P1GASL11_1

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1a Prova de Geometria Anal´ıtica e Sistemas Lineares
Curso de Cieˆncias Exatas - 20/04/2011
Departamento de Matema´tica - ICE - UFJF
Quest. Notas
1
2
3
4
5
Total
Aluno: Matr´ıcula: Turma:
Observac¸o˜es: Esta prova deve conter 5 questo˜es em 3 folhas, encerrando-se no item
5(b). A prova e´ individual, sem consulta e na˜o e´ permitido o uso de calculadora.
1. Considere as seguintes matrizes:
A =
[
2 1
−3 1
]
B =
[
1 0 2
4 1 −1
]
C =
 0 −11 5
3 2
 D =
 3 3 −13 −2 3
0 1 1

Se poss´ıvel, efetue as operac¸o˜es seguintes. Caso contra´rio, justifique. (15 pts)
(a) BC − CB
(b) A+ (BC)t
(c) D2 + CB
2. (a) Resolva o sistema linear cuja matriz aumentada associada e´: 1 2 | −30 1 | −2
0 0 | 5
 (25 pts)
(b) Resolva o sistema linear cuja matriz aumentada associada e´: 1 3 −1 | 50 0 −5 | 15
0 0 0 | 0

(c) Resolva, usando escalonamento de matrizes (me´todo de Gauss ou de Gauss-
Jordan), o sistema linear:

x1 − 2x2 − x3 = 1
−4x1 + 5x2 + 2x3 = −1
−4x1 + 7x2 + 4x3 = 0
3. (a) Encontre, se poss´ıvel, a inversa da matriz A =
 3 3 23 −2 3
4 2 3
. (25 pts)
(b) Dada a matriz C =
 5 2 −13 0 2
−1 1 1
, usando o item (a), determine matriz M de
ordem 3× 3 tal que MA = C.
4. (a) Calcule o determinante da matriz A =

4 2 5 −1
2 −2 0 2
3 1 4 0
3 5 8 0
. (25 pts)
(b) Compare a matriz B =

2 −2 0 2
4 2 5 −1
3 1 4 0
6 10 16 0
 com a matriz A acima. Usando apenas
propriedades do determinante (sem calcular) determine det(B) e det(2A ·B−1).
Justifique suas respostas.
5. Classifique cada uma das afirmac¸o˜es abaixo como VERDADEIRA ou FALSA. Se ver-
dadeira, prove; se falsa, prove ou deˆ um contra-exemplo. (10 pts)
(a) Se A e B sa˜o matrizes n× n tais que AB = 0¯ e B e´ invert´ıvel enta˜o A = 0¯.
(b) Se A e B sa˜o matrizes n× n invert´ıveis enta˜o (AB)−1 = A−1B−1.