Resolução de Exercícios - Teste de Hipóteses para Duas Populações

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Aluno:_________________________________________________________________ Turma: ______ 1 
 
 
Estatística 
Profª. Sandra Marcelino 
 
 
Exercícios Curitiba, ____/____ /____ 
 
 
 
Testes de Significância para duas populações 
 
 
1. Dois tipos de solução química foram ensaiadas para se determinar os pH’s. Obteve-se, 
para as n1 = 5 observações da primeira solução, 
1x
= 7.516 e 
21s
0.003 e para as n2 = 6 
observações da segunda solução, 
2x
= 7.505 e 
22s
0.001. Ao nível de 5% de significância: 
a) Existe diferença entre as variâncias dos pH’s das duas soluções? 
b) Testar a hipótese de que não existe diferença entre os pH’s médios das duas soluções. 
 
2. Com o objetivo de testar a eficiência de dois métodos de aprendizagem, estes foram 
aplicados durante um ano em duas escolas da mesma organização. Ao final do curso, 
selecionou-se uma amostra aleatória de 13 alunos da primeira escola e 16 da segunda 
escola e a mesma tarefa foi proposta a estes alunos. No primeiro grupo o tempo médio para 
concluir a tarefa foi de 166min e o desvio padrão de 20 min, enquanto no segundo grupo a 
média foi de 151min, com desvio padrão de 16 min. 
a) É possível afirmar que a variância do primeiro método é maior que a variância do 
segundo, considerando nível de significância de 10%? 
b) Pode-se afirmar, ao nível de significância de 10%, que o segundo método é melhor que 
o primeiro? 
 
3. Deseja-se saber se duas máquinas de empacotar café estão fornecendo o mesmo peso 
médio (em gramas) por pacote. Para tanto foram coletadas amostras de ambas as 
máquinas. As amostras disponíveis constam de seis pacotes produzidos pela máquina nova 
e nove produzidos pela máquina velha, com os resultados a seguir: 
 
 Observações Média Desvio 
Máquina Nova 6 1010 55 
Máquina Velha 9 980 23 
 
a) Entretanto, como uma das máquinas é nova e outra velha, é razoável supor-se que 
trabalhem com diferentes variabilidades dos pesos colocados nos pacotes. Qual a 
conclusão, em relação à variabilidade, ao nível de 5% de significância? É razoável supor 
que as variâncias são diferentes? 
b) Pode-se afirmar, ao nível de 5% de significância, que o peso médio dos pacotes da 
máquina nova é maior que o da máquina antiga? 
 
4. Em uma pesquisa de opinião, 32 dentre 80 homens declararam apreciar certa revista, 
acontecendo o mesmo com 26 dentre 50 mulheres. Ao nível de 5% de significância, é 
possível afirmar que homens e mulheres apreciam igualmente a revista? 
 
5. Faz-se um estudo da diferença entre os salários dos professores de colégios particulares e 
escolas do governo em determinado estado. Uma amostra de 100 professores do governo 
acusou média de R$ 1935,00 e desvio padrão de R$ 98,30. Uma amostra de 150 
professores particulares acusou média de 2085,00 e desvio padrão de R$ 100,20. Ao nível 
de 5% de significância, é possível afirmar que a diferença entre os salários médios das 
duas categorias supera R$ 100,00? 
 
 
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6. Dois programas de treinamento de funcionários foram efetuados. Os 21 funcionários 
treinados no programa antigo apresentaram uma variância de 146 em suas taxas de erro. 
No novo programa, 13 funcionários apresentaram uma variância de 200. Sendo α = 5%, 
pode-se concluir que a variância é diferente para os dois programas? 
 
7. Uma empresa afirma que entre dois bairros X e Y existe uma diferença mínima de 5% 
dentre os usuários de internet 4G. Em uma pesquisa, encontram-se 120 usuários dentre 
200 pesquisadas em um bairro X e 240 das 500 pesquisadas do bairro Y. É possível 
concordar com a empresa, ao nível de significância de 10%? 
 
8. Uma indústria automobilística anuncia que os automóveis do modelo A supera em venda os 
do modelo B em pelo menos 10%. Selecionadas duas amostras aleatórias independentes, 
encontrou-se que 56 de 200 consumidores preferem o modelo A e 29 de 150 preferem o 
modelo B. Testar, ao nível de significância de 6%, a hipótese da indústria. 
 
9. Em determinada cidade, em uma amostra aleatória de 600 pessoas, observou-se que 250 
delas eram favoráveis à implantação de determinado projeto de urbanização. Numa cidade 
vizinha, 198 entrevistados, de uma amostra de 500 pessoas, mostraram-se favoráveis ao 
mesmo projeto. Ao nível de significância de 10%, é possível afirmar que as proporções em 
ambas as cidades são iguais? 
 
10. Uma indústria compra componentes eletrônicos dos fornecedores e , mas o 
fornecedor garante que o tempo médio de vida (em horas) do seu produto supera o da 
marca em mais de 300 horas. Para testar esta afirmação foram selecionadas duas 
amostras de componentes, uma de cada fornecedor, e obteve-se os seguintes tempos de 
vida: 
 
Marca A 1500 1450 1480 1520 1510 
Marca B 1100 1200 1180 1250 
 
a) Teste a hipótese de igualdade das variâncias dos tempos de vida, ao nível de 
significância 0,05; 
b) Teste a afirmação do fornecedor , ao nível de significância 0,05. 
 
11. Um fabricante produz dois tipos de pneus. Para o pneu do tipo A o desvio padrão é de 2500 
km e para o pneu do tipo B é de 3000 km. Uma empresa de táxi testou 50 pneus do tipo A e 
40 do tipo B, obtendo 24000 km de média para o “A” e 26000 para o tipo “B”. Adotando 
nível de 4% de significância, testar a hipótese de que a duração média dos dois tipos é a 
mesma. 
 
12. Para comparar o aproveitamento de duas classes, examinaram-se as amostras de 40 e 50 
alunos, respectivamente. Na primeira, o grau médio foi de 74, com desvio padrão 8, 
enquanto, na segunda, a média foi de 78, com o desvio padrão de 7. Há uma diferença 
significativa entre os aproveitamentos das duas classes, ao nível de significância de 5%? 
 
 
 
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13. Cinco operadores de certo tipo de máquina são treinados em máquinas de duas marcas 
diferentes, A e B. Mediu-se o tempo que cada um deles gastou na execução de uma 
mesma tarefa, e os resultados obtidos estão na tabela a seguir: 
 
Operários 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª Soma Soma dos 
quadrados 
Marca A 80 72 65 78 85 
Marca B 75 70 60 72 78 
Diferença 5 2 5 6 7 25 139 
 
Ao nível de 2,5% de significância, pode-se afirmar que há diferença entre os tempos, de 
acordo com a marca da máquina? 
 
14. Realizou-se uma experiência a fim de verificar a eficácia de certa dieta para redução de 
peso. Um grupo de 25 pessoas com sobrepeso foi tratado. Antes e depois de um período 
de 30 dias de dieta, foram anotados os pesos de todas as pessoas, obtendo-se para as 
diferenças de peso, média de 7,9 e desvio padrão de 2,25 kg. É possível afirmar que a dieta 
é eficiente para a perda de peso? E mais, pode afirmar que a dieta possibilita uma perda 
de no mínimo 4 kg? Utilize nível de significância de 5%. 
 
15. Uma amostra de 5 cabos de aço foi ensaiada, antes e após sofrer um tratamento para 
aumentar a sua resistência. Os resultados obtidos foram: 
Antes 50 54 51 50 55 kgf/mm2 
Depois 60 61 57 54 59 kgf/mm2 
Testar a hipótese de que o tratamento é eficiente, ao nível de significância de 5%. 
 
 
 
Teste de hipóteses para duas populações: 
 
 
Proporções: 
 
)1,0(~
11
ˆˆ
ˆˆ
21
21 N
nn
qp
pp
z









, com 
21
2211
ˆˆ
ˆ
nn
pnpn
p



 
 
   
)1,0(~
ˆˆˆˆ
ˆˆ
2
22
1
11
2121 N
n
qp
n
qp
pppp
z



 para p1-p2  0, 
 
 
Variâncias: 
21;2
2
2
1 ~

F
s
s
Fcalc 
 
 
 
 
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Médias: 
 
 
Fonte: TRIOLA, Mario F. Introdução àestatística. 9.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005. 
 
Obs: Para o caso de duas médias considerando variâncias diferentes, obter os graus de liberdade por: 
 
 




w w
w
n
w
n
1 2
2
1
2
1
2
2
21 1
; com 
w
s
n1
1
2
1

 e 
w
s
n2
2
2
2

 
 
 
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