as das quais 3 por
cento sa˜o defeituosas. Selecionando 1 item ao acaso, qual e´ a probabilidade
de ele ser defeituoso? Se selecionarmos 2 itens, qual e´ a probabilidade dos
dois serem defeituosos?
Questa˜o 12
Dois dados equilibrados sa˜o lanc¸ados, calcule a probabilidade de:
• a) Obter o par (3,4), sabendo-se que ocorreu face ı´mpar no primeiro
dado.
• b) Ocorrer face ı´mpar no segundo dado sabendo-se que ocorreu face
par no primeiro dado.
Questa˜o 13
Uma companhia que fura poc¸os artesianos trabalha em uma regia˜o escol-
hendo aleto´riamente o ponto de furo e na˜o encontrando a´gua sorteia outro
local para a perfurac¸a˜o e assim por diante ate´ no ma´ximo 3 tentativas. Ad-
mitindo que a probabilidade de encontrar a´gua em uma perfurac¸a˜o e´ 0.7,
calcule a probabilidade de:
4 PROBABILIDADE 57
• a) Encontrar a´gua no segundo furo.
• b) Encontrar a´gua no terceiro furo.
• c) Encontrar a´gua.
Questa˜o 14
Suponha que existam duas pastas de dente no mercado: A e B. Suponha
que para cada escolha depois da primeira, a probabilidade que ele escolha a
mesma pasta e´ 1/3 e que ele mude de pasta e´ 2/3. Se e´ igualmente prova´vel
ele escolher a pasta 1 ou 2 na primeira escolha, qual e´ a probabilidade que a
primeira e a segunda sejam do tipo A e as terceiras e quarta do tipo B?
Independencia entre eventos
Questa˜o 15
Dois estudantes A e B esa˜o matriculados em um certo curso. Se o estu-
dante A frequenta 80 por cento das aulas, e o estudante B 60 por cento e as
auseˆncias sa˜o independentes, qual e´ a probabilidade de:
• a) Ao menos 1 dos estudantes esteja presente na aula um certo dia?
• b) Dado que ao menos 1 dos estudantes esteja presente na aula um
certo dia qual e´ a probabilidade que A esteja presente nesse dia?
Questa˜o 16
Suponha que a probabilidade de uma part´ıcula emitida por um material
radioativo atingir um campo e´ 0,01. Se 10 part´ıculas sa˜o emitidas qual e´ a
probabilidade de apenas 1 delas atingir o campo?
Questa˜o 17
Dois garotos lanc¸am uma bola de basquete. Suponha que a probabilidade
do menino A acertar a cesta e´ 1/3 e para o menino B essa probabilidade e´
1/4. Suponha tambe´m que o menino A inicia os lanc¸amentos e os dois va˜o se
alternando. Qual e´ a probabilidade de o primeiro acerto ocorres no terceiro
lanc¸amento do menino A?
Questa˜o 18
Se treˆs dados sa˜o lanc¸ados, qual e´ a probabilidade que os 3 nu´meros sejam
os mesmos?
Teorema de Bayes
Questa˜o 19
Numa certa regia˜o, a probabilidade de chuva em um dia de primavera e´
0,1. Um meteorologista acerta sua previsa˜o em 80 por cento dos dias que
chove e 90 por cento dos dias em que na˜o chove.
• a) Qual e´ a probabilidade de um meteorologista acertar sua previsa˜o?
4 PROBABILIDADE 58
• b) Se houver acerto na previsa˜o, qual e´ a probabilidade de ter sido um
dia de chuva?
Questa˜o 20
Uma caixa conte´m 3 cartas, uma e´ vermelha em ambos os lados, outra
e´ verde em ambos os lados e, a terceira e´ verde de um lado e vermelha de
outro. Uma carta e´ selecionada e um de seus lados e´ observado. Se esse lado
e´ verde, qual e´ a probabilidade que o outro lado seja tambe´m verde?
Questa˜o 21
Acredita-se que numa certa populac¸a˜o 20 por cento de seus habitantes sa˜o
considerados ale´rgicos. Sendo ale´rgico, a probabilidade de sofrer um tipo de
reac¸a˜o a um certo antibio´tico e´ 0,5. Para os na˜o ale´rgicos essa probabilidade
e´ 0,05. Uma pessoa e´ dessa populac¸a˜o teve reac¸a˜o ao ingerir o antibio´tico.
• a) Qual e´ a probabilidade de ele ser do grupo ale´rgico?
• b) E do grupo na˜o ale´rgico?
Questa˜o 22
Uma caixa conte´m 2 moedas, uma tem cara em ambos os lados e a outra
e´ honesta. Uma moeda e´ selecionada e lanc¸ada, se obtivemos cara qual e´ a
probabilidade que a moeda seja honesta?
5 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS DISCRETAS 59
5 Varia´veis aleato´rias discretas
Ate´ agora, estudamos alguns modelos probabil´ısticos por meio de espac¸os
amostrais bem simples e obtivemos algumas propriedades da func¸a˜o de prob-
abilidade.
Para situac¸o˜es mais gerais, precisamos de modelos que possam representar
os tipos de varia´veis que estudamos, qualitativas e quantitativas.
Para as varia´veis qualitativas as noc¸o˜es de probabilidade associadas a
eventos definidas anteriormente adaptam-se muito bem. Ja´ para as varia´veis
quantitativas discretas e cont´ınuas precisamos de alguns artif´ıcios matema´ticos.
Os modelos probabil´ısticos para as varia´veis quantitativas sa˜o muito im-
portantes para infereˆncia estat´ıstica e a partir deles podemos extrair con-
cluso˜es sobre a populac¸a˜o.
Varia´veis aleato´rias
Uma quantidade X associada a cada poss´ıvel resultado do espac¸o amostral
e´ denominada varia´vel aleato´ria discreta se assume valores num conjunto
enumera´vel (finito ou infinito) com certa probabilidade. Por outro lado, sera´
denominada varia´vel aleato´ria cont´ınua se o conjunto de valores assumido e´
qualquer intervalo de nu´meros reais, que sa˜o conjuntos na˜o enumera´veis.
Como ja´ vimos anteriormente, existem varia´veis que sa˜o naturalmente
definidas como discretas ou cont´ınuas. Por exemplo, o nu´mero de filhos e´
discreta e o tempo de reac¸a˜o a um certo medicamento e´ cont´ınua.
De forma geral, as definic¸o˜es de varia´veis quantitativas discretas e cont´ınuas
feitas anteriormente no capitulo 1 permanecem, e a palavra aleato´ria e´ intro-
duzida para indicar que a cada valor ou intervalo poss´ıvel atribu´ımos uma
probabilidade de ocorreˆncia.
No caso discreto, a atribuic¸a˜o e´ similar a` tabela de frequeˆncia relativa. Ja´
no caso cont´ınuo vamos utilizar uma generalizac¸a˜o do conceito de histograma.
Varia´veis aleato´rias discretas
Seja X uma varia´vel aleato´ria discreta e x1, x2, x3, ... seus valores poss´ıveis.
A func¸a˜o que atribui a cada valor poss´ıvel de X uma probabilidade e´ chamada
func¸a˜o de probabilidade.
5.1 Func¸a˜o de Probabilidade
Para uma varia´vel aleato´ria discreta X assumindo valores x1, x2, x3, ... defin-
imos a func¸a˜o de probabilidade de X por:
5 VARIA´VEIS ALEATO´RIAS DISCRETAS 60
P (X = xi) = p(xi) para todo i ∈ {1, 2, 3, ...}
que satisfaz
{
(i) 0 ≤ p(xi) ≤ 1
(ii)
∑∞
i=0 p(xi) = 1
Na maioria dos casos que estudaremos, X tera´ apenas um nu´mero finito
de valores poss´ıveis e assim, a verificac¸a˜o de que a soma das probabilidades
e´ igual a 1 e´ feita atrave´s de uma soma finita.
As varia´veis discretas sa˜o completamente caracterizadas pelas func¸o˜es de
probabilidade.
Exemplo 1:
Uma assistente social constatou, analisando as famı´lias de um bairro, que
20 por cento na˜o tinham filhos, 30 por cento tinham 1 filho, 35 por cento
dois filhos a os restantes se dividiam igualmente entre treˆs, quatro e cinco fil-
hos. Construa uma func¸a˜o de probabilidade para a varia´vel nu´mero de filhos.
Como X e´ uma varia´vel aleato´ria discreta e os poss´ıveis valores para
X sa˜o 0,1,2,3,4,e 5 e P(X=0)=0.2, P(X=1)=0.3, P(X=2)=0.35 temos pela
propriedade da func¸a˜o de probabilidade:
p(0)+p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)=1 enta˜o
0.2+0.3+0.35+p(3)+p(4)+p(5)=1