Sol_L4D131

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MAT 01375 – Matema´tica Discreta B 2013/1
Lista de Exerc´ıcios 4
Soluc¸o˜es de Exerc´ıcios Escolhidos
1. (a) Sim: {a}, (b) Na˜o, (c) Sim: {a, b}, (d) Na˜o.
2.
(V) Prova: (⇒) Sejam A,B conjuntos tais que A ⊆ B, isto e´, x ∈ A =⇒ x ∈ B.
Temos
x ∈ A ∪B =⇒ (x ∈ A) ∪ (x ∈ B) =⇒ (x ∈ B) ∪ (x ∈ B) =⇒ x ∈ B,
de forma que A∪B ⊆ B. (A hipo´tese de que A ⊆ B foi utilizada na segunda
implicac¸a˜o.) O fato de que B ⊆ A∪B e´ imediato da definic¸a˜o de unia˜o, logo
A ∪B = B.
(⇐) Por contradic¸a˜o, suponha que A 6⊆ B, de forma que existe x ∈ A tal que
x /∈ B. Como x ∈ A, temos x ∈ A ∪ B, o que implica que A ∪ B 6= B, pois
x /∈ B.
(F) Contra-exemplo: A = ∅, B = C = {1}.
(F) Contra-exemplo: A = {0}, B = {1}, C = ∅.
(V) Prova: Por contradic¸a˜o, suponha que A 6= B e, sem perda de generalidade,
seja x ∈ A−B. Por definic¸a˜o de conjunto das partes, temos {x} ∈ P(A), mas
{x} /∈ P(B). Isso implica que P(A) 6= P(B), como quer´ıamos demonstrar.
(V) Prova: Usaremos o fato auxiliar de que A−B = A ∩B. De fato,
x ∈ A−B ⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B ⇔ x ∈ A ∩B.
Aqui, utilizamos as definic¸o˜es de diferenc¸a de conjuntos, de complementar e
de intersec¸a˜o.
Assim,
x ∈ (A−B) ⇔ x /∈ (A−B)⇔ x /∈ A ∩B ⇔ x /∈ A ∩B
⇔ x ∈ A ∩B ⇔ x ∈ A ∪B ⇔ x ∈ A ∪B = B ∪ A.
Nesse desenvolvimento, as justificativas para cada equivaleˆncia sa˜o as seguin-
tes: definic¸a˜o de complementar, fato auxiliar, duplo complementar, definic¸a˜o
de complementar, lei de De Morgan e duplo complementar.
(V) Considere conjuntos A,B tais que A ∪ B ⊆ A ∩ B. Para provar que A = B,
mostraremos que A ⊆ B (a afirmac¸a˜o B ⊆ A e´ ana´loga).
x ∈ A =⇒ x ∈ A ∪B =⇒ x ∈ A ∩B =⇒ x ∈ B.
A primeira e terceira implicac¸o˜es veˆm das definic¸o˜es de unia˜o e intersec¸a˜o,
respectivamente. A segunda vem da hipo´tese.
7. Temos
(A ∪B)− (A ∩B) = (A ∪B) ∩ (A ∩B) = (A ∪B) ∩ (A ∪B)
=
(
A ∩ (A ∪B)) ∪ (B ∩ (A ∪B))
=
(
(A ∩ A) ∪ (A ∩B)) ∪ ((B ∩ A) ∪ (B ∩B))
= (∅ ∪ (A−B)) ∪ ((B − A) ∪ ∅) = (A−B) ∪ (B − A).
No argumento acima, utilizamos a igualdade C − D = C ∩ D do exerc´ıcio
anterior, leis de De Morgan, distributividade e complementaridade.
8.
(a) A4A = (A− A) ∪ (A− A) = ∅ ∪ ∅ = ∅.
(b) A4U = (A− U) ∪ (U− A) = ∅ ∪ A = A.
(c) A4B = (A ∪B)− (A ∩B) = (B ∪ A)− (B ∩ A) = B4A.