Lista de DERIVADAS

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Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I
Prof. Salete Souza de Oliveira Buffoni
55
CAPÍTULO 4 - DERIVADAS
4.1- Incrementos e Razão Incremental
Seja y = f (x) uma função real de variável real, contínua em um dado intervalo do qual fazem parte os números
reais x1 e x2 e esses números são muito próximos entre si, isto é, |x2 – x1| < δ ou x2 – x1 tende a zero.
Nestas condições são aceitas as seguintes definições:
1) Incremento da variável independente x:
A variável independente x pode variar, aumentar ou diminuir de x1 até x2, variação esta, denominada
incremento ou acréscimo da variável x, indicada por: ∆x = x2 – x1.
2) Incremento da função y = f (x)
A função ou variável dependente y pode variar de f (x1) até f (x2), variação esta denominada aumento
ou acréscimo da função y = f (x), o qual é indicado por: ∆y = f (x2) – f (x1).
3) Razão Incremental da y = f (x)
Denomina-se razão incremental da função y = f (x) a razão entre os incrementos ∆y e ∆x → 


x
y
∆
∆
.
( ) ( )
( ) ( )
x
xfxxf
x
y
xxx
x
xfxf
x
y
11
12
12
∆
∆
∆
∆
∆
∆∆
∆
−+=
+=
−=
4) Derivada de uma Função y = f (x)
Seja y = f (x) definida e contínua em um dado intervalo real, denomina-se função derivada ou derivada
de y = f (x) a função que se obtém através do limite da razão incremental de y = f (x) quando o incremento
da variável independente x tende a zero. Tal função é indicada por: y’; f ’ (x); 
dx
dy
; 
dx
df
; 
( )
dx
)x(fd
.
( )
x
)x(fxxf
lim
x
y
lim)x('f
0x0x ∆
∆
∆
∆
∆∆
−−⇒=
→→
 Se este limite existir e for finito.
Exercícios
1) Seja f (x) = x2 determine f ’(x).( )
0
0
x
)x(fxxf
lim)x('f
0x
=−+=
→ ∆
∆
∆
 indeterminação
( ) ( )
( )
( )
x2
0x2
xx2lim
x
xx2.x
lim
x
xxxx2x
lim
x
xxx
lim)x('f
xxxxf
x)x(f
0x
0x
222
0x
22
0x
2
2
=
+=
+=
+=
−++=
−+=
+=+
=
→
→
→
→
∆
∆
∆∆
∆
∆∆
∆
∆
∆∆
∆
∆
∆
∆
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56
( ) ( ) x2x'fxxf 2 =→=
2) ( ) xaxf =
( ) ( ) ( )
( )
aln.a
aln
u
1a
lim:Lembrar
x
1a
lim.a
x
aa.a
lim)x('f
a.aa)xx(f
a)x(f
x
xfxxf
limx'f
x
u
0u
x
0x
x
xxx
0x
xxxx
x
0x
=
=−
−=
−=
==+
=
−+=
→
→
→
+
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆∆
∆
aln.a)x('f x=
3) xlog)x(f a= ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
elog
x
1
elog
eu1lim:Lembrar
1
x
x
1limlog
x
x
1loglim
x
xx
log
x
1
lim
x
xlogxxlog
lim)x('f
xxlogxxf
xlog)x(f
x
)x(fxxf
lim)x('f
a
x
1
a
u
1
0u
x
1
0x
a
x
1
a
0x
a
0x
aa
0x
a
a
0x
=
=+
→=










 +=










 +=


 +=
−+=
+=+
=
−+=
→
∞
→
→
→
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆∆
∆
∆
4.2- Derivada de uma função y = f (x) em um ponto x = x0
Seja y = f (x) contínua em um domínio D e x0 um ponto de acumulação de D. Denomina-se derivada de f (x) no
ponto x0 ao limite: 
0
0
xx xx
)x(f)x(f
lim
0 −
−
→
.
Notação:
( )
0xx
0 dx
dy
x'f
=
=
Indeterminação
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Exercícios
1) Seja f(x) = x3, determinar a derivada de f no ponto que x0 =1.
( )
31xxlim
1x
1x
lim1'f
2
1x
3
1x
=++=
−
−=
→
→
( ) 31'f =
2) Seja f (x) = sen x, determinar a derivada de f no ponto que x0 = 0.
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
1
x
xsen
lim
0x
0xsen
lim0'f
00sen0f
xx
xfxf
limx'f
0x
0x
0
0
0x
0
==
−
−=
==
−
−=
→
→
→
( ) 10'f =
3) ( ) 3 xxf = para x0 = 0.
( )
+∞==
=
=
=
=
=
−
−=
+
→
−
→
−
→
→
→
→
0
1
x
1
lim
xlim
x.xlim
x
x
lim
x
x
lim
0x
0x
lim0'f
3 20x
3
2
0x
13
1
0x
3
1
0x
3
0x
3
0x
( ) ∃=0'f
4.3- Teorema da Existência da Derivada em um Ponto
Existirá a derivada de uma função y = f (x) definida e contínua em um ponto x0 se e somente se as derivadas
laterais no ponto de abcissa x0 forem iguais, isto é:
4.3.1- Derivadas Laterais( )
( )
( ) ( ) ( )
0
0
xx0
0
xx
000
0
0
xx
0
0
0
xx
0
xx
)x(f)x(f
lim
xx
)x(f)x(f
lim
.x'fx'fsesomenteeseexistiráx'f
xx
)x(f)x(f
limx'f
xx
)x(f)x(f
limx'f
00
0
0
=−
−∃⇔−
−∃
=
−
−=∗
−
−=∗
+
+
−
→→
+−
→
+
→
−
x3 - 1 x-1
-x3 + x2 x2 +x +1
x2 - 1
-x2 + x
x - 1
-x + 1
0
.
57
0
0
xx xx
)x(f)x(f
lim
0 −
−
−→
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Exercícios
1) Verificar se existe a derivada de f (x) = |x| em x0
( )
( )
∃==
−
−=
−
−=


<−
≥=∗
→
→
→
x
x
lim
0x
0x
lim
0x
)x(f)x(f
lim0'f
0xsex
0xsex
xf
0x
0x
0
0x
diferentessão
11lim
x
x
lim
x
x
lim
11lim
x
x
lim
x
x
lim
0x0x0x
0x0x0x
−=−=−=∗
===∗
−−−
+++
→→→
→→→
( ) ∃=0'f
4.4- Interpretação Geométrica da Derivada
Seja y = f (x) uma função contínua e derivável em um domínio D.
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) α∆
∆
β∆
∆
∆
∆
∆
∆
tan
x
xfxxf
lim
tan
x
xfxxf
x
xfxxf
limx'f
00
0x
00
00
0x
0
=−+•
=−+•
−+=
→
→
4.4.1- Equação da Reta Tangente à curva y
( )
( )0
000
x'fm
y,xP
=
( )00 xx.myy −=−
Exercícios
1) Determinar a equação da reta tangen
( )4,2P
)y,x(P
0
000
( )
( )
( )
4m
.22'f
x2x'f
2'fm
=
=
=
=
tangente
α
y
x0
f (x0)
f (x0+∆x)
∆x
β
 = f (x) no 
te à curva 
42 =
x0
 = 0.
58
ponto P0 (x0, y0)
y = x2 no ponto onde x0 = 2.
x+∆x
( )
( )
8x44y
2x44y
xxmyy 00
−=−
−=−
−=−
04x4y =+− → Equação da reta tangente
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Observação:
A derivada de uma função y = f (x) em um ponto é um número que corresponde ao coeficiente angular da reta
tangente à curva y = f (x) no ponto x = x0.
4.4.2-Equação da Reta Normal a uma curva y = f (x) no ponto P0 (x0, y0)
( )00 xx.m
1
yy −−=− onde, m = f ’(x0)
Exercícios
1) Determinar as equações da reta tangente e da reta normal à curva definida pela equação y = x3 onde x0 = 1.
 
( )
3m
3
1x
1x
lim
dx
dy
m
1,1P
1y1x
3
1x1x
0
00
0
=∴
=−
−⇒=
∴
=→=
→=
4.5- Álgebra das Derivadas
Suponha que u = h (x) , y = f (x) e z = g (x) em que:
 { { {
zyu
(x) g (x) f (x)h += (Derivada da Soma)
( )
( )
( )


+=+
+=+
+=+
xxgzz
xxfyy
xxhuu
∆∆
∆∆
∆∆
a) Derivada da Soma
Demonstração:
zyu +=
( )
zyuse
dx
dz
dx
dy
dx
du
x
z
lim
x
y
lim
x
u
lim
x
z
x
y
x
u
xzyu
zyzzyyu
zyu:doSubstituin
uzzyyu
zzyyuu
0x0x0x
+=∗
+=
+=
+=
÷+=
−−+++=
−−=−∗
−+++=
+++=+
→→→ ∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
'z'y'u +=
Equação da reta normal
( )
1x3y3
3
1
x
3
1
1y
xx
m
1
yy 00
+−=−
+−=−
−−=−
04xy3 =−+
™ A derivada da soma ou da diferença é
a soma ou a diferença das derivadas.
Equação da reta tangente
( )
( )
3x31y
1x31y
xxmyy 00
−=−
−=−−=−
02x3y =+−
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Exercícios
1) y = x2 + ax
y’ = 2x + ax. ln a
b) Derivada do Produto
( )
( )
zyuse
dx
dz
0
dx
dy
z
dx
dz
y
dx
du
0y0xquandoxxfyy
x
z
limy
x
y
limz
x
z
limy
x
u
lim
x
zy
x
yz
x
zy
x
u
xzyyzzyu
yzzyyzzyyzu
yz)zz()yy(u
zyu:doSubstituin
u)zz()yy(u
)zz()yy(uu
zyu
0x0x0x0x
⋅=∗
++=
→→+=+∗
++=
++=
÷++=
−+++=
−+⋅+=
⋅−=−∗
−+⋅+=
+⋅+=+
⋅=
→→→→
∆∆∆∆
∆
∆∆∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆∆∆∆∆∆
∆∆∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆∆
'yz'zy'u ⋅+⋅=
Exemplo:
1) y = x2 . ax
y’ = x2.ax.lna + ax.2x
c) Derivada do Quociente
z
y
use
dx
dz
y
dx
dy
z
z
1
dx
du
x
z
limy
x
y
limz
z
1
x
u
lim
0z0xquando0zz
)zzz(x
zyyz
x
u
)x(
)zz(z
zyyz
u
)zz(z
zyyzyzzy
u
)zz(z
)zz(y)yy(z
u
z
y
zz
yy
u
u
zz
yy
u
zz
yy
uu
z
y
u
2
0x0x20x
2
=∗


 −=


 −=
→→=∗
+
+=
÷+
+=
+
+−+=
+
+−+=
−+
+=
−+
+=
+
+=+
=
→→→ ∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆∆∆
∆∆
∆∆
∆
∆
∆∆
∆∆∆
∆
∆∆∆
∆
∆∆∆
∆
∆∆
∆
∆∆
∆
∆∆
∆∆∆
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2z
'zy'yz
'u
⋅−⋅=
Exercícios
1) 
x
2
a
x
y =
( )2x
x2x
a
aln.a.xx2.a
'y
−=
d) Derivada das Funções Elementares
0
x
kk
x
)x(f)xx(f
lim)x('f
k)x(f
0x
=−=−+=
=∗
→ ∆∆
∆
∆
0)x('f =
( ) ( )
( )
1
x
xxx
lim)x('f
xxxxf
x)x(f
x
xfxxf
lim)x('f
0)x(f
0x
0x
=−+=
+=+•
=•
−+=
=∗
→
→
∆
∆
∆∆
∆
∆
∆
∆
( ) 1x'f =
( )
( )
( )
1n
n
n
n
0x
n
n
0x
n
n
n
n
0x
n
n
n
n
n
n
nn
0x
n
x.nn
x
x
n
x
1
x
x
x
1
1
x
x
1
lim
x
1
x
x
1
x
xx
limx
x
x
x
xx
x
limx'f
x
xx
x
x
xxx
)xx(
)xx()xx(f
x)x(f
x
xxx
lim)x('f
x)x(f
−
→
→
→
→
===
−

 +
=
−

 +
=
−

 +
=


 +=

 +=+
+=+•
=•
−+=
=∗
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆∆∆
∆∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
( ) 1nx.nx'f −=
Exercícios
1) f (x) = x5
f ’(x)= 5 . x4
2) f (x) = x –3
61
( )
( )
a.k
u
1u.k1
lim
a
u
1u1
lim
Lembrar
a
0u
a
0u
=−+•
=−+•
→
→
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f ’(x)= -3 . x -4
3) 5
5
x
x
1
)x(f −==
f ’(x) = -5 . x –6
Formulário de Derivadas
1) y = k → y’ = 0 (Derivada do constante k em relação a x)
2) y = x → y’ = 1
3) y = xn → y’ = n.x n-1
4) y = ax → y’ = ax.lna
5) 
aln.x
1
'yalogy x =→=
6) y = ln x → y’ = 
x
1
7) y = sen x → y’ = cos x
8) y = cos x → y’ = - sen x
9) y = tan x → y’ = sec2 x
10) y = cot x → y’ = - cossec2 x
11) y = sec x → y’ = sec x . tan x
12) y = cossec x → y’ = - cossec x . cot x
Demonstrações
Fórmula 5:( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
alog
1
x
1
x'f
elog
x
1
x'f
elogx'f
x
x
1loglimx'f
x
xx
log
x
1
limx'f
x
xlogxxlog
limx'f
xxlogxxf
xlogxf
e
a
x
1
a
e
x
1
a
0x
a
0x
aa
0x
a
a
x
1
=
=
=


 ∆+=


 ∆+
∆=
∆
−∆+=
∆+=∆+
=
∆
→∆
→∆
→∆
44 344 21
( )
aln.x
1
x'f =
62
( ) ku1
0u
eku1lim
Lembrar
=+
→
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63
Fórmula 7:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) xcos0xsenx'f
xcos
x
1xcos
limxsenx'f
x
xcos.xsen
x
1xcosxsen
limx'f
x
xsenxcos.xsenxcos.xsen
limx'f
xxsenxxf
xsenxf
0x
xcos
0x
0x
+⋅=
+∆
−∆⋅=








∆
∆+∆
−∆=
∆
−∆+∆=
∆+=∆+
=
→∆
=
→∆
→∆
4434421
( ) xcosx'f =
Fórmula 9:
( )
( ) ( )
( )
( )
xcos
1
x'f
xcos
xsenxcos
x'f
xcos
xsen.xsenxcos.xcos
x'f
v
'uv'vu
'y
v
u
ySe
xcos
xsen
xtanxf
2
2
1
22
2
2
=
+=
−−=
−=→=∗
==
= 44 844 76
( ) xsecx'f 2=
Fórmula 11:( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
xcos.xcos
xsen
x'f
xcos
xsen
x'f
xcos
xsen0
x'f
xcos
xsen10.xcos
x'f
xcos
1
xf
xsecxf
2
2
2
=
=
+=
−−=
=
=
( ) xsec.xtanx'f =
Propriedades
1) y = k . v → y’ = k . v’
2) y = u ± v → y’ = u’ ± v’
3) y = u . v → y’ = u.v’ + v.u’
4) y = 
2v
'vu'uv
'y
v
u ⋅−⋅=→
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64
4.6- Regra da Cadeia para Derivação de Função Composta
Seja a função composta y = h (x) = fog = f (g(x)) sendo g derivável em relação a x e f derivável em relação a g (x).
Nessas condições demostra-se que a derivada dessa função ( ) ( ) )x('g)x(g'fx'h = .
Sendo u = g (x) e y = f (u),
dx
du
du
dy
dx
dy ⋅= → Regra da Cadeia
4.6.1-Generalização da Regra da Cadeia para Derivada das Funções Compostas
( )
( )
( )
( )
( )


=
=
=
=
=
xfv
vfw
wfu
ufy
xfy
4
3
2
1
dx
dv
dv
dw
dw
du
du
dy
dx
dy ⋅⋅⋅= → Regra da Cadeia
Exercícios
1) 1x
2
ey +=
x2e
dx
dy
dx
du
du
dy
dx
dy
x2
dx
du
1xu
e
du
dy
ey
1x
2
uu
2 ⋅=
⋅=



=→+=
=→=
+
2) ( )x5xseny 3 +=
dx
du
du
dy
dx
dy
5x3
dx
du
x5xu
ucos
du
dy
useny
3
⋅=



+=→+=
=→=
( ) ( )5x3x5xcos
dx
dy 3 +⋅+=
3) x3seny =
( ) 3x3cos
dx
dy
3.ucos
dx
dy
3
dx
du
x3u
ucos
du
dy
useny
⋅=
=



=→=
=→=
4) ( )7x10xseny 2 −+=
)10x2).(7x10xcos('y 2 +−+=
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I
Prof. Salete Souza de Oliveira Buffoni
65
5) ( )4x5x 23ey ++=
( ) ( )x10x3.e'y 24x5x 23 += ++
4.6.2- Regras da Derivada das Funções Compostas
Sejam u e v funções em x, e k, a e n constantes.
1) y = k → y’ = 0
2) y = x → y’ = 1
3) y = un → y’ = n.u n-1.u’
4) y = au → y’ = au.lna.u’
5) y = eu → y’ = eu . u’
6) 'u
bln.u
1
'yulogy b ⋅=→=
7) y = ln u → y’ = 
u
'u
8) y = sen u → y’ = cos u . u’
9) y = cos u → y’ = - sen u . u’
10) y = tan u → y’ = sec2 u . u’
11) y = cot u → y’ = - cossec2 u . u’
12) y = sec u → y’ = sec u . tan u . u’
13) y = cossec u → y’ = - cossec u . cot u . u’
Propriedades
1) y = k . v → y’ = k . v’
2) y = u ± v → y’ = u’ ± v’
3) y = u . v → y’ = u.v’ + v.u’
4) y = 
2v
'vu'uv
'y
v
u ⋅−⋅=→
4.7- Derivação de Função Dada Implicitamente
Consideremos uma equação nas variáveis x e y. Dizemos que uma função y = f (x) é dada implicitamente por
tal equação se, para todo x no domínio de f, o ponto (x,f(x)) for solução da equação. F (x, y) = 0 mas y = f (x)
Exercícios
Determinar y’ = 
dx
dy
1) 04y2x5yx 32 =−+−+
( )
2y3
5x2
'y
5x22y3'y
0'y25'y.y3x2
2
2
2
+
+−=
+−=+
=+−+
2) 0u5vsenvu 332 =+++
( )
vcosv3
u2u15
'v
u2u15vcosv3'v
0u15'v.vcos'vv3u2
2
2
22
22
+
−−=
−−=+
=+++
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66
3) 05yyx 323 =+−
( )
( )23
22
2223
2223
y3yx2
yx3
'y
yx3y3yx2'y
0'y.y3x3.y'y.y2.x
−
−=
−=−
=−+
4) 0y2xyxxy 2222 =−+− ( )
( )
y4xxy2
yx2xy2
'yyx2xy2y4xxy2'y
0'y.y4x2x2.y'y.xy'y.y2.x
0'y.y4x2x2.y'y.xy'y.y2.x
2
2
22
22
22
−−
−−=
−−=−−
=−+−−+
=−++−+
4.8- Interpretação de 
dx
dy
 como um quociente diferencial
4.8.1- Diferencial
Até aqui, 
dx
dy
 tem sido visto como uma simples notação para a derivada de y=f(x). O que faremos a seguir é
interpretar 
dx
dy
 como um quociente entre dois acréscimos. Inicialmente, vamos olhar para dx como um acréscimo em x
e, em seguida, procuraremos uma interpretação para o acréscimo dy.
Sabemos que ( )xf ' é o coeficiente angular da reta tangente T, no ponto (x,f(x)), e que ( )xf
dx
dy '= . Se olharmos, então,
para dy como acréscimo na ordenada da reta tangente T, correspondente ao acréscimo dx em x, teremos ( )xf
dx
dy '= .
Observe pelo gráfico sobre a interpretação geométrica de derivada que( ) ( )xfdxxfy −+=∆ é o acréscimo que a função sofre quando se passa de x a x+dx. O acréscimo dy pode então ser
olhado como um valor aproximado para y∆ ; evidentemente, o erro dyy −∆ que se comete na aproximação de y∆ por
dy será tanto menor quanto menor for dx.
Definição: Seja )x(f uma função e sejam x e y , variáveis e relacionadas por )x(fy = . Então a diferencial
dx é um número qualquer do domínio de )x(f para o qual )x(f ′ existe , a diferencial de dy é definida por
dx)x(fdy ′= 
Exemplo: Se 1x2x3)x(fy 2 +−== , achar dy .
Solução: ( )dx2x6dy2x6)x(f −=⇒−=′
Deve observar-se a diferença entre a diferencial dx da variável independente x e a diferencial dy da variável
dependente y . Pois, dx pode assumir qualquer valor, mas o valor de dy depende de x , dx , )x(f e, por tanto, de
)x(f ′ .
4.8.2- Interpretação geométrica de dy comparando-o a y∆
Aqui, supõe-se que )x(f é diferenciável em 1x e toma-se xdx ∆= , representa-se x∆ como um
incremento no valor 1x até 11 xx ∆+ e y∆ será variação correspondente em 1y , isto é, yyy 12 ∆+= .
Entretanto, desde que )x(f ′ é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de )x(f em ( ))x(f,x 11 , isto é,( )11 y,x ,segue-se que dx)x(fdy ′= será o incremento correspondente no valor de y , seguindo–se a direção da
tangente.
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67
 
 
Na Figura , tem-se que o incremento da função )x(fy = que é dada por
( ) ( )xfxxfy −+= ∆∆ 
Note que quando se dá o incremento x∆ , o ponto P desloca para Q , e observe que no ponto P passa uma
reta tangente ( )T , enquanto por P e Q , passa uma reta secante ( )S . Aplicando o conceito de limite, quando
x∆ tende para zero ( 0x →∆ ) , o ponto Q tende para o ponto P , e a reta secante tende para a reta tangente em
P , o acréscimo y∆ tende para a diferencial dy e x∆ tende para a diferencial dx .
Assim,
( ) ( )[ ]xfxxflimylimdy
0x0x
−+==
→→
∆∆
∆∆
dxyx
x
y
limylimdy
0x0x
′=⋅

==
→→
∆∆
∆∆
∆∆
,
ou finalmente : ( )dxxfdxydy ′=′=
A expressão acima é a própria definição de diferencial, e pela Figura observa-se que quanto menor for x∆ ,
menor será a diferença entre o acréscimo y∆ e a diferencial dy .
Assim, a diferencial de uma função é obtida pelo produto da derivada da função pela diferencial da variável
de derivação.
Para uma função ( )xf , a diferencial segue a seqüência abaixo
Função derivada Diferencial( )xfy = ( )xf
dx
dy
y ′==′ ( )dxxfdy ′=
( )tgy = ( )
dt
dg
tgy =′=′ ( ) dgdttgdy =′=
43421
x∆
dxxfdyy
yyy
xxx
)(
12
12
′=≅∆
−=∆
−=∆
Reta tangente T em P
Reta tangente T ao ponto P= ( )11 y,x da função )x(f e reta secante S que passa por
P= ( )11 y,x e Q= ( )yy,xx 11 ∆∆ ++ da função )x(f .
1x 2x
T
S
reta S secante por P e Q
} y∆} dy
Q
P
1y
2y
( )xf
Y
X
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Exercícios
1- Achar a diferencial da função 5x2x3y 2 +−=
Solução: Primeiro acha-se a sua derivada, que é
2x6y −=′
em seguida escreve-se a diferencial,
( ) dx2x6dxydy −=′= .
2-Diferenciar a função ( ) 5t2tg −=
Solução: ( ) ( ) 2etg 5t2 ⋅=′ − ,
( ) ( )dttgtdg =′=
Da Figura fica claro q
seja suficientemente pequeno. A
pequeno α , donde
dx
dy
x
y ∆α∆
∆ ⇒+=
⇒+=
dx
dy
x
y ∆α∆
∆
dx
dy
y
xx

 ∆=∆ →∆→∆ 00 limlim
(xfy
ddx
dx
dy
dy
=
⇒=
∆
Assim,
Observação: A diferencial pod
Exercícios
1- Calcular a raiz ( )xfy =
a) Calcular ( 1 xxfy += ∆∆
b) Fazer uma estimativa de ∆
c) Determinar o erro y= ∆ε
e
al e Integral I
uffoni
68
 portanto a diferencial é
( )dte2 5t2 −
ue dy pode ser considerado uma boa aproximação de y∆ desde que xdx ∆= e que x∆
 razão ( )xf
x
y ′→∆
∆
 quando 0x →∆ que difere de 
dx
dy
 por um número extremamente
xx
dx
dy
yx
dx
dy
y ∆α∆∆∆α +=⇒

 +=


 +=⇒

 +=
→→
xx
dx
dy
limylimx
dx
dy
y
0x0x
∆α∆∆∆α
∆∆
( ) dx
dx
dy
xdx
dx
dy
dyxx
x
=∆+=⇒
∆+
=
→∆ 43421
0
0
lim αα
( )
) ( )
dyy
xfx
dxxfy
≈⇒



−+
′=
∆
∆
e ser usada para efetuar cálculos aproximados.
4x2x3 2 +−= , para 02,0xdx,1x1 === ∆
) ( )1xf− exatamente
y , usando ( )dxxfdy 1′=
dy−
( ) ( ) ( )dxxfxfxxf ′≈−+ ∆
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69
a) ( ) ( )11 xfxxfy −+= ∆∆
( ) ( ) ( ) 541213xf 21 =+−=
( ) ( ) ( ) 0812,5402,1202,13xxf 21 =+−=+ ∆
0812,050812,5y =−=∆
b) ( )dxxfdy 1′=
( ) ( )( ) 08,002,02x6dy2x6xf 1 =−=⇒−=′
c) O erro é: 0012,008,00812,0dyy =−=−= ∆ε
2- Usar diferenciais para estimar 35 .
a) Para isso toma-se a raiz conhecida mais próxima como referência, ou seja, 636 = e faz-se
1x13635xdx36y −=⇒−=−==⇒= ∆∆ , então
( )dxxf6y3635 ′+≈+= ∆
( ) ( ) K0833,0
12
1
6
1
2
1
1
36
1
2
1
dyy
36
1
2
1
xf 1 −=−=⋅−=−


=≅⇒


=′ ∆
KK 9166,50833,06
12
1
635 =−==
3- Calcular a raiz 3 28 .
Para isso toma-se a raiz conhecida mais próxima como referência, ou seja, 3273 = e faz-se 33 27xy == .
Assim, 33 28xxyy =+=+ ∆∆ , logo 12728dxdxx =−=⇒=∆ , então
( )
3
63 63 2
3
3.3
1
31
33
1
3dx
x3
1
3dxy3y328 +=+=+=′+≈+= ∆
037,3037,03
27
1
3
3
1
3
3.3
1
328
32
3 =+=+=+=+=
4- Avaliar por diferenciais o ( )o44cos .
Para isso toma-se o coseno conhecido mais próxima como referência, ou seja, ( )
2
2
45cos o = e faz-se
( ) ( )o45cosxcosy == . Assim, ( ) ( )o44cosxxcosyy =+=+ ∆∆ , logo
 K01745,0
180
14544dxdxx
o
000 −=×−=−=⇒= π∆ , então
( ) ( ) ( )( )dx45sen
2
2
dxxf
2
2
y
2
2
44cos oo −+=′+=+= ∆
( ) ( ) KK 7194,001745,0
2
2
2
2
44cos o =−


 −+=
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70
5- O raio de uma esfera de aço mede cm5,1 e sabe-se que o erro cometido na medição é menor ou igual a cm1,0 .
Estimar o erro possível no cálculo do volume da esfera.
O volume de uma esfera é calculado a partir do raio é 3r
3
4
V π= . Note-se que, nesse caso, o raio da esfera de
aço terá como medida ( ) cmr5,1r ∆±= ,
onde cm1,0r ≤∆ , por tanto,
( ) ( ) ( ) ( )3333 5,1
3
4
V015,1
3
4
V5,1
3
4
V015,1
3
4
V ππ∆ππ =−±=⇒=≠±= ,
Estimando-se V∆ por dr)r(VdV ′= ,
( ) drr4Vr4r
3
4
dr
d
dr
dV
rV 223 π∆ππ =⇒=

==′
e como cm1,0drdrr =⇒=∆ , tem-se
( ) ( ) ( )( ) ππππ∆ 9,01,025,241,05,14drr4V 22 ±=±=±== ,
3cm827,29,0V827,29,0V ==⇒±=±= π∆π∆
que é o erro possível no cálculo do volume da esfera, ou seja, 3cm827,2=ε .
6- Usar Diferenciais para encontrar o volume aproximado de uma casca cilíndrica circular CV , com altura de cm6 ,
cujo raio interno mede cm2 e possui espessura cm1,0.
O volume de um cilindro é calculado a partir do raio e da base, isto é, bhV ×= , onde cm6h = e 2rb π= ,
assim o volume é 2r6V π= . Como a espessura da casca é cm1,0drdrr =⇒=∆ , tem-se que volume da casca
cilíndrica circular é V∆ , portanto, estimando-se V∆ por dr)r(VdV ′= ,
( ) ( ) drr12Vr12r6
dr
d
dr
dV
rV 2 π∆ππ =⇒===′
( )( ) 3cm
5
12
10
1
241,0212drr12V
ππππ∆ =

===
o volume aproximado da casca cilíndrica circular, ou seja,
3
C cm5,7V = .
Como foi visto pode ser importante determinar a diferencial dy , de uma função qualquer y. Porém uma vez que se
possua a derivada 
dx
dy
 dessa função sempre é fácil determinar dy , pois dx
dx
dy
dy = , isto é, ( )dxxfdy ′= , como no
caso da função ( ) ( ) ( ) ⇒+= xvxuxy ( )dxxfdydx
dx
dv
dx
du
dy
dx
dv
dx
du
dx
dy ′=⇒

 +=⇒+=
7- Encontrar a diferencial dy da função 123 x3x21x47y −+−=
( )( ) ( )( ) ( )( )
2
2212
x
3
x42x141x3x221x347
dx
dy −−=+−= −−
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71
dx
x
3
x42x141dy
2
2 

 −−=
8- Encontrar a diferencial dy da função 5x3y −=
( ) 2155 x3x3y −=−=
( ) ( )
5
4
42
1
5
x3
x
2
5
x5x3
2
1
dx
dy
−
−=−= −
dx
x3
x
2
5
dy
5
4




−
−=
9- Encontrar a diferencial dy da função 2yyx4x 323 =++
( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 0
dx
dy
y3xxy24x3
dx
2d
dx
yd
dx
yx4d
dx
xd 222
323
=+++⇒=++
( ) ( )xy8x3
dx
dy
y3x40
dx
dy
y3
dx
dy
x4xy8x3 222222 +−=+⇒=+++
( ) ( ) dx
y3x4
xy8x3
dy
y3x4
xy8x3
dx
dy
xy8x3
dx
dy
y3x4
22
2
22
2
222
+
+−=⇒+
+−=⇒+−=+
 10- Encontrar a diferencial dy da função ( ) 0yxxy2xcosy 222 =++
( ) ( ) ( ) 0yxx2xcosy0yxxy2xcosy 22222 =++⇒=++
( )[ ] ( )[ ] ⇒=++ 0
dx
yxx2d
dx
xcosyd 22
( ) ( )[ ] ( ) ( ) 0
dx
dy
y2xx2yx22xsenyxcos
dx
dy 22 =

++++−+
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2
2
22
xx2y2xcos
yx22xseny
dx
dy
yx22xseny
dx
dy
xx2y2xcos ++
+−=⇒+−=++
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) dxxx2y2xcos yx22xsenydyxx2y2xcos yx22xsenydxdy 2
2
2
2
++
+−=⇒++
+−=
4.9- Derivadas Sucessivas ou Derivadas de Ordem Superior (ordem n ou enésimas)
Seja y = f (x) definida contínua e derivável em um intervalo real. Nessas condições a derivada de y = f (x),
indicada por y’; 
dx
dy
; f ’(x) é definida por 
( ) ( )
x
xfxxf
lim)x('f
0x ∆
∆
∆
−+=
→
.
Se este limite existir e for finito teremos então a f ’(x), se esta função f ’(x) for derivável a sua derivada de
acordo com a definição poderá ser calculada por 
( ) ( )
x
x'fxx'f
lim
0x ∆
∆
∆
−+
→
, se este limite existir e for finito teremos
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72
uma função indicada por f ’’(x) ou y’’ ou 
2
2
dx
yd
;sucessivamente teríamos y’’’ ou f ’’’(x) ou 
3
3
dx
yd
; e y iv ou f iv (x)
ou 
4
4
dx
yd
; e y v ou f v (x) ou 
5
5
dx
yd
.
→ y n ou f n (x) ou 
n
n
dx
yd
.
Exercícios:
1) Determine a derivada de 5a ordem de f (x) = 5.x5 – 3.x3.
f ’(x) = 25x4 – 9x2
f ’’(x) = 100x3 – 18x
f ’’’(x) = 300x2 - 18
f iv (x) = 600x
f v (x) = 600
2) Dada f (x) = x4 – 2x3 + 4x2 – 1, calcular f ’’(-1) e f vi(15):
f ’(x) = 4x3 – 6x2 + 8x
f ’’(x) = 12x2 – 12x + 8
f ’’(-1) = 12(-1)2 – 12(-1) + 8 = 32 → f ’’(-1) = 32
f ’’’(x) = 24x - 12
f iv (x) = 24
f v (x) = 0
f vi (x) =0 → f vi (15) = 0
4.10- Derivada das Funções Inversas Trigonométricas
y = arcsen x → x = sen y
Determinar y’:
x = sen y sen2 y + cos2 y = 1
1 = cos y . y’ cos y = ysen1 2−
2x1
1
'y
−
=
y’ = 
ycos
1
* sen2 y = x2
 cos y = 2x1−
1)
y = arccos x
x = cos y
Derivando implicitamente:
1 = - sen y . y’ → y’ = 
ysen
1−
sen2 y = 1 – cos2 y
sen y = ycos1 2− * x = cos y
sen y = 2x1− x2 = cos2 y
y’ = 
2x1
1
−
−
y = arcsen u → y’ = 
2u1
u'
−
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73
2)
y = arctan x
x = tan y
Derivando implicitamente:
1 = sec2 y . y’ → y’ = 
ysec
1
2
1 + tan2 y = sec2 y
ytan1
1
'y
2+= * x = tan y
2x1
1
'y += x
2 = tan2 y
3)
4)
5)
6)
Exercícios:
1) y = arcsen ( 3x-5 )
( )25x31
3
'y
−−
=
2) y = arctan (x2 – 5)
y ’ = ( )22 5x1 x2 −+
3) xarcseny =
1xx2
1
'y
1x.x
x
2
1
'y
2
1
2
1
−=
−
⋅
=
−
4) arcsen (cos x)
1
xcos1
xsen
'y
2
=
−
−=
y = arccos u → y’ = 
2
u1
u'
−
−
y = arctan u → y’ = 
2u1
u'
+
y = arccot u → y’ = 
2u1
u'
+−
y = arcsec u → y’ = 
1uu
u'
2 −
y = arccosec u → y’ = 
1uu
u'
2 −
−
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74
5) y = arccos (ln x)
xln1
x
1
'y
2−
−=
4.11- Derivada da Função Inversa
Seja y = f (x) derivável e inversível em um dado intervalo real. Se y = f (x) admite sua inversa que
indicamos por (y) f x -1= , então para determinar a derivada 
dy
dx
 toma-se simplesmente a expressão :
dx
dy
1
dy
dx =
Exercícios
1) Se y = 2x + 1, determinar
dy
dx
:
2
1
dy
dx
dx
dy
1
dy
dx
2
dx
dy
=
=
=∗
2) Se x2 – y2 = 4xy, determinar
dy
dx
 ou x’:
x2 – y2 - 4xy = 0
Determinar y’:
2x – 2yy’ – 4(xy’ + y) = 0
2x – 2yy’ – 4xy’ – 4y = 0
y’ (-2y – 4x) = 4y – 2x
y’ = 
x4y2
x2y4
−−
−
 → x’ = 
x2y4
x4y2
−
−−
ou
Determinar x’:
2xx’-2y-4(x+yx’)=0
2xx’-2y-4x-4yx’=0
x’ (2x – 4y) = 2y + 4x
x’ = 
y4x2
y2x4
−
+
4.12- Derivada da Função na Forma Paramétrica
( )
( )

=
=
tfy
tfx
2
1
Exercícios
1) 
 −=
−=
t4ty
1t2x
2
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75
( )
( )
2
4t2
dx
dy
dt
dx
dt
dy
dx
dy
dt
dx
1
dt
dy
dx
dy
então,
dt
dx
1
dx
dt
mas,
dx
dt
dt
dy
dx
dy
xft
tfy
2
1x
t
−=
=∴⋅=
=⋅=
=
=+=
2) 


−=
−=
t3ty
1ex
2
t2
 , determinar 
dx
dy
:
2.e
3t2
dx
dy
dt
dx
dt
dy
dx
dy
t2
−=
=
3) 


−=
+−=
t5ty
4t2tx
2
3
2t3
5t2
dx
dy
2 −
−=
4.13- Funções Hiperbólicas
Introdução: As funções hiperbólicas são construídas a partir das funções xe e xe− . Elas têm interesse porque têm
muitas propriedades análogas às das funções trigonométricas e porque aparecem no estudo da queda dos corpos, cabos
suspensos, ondas no oceano e outros tópicos em Ciência e Engenharia.
4.13.1- O seno e o co-seno hiperbólicos
O seno e o co-seno hiperbólicos são representados por senh x e cosh x. Eles têm as seguintes definições:
Definição 1: Para qualquer número x
2
ee
xsenh
xx −−= e 
2
ee
xcosh
xx −+=
Observemos que senh x, como sen x, tem o valor 0 em x=0 e que cosh x tem o valor 1 em x=0.
A derivada xx ee
dx
d = e xx ee
dx
d −− −= nos levam às formulas de derivação
xcoshxsenh
dx
d = e xsenhxcosh
dx
d =
Exercício
Calcular a derivada de ( )x5x6senh 7 −
4.13.2- Os gráficos de senh x e cosh x
Os gráficos de senh x e cosh x são mostrados nas figuras abaixo. Seus aspectos chave podem ser facilmente
obtidos da definição e das fórmulas de derivação, lembrando que xe e xe− são positivas para todo x, que xe tende a
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76
∞ , quando x tende a ∞ , e tende a 0 quandox tende a −∞ e que xe− tende a 0 quando x tende a ∞ e tende a ∞
quando x tende a −∞ .
4.13.3- Outras funções hiperbólicas
As definições de tangente, co-tangente, secante e co-secante hiperbólicas são análogas às definições das funções
trigonométricas correspondentes.
Definição: A tangente e a secante hiperbólicas são definidas para todo x e a co-tangente e a co-secante hiperbólicas,
para todo x≠0 por
xx
xx
ee
ee
xcosh
xsenh
xtgh −
−
+
−==
xx
xx
ee
ee
xsenh
xcosh
xtgh
1
xghcot −
−
−
+===
xx ee
2
xcosh
1
xhsec −+==
xx ee
2
xsenh
1
xechcos −−==
As fórmulas dessas quatro funções são análogas às fórmulas para as funções trigonométricas correspondentes, mas não
são muito importantes. Os gráficos das funções tgh x, cotgh x, sech x e cosech x são mostradas nas figuras abaixo.
 
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4.13.4- Funções Hiperbólicas Inversas
Assim como as funções hiperbólicas foram definidas em termos de funções exponenciais, as funções hiperbólicas
inversas inversas arc senh x, arc cosh x etc. podem ser expressas em termos do logaritmo natural.
Exercício
1- Dar uma expressão para arc senh x em função do logaritmo natural.
Solução. Consideramos x=senh y= ( )yy ee
2
1 −− e calculamos o valor de xsenharcy = . Multiplicando por ye2 ,
obtemos a equação 1exe2 y2y −= , que reescrevemos sob a forma ( ) ( ) 01ex2e y2y =−− . Então pela fórmula
quadrática.
1xx
2
4x4x2
e 2
2
y +±=+±=
Devemos usar o sinal mais, pois ye é positivo. Portanto,


 ++== 1xxlnxharcseny 2