Exercícios de Matemática Discreta sobre Conjuntos

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MAT 01375 – Matema´tica Discreta B 2013/1
Lista de Exerc´ıcios 4
1. Verifique se os conjuntos abaixo sa˜o ou na˜o conjunto das partes de algum
conjunto. Caso afirmativo, explicite o conjunto.
a) {∅, {a}}
b) {{a}, {b}, {a, b}}
c) {∅, {a}, {b}, {a, b}}
d) {∅, {a}, {b, c}, {a, b}}
2. Nos items abaixo marque V ou F justificando com uma demonstrac¸a˜o se V
e um contra-exemplo se F.
Sejam A,B,C ⊆ U conjuntos. Lembre que P(A) denota o conjunto das
partes de A.
( ) A ⊆ B se, e somente se, A ∪B = B.
( ) Se A ∪ C = B ∪ C, enta˜o A = B.
( ) Se A ∩ C = B ∩ C, podemos afirmar que A = B.
( ) Se P(A) = P(B) enta˜o A = B.
( ) (A−B) = B ∪ A.
( ) A ∪B ⊆ A ∩B implica A = B.
3. O que voceˆ pode dizer sobre A e B se A−B = B − A?
4. Sejam A,B ⊆ U. Mostre que A ⊆ B se e somente se B ⊆ A.
5. Sejam A,B,C ⊆ U conjuntos. Mostre que:
a) A−B ⊆ A
b) A ∪ (B − A) = A ∪B
c) A−B = B − A
d) (A ∩B) ∪ (A ∩B) = A
e) A ∩B ∩ C ⊆ A ∩B
f) (B − A) ∪ (C − A) = (B ∪ C)− A
g) (A− C) ∩ (C −B) = ∅
h) (A ∩B ∩ C) = A ∪B ∪ C
6. Sejam A,B ⊆ U. Fac¸a um diagrama de Venn para os seguintes conjuntos:
a) (A ∪B)− (A ∩B)
b) (A−B) ∪ (B − A)
7. Mostre que o conjunto do item a) e o conjunto do item b) do exerc´ıcio anterior
sa˜o iguais; ou seja (A ∪B)− (A ∩B) = (A−B) ∪ (B −A). Chamamos esse
conjunto de diferenc¸a sime´trica entre A e B e denotamos por A4B.
8. Sejam A,B ⊆ U. Mostre que:
a) A4A = ∅
b) A4U = A
c) A4B = B4A
9. Mostre que a identidade (A−B)−C = A−(B−C) na˜o e´ va´lida para conjuntos
A,B,C quaisquer. Por outro lado, prove que (A−B)− C ⊆ A− (B − C) e´
sempre va´lida.
10. Sejam A,B,C ⊆ U conjuntos. Mostre que:
a) A× (B − C) = (A×B)− (A× C)
b) (A−B)× C = (A× C)− (B × C)