Sol_L8D131

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MAT 01375 – Matema´tica Discreta B 2013/1
Lista de Exerc´ıcios 8
Soluc¸o˜es de Exerc´ıcios Escolhidos
1 (a). Se inf {x, y} = x, temos que x � y, de forma que y e´ cota superior para
{x, y}. Ale´m disso, toda cota superior z para {x, y} obviamente satisfaz y � z, e
portanto y = sup{x, y}.
Analogamente, se sup {x, y} = y, enta˜o x � y, de forma que x e´ cota inferior
para {x, y}. Ale´m disso, toda cota inferior w para {x, y} obviamente satisfaz
w � x, e portanto x = inf{x, y}.
1 (b). Como sup{x, y} e´ cota superior para x, temos x � sup{x, y}, e portanto
x e´ cota inferior para {x, sup{x, y}}. Evidentemente, qualquer outra cota inferior
z para esse conjunto satisfaz z � x, logo x = inf{x, sup{x, y}}.
2 (a). Como a � b e a � c, temos que a e´ cota inferior de {b, c}, de forma que
a � inf{b, c}. Logo sup {a, inf {b, c}} = inf {b, c} .
Da mesma forma, como a � b e a � c, temos sup{a, b} = b e sup{a, c} = c.
Portanto, inf {sup {a, b} , sup {a, c}} = inf{b, c}.
3. (a) elementos maximais: o, p; elementos minimais: a, b, c; (b) na˜o ha´ maior ou
menor elemento; (c) n, o, p; (d) n; (e) na˜o ha´; (f) na˜o ha´; (g) n, o, p; (h) n; (i) na˜o
ha´; (j) na˜o ha´;
5. Provamos na Lista 7 que (S(R),�) e´ uma ordem parcial. Para mostrar
que e´ um reticulado, basta provar que, dadas func¸o˜es f, g ∈ S(R), o conjunto
{f, g} te m ı´nfimo e supremo. Defina as func¸o˜es i, s : [0, 1] → [0, 1] dadas por
i(x) = min{f(x), g(x)} e s(x) = max{f(x), g(x)} para qualquer x ∈ [0, 1]. Por
construc¸a˜o, temos que i � f e i � g, de forma que i e´ cota inferior para {f, g}. Seja
h ∈ S(R) uma cota inferior qualquer de {f, g}. Portanto, para qualquer x ∈ [0, 1],
temos h(x) ≤ f(x) e h(x) ≤ g(x), de forma que h(x) ≤ min{f(x), g(x)} = i(x).
Assim h � i, levando a i = inf{f, g}. Argumentos ana´logos demonstram que
s = sup{f, g}, o que conclui a demonstrac¸a˜o.
6. Sim, Na˜o (inf{f, g} na˜o existe), Sim
8 (a). Seja T um subconjunto na˜o-vazio do conjunto parcialmente ordenado S.
Inicialmente, seja x = supT = maxT . Como x = supT , temos que x e´ cota
superior para T e, como x = maxT , temos que x ∈ T , logo existe uma cota
superior de T que esta´ no conjunto.
Para provar a volta, seja x ∈ T tal que x e´ cota superior para T . Isso implica
que x � y para qualquer y ∈ T , e portanto x = maxT . Por outro lado, seja z uma
cota superior arbitra´ria de T . Como x ∈ T , temos z � x, de forma que x = supT .
Logo maxT = inf T .