Sol_L5D131

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MAT 01375 – Matema´tica Discreta B 2013/1
Lista de Exerc´ıcios 5
Soluc¸o˜es de Exerc´ıcios Escolhidos
1. (a) Na˜o, o contradomı´nio na˜o e´ B. (b) Sim, mas na˜o e´ injetora ou sobrejetora.
(c) Sim, e´ injetora e sobrejetora. (d) Na˜o. (e) Na˜o.
2.
(a) E´ func¸a˜o, mas na˜o e´ injetora ou sobrejetora.
(b) Na˜o e´ func¸a˜o.
(c) E´ func¸a˜o, na˜o e´ injetora (f(1, 1) = f(2, 3)), mas e´ sobrejetora.
(d) E´ func¸a˜o, mas na˜o e´ injetora ou sobrejetora.
(e) E´ func¸a˜o bijetora, com inversa h(x, y) = (y − 1, x− 1).
(f) E´ func¸a˜o, na˜o e´ injetora (h(3) = h(8)), mas e´ sobrejetora.
3. (a) =⇒ (b) Seja f : A → B uma func¸a˜o injetora entre conjuntos na˜o-vazios
quaisquer. Para cada b ∈ B, considere o conjunto f−1({b}) = {a ∈ A : f(a) = b}.
Como f e´ injetora, temos
∣∣f−1({b})∣∣ ≤ 1 para todo b ∈ B.
Seja x ∈ A. Definimos uma func¸a˜o g : B → A como segue. Dado b ∈ B, se
f−1({b}) = ∅, definimos g(b) = x, e, se f−1({b}) 6= ∅, definimos g(b) = xb, onde
xb e´ o u´nico elemento de f
−1({b}). Essa func¸a˜o satisfaz (g ◦ f)(a) = g (f(a)) = a,
ja´ que a ∈ f−1 ({f(a)}).
(b) =⇒ (c) Seja g : B → A tal que (g ◦ f)(a) = a para todo a ∈ A. Seja
T = f(A) = {f(a) : a ∈ A}. Claramente, f |TA e´ func¸a˜o (na˜o removemos imagens
do contradomı´nio). Ademais, a func¸a˜o e´ claramente sobrejetora. Mostraremos
que f |TA e´ injetora: dados a1, a2 ∈ A,
f |TA(a1) = f |TA(a2) =⇒ f(a1) = f(a2) =⇒ g (f(a1)) = g (f(a2))
=⇒ (g ◦ f)(a1) = (g ◦ f)(a2) =⇒ a1 = a2,
como quer´ıamos demonstrar.
(c) =⇒ (a) Seja T ⊂ B tal que f |TA e´ bijetora (em particular, essa func¸a˜o e´
injetora). Dados a1, a2 ∈ A, temos
f(a1) = f(a2) =⇒ f |TA(a1) = f |TA(a2) =⇒ a1 = a2,
de forma que f e´ injetora.
4. A func¸a˜o dada e´ injetora, pois
f(x1) = f(x2) =⇒ 1
x1
=
1
x2
=⇒ x1 = x2.
Um conjunto T com a propriedade do exerc´ıcio anterior e´ T = (1,∞). Uma func¸a˜o
g : R→ (0, 1) e´
g(x) =
{
1/x, se x > 1,
1/2, se x ≤ 1.
O conjunto T e´ u´nico; a func¸a˜o g, na˜o. Por exemplo, a func¸a˜o
g˜(x) =
{
1/x, se x > 1,
1/3(cos2 x + 1), se x ≤ 1,
tem a mesma propriedade.
5.
(a) Se A e B denotam os conjuntos de inteiros positivos pares e ı´mpares, res-
pectivamente, basta definir f : A → B por f(n) = n − 1. E´ claro que f e´
injetora, pois f(n) = f(m) =⇒ n− 1 = m− 1 =⇒ n = m. Tambe´m vale
que f e´ sobrejetora, pois, dado um inteiro positivo ı´mpar n, temos que n+ 1
e´ um inteiro positivo par, e f(n + 1) = (n + 1)− 1 = n.
(b) Considere as func¸o˜es f : [0, 1]→ [1, 2] onde f(x) = x + 1, e g : [0, 1]→ [0, 2]
onde g(x) = 2x. Em geral, para um intervalo [a, b] qualquer, considere h(x) :
[0, 1]→ [a, b] onde h(x) = a + (b− a)x.
6.
(a) Seja y ∈ f(A1 ∩ A2). Assim, existe x ∈ A1 ∩ A2 tal que f(x) = y. Como
x ∈ A1, temos y ∈ f(A1) e, como x ∈ A2, temos y ∈ f(A2). Portanto, vale
que y ∈ f(A1) ∩ f(A2), como quer´ıamos demonstrar.
(b) Seja f : {1, 2, 3} → {a, b} com f(1) = a, f(2) = b, f(3) = a. Sejam A1 =
{1, 2} e A2 = {2, 3}. Portanto, f(A1) = {a, b} = f(A2), de forma que
f(A1) ∩ f(A2) = {a, b}. Pore´m, f(A1 ∩ A2) = f({2}) = {b}.
(c) Suponha que f e´ injetora. Pelo item (a), ja´ sabemos que f(A1 ∩ A2) ⊆
f(A1) ∩ f(A2), vamos agora provar a outra inclusa˜o.
Seja y ∈ f(A1)∩ f(A2), de forma que y ∈ f(A1) e y ∈ f(A2). Sejam x1 ∈ A1
e x2 ∈ A2 tais que f(x1) = y = f(x2). Como f e´ injetora, temos x1 = x2,
isto e´, x1 ∈ A1 ∩ A2. Portanto y ∈ f(A1 ∩ A2), como quer´ıamos demonstrar.