Trabalho_Aplicações da Derivada

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INSTITUTO DE ENSINO SUPERIOR DO ACRE - IESACRE
ALEXANDRE DE SOUZA TOSTES
APLICAÇÕES DE DERIVADAS
Rio Branco/AC
2014
ALEXANDRE DE SOUZA TOSTES
APLICAÇÕES DE DERIVADAS
Trabalho apresentado como requisito para obtenção de nota parcial na disciplina Cálculo diferencial Integral II da faculdade Instituto de Ensino Superior do Acre – IESACRE.
Docente: Prof.º João Paulo da Cunha Lima
Rio Branco/AC
2014
INTRODUÇÃO
O conhecimento do processo de derivação é importante em virtude das inúmeras áreas de aplicações em diferentes ramos da ciência. Para tanto seu estudo foi desenvolvido ao longo de 2500 anos, com o auxílio de diversos matemáticos. As idéias foram se aperfeiçoando e o que era apenas o estudo da reta tangente, se transformou em uma magnífica e poderosa ferramenta para resolução de problemas. A definição de derivada como é conhecida hoje, deve-se a Cauchy que a apresentou por volta de 1823, como razão de variação infinitesimal, embora Newton e Leibniz, já no século XVII tenham utilizado os fundamentos desse conceito como método para relacionar problemas de quadraturas e tangentes.
A derivada é utilizada para o estudo de taxas nas quais variem as grandezas físicas. De modo geral, ela nos permite aplicar os seus conhecimentos a qualquer quantidade ou grandeza, desde que ela seja representada por uma função. 
APLICAÇÕES DE DERIVADAS
Sabe-se que o mundo é regido por leis naturais e relações sociais que possibilitam um amplo espaço pedagógico para o desenvolvimento de grande parte dos conteúdos de matemática de forma contextualizada. Pode parecer que alguns conteúdos matemáticos não têm aplicação clara e imediata nos problemas cotidianos, o que talvez crie certo desapontamento. Mas, na verdade, a aplicação ocorre como resultado da evolução e desenvolvimento desses conceitos. O mesmo acontece com o cálculo de derivadas que tem importância especial em virtude das inúmeras aplicações em vários campos das ciências, tais como: problemas da física, biologia, química, modelagem matemática, arquitetura, geologia, engenharia e economia.
O estudo da derivada apresenta diversas aplicações práticas, ela é constantemente aplicada em muitos problemas que envolvem o dia-a-dia do ser humano, possibilitando até mesmo resolver situações que envolvam taxas de variação.
As aplicações da derivada são variadas, onde ela está sempre relacionada a uma taxa de variação. Entendemos a derivada como o coeficiente angular da reta tangente, porém ela pode ser usada para indicar a taxa que o gráfico apresenta em uma curva que deve subir ou descer. Entre as numerosas aplicações da derivada podemos citar problemas relacionados à: tempo, temperatura, volume, custo, pressão, consumo de gasolina, ou seja, qualquer quantidade que possa ser representada por uma função.
Esses problemas podem ser reduzidos a determinar maior ou menor valor de uma função em algum intervalo onde esse valor ocorre. Por exemplo, se o tempo for a questão principal de um problema, pode-se estar interessado em descobrir a maneira mais rápida de desempenhar uma tarefa (menor valor da função), ou caso o custo seja a preocupação principal, pode-se também querer saber o menor custo para desempenhar certa tarefa (maior valor da função). Outra aplicação muito utilizada da derivada é com relação a taxas de variação ou taxas relacionadas onde é possível relacionar variáveis como, por exemplo, é possível relacionar a variação de uma variável em relação ao tempo e essa variável pode está relacionada a um volume a uma distancia a uma velocidade entre outros, possibilitando assim a relação entre estas variáveis. 
Função Crescente e Função Decrescente
Seja ƒ uma função definida em todo eixo real, num semi-eixo ou em um intervalo limitado. Diz-se que ƒ é crescente se ela varia no mesmo sentido que a variável independente, isto é, se ƒ(x) cresce à medida que x cresce, e decresce à medida que x decresce.
Figura 1- Função Crescente
Figura 2- Função Decrescente
Na Fig.3, a curva y = ƒ(x) está subindo de A para C, de D para F e de H para I. É, claro que a função é crescente nos intervalos a < x < c, d < x < f, e h < x < i. Analogamente, a curva está descendo de C para D e de F para H, e a função é decrescente nos intervalos c < x < d e f < x < h.
Figura 3 - Função Crescente e Decrescente
Quando a derivada é positiva 
 função é crescente 
 concavidade para cima
Quando a derivada é negativa 
 função é decrescente 
 concavidade para cima
Considerando a função ƒ(x) = x2 – 4x. Temos ƒ’(x) = 2x - 4
Sinal de ƒ’:
2
+
-
Comportamento de ƒ:
2
-
+
Máximos e Mínimos 
Diz-se que x = c é o ponto máximo de uma função ƒ se existe um intervalo aberto (a,b) contendo x = c e todo contido no domínio da função, tal que, restrita a esse intervalo, ƒ tem máximo em x = c. Define-se mínimo local de maneira análoga. Exemplo:
ƒ(x) = x3 – 5 x2 + 4x + 3
 3 2
Temos que 
ƒ’ (x) = x2 – 5 – 4.
Impondo que ƒ’ (x) = 0, teremos:
 x2 – 5 – 4 = 0, cuja solução é x = 1 ou x = 4
Por outro lado, ƒ’’ (x) = 2x – 5. Assim:
ƒ’’ (1) = - 3 < 0 x = 1 é ponto máximo;
ƒ’’ (4) = 3 > 0 x = 4 é ponto mínimo;
EXEMPLOS DA APLICAÇÃO DE DERIVADAS
No cotidiano, a derivada pode auxiliar na resolução de inúmeros problemas, como pode ser visto nos exemplos a seguir:
Deseja-se construir uma piscina com formato quadrangular com capacidade de 32 m3 de água. Determinar as dimensões da piscina para que seja mínimo o consumo de material utilizado no seu revestimento interno.
SOLUÇÃO:
As dimensões são a, a e y e seu volume é de 32 m3, tem-se:
A área total de revestimento da piscina de base quadrangular é A = 4 x a x y + a2, pois se sabe que a área total de um prisma de base quadrangular fechado é 
A = 4 x a x y + 2 x a2, todavia a piscina não é fechada confirmando a primeira expressão. Substituindo o valor de y:
Logo, as dimensões para que se tenha mínimo gasto de material são respectivamente, 4m, 4m e 2m.
xGeraldo deseja construir um cercado retangular para por seus pequenos poodles franceses. Quais dimensões devem ter este cercado, sabendo-se que ele possui apenas 1500m de grade de modo que se tenha uma área máxima? Conforme figura abaixo.
y
y
x
Figura 4 - Representação inicial do cercado
SOLUÇÃO:
A variável a ser maximizada é a área do cercado. Aqui, A = x∙y, onde x é o comprimento do cercado e y a largura. Mas existem 1500m de grade, e o perímetro do cercado é dado por 2p= 2∙x + 2∙y, daí, 2∙x + 2∙y = 1500. Resolvendo esta equação y = 750 - x, que será substituída na equação A = x∙y para obter:
A= x∙(750 - x) = 750∙x - x2
Assim A= F(x), onde F(x) = 750∙x – x2. Visto que as dimensões x e y do cercado não podem ser negativas, pois x ≥ 0 e 750 – x ≥ 0 , isto é, 0 ≤ x ≤ 750. Na realidade, procura-se o valor de x que é o máximo de F(x) = 750∙x – x2 no intervalo [0, 750]. Aqui, ƒ’(x) = 750 – 2∙x, logo x = 375 dá o único ponto crítico no intervalo aberto (0, 750). Logo, ƒ (x) atinge um valor máximo quando x = 375m e y = 750 – x = 750 – 375 = 375 m. Logo, as dimensões são 375 m por 375 m e cuja área é máxima é de 140.625 m2.
Uma dona de casa deseja construir, uma pequena horta de formato retangular em seu quintal. Porém, ela possui apenas 20m de tela para cercá-la. Quais deverão ser as medidas dos lados do retângulo, para que o máximo de espaço seja aproveitado?
SOLUÇÃO:
10 - xComo ainda não é conhecida a largura da horta, foi adotado x para representar essa largura, e para manter os 20m de tela, foi posto para o comprimento 10 – x, de tal forma que ao calcular o perímetro do retângulo será mantido os 20m de tela. Circunstância ilustrada pela Figura 5.
x
x
10 - x
Figura 5 - Representação inicial da aérea da horta
Como o perímetro é de 20m, as dimensões do retângulo são de 10 – x e x. Calculando a área do retângulo, obtêm-se:A(x) = x∙(10 – x)
A(x) = 10x – x2
A área será máxima, quando a tangente tiver inclinação zero.
A’(x) = 10 – 2x
Igualando- se a derivada a zero, 10 – 2∙x = 0, logo x = 5.
Para que seja possível ter o maior aproveitamento da área com os 20m de tela, a dona de casa deverá fazer sua horta com as dimensões de 5m x 5m, onde obterá uma área útil de 25m2.
Carlos Antônio precisa fazer um reservatório de água (espécie de tanque) feito com tijolo e cimento revestido de cerâmica, sem tampa, tendo na base um retângulo com comprimento igual ao triplo da largura. Calcule as dimensões que permitem a máxima economia de material para produzir o reservatório de volume de 36 m3
SOLUÇÃO:
Indicando-se a largura por x, o comprimento por 3.x e a altura por y, obterse-á a Figura 6:
y
x
3x
Figura 6 - Representação do reservatório de água
O volume desta caixa é dado por V = 3 ∙ x ∙ x ∙ y = 3 ∙ x2 ∙ y e então, por 
V = 3x2 ∙ y, V = 36 m3
3x2 ∙ y = 36 y = 36 ou seja y = 12 a 
 3x2 x2
A área total da caixa é A = (3 ∙ x ∙ x + 2 ∙ x ∙ y x + x + 2 ∙ 3 ∙ x ∙ y), logo a área é dada por:
A = 3 ∙ x2 + 8 ∙ x ∙ y
Substituindo y na área,
Para encontrar o valor máximo ou mínimo é preciso derivar a área e igualar à zero, assim:
Para calcular a altura é só substituir a medida x em y = 12 / x2 , y = 12 / 3√16, logo, y = 4,76 metros. Logo, as dimensões que permitem a máxima economia de material para um tanque de volume 36 m3, são aproximadamente: comprimento, largura e altura, respectivamente, 7,56 m, 2,52 m e 4,76 m.
No cinema, o preço de um pacote de pipoca é de R$ 4,50. O pipoqueiro pode vender 500 pacotes de pipocas com o custo de R$1,40 por pacote. Para cada centavo que o pipoqueiro baixar no preço do pacote, a quantidade vendida pode aumentar de 50 unidades (pacotes). Que preço de venda maximizará o lucro?
SOLUÇÃO:
Inicialmente, observe que o lucro é de R$ 3,10 por pacote. Se x denotar o número de centavos que o pipoqueiro baixa no preço de cada pacote; o lucro na venda de cada pacote de pipoca será então de 310 − x centavos, e a quantidade vendida será 500 + 50x. O lucro total é, portanto, o lucro por unidade (pacote) vezes a quantidade vendida, ou seja:
L = L(x) = (310 − x) ∙ (500 + 50x) = 155000 + 15500x – 500x – 50x2
L = 155000 + 15000x – 50x2
Agora, deve-se maximizar a função L(x). Como L é uma função polinomial, acontece quando iguala sua derivada à zero (uma vez que a derivada sempre existe) e resolvendo a equação resultante. Sendo:
L’(x) = 15000 – 100x
15000 – 100x = 0
x = 150
Como a derivada segunda de L é igual a L”′(x) = − 100 , portanto negativa para qualquer valor de x , segue que x = 150 é um ponto de máximo. Assim, o preço de venda que dará o maior lucro é de R$ 3,00.
Uma médica diz ao seu paciente que tem um tumor no corpo e suponha que seja de forma esférica. Ela pergunta para ele: Se quando o raio do teu tumor for 0,5 cm, o raio estiver crescendo a uma taxa de 0,001 cm por dia, qual será a taxa de aumento do volume do tumor naquele instante?
SOLUÇÃO:
No tempo t o tumor tem raio r = 0,5 cm, e volume , então:
Suponha que a diminuição na pressão sanguínea de uma pessoa dependa de uma determinada droga que ela deverá tomar. Assim, se mg da droga forem tomados, a queda da pressão sanguínea será uma função de . Seja ƒ() esta função e onde é uma constante positiva. Determine o valor de que cause o maior decréscimo na pressão sanguínea.
SOLUÇÃO:
Logo o valor de para que se tenha o maior decréscimo da pressão é 
Centenas de animais pertencendo a uma espécie em perigo estão colocadas numa reserva de proteção. Depois de t anos a população p desses animais na reserva é dada por . Após quantos anos a população é máxima?
SOLUÇÃO:
Derivando-se a expressão da população dessa espécie em relação ao tempo em anos e em seguida igualando a zero tem-se o tempo em que a população é máxima, assim:
Logo, no período de 5 anos a população dessa espécie em perigo será máxima.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
ÁVILA, G. S. S. Introdução ao Cálculo. Rio de Janeiro – RJ: Livros Técnicos e Científicos Editora, 1998
MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. W. Cálculo - Funções de uma e várias variáveis. 2 ed. São Paulo: Editora Saraiva, 2010.
THOMAS, S.; George B.Cálculo. Vol. 1. 10 ed. São Paulo: Addison Wesley. 2002.