Lista de exercícios - Derivadas

Prévia do material em texto

UFPB/CCEN/Departamento de Matema´tica
Ca´lculo Diferencial e Integral I - 2012.2
3a Lista de Exerc´ıcios
1. Uma curva tem equac¸a˜o y = f(x).
a) Escreva uma expressa˜o para a inclinac¸a˜o da reta tangente em P .
b) Escreva uma expressa˜o para a inclinac¸a˜o da reta secante pelos pontos P (3, f(3)) e Q(x, f(x)).
2. Se f for uma func¸a˜o deriva´vel e g(x) = xf(x), use a definic¸a˜o de derivada para mostrar que g′(x) =
xf ′(x) + f(x).
3. Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva nos pontos dados:
a) y =
x− 1
x− 2 , (3, 2);
b) y =
2x
(x+ 1)2
;
c) y = 3 + 4x2 − 2x3 no ponto x = a;
d) y =
1√
x
no ponto x = a;
e) y = x4 + 2ex, (0, 2);
f) y = (1 + 2x)2, (1, 9);
g) x+
1
x
, (1, 2).
4.Encontre a derivada de cada func¸a˜o. Determine qual e´ o domı´nio da func¸a˜o derivada.
a) f(x) =
1
2
x− 1
3
;
b) g(x) =
√
1 + 2x;
c) h(x) = x+
√
x;
d) f(x) =
3 + x
1− 3x ;
e) g(t) = t2 −√t;
5. Seja:
f(x) =
{
2− x, se x ≤ 1
x2 − 2x+ 2, se − x > 1
f e´ deriva´vel em 1? Esboce os gra´ficos de f e f ′.
6. Determine em quais pontos a func¸a˜o
f(x) =
 −1− 2x, se x < −1x2, se − 1 ≤ x ≤ 1
x, se x > 1
e´ derivavel. Determine a expressa˜o de f ′(x) nos pontos onde esta func¸a˜o esta´ definida e esboce os gra´ficos
de g e g′.
7.
a) Para quais valores de x a func¸a˜o f(x) = |x2 − 9| e´ deriva´vel? Calcule f ′(x).
b) Onde a func¸a˜o h(x) = |x− 1|+ |x− 2| e´ deriva´vel? Determine h′(x).
c) Seja
f(x) =
{
x2, se x ≤ 2
mx+ b, se x > 2
Encontre os valores de m e b que tornem f deriva´vel em todo ponto.
d) Calcule lim
x→1
x1000 − 1
x− 1 .
8. Calcule a derivada das seguintes func¸o˜es:
a) z = w
3
2 (w + 2ew);
b) y =
v3 − 2v√v
v
;
c) h(x) =
1− xex
1 + ex
;
d) f(x) =
x
x+ 3x
;
e) F (y) =
(
1
y2
− 3
y4
)
(y + 5y3);
f) f(x) = cossec(x);
g) y = cotg(x);
h) y = sec(x);
i) y = 2cossec(x) + 5cos(x);
j) f(θ) =
sec(θ)
1 + sec(θ)
;
l) h(u) = eu(cos(u) + cu);
9. Determine f ′(x) e f ′′(x):
a f(x) = x4ex.
b f(x) = x
5
4 ex.
c f(x) =
x2
1 + 2x
.
c) f(x) =
x
3 + ex
.
d f(x) =
x
x2 − 1 .
e) f(x) = (x− 1)ex
10. Que valores de x fazem com que o gra´fico da curva y = x+ 2sen(x) tenha uma tangente horizontal?
11. Determine a derivada da func¸a˜o:
a) y = sen(ex);
b) y = 101−x
2
;
c) h(x) = 2sen(pix);
d) f(x) = tg(cos(x));
e) F (y) = cotg2(sen(y));
f) f(x) =
√
x+
√
x+
√
x;
g) y = 23
x2
;
h) y = sec2(x) + tang2(x);
i) f(x) = ln(x2 + 10);
j) f(x) = log2(1− 3x);
l) h(x) = ln|2− x− 5x2|;
m) f(x) = log5(xe
x);
n) f(x) = ln(x4sen2(x));
o) f(x) = ln(xex
2
);
p) g(x) = ln(x)cos(x)