Lista EDO 4

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Cálculo 2
Prof.: Montauban
Lista 06
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Exercício 1: Resolva as equações diferenciais de ordem superior à primeira:
a)
d2y
dx2
= �4y�3
b) y
d2y
dx2
= y2
dy
dx
+
�
dy
dx
� �
Solução:
1
C1
ln
y
y + C1
= x+ C2
�
c)
d2y
dx2
= e2x + cos 2x
�
Solução: y =
1
4
e2x � 1
4
cos 2x+ C1x+ C2
�
d)
d2y
dx2
� 4 =
�
dy
dx
�2 �
Solução: y = ln
�
1
cos(2x+ 2C1)
�
+ C2
�
Exercício 2: Resolva as equações lineares homogêneas:
a)
d4y
dx4
� y = 0 (Solução: y = C1ex + C2e�x + C3 cosx+ C4senx)
b)
d3y
dx3
� 4d
2y
dx2
+ 5
dy
dx
= 0 (Solução: y = C1 + e2x [C2 cosx+ C3senx])
c)
d3y
dx3
� 5d
2y
dx2
+ 7
dy
dx
= 0
�
Solução: y = C1 + e
5
2
x
h
C2 cos
x
p
3
2
+ C3sen
x
p
3
2
i�
d)
d4y
dx4
+
d3y
dx3
�3d
2y
dx2
�5dy
dx
�2y = 0 (Solução: y = C1e2x + C2e�x + C3xe�x + C4x2e�x)
Exercício 3: Resolva as equações lineares não-homogêneas:
a)
d3y
dx3
� 2d
2y
dx2
= 3x2 � 2x+ 1
�
Solução: y = C1 + C2x+ C3e2x � x
4
8
� x
3
12
� 3x
2
8
�
b)
d2y
dx2
� 4y = 8x2 � x+ 12
�
Solução: y = C1e�2x + C2e2x � 2x2 � x
4
� 4
�
c)
d3y
dx3
� d
2y
dx2
� 2dy
dx
= x� 2
�
Solução: y = C1 + C2e�x + C3e2x � x
2
4
+
5x
4
�
1
d)
d4y
dx4
�4d
2y
dx2
= 3x3�2x+1
�
Solução: y = C1 + C2x+ C3e�2x + C4e2x � 3x
5
80
� 5x
3
48
� x
2
8
�
e)
d2y
dx2
� 4dy
dx
+ 4y = 8e2x (Solução: y = C1e2x + C2xe2x � 4x2e2x)
f)
d2y
dx2
+ 4y = 3e4x
�
Solução: y = C1 cos 2x+ C2sen2x+
3
20
e4x
�
g)
d2y
dx2
� 3dy
dx
+ 2y = 3e�x
�
Solução: y = C1ex + C2e2x +
e�x
2
�
h)
d2y
dx2
� 4y = 4e2x (Solução: y = C1e�2x + C2e2x + xe2x)
i)
d2y
dx2
� 4dy
dx
+ 4y = 3e2x
�
Solução: y = C1e2x + C2xe2x + 32x
2e2x
�
j)
d2y
dx2
� 2dy
dx
+ y = 2ex (Solução: y = C1ex + C2xex + x2ex)
k)
d4y
dx4
� 4d
2y
dx2
= 8sen4x
�
Solução: y = C1 + C2x+ C3e�2x + C4e2x +
sen4x
40
�
l)
d3y
dx3
� 4dy
dx
= 12sen2x
�
Solução: y = C1 + C2e�2x + C3e2x +
3
4
cos 2x
�
2