Lista 8

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Lista 8 
 
1) Calcule o divergente do campo vetorial dado: 
 
a) �⃗�(𝑥, 𝑦) = −𝑦𝑖 + 𝑥𝑗 
b) �⃗⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧�⃗⃗� 
c) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥2 − 𝑦2)𝑖 + 𝑠𝑒𝑛 (𝑥2 + 𝑦2)𝑗 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑧)�⃗⃗� 
d) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2) �⃗⃗� 
 
2) Calcule o laplaciano da função 𝜑 dada: 
 
a) 𝜑(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 
b) 𝜑(𝑥, 𝑦) = ln(𝑥2 + 𝑦2) 
c) 𝜑(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 
𝑥
𝑦
, 𝑦 > 0 
d) 𝜑(𝑥, 𝑦) =
1
4
𝑒𝑥
2−𝑦2 
3) Seja 𝜑(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥2 + 𝑦2), onde 𝑓(𝑢) é uma função real, de 
uma variável real e derivável até a 2ª ordem. Suponha que 
∇2𝜑 = 0. 
 
a) Mostre que 𝑢𝑓′′(𝑢) = −𝑓′(𝑢), 𝑢 > 0. 
b) Determine uma função 𝑓 não constante, para que se 
tenha ∇2𝜑 = 0. 
 
4) Seja 𝐴 o retângulo 1 ≤ 𝑥 ≤ 2, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1. Calcule 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝐴 , sendo 𝑓(𝑥, 𝑦) igual a: 
 
a) 𝑥 + 2𝑦 
b) 𝑥 − 𝑦 
c) √𝑥 + 𝑦 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
1
𝑥+𝑦
 
e) 1 
f) 𝑥 cos 𝑥𝑦 
g) 𝑦 cos 𝑥𝑦 
h) 
1
(𝑥+𝑦)2
 
i) 𝑦𝑒𝑥𝑦 
j) 𝑥𝑦2 
k) 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑦 
l) 
1
1+𝑥2+2𝑥𝑦+𝑦2
 
 
5) Calcule o volume do conjunto dado. 
 
a) {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1, 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑥 + 2𝑦} 
b) {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: 0 ≤ 𝑥 ≤ 2, 1 ≤ 𝑦 ≤ 2, 0 ≤ 𝑧 ≤ √𝑥𝑦} 
c) {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1, 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑥𝑦𝑒𝑥
2−𝑦2} 
d) {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1, 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 2} 
e) {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: 1 ≤ 𝑥 ≤ 2, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1, 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑧 ≤ 𝑥 + 𝑦 +
2} 
f) {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1, 1 ≤ 𝑧 ≤ 𝑒𝑥+𝑦} 
 
6) Calcule ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝐵 sendo dados: 
 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 cos 𝑦 e 𝐵 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 0 ≤ 𝑥, 𝑥2 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋} 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 e 𝐵 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 2, 𝑦 ≤ 𝑥, 𝑥 ≥
0} 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 e 𝐵 o triângulo de vértices (0,0), (1,1) 𝑒 (2,0). 
d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦√𝑥2 + 𝑦2 e 𝐵 o retângulo 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤
1. 
e) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 e 𝐵 o paralelogramo de vértices 
(0,0), (1,1), (3,1) 𝑒 (2,0). 
f) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
1
ln 𝑦
 e 𝐵 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 2 ≤ 𝑦 ≤ 3, 0 ≤ 𝑥 ≤
1
𝑦
} 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 ycos 𝑥2 e 𝐵 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 𝑥2 ≤
𝑦 ≤ 1} 
h) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (√4 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥) cos 2𝑦 e 𝐵 o triângulo de vértices 
(0,0), (0,
𝜋
2
) 𝑒 (
𝜋
2
,
𝜋
2
). 
i) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 e 𝐵 a região compreendida entre os 
gráficos das funções 𝑦 = 𝑥 e 𝑦 = 𝑒𝑥 com 0 ≤ 𝑥 ≤ 1. 
j) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦3𝑒𝑥𝑦
2
 e 𝐵 o retângulo 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 1 ≤ 𝑦 ≤ 2. 
k) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥5 cos 𝑦3 e 𝐵 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 𝑦 ≥ 𝑥2, 𝑥2 + 𝑦2 ≤
2} 
l) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 e 𝐵 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ −𝑥2 + 2𝑥 + 2} 
m) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 e 𝐵 a região compreendida entre os gráficos 
de 𝑦 = cos 𝑥 𝑒 𝑦 = 1 − cos 𝑥 com 0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
2
. 
n) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 e 𝐵 a região compreendida entre os gráficos 
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 e 𝑦 = 1 − cos 𝑥 com 0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
2
. 
o) 𝑓(𝑥, 𝑦) = √1 + 𝑦3 e 𝐵 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: √𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 1} 
p) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 e 𝐵 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 𝑦 ≥ 𝑥2, 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 + 2} 
q) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑦
𝑥+𝑦2
 e 𝐵 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 1 ≤ 𝑥 ≤ 4, 0 ≤ 𝑦 ≤ √𝑥} 
 
7) Inverta a ordem de integração: 
 
a) ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑥
0
1
0
 
b) ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑥
𝑥2
1
0
 
c) ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥
√𝑦
−√𝑦
1
0
 
d) ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑥
ln 𝑥
𝑒
0
 
e) ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑦+3
𝑦
1
0
 
f) ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥
√1−𝑥2
−√1−𝑥2
1
−1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥
√2−𝑥2
𝑥2
1
−1
 
h) ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
2−2𝑦
𝑦−1
1
0
 
i) ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥
1
𝑥2
1
0
 
j) ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑒𝑦
𝑒𝑦−1
1
0
 
k) ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑥+1
2𝑥
1
0
 
l) ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑡𝑔 𝑥
0
𝜋
4
0
 
m) ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥
√2𝑥
√𝑥−𝑥2
1
0
 
n) ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥
√4𝑎𝑥−𝑥2
√3
3
𝑥
3𝑎
0
 (𝑎 > 0) 
o) ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
0
𝜋
0
 
p) ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥
cos 𝑥
sen 𝑥
𝜋
4
0
 
q) ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑦+7
3
√7+5𝑦
2
3
2
−1
 
r) ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥
√3𝑥
𝑥2−2𝑥
3
0
 
 
8) Utilizando uma integral dupla, calcule a área do conjunto 𝐵 
dado: 
 
a) 𝐵 é o conjunto de todos os (𝑥, 𝑦) tais que ln 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 1 +
ln 𝑥 , 𝑦 ≥ 0, 𝑥 ≤ 𝑒. 
b) 𝐵 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 𝑥3 ≤ 𝑦 ≤ √𝑥} 
c) 𝐵 é determinado pelas desigualdades 𝑥𝑦 ≤ 2, 𝑥 ≤ 𝑦 ≤
𝑥 + 1, 𝑥 ≥ 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 𝐵 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 𝑥 > 0,
4
𝑥
≤ 3𝑦 ≤ −3𝑥2 + 7𝑥} 
e) 𝐵 é limitado pelas curvas 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 e 𝑥 = 𝑦2 − 𝑦.