Cap30-Indutancia

Prévia do material em texto

Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
RODRIGO ALVES DIAS
Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJF
Livro texto: F´ısica 3 - Eletromagnetismo
Autores: Sears e Zemansky
Edic¸a˜o: 12a
Editora: Pearson - Addisson and Wesley
8 de novembro de 2011
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Como uma corrente varia´vel em uma bobina pode induzir uma fem em outra
bobina desconectada.
I Como relacionar a fem induzida em um circuito a` taxa de variac¸a˜o de corrente
no mesmo circuito.
I Como calcular a energia armazenada em um campo magne´tico.
I Como analisar circuitos que incluem tanto um resistor quando um indutor.
I Por que ocorrem oscilac¸o˜es ele´tricas em circuitos que possuem tanto um indutor
quanto um capacitor.
I Por que as oscilac¸o˜es diminuem em circuitos com um indutor, um resistor e um
capacitor.
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Como uma corrente varia´vel em uma bobina pode induzir uma fem em outra
bobina desconectada.
I Como relacionar a fem induzida em um circuito a` taxa de variac¸a˜o de corrente
no mesmo circuito.
I Como calcular a energia armazenada em um campo magne´tico.
I Como analisar circuitos que incluem tanto um resistor quando um indutor.
I Por que ocorrem oscilac¸o˜es ele´tricas em circuitos que possuem tanto um indutor
quanto um capacitor.
I Por que as oscilac¸o˜es diminuem em circuitos com um indutor, um resistor e um
capacitor.
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Como uma corrente varia´vel em uma bobina pode induzir uma fem em outra
bobina desconectada.
I Como relacionar a fem induzida em um circuito a` taxa de variac¸a˜o de corrente
no mesmo circuito.
I Como calcular a energia armazenada em um campo magne´tico.
I Como analisar circuitos que incluem tanto um resistor quando um indutor.
I Por que ocorrem oscilac¸o˜es ele´tricas em circuitos que possuem tanto um indutor
quanto um capacitor.
I Por que as oscilac¸o˜es diminuem em circuitos com um indutor, um resistor e um
capacitor.
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Como uma corrente varia´vel em uma bobina pode induzir uma fem em outra
bobina desconectada.
I Como relacionar a fem induzida em um circuito a` taxa de variac¸a˜o de corrente
no mesmo circuito.
I Como calcular a energia armazenada em um campo magne´tico.
I Como analisar circuitos que incluem tanto um resistor quando um indutor.
I Por que ocorrem oscilac¸o˜es ele´tricas em circuitos que possuem tanto um indutor
quanto um capacitor.
I Por que as oscilac¸o˜es diminuem em circuitos com um indutor, um resistor e um
capacitor.
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Como uma corrente varia´vel em uma bobina pode induzir uma fem em outra
bobina desconectada.
I Como relacionar a fem induzida em um circuito a` taxa de variac¸a˜o de corrente
no mesmo circuito.
I Como calcular a energia armazenada em um campo magne´tico.
I Como analisar circuitos que incluem tanto um resistor quando um indutor.
I Por que ocorrem oscilac¸o˜es ele´tricas em circuitos que possuem tanto um indutor
quanto um capacitor.
I Por que as oscilac¸o˜es diminuem em circuitos com um indutor, um resistor e um
capacitor.
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Como uma corrente varia´vel em uma bobina pode induzir uma fem em outra
bobina desconectada.
I Como relacionar a fem induzida em um circuito a` taxa de variac¸a˜o de corrente
no mesmo circuito.
I Como calcular a energia armazenada em um campo magne´tico.
I Como analisar circuitos que incluem tanto um resistor quando um indutor.
I Por que ocorrem oscilac¸o˜es ele´tricas em circuitos que possuem tanto um indutor
quanto um capacitor.
I Por que as oscilac¸o˜es diminuem em circuitos com um indutor, um resistor e um
capacitor.
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Introduc¸a˜o
1. Uma corrente varia´vel em uma bobina induz uma fem em outra bobina
adjacente.
2. O acoplamento entre as duas bobinas e´ descrita pela indutaˆncia mu´tua.
3. Uma corrente varia´vel em uma bobina induz uma fem na propria bobina.
4. A relac¸a˜o entre a corrente e a fem na propria bobina depende da
indutaˆncia(auto-indutaˆncia).
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Introduc¸a˜o
1. Uma corrente varia´vel em uma bobina induz uma fem em outra bobina
adjacente.
2. O acoplamento entre as duas bobinas e´ descrita pela indutaˆncia mu´tua.
3. Uma corrente varia´vel em uma bobina induz uma fem na propria bobina.
4. A relac¸a˜o entre a corrente e a fem na propria bobina depende da
indutaˆncia(auto-indutaˆncia).
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Introduc¸a˜o
1. Uma corrente varia´vel em uma bobina induz uma fem em outra bobina
adjacente.
2. O acoplamento entre as duas bobinas e´ descrita pela indutaˆncia mu´tua.
3. Uma corrente varia´vel em uma bobina induz uma fem na propria bobina.
4. A relac¸a˜o entre a corrente e a fem na propria bobina depende da
indutaˆncia(auto-indutaˆncia).
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Introduc¸a˜o
1. Uma corrente varia´vel em uma bobina induz uma fem em outra bobina
adjacente.
2. O acoplamento entre as duas bobinas e´ descrita pela indutaˆncia mu´tua.
3. Uma corrente varia´vel em uma bobina induz uma fem na propria bobina.
4. A relac¸a˜o entre a corrente e a fem na propria bobina depende da
indutaˆncia(auto-indutaˆncia).
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Indutaˆncia Mu´tua
I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2
voltas, uma dentro da outra.
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Indutaˆncia Mu´tua
I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2
voltas, uma dentro da outra.
I Se passarmos uma corrente I1 na bobina
1 o campo magne´tico gerado por essa
bobina sera´:
~B1 = µ0
N1
L
I1 kˆ 0 ≤ r ≤ R1
~B1 = 0 kˆ 0r > R1
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Indutaˆncia Mu´tua
I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2
voltas, uma dentro da outra.
I Se passarmos uma corrente I1 na bobina
1 o campo magne´tico gerado por essa
bobina sera´:
~B1 = µ0
N1
L
I1 kˆ 0 ≤ r ≤ R1
~B1 = 0 kˆ 0r > R1
I Seja Φ2(1) → O fluxo magne´tico
produzido por ~B1 sobre as N2 espiras de
2(Na˜o nulo dentro de R1).
Φ2(1) = N2
∫
S2
~B1 · kˆdS = N2B1(piR21 )
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Indutaˆncia Mu´tua
I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2
voltas, uma dentro da outra.
I Se passarmos uma corrente I1 na bobina
1 o campo magne´tico gerado por essa
bobina sera´:
~B1 = µ0
N1
L
I1 kˆ 0 ≤ r ≤ R1
~B1 = 0 kˆ 0r > R1
I Seja Φ2(1) → O fluxo magne´tico
produzido por ~B1 sobre as N2 espiras de
2(Na˜o nulo dentro de R1).
Φ2(1) = N2
∫
S2
~B1 · kˆdS = N2B1(piR21 )
Φ2(1) = µ0
N1N2
L
(piR21 )I1
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Indutaˆncia Mu´tua
I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2
voltas, uma dentro da outra.
I Se passarmos uma corrente I1 na bobina
1 o campo magne´tico gerado por essa
bobina sera´:
~B1 = µ0
N1
L
I1 kˆ 0 ≤ r ≤ R1
~B1 = 0 kˆ 0r > R1
I Seja Φ2(1) → O fluxo magne´tico
produzido por ~B1 sobre as N2 espiras de
2(Na˜o nulo dentro de R1).
Φ2(1) = N2
∫
S2
~B1 · kˆdS = N2B1(piR21 )
Φ2(1) = µ0
N1N2
L
(piR21 )I1
Φ2(1) = L21I1 ; L21 = µ0
N1N2
L
(piR21 )
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Indutaˆncia Mu´tua
I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2
voltas, uma dentro da outra.
I Se passarmos uma corrente I1 na bobina
1 ocampo magne´tico gerado por essa
bobina sera´:
~B1 = µ0
N1
L
I1 kˆ 0 ≤ r ≤ R1
~B1 = 0 kˆ 0r > R1
I Seja Φ2(1) → O fluxo magne´tico
produzido por ~B1 sobre as N2 espiras de
2(Na˜o nulo dentro de R1).
Φ2(1) = N2
∫
S2
~B1 · kˆdS = N2B1(piR21 )
Φ2(1) = µ0
N1N2
L
(piR21 )I1
Φ2(1) = L21I1 ; L21 = µ0
N1N2
L
(piR21 )
I Se invertermos e passarmos uma corrente
I2 na bobina 2 temos que o campo
magne´tico gerado por essa bobina sera´:
~B2 = µ0
N2
L
I2 kˆ 0 ≤ r ≤ R2
~B2 = 0 kˆ 0r > R2
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Indutaˆncia Mu´tua
I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2
voltas, uma dentro da outra.
I Se passarmos uma corrente I1 na bobina
1 o campo magne´tico gerado por essa
bobina sera´:
~B1 = µ0
N1
L
I1 kˆ 0 ≤ r ≤ R1
~B1 = 0 kˆ 0r > R1
I Seja Φ2(1) → O fluxo magne´tico
produzido por ~B1 sobre as N2 espiras de
2(Na˜o nulo dentro de R1).
Φ2(1) = N2
∫
S2
~B1 · kˆdS = N2B1(piR21 )
Φ2(1) = µ0
N1N2
L
(piR21 )I1
Φ2(1) = L21I1 ; L21 = µ0
N1N2
L
(piR21 )
I Se invertermos e passarmos uma corrente
I2 na bobina 2 temos que o campo
magne´tico gerado por essa bobina sera´:
~B2 = µ0
N2
L
I2 kˆ 0 ≤ r ≤ R2
~B2 = 0 kˆ 0r > R2
Φ1(2) = N1
∫
S1
~B2 · kˆdS = N1B2(piR21 )
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Indutaˆncia Mu´tua
I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2
voltas, uma dentro da outra.
I Se passarmos uma corrente I1 na bobina
1 o campo magne´tico gerado por essa
bobina sera´:
~B1 = µ0
N1
L
I1 kˆ 0 ≤ r ≤ R1
~B1 = 0 kˆ 0r > R1
I Seja Φ2(1) → O fluxo magne´tico
produzido por ~B1 sobre as N2 espiras de
2(Na˜o nulo dentro de R1).
Φ2(1) = N2
∫
S2
~B1 · kˆdS = N2B1(piR21 )
Φ2(1) = µ0
N1N2
L
(piR21 )I1
Φ2(1) = L21I1 ; L21 = µ0
N1N2
L
(piR21 )
I Se invertermos e passarmos uma corrente
I2 na bobina 2 temos que o campo
magne´tico gerado por essa bobina sera´:
~B2 = µ0
N2
L
I2 kˆ 0 ≤ r ≤ R2
~B2 = 0 kˆ 0r > R2
Φ1(2) = N1
∫
S1
~B2 · kˆdS = N1B2(piR21 )
Φ1(2) = µ0
N1N2
L
(piR21 )I2
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Indutaˆncia Mu´tua
I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2
voltas, uma dentro da outra.
I Se passarmos uma corrente I1 na bobina
1 o campo magne´tico gerado por essa
bobina sera´:
~B1 = µ0
N1
L
I1 kˆ 0 ≤ r ≤ R1
~B1 = 0 kˆ 0r > R1
I Seja Φ2(1) → O fluxo magne´tico
produzido por ~B1 sobre as N2 espiras de
2(Na˜o nulo dentro de R1).
Φ2(1) = N2
∫
S2
~B1 · kˆdS = N2B1(piR21 )
Φ2(1) = µ0
N1N2
L
(piR21 )I1
Φ2(1) = L21I1 ; L21 = µ0
N1N2
L
(piR21 )
I Se invertermos e passarmos uma corrente
I2 na bobina 2 temos que o campo
magne´tico gerado por essa bobina sera´:
~B2 = µ0
N2
L
I2 kˆ 0 ≤ r ≤ R2
~B2 = 0 kˆ 0r > R2
Φ1(2) = N1
∫
S1
~B2 · kˆdS = N1B2(piR21 )
Φ1(2) = µ0
N1N2
L
(piR21 )I2
Φ1(2) = L12I2 ; L12 = µ0
N1N2
L
(piR21 )
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Indutaˆncia Mu´tua
I Considere duas bobinas de tamanho L e raios R1 < R2 cada uma com N1 e N2
voltas, uma dentro da outra.
I Se passarmos uma corrente I1 na bobina
1 o campo magne´tico gerado por essa
bobina sera´:
~B1 = µ0
N1
L
I1 kˆ 0 ≤ r ≤ R1
~B1 = 0 kˆ 0r > R1
I Seja Φ2(1) → O fluxo magne´tico
produzido por ~B1 sobre as N2 espiras de
2(Na˜o nulo dentro de R1).
Φ2(1) = N2
∫
S2
~B1 · kˆdS = N2B1(piR21 )
Φ2(1) = µ0
N1N2
L
(piR21 )I1
Φ2(1) = L21I1 ; L21 = µ0
N1N2
L
(piR21 )
I Se invertermos e passarmos uma corrente
I2 na bobina 2 temos que o campo
magne´tico gerado por essa bobina sera´:
~B2 = µ0
N2
L
I2 kˆ 0 ≤ r ≤ R2
~B2 = 0 kˆ 0r > R2
Φ1(2) = N1
∫
S1
~B2 · kˆdS = N1B2(piR21 )
Φ1(2) = µ0
N1N2
L
(piR21 )I2
Φ1(2) = L12I2 ; L12 = µ0
N1N2
L
(piR21 )
I Veja que L12 = L21 e´ a indutaˆncia mu´tua.
I No S.I. a unidade de indutaˆncia mu´tua
1Henry = Wb
A
.
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Indutores e Auto-Indutaˆncia
I A corrente I1 produz campo em 2 e
tambe´m em 1 assim:
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Indutores e Auto-Indutaˆncia
I A corrente I1 produz campo em 2 e
tambe´m em 1 assim:
Φ1(1) = N1
∫
S1
~B1 · kˆdS = N1B1(piR21 )
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Indutores e Auto-Indutaˆncia
I A corrente I1 produz campo em 2 e
tambe´m em 1 assim:
Φ1(1) = N1
∫
S1
~B1 · kˆdS = N1B1(piR21 )
Φ1(1) = µ0
N21
L
(piR21 )I1
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Indutores e Auto-Indutaˆncia
I A corrente I1 produz campo em 2 e
tambe´m em 1 assim:
Φ1(1) = N1
∫
S1
~B1 · kˆdS = N1B1(piR21 )
Φ1(1) = µ0
N21
L
(piR21 )I1
Φ1(1) = L11I1 ; L11 = µ0
N21
L
(piR21 )
I L11 e´ a auto-indutaˆncia da bobina 1.
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Indutores e Auto-Indutaˆncia
I A corrente I1 produz campo em 2 e
tambe´m em 1 assim:
Φ1(1) = N1
∫
S1
~B1 · kˆdS = N1B1(piR21 )
Φ1(1) = µ0
N21
L
(piR21 )I1
Φ1(1) = L11I1 ; L11 = µ0
N21
L
(piR21 )
I L11 e´ a auto-indutaˆncia da bobina 1.
I Analogamente, a corrente I2 produz
campo em 2 e tambe´m em 1 assim:
Φ2(2) = N2
∫
S2
~B2 · kˆdS = N2B2(piR22 )
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Indutores e Auto-Indutaˆncia
I A corrente I1 produz campo em 2 e
tambe´m em 1 assim:
Φ1(1) = N1
∫
S1
~B1 · kˆdS = N1B1(piR21 )
Φ1(1) = µ0
N21
L
(piR21 )I1
Φ1(1) = L11I1 ; L11 = µ0
N21
L
(piR21 )
I L11 e´ a auto-indutaˆncia da bobina 1.
I Analogamente, a corrente I2 produz
campo em 2 e tambe´m em 1 assim:
Φ2(2) = N2
∫
S2
~B2 · kˆdS = N2B2(piR22 )
Φ2(2) = µ0
N22
L
(piR22 )I2
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Indutores e Auto-Indutaˆncia
I A corrente I1 produz campo em 2 e
tambe´m em 1 assim:
Φ1(1) = N1
∫
S1
~B1 · kˆdS = N1B1(piR21 )
Φ1(1) = µ0
N21
L
(piR21 )I1
Φ1(1) = L11I1 ; L11 = µ0
N21
L
(piR21 )
I L11 e´ a auto-indutaˆncia da bobina 1.
I Analogamente, a corrente I2 produz
campo em 2 e tambe´m em 1 assim:
Φ2(2) = N2
∫
S2
~B2 · kˆdS = N2B2(piR22 )
Φ2(2) = µ0
N22
L
(piR22 )I2
Φ2(2) = L22I2 ; L22 = µ0
N22
L
(piR22 )
I L22 e´ a auto-indutaˆncia da bobina 2.
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Indutores e Auto-Indutaˆncia
I A corrente I1 produz campo em 2 e
tambe´m em 1 assim:
Φ1(1) = N1
∫
S1
~B1 · kˆdS = N1B1(piR21 )
Φ1(1) = µ0
N21
L
(piR21 )I1
Φ1(1) = L11I1 ; L11 = µ0
N21
L
(piR21 )
I L11 e´ a auto-indutaˆncia da bobina 1.
L1L2 = µ
2
0
N21N
2
2
L2
(pi2R21R
2
2 )
I Analogamente, a corrente I2 produz
campo em 2 e tambe´m em 1 assim:
Φ2(2) = N2
∫
S2
~B2 · kˆdS = N2B2(piR22 )
Φ2(2) = µ0
N22
L
(piR22 )I2
Φ2(2) = L22I2 ; L22 = µ0
N22
L
(piR22 )
I L22 e´ a auto-indutaˆncia da bobina 2.
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Indutores e Auto-Indutaˆncia
I A corrente I1 produz campo em 2 e
tambe´m em 1 assim:
Φ1(1) = N1
∫
S1
~B1 · kˆdS = N1B1(piR21 )
Φ1(1) = µ0
N21
L
(piR21 )I1
Φ1(1) = L11I1 ; L11 = µ0
N21
L
(piR21 )
I L11 e´ a auto-indutaˆncia da bobina 1.
L1L2 = µ
2
0
N21N
2
2
L2
(pi2R21R
2
2 )√
L1L2 = µ0
N1N2
L
(piR1R2) = L12
R2
R1
I Analogamente, a corrente I2 produz
campo em 2 e tambe´m em 1 assim:
Φ2(2) = N2
∫
S2
~B2 · kˆdS = N2B2(piR22 )
Φ2(2) = µ0
N22
L
(piR22 )I2
Φ2(2) = L22I2 ; L22 = µ0
N22
L
(piR22 )
I L22 e´ a auto-indutaˆncia da bobina 2.
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Indutores e Auto-Indutaˆncia
I A corrente I1 produz campo em 2 e
tambe´m em 1 assim:
Φ1(1) = N1
∫
S1
~B1 · kˆdS = N1B1(piR21 )
Φ1(1) = µ0
N21
L
(piR21 )I1
Φ1(1) = L11I1 ; L11 = µ0
N21
L
(piR21 )
I L11 e´ a auto-indutaˆncia da bobina 1.
L1L2 = µ
2
0
N21N
2
2
L2
(pi2R21R
2
2 )√
L1L2 = µ0
N1N2
L
(piR1R2) = L12
R2R1
I Analogamente, a corrente I2 produz
campo em 2 e tambe´m em 1 assim:
Φ2(2) = N2
∫
S2
~B2 · kˆdS = N2B2(piR22 )
Φ2(2) = µ0
N22
L
(piR22 )I2
Φ2(2) = L22I2 ; L22 = µ0
N22
L
(piR22 )
I L22 e´ a auto-indutaˆncia da bobina 2.
L12√
L1L2
=
R1
R2
= K < 1 p/R1 < R2
L12√
L1L2
=
R1
R2
= K = 1 p/R1 = R2
L12√
L1L2
=
R1
R2
= K > 1 p/R1 > R2
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Indutores e Auto-Indutaˆncia
I Se existir corrente I1 na bobina 1 e I2 na
bobina 2 enta˜o:
Φ1 = L11I1 + L12I2
Φ2 = L21I1 + L22I2
I Vemos que conhecendo a
auto-indutaˆncia, a indutaˆncia-mutua
e as correntes sabemos qual sera´ a
fem induzidas em cada bobina.
I A auto-indutaˆncia e a
indutaˆncia-mutua so´ depende de
fatores geome´tricos, ou seja, e´
independente das correntes.
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Indutores e Auto-Indutaˆncia
I Se existir corrente I1 na bobina 1 e I2 na
bobina 2 enta˜o:
Φ1 = L11I1 + L12I2
Φ2 = L21I1 + L22I2
ε1 = −dΦ1
dt
ε2 = −dΦ2
dt
I Vemos que conhecendo a
auto-indutaˆncia, a indutaˆncia-mutua
e as correntes sabemos qual sera´ a
fem induzidas em cada bobina.
I A auto-indutaˆncia e a
indutaˆncia-mutua so´ depende de
fatores geome´tricos, ou seja, e´
independente das correntes.
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Indutores e Auto-Indutaˆncia
I Se existir corrente I1 na bobina 1 e I2 na
bobina 2 enta˜o:
Φ1 = L11I1 + L12I2
Φ2 = L21I1 + L22I2
ε1 = −dΦ1
dt
ε2 = −dΦ2
dt
ε1 = −L11 dI1
dt
− L12 dI2
dt
ε2 = −L21 dI1
dt
− L22 dI2
dt
I Vemos que conhecendo a
auto-indutaˆncia, a indutaˆncia-mutua
e as correntes sabemos qual sera´ a
fem induzidas em cada bobina.
I A auto-indutaˆncia e a
indutaˆncia-mutua so´ depende de
fatores geome´tricos, ou seja, e´
independente das correntes.
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Indutores e Auto-Indutaˆncia
I Se existir corrente I1 na bobina 1 e I2 na
bobina 2 enta˜o:
Φ1 = L11I1 + L12I2
Φ2 = L21I1 + L22I2
ε1 = −dΦ1
dt
ε2 = −dΦ2
dt
ε1 = −L11 dI1
dt
− L12 dI2
dt
ε2 = −L21 dI1
dt
− L22 dI2
dt
I Vemos que conhecendo a
auto-indutaˆncia, a indutaˆncia-mutua
e as correntes sabemos qual sera´ a
fem induzidas em cada bobina.
I A auto-indutaˆncia e a
indutaˆncia-mutua so´ depende de
fatores geome´tricos, ou seja, e´
independente das correntes.
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Indutores e Auto-Indutaˆncia
I Se existir corrente I1 na bobina 1 e I2 na
bobina 2 enta˜o:
Φ1 = L11I1 + L12I2
Φ2 = L21I1 + L22I2
ε1 = −dΦ1
dt
ε2 = −dΦ2
dt
ε1 = −L11 dI1
dt
− L12 dI2
dt
ε2 = −L21 dI1
dt
− L22 dI2
dt
I Vemos que conhecendo a
auto-indutaˆncia, a indutaˆncia-mutua
e as correntes sabemos qual sera´ a
fem induzidas em cada bobina.
I A auto-indutaˆncia e a
indutaˆncia-mutua so´ depende de
fatores geome´tricos, ou seja, e´
independente das correntes.
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Indutores e Auto-Indutaˆncia
Auto-Indutaˆncia L de um Soleno´ide Toroidal Ideal
I Nesse sistema, o campo magne´tico fica
completamente confinado no seu nu´cleo de
a´rea A.
I Iremos supor que a a´rea A e´ pequena o
suficiente, tal que o campo sera´ constante
nesta superf´ıcie.
I Da lei de ampere temos que o campo
magne´tico e´ dado por:
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Indutores e Auto-Indutaˆncia
Auto-Indutaˆncia L de um Soleno´ide Toroidal Ideal
I Nesse sistema, o campo magne´tico fica
completamente confinado no seu nu´cleo de
a´rea A.
I Iremos supor que a a´rea A e´ pequena o
suficiente, tal que o campo sera´ constante
nesta superf´ıcie.
I Da lei de ampere temos que o campo
magne´tico e´ dado por:
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Indutores e Auto-Indutaˆncia
Auto-Indutaˆncia L de um Soleno´ide Toroidal Ideal
I Nesse sistema, o campo magne´tico fica
completamente confinado no seu nu´cleo de
a´rea A.
I Iremos supor que a a´rea A e´ pequena o
suficiente, tal que o campo sera´ constante
nesta superf´ıcie.
I Da lei de ampere temos que o campo
magne´tico e´ dado por:
B =
µ0Ni
2pir
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Indutores e Auto-Indutaˆncia
Auto-Indutaˆncia L de um Soleno´ide Toroidal Ideal
I Nesse sistema, o campo magne´tico fica
completamente confinado no seu nu´cleo de
a´rea A.
I Iremos supor que a a´rea A e´ pequena o
suficiente, tal que o campo sera´ constante
nesta superf´ıcie.
I Da lei de ampere temos que o campo
magne´tico e´ dado por:
B =
µ0Ni
2pir
ΦB = N
∫
~B · ~A = NBA = µ0N
2iA
2pir
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Indutores e Auto-Indutaˆncia
Auto-Indutaˆncia L de um Soleno´ide Toroidal Ideal
I Nesse sistema, o campo magne´tico fica
completamente confinado no seu nu´cleo de
a´rea A.
I Iremos supor que a a´rea A e´ pequena o
suficiente, tal que o campo sera´ constante
nesta superf´ıcie.
I Da lei de ampere temos que o campo
magne´tico e´ dado por:
B =
µ0Ni
2pir
ΦB = N
∫
~B · ~A = NBA = µ0N
2iA
2pir
L =
dΦB
di
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Indutores e Auto-Indutaˆncia
Auto-Indutaˆncia L de um Soleno´ide Toroidal Ideal
I Nesse sistema, o campo magne´tico fica
completamente confinado no seu nu´cleo de
a´rea A.
I Iremos supor que a a´rea A e´ pequena o
suficiente, tal que o campo sera´ constante
nesta superf´ıcie.
I Da lei de ampere temos que o campo
magne´tico e´ dado por:
B =
µ0Ni
2pir
ΦB = N
∫
~B · ~A = NBA = µ0N
2iA
2pir
L =
dΦB
di
L =
µ0N2A
2pir
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Energia do Campo Magne´tico
Energia armazenada em um indutor
I Vamos calcular a energia total U necessa´ria para estabelecer uma corrente
final If = I em um indutor com indutaˆncia L.
I Vamos supor que a corrente inicial seja zero(I0 = 0).
I A poteˆncia em um indutor sera dada por:
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Energia do Campo Magne´tico
Energia armazenada em um indutor
I Vamos calcular a energia total U necessa´ria para estabelecer uma corrente
final If = I em um indutor com indutaˆncia L.
I Vamos supor que a corrente inicial seja zero(I0 = 0).
I A poteˆncia em um indutor sera dada por:
P = Vab i
Vab = L
di
dt
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Energia do Campo Magne´tico
Energia armazenada em um indutor
I Vamos calcular a energia total U necessa´ria para estabelecer uma corrente
final If = I em um indutor com indutaˆncia L.
I Vamos supor que a corrente inicial seja zero(I0 = 0).
I A poteˆncia em um indutor sera dada por:
P = Vab i
Vab = L
di
dt
P = Li
di
dt
=
dU
dt
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Energia do Campo Magne´tico
Energia armazenada em um indutor
I Vamos calcular a energia total U necessa´ria para estabelecer uma corrente
final If = I em um indutor com indutaˆncia L.
I Vamos supor que a corrente inicial seja zero(I0 = 0).
I A poteˆncia em um indutor sera dada por:
P = Vab i
Vab = L
di
dt
P = Li
di
dt
=
dU
dt
dU = Pdt = Li
di
dt
dt
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Energia do Campo Magne´tico
Energia armazenada em um indutor
I Vamos calcular a energia total U necessa´ria para estabelecer uma corrente
final If = I em um indutor com indutaˆncia L.
I Vamos supor que a corrente inicial seja zero(I0 = 0).
I A poteˆncia em um indutor sera dada por:
P = Vab i
Vab = L
di
dt
P = Li
di
dt
=
dU
dt
dU = Pdt = Li
di
dt
dt
dU = Lidi
U = L
∫ I
0
idi
U =
1
2
LI2
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Energia do Campo Magne´tico
Densidade de Energia Magne´tica
I A energia em um indutor e´, na realidade,
armazenada no campo magne´tico no
interior da bobina.
I Da mesma forma, que a energia ele´trica e´
armazenada no campo ele´trico no interior
de um capacitor.
I Para um soleno´ide toroidal ideal temos que:
I O campo magne´tico e a energia esta˜o
armazenados em um volumeV = 2pirA.
I A densidade de energia magne´tica sera´
dada por:
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Energia do Campo Magne´tico
Densidade de Energia Magne´tica
I A energia em um indutor e´, na realidade,
armazenada no campo magne´tico no
interior da bobina.
I Da mesma forma, que a energia ele´trica e´
armazenada no campo ele´trico no interior
de um capacitor.
I Para um soleno´ide toroidal ideal temos que:
I O campo magne´tico e a energia esta˜o
armazenados em um volume V = 2pirA.
I A densidade de energia magne´tica sera´
dada por:
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Energia do Campo Magne´tico
Densidade de Energia Magne´tica
I A energia em um indutor e´, na realidade,
armazenada no campo magne´tico no
interior da bobina.
I Da mesma forma, que a energia ele´trica e´
armazenada no campo ele´trico no interior
de um capacitor.
I Para um soleno´ide toroidal ideal temos que:
L =
µ0N2A
2pir
U =
1
2
LI2
I O campo magne´tico e a energia esta˜o
armazenados em um volume V = 2pirA.
I A densidade de energia magne´tica sera´
dada por:
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Energia do Campo Magne´tico
Densidade de Energia Magne´tica
I A energia em um indutor e´, na realidade,
armazenada no campo magne´tico no
interior da bobina.
I Da mesma forma, que a energia ele´trica e´
armazenada no campo ele´trico no interior
de um capacitor.
I Para um soleno´ide toroidal ideal temos que:
L =
µ0N2A
2pir
U =
1
2
LI2
U =
1
2
µ0N2A
2pir
I2
I O campo magne´tico e a energia esta˜o
armazenados em um volume V = 2pirA.
I A densidade de energia magne´tica sera´
dada por:
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Energia do Campo Magne´tico
Densidade de Energia Magne´tica
I A energia em um indutor e´, na realidade,
armazenada no campo magne´tico no
interior da bobina.
I Da mesma forma, que a energia ele´trica e´
armazenada no campo ele´trico no interior
de um capacitor.
I Para um soleno´ide toroidal ideal temos que:
L =
µ0N2A
2pir
U =
1
2
LI2
U =
1
2
µ0N2A
2pir
I2
I O campo magne´tico e a energia esta˜o
armazenados em um volume V = 2pirA.
I A densidade de energia magne´tica sera´
dada por:
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Energia do Campo Magne´tico
Densidade de Energia Magne´tica
I A energia em um indutor e´, na realidade,
armazenada no campo magne´tico no
interior da bobina.
I Da mesma forma, que a energia ele´trica e´
armazenada no campo ele´trico no interior
de um capacitor.
I Para um soleno´ide toroidal ideal temos que:
L =
µ0N2A
2pir
U =
1
2
LI2
U =
1
2
µ0N2A
2pir
I2
I O campo magne´tico e a energia esta˜o
armazenados em um volume V = 2pirA.
I A densidade de energia magne´tica sera´
dada por:
u =
U
V
u =
1
2
µ0N2A
2pir
I2
1
2pirA
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Energia do Campo Magne´tico
Densidade de Energia Magne´tica
I A energia em um indutor e´, na realidade,
armazenada no campo magne´tico no
interior da bobina.
I Da mesma forma, que a energia ele´trica e´
armazenada no campo ele´trico no interior
de um capacitor.
I Para um soleno´ide toroidal ideal temos que:
L =
µ0N2A
2pir
U =
1
2
LI2
U =
1
2
µ0N2A
2pir
I2
I O campo magne´tico e a energia esta˜o
armazenados em um volume V = 2pirA.
I A densidade de energia magne´tica sera´
dada por:
u =
U
V
u =
1
2
µ0N2A
2pir
I2
1
2pirA
u =
1
2
µ0
N2I2
(2pir)2
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Energia do Campo Magne´tico
Densidade de Energia Magne´tica
I A energia em um indutor e´, na realidade,
armazenada no campo magne´tico no
interior da bobina.
I Da mesma forma, que a energia ele´trica e´
armazenada no campo ele´trico no interior
de um capacitor.
I Para um soleno´ide toroidal ideal temos que:
L =
µ0N2A
2pir
U =
1
2
LI2
U =
1
2
µ0N2A
2pir
I2
I O campo magne´tico e a energia esta˜o
armazenados em um volume V = 2pirA.
I A densidade de energia magne´tica sera´
dada por:
u =
U
V
u =
1
2
µ0N2A
2pir
I2
1
2pirA
u =
1
2
µ0
N2I2
(2pir)2
B2
µ20
=
N2I2
(2pir)2
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Energia do Campo Magne´tico
Densidade de Energia Magne´tica
I A energia em um indutor e´, na realidade,
armazenada no campo magne´tico no
interior da bobina.
I Da mesma forma, que a energia ele´trica e´
armazenada no campo ele´trico no interior
de um capacitor.
I Para um soleno´ide toroidal ideal temos que:
L =
µ0N2A
2pir
U =
1
2
LI2
U =
1
2
µ0N2A
2pir
I2
I O campo magne´tico e a energia esta˜o
armazenados em um volume V = 2pirA.
I A densidade de energia magne´tica sera´
dada por:
u =
U
V
u =
1
2
µ0N2A
2pir
I2
1
2pirA
u =
1
2
µ0
N2I2
(2pir)2
B2
µ20
=
N2I2
(2pir)2
u =
1
2
B2
µ0
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
Energia do Campo Magne´tico
Densidade de Energia Magne´tica e Ele´trica
I A densidade de energia ele´trica e´ dada
por:
u =
1
2
�0E
2
I A densidade de energia magne´tica e´ dada
por:
u =
1
2
B2
µ0
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
I Considere o circuito R-L.
I Fechando a chave S1 em t = 0 temos:
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
I Considere o circuito R-L.
I Fechando a chave S1 em t = 0 temos:
0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)
dt
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
I Considere o circuito R-L.
I Fechando a chave S1 em t = 0 temos:
0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)
dt
u(t) = ε− Ri(t)
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
I Considere o circuito R-L.
I Fechando a chave S1 em t = 0 temos:
0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)
dt
u(t) = ε− Ri(t)
di(t)
dt
= − 1
R
du(t)
dt
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
I Considere o circuito R-L.
I Fechando a chave S1 em t = 0 temos:
0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)
dt
u(t) = ε− Ri(t)
di(t)
dt
= − 1
R
du(t)
dt
0 = u(t) +
L
R
du(t)
dt
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
I Considere o circuito R-L.
I Fechando a chave S1 em t = 0 temos:
0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)
dt
u(t) = ε− Ri(t)
di(t)
dt
= − 1
R
du(t)
dt
0 = u(t) +
L
R
du(t)
dt
du(t)
u(t)
= −R
L
dt
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
I Considere o circuito R-L.
I Fechando a chave S1 em t = 0 temos:
0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)
dt
u(t) = ε− Ri(t)
di(t)
dt
= − 1
R
du(t)
dt
0 = u(t) +
L
R
du(t)
dt
du(t)
u(t)
= −R
L
dt∫
du(t)
u(t)
= −
∫
R
L
dt
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
I Considere o circuito R-L.
I Fechando a chave S1 em t = 0 temos:
0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)
dt
u(t) = ε− Ri(t)
di(t)
dt
= − 1
R
du(t)
dt
0 = u(t) +
L
R
du(t)
dt
du(t)
u(t)
= −R
L
dt∫
du(t)
u(t)
= −
∫
R
L
dt
ln[u(t)] = −R
L
t + A1 ; τL =
L
R
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)
dt
u(t) = ε− Ri(t)
di(t)
dt
= − 1
R
du(t)
dt
0 = u(t) +
L
R
du(t)
dt
du(t)
u(t)
= −R
L
dt∫
du(t)
u(t)
= −
∫
R
L
dt
ln[u(t)] = −R
L
t + A1 ; τL =
L
R
u(t) = A exp[−t/τL] = ε− Ri(t)
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)
dt
u(t) = ε− Ri(t)
di(t)
dt
= − 1
R
du(t)
dt0 = u(t) +
L
R
du(t)
dt
du(t)
u(t)
= −R
L
dt∫
du(t)
u(t)
= −
∫
R
L
dt
ln[u(t)] = −R
L
t + A1 ; τL =
L
R
u(t) = A exp[−t/τL] = ε− Ri(t)
i(t) =
1
R
(ε− Ae−t/τL )
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)
dt
u(t) = ε− Ri(t)
di(t)
dt
= − 1
R
du(t)
dt
0 = u(t) +
L
R
du(t)
dt
du(t)
u(t)
= −R
L
dt∫
du(t)
u(t)
= −
∫
R
L
dt
ln[u(t)] = −R
L
t + A1 ; τL =
L
R
u(t) = A exp[−t/τL] = ε− Ri(t)
i(t) =
1
R
(ε− Ae−t/τL )
I Em t = 0
[
di(t)
dt
]
t=0
6= 0 e i(0) = 0,
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)
dt
u(t) = ε− Ri(t)
di(t)
dt
= − 1
R
du(t)
dt
0 = u(t) +
L
R
du(t)
dt
du(t)
u(t)
= −R
L
dt∫
du(t)
u(t)
= −
∫
R
L
dt
ln[u(t)] = −R
L
t + A1 ; τL =
L
R
u(t) = A exp[−t/τL] = ε− Ri(t)
i(t) =
1
R
(ε− Ae−t/τL )
I Em t = 0
[
di(t)
dt
]
t=0
6= 0 e i(0) = 0,
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)
dt
u(t) = ε− Ri(t)
di(t)
dt
= − 1
R
du(t)
dt
0 = u(t) +
L
R
du(t)
dt
du(t)
u(t)
= −R
L
dt∫
du(t)
u(t)
= −
∫
R
L
dt
ln[u(t)] = −R
L
t + A1 ; τL =
L
R
u(t) = A exp[−t/τL] = ε− Ri(t)
i(t) =
1
R
(ε− Ae−t/τL )
I Em t = 0
[
di(t)
dt
]
t=0
6= 0 e i(0) = 0,
[
di(t)
dt
]
t=0
=
ε
L[
di(t)
dt
]
t=0
=
1
R
[
dε
dt
+
A
τL
e−t/τL
]
t=0
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)
dt
u(t) = ε− Ri(t)
di(t)
dt
= − 1
R
du(t)
dt
0 = u(t) +
L
R
du(t)
dt
du(t)
u(t)
= −R
L
dt∫
du(t)
u(t)
= −
∫
R
L
dt
ln[u(t)] = −R
L
t + A1 ; τL =
L
R
u(t) = A exp[−t/τL] = ε− Ri(t)
i(t) =
1
R
(ε− Ae−t/τL )
I Em t = 0
[
di(t)
dt
]
t=0
6= 0 e i(0) = 0,
[
di(t)
dt
]
t=0
=
ε
L[
di(t)
dt
]
t=0
=
1
R
[
dε
dt
+
A
τL
e−t/τL
]
t=0
ε
L
=
A
RτL
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)
dt
u(t) = ε− Ri(t)
di(t)
dt
= − 1
R
du(t)
dt
0 = u(t) +
L
R
du(t)
dt
du(t)
u(t)
= −R
L
dt∫
du(t)
u(t)
= −
∫
R
L
dt
ln[u(t)] = −R
L
t + A1 ; τL =
L
R
u(t) = A exp[−t/τL] = ε− Ri(t)
i(t) =
1
R
(ε− Ae−t/τL )
I Em t = 0
[
di(t)
dt
]
t=0
6= 0 e i(0) = 0,
[
di(t)
dt
]
t=0
=
ε
L[
di(t)
dt
]
t=0
=
1
R
[
dε
dt
+
A
τL
e−t/τL
]
t=0
ε
L
=
A
RτL
A =
εRτL
L
=
εR
L
L
R
= ε
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
0 = ε− Ri(t)− Ldi(t)
dt
u(t) = ε− Ri(t)
di(t)
dt
= − 1
R
du(t)
dt
0 = u(t) +
L
R
du(t)
dt
du(t)
u(t)
= −R
L
dt∫
du(t)
u(t)
= −
∫
R
L
dt
ln[u(t)] = −R
L
t + A1 ; τL =
L
R
u(t) = A exp[−t/τL] = ε− Ri(t)
i(t) =
1
R
(ε− Ae−t/τL )
I Em t = 0
[
di(t)
dt
]
t=0
6= 0 e i(0) = 0,
[
di(t)
dt
]
t=0
=
ε
L[
di(t)
dt
]
t=0
=
1
R
[
dε
dt
+
A
τL
e−t/τL
]
t=0
ε
L
=
A
RτL
A =
εRτL
L
=
εR
L
L
R
= ε
i(t) =
ε
R
(1− e−t/τL )
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L
Aumento da corrente em um circuito R-L
I Em t = 0
[
di(t)
dt
]
t=0
6= 0 e i(0) = 0,
[
di(t)
dt
]
t=0
=
ε
L[
di(t)
dt
]
t=0
=
1
R
[
dε
dt
+
A
τL
e−t/τL
]
t=0
ε
L
=
A
RτL
A =
εRτL
L
=
εR
L
L
R
= ε
i(t) =
ε
R
(1− e−t/τL )
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L
Diminuic¸a˜o da corrente em um circuito R-L
I Considere o circuito R-L.
I Se S1 esta´ muito tempo fechada I (∞) = εR .
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L
Diminuic¸a˜o da corrente em um circuito R-L I Considere o circuito R-L.
I Se S1 esta´ muito tempo fechada I (∞) = εR .
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L
Diminuic¸a˜o da corrente em um circuito R-L
I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no
novo tempo t = 0 temos,
I Considere o circuito R-L.
I Se S1 esta´ muito tempo fechada I (∞) = εR .
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L
Diminuic¸a˜o da corrente em um circuito R-L
I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no
novo tempo t = 0 temos,
0 = −Ri(t)− Ldi(t)
dt
I Considere o circuito R-L.
I Se S1 esta´ muito tempo fechada I (∞) = εR .
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L
Diminuic¸a˜o da corrente em um circuito R-L
I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no
novo tempo t = 0 temos,
0 = −Ri(t)− Ldi(t)
dt
di(t)
dt
= −R
L
i(t)
I Considere o circuito R-L.
I Se S1 esta´ muito tempo fechada I (∞) = εR .
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L
Diminuic¸a˜o da corrente em um circuito R-L
I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no
novo tempo t = 0 temos,
0 = −Ri(t)− Ldi(t)
dt
di(t)
dt
= −R
L
i(t)∫
di(t)
i(t)
= −
∫
R
L
dt
I Considere o circuito R-L.
I Se S1 esta´ muito tempo fechada I (∞) = εR .
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L
Diminuic¸a˜o da corrente em um circuito R-L
I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no
novo tempo t = 0 temos,
0 = −Ri(t)− Ldi(t)
dt
di(t)
dt
= −R
L
i(t)∫
di(t)
i(t)
= −
∫
R
L
dt
ln[i(t)] = −R
L
t + A1 ; τL =
L
R
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L
Diminuic¸a˜o da corrente em um circuito R-L
I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no
novo tempo t = 0 temos,
0 = −Ri(t)− Ldi(t)
dt
di(t)
dt
= −R
L
i(t)∫
di(t)
i(t)
= −
∫
R
L
dt
ln[i(t)] = −R
L
t + A1 ; τL =
L
R
i(t) = A exp[−t/τL]
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L
Diminuic¸a˜o da corrente em um circuito R-L
I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no
novo tempo t = 0 temos,
0 = −Ri(t)− Ldi(t)
dt
di(t)
dt
= −R
L
i(t)∫
di(t)
i(t)
= −
∫
R
L
dt
ln[i(t)] = −R
L
t + A1 ; τL =
L
R
i(t) = A exp[−t/τL]
i(∞) = i0 = ε
R
= A
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L
Diminuic¸a˜o da corrente em um circuito R-L
I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no
novo tempo t = 0 temos,
0 = −Ri(t)− Ldi(t)
dt
di(t)
dt
= −R
L
i(t)∫
di(t)
i(t)
= −
∫
R
L
dt
ln[i(t)] = −R
L
t + A1 ; τL =
L
R
i(t) = A exp[−t/τL]
i(∞) = i0 = ε
R
= A
i(t) = i0 exp[−t/τL]
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L
Diminuic¸a˜o da corrente em um circuito R-L
I Fechando a chave S2 e abrindo S1 no
novo tempo t = 0 temos,
0 = −Ri(t)− Ldi(t)
dt
di(t)
dt
= −R
L
i(t)∫
di(t)
i(t)
= −
∫
R
L
dt
ln[i(t)] = −R
L
t + A1 ; τL =
L
R
i(t) = A exp[−t/τL]
i(∞) = i0 = ε
R
= A
i(t) = i0 exp[−t/τL]
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,
0 = −q(t)
C
− Ldi(t)
dt
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,
0 = −q(t)
C
− Ldi(t)
dt
i(t) =
dq(t)
dt
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,
0 = −q(t)
C
− Ldi(t)
dt
i(t) =
dq(t)
dt
d2q(t)
dt2
= − 1
LC
q(t) = −ω20q(t)
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,
0 = −q(t)
C
− Ldi(t)dt
i(t) =
dq(t)
dt
d2q(t)
dt2
= − 1
LC
q(t) = −ω20q(t)
q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,
0 = −q(t)
C
− Ldi(t)
dt
i(t) =
dq(t)
dt
d2q(t)
dt2
= − 1
LC
q(t) = −ω20q(t)
q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq˜(t)
dt
= λqeλt
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,
0 = −q(t)
C
− Ldi(t)
dt
i(t) =
dq(t)
dt
d2q(t)
dt2
= − 1
LC
q(t) = −ω20q(t)
q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq˜(t)
dt
= λqeλt
d2q˜(t)
dt2
= λ2qeλt = λ2q˜(t)
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,
0 = −q(t)
C
− Ldi(t)
dt
i(t) =
dq(t)
dt
d2q(t)
dt2
= − 1
LC
q(t) = −ω20q(t)
q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq˜(t)
dt
= λqeλt
d2q˜(t)
dt2
= λ2qeλt = λ2q˜(t)
λ2 = −ω20 ⇒ λ = iω0 ; ω0 =
1√
LC
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,
0 = −q(t)
C
− Ldi(t)
dt
i(t) =
dq(t)
dt
d2q(t)
dt2
= − 1
LC
q(t) = −ω20q(t)
q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq˜(t)
dt
= λqeλt
d2q˜(t)
dt2
= λ2qeλt = λ2q˜(t)
λ2 = −ω20 ⇒ λ = iω0 ; ω0 =
1√
LC
q˜(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,
0 = −q(t)
C
− Ldi(t)
dt
i(t) =
dq(t)
dt
d2q(t)
dt2
= − 1
LC
q(t) = −ω20q(t)
q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq˜(t)
dt
= λqeλt
d2q˜(t)
dt2
= λ2qeλt = λ2q˜(t)
λ2 = −ω20 ⇒ λ = iω0 ; ω0 =
1√
LC
q˜(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)
i˜(t) =
dq˜(t)
dt
= Aiω0e
i(ω0t+φ)
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,
0 = −q(t)
C
− Ldi(t)
dt
i(t) =
dq(t)
dt
d2q(t)
dt2
= − 1
LC
q(t) = −ω20q(t)
q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq˜(t)
dt
= λqeλt
d2q˜(t)
dt2
= λ2qeλt = λ2q˜(t)
λ2 = −ω20 ⇒ λ = iω0 ; ω0 =
1√
LC
q˜(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)
i˜(t) =
dq˜(t)
dt
= Aiω0e
i(ω0t+φ)
e±iθ = cos(θ)± i sin(θ)
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,
0 = −q(t)
C
− Ldi(t)
dt
i(t) =
dq(t)
dt
d2q(t)
dt2
= − 1
LC
q(t) = −ω20q(t)
q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq˜(t)
dt
= λqeλt
d2q˜(t)
dt2
= λ2qeλt = λ2q˜(t)
λ2 = −ω20 ⇒ λ = iω0 ; ω0 =
1√
LC
q˜(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)
i˜(t) =
dq˜(t)
dt
= Aiω0e
i(ω0t+φ)
e±iθ = cos(θ)± i sin(θ)
q˜(t) = A[cos(ω0t + φ) + i sin(ω0t + φ)]
i˜(t) = Aω0[i cos(ω0t + φ)− sin(ω0t + φ)]
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,
0 = −q(t)
C
− Ldi(t)
dt
i(t) =
dq(t)
dt
d2q(t)
dt2
= − 1
LC
q(t) = −ω20q(t)
q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq˜(t)
dt
= λqeλt
d2q˜(t)
dt2
= λ2qeλt = λ2q˜(t)
λ2 = −ω20 ⇒ λ = iω0 ; ω0 =
1√
LC
q˜(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)
i˜(t) =
dq˜(t)
dt
= Aiω0e
i(ω0t+φ)
e±iθ = cos(θ)± i sin(θ)
q˜(t) = A[cos(ω0t + φ) + i sin(ω0t + φ)]
i˜(t) = Aω0[i cos(ω0t + φ)− sin(ω0t + φ)]
q(t) = Re[q˜(t)] = A cos(ω0t + φ)
i(t) = Re[i˜(t)] = −Aω0 sin(ω0t + φ)
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,
0 = −q(t)
C
− Ldi(t)
dt
i(t) =
dq(t)
dt
d2q(t)
dt2
= − 1
LC
q(t) = −ω20q(t)
q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq˜(t)
dt
= λqeλt
d2q˜(t)
dt2
= λ2qeλt = λ2q˜(t)
λ2 = −ω20 ⇒ λ = iω0 ; ω0 =
1√
LC
q˜(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)
i˜(t) =
dq˜(t)
dt
= Aiω0e
i(ω0t+φ)
e±iθ = cos(θ)± i sin(θ)
q˜(t) = A[cos(ω0t + φ) + i sin(ω0t + φ)]
i˜(t) = Aω0[i cos(ω0t + φ)− sin(ω0t + φ)]
q(t) = Re[q˜(t)] = A cos(ω0t + φ)
i(t) = Re[i˜(t)] = −Aω0 sin(ω0t + φ)
q(t = 0) = q0 = A cos(φ)
i(t = 0) = i0 = −Aω0 sin(φ)
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito L-C
O Circuito L-C
I Em t = 0 considere q(t = 0) = q0,
0 = −q(t)
C
− Ldi(t)
dt
i(t) =
dq(t)
dt
d2q(t)
dt2
= − 1
LC
q(t) = −ω20q(t)
q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq˜(t)
dt
= λqeλt
d2q˜(t)
dt2
= λ2qeλt = λ2q˜(t)
λ2 = −ω20 ⇒ λ = iω0 ; ω0 =
1√
LC
q˜(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)
i˜(t) =
dq˜(t)
dt
= Aiω0e
i(ω0t+φ)
e±iθ = cos(θ)± i sin(θ)
q˜(t) = A[cos(ω0t + φ) + i sin(ω0t + φ)]
i˜(t) = Aω0[i cos(ω0t + φ)− sin(ω0t + φ)]
q(t) = Re[q˜(t)] = A cos(ω0t + φ)
i(t) = Re[i˜(t)] = −Aω0 sin(ω0t + φ)
q(t = 0) = q0 = A cos(φ)
i(t = 0) = i0 = −Aω0 sin(φ)
A =
√
q20 + (i0/ω0)
2
φ = arctan
[
− i0
q0ω0
]
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L-C em se´rie
O Circuito R-L-C em se´rie
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L-C em se´rie
O Circuito R-L-C em se´rie
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
0 = −Ldi(t)
dt
− Ri(t)− q(t)
C
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L-C em se´rie
O Circuito R-L-C em se´rie
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
0 = −Ldi(t)
dt
− Ri(t)− q(t)
C
0 =
d2q(t)
dt2
+
R
L
dq(t)
dt
+
1
LC
q(t)
0 =
d2q(t)
dt2
+ 2γ
dq(t)
dt
+ ω20q(t)
ω0 =
1√
LC
; γ =
R
2L
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L-C em se´rie
O Circuito R-L-C em se´rie
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
0 = −Ldi(t)
dt
− Ri(t)− q(t)
C
0 =
d2q(t)
dt2
+
R
L
dq(t)
dt
+
1
LC
q(t)
0 =
d2q(t)
dt2
+ 2γ
dq(t)
dt
+ ω20q(t)
ω0 =
1√
LC
; γ =
R
2L
q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq˜(t)
dt
= λqeλt
d2q˜(t)
dt2
= λ2qeλt = λ2q˜(t)
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L-C em se´rie
O Circuito R-L-C em se´rie
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
0 = −Ldi(t)
dt
− Ri(t)− q(t)
C
0 =
d2q(t)
dt2
+
R
L
dq(t)
dt
+
1
LC
q(t)
0 =
d2q(t)
dt2
+ 2γ
dq(t)
dt
+ ω20q(t)
ω0 =
1√
LC
; γ =
R
2L
q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq˜(t)
dt
= λqeλt
d2q˜(t)
dt2
= λ2qeλt = λ2q˜(t)
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L-C em se´rie
O Circuito R-L-C em se´rie
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
0 = −Ldi(t)
dt
− Ri(t)− q(t)
C
0 =
d2q(t)
dt2
+
R
L
dq(t)
dt
+
1
LC
q(t)
0 =
d2q(t)
dt2
+ 2γ
dq(t)
dt
+ ω20q(t)
ω0 =
1√
LC
; γ =
R
2L
q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq˜(t)
dt
= λqeλt
d2q˜(t)
dt2
= λ2qeλt = λ2q˜(t)
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L-C em se´rie
O Circuito R-L-C em se´rie
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
0 = −Ldi(t)
dt
− Ri(t)− q(t)
C
0 =
d2q(t)
dt2
+
R
L
dq(t)
dt
+
1
LC
q(t)
0 =
d2q(t)
dt2
+ 2γ
dq(t)
dt
+ ω20q(t)
ω0 =
1√
LC
; γ =
R
2L
q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq˜(t)
dt
= λqeλt
d2q˜(t)
dt2
= λ2qeλt = λ2q˜(t)
0 = λ2 + 2γλ+ ω20
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L-C em se´rie
O Circuito R-L-C em se´rie
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
0 = −Ldi(t)
dt
− Ri(t)− q(t)
C
0 =
d2q(t)
dt2
+
R
L
dq(t)
dt
+
1
LC
q(t)
0 =
d2q(t)
dt2
+ 2γ
dq(t)
dt
+ ω20q(t)
ω0 =
1√
LC
; γ =
R
2L
q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq˜(t)
dt
= λqeλt
d2q˜(t)
dt2
= λ2qeλt = λ2q˜(t)
0 = λ2 + 2γλ+ ω20
λ = −γ ±
√
γ2 − ω20 = −γ ± ω2
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L-C em se´rie
O Circuito R-L-C em se´rie
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞)= εC ,
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
0 = −Ldi(t)
dt
− Ri(t)− q(t)
C
0 =
d2q(t)
dt2
+
R
L
dq(t)
dt
+
1
LC
q(t)
0 =
d2q(t)
dt2
+ 2γ
dq(t)
dt
+ ω20q(t)
ω0 =
1√
LC
; γ =
R
2L
q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq˜(t)
dt
= λqeλt
d2q˜(t)
dt2
= λ2qeλt = λ2q˜(t)
0 = λ2 + 2γλ+ ω20
λ = −γ ±
√
γ2 − ω20 = −γ ± ω2
ω1 =
√
ω20 − γ2
1. Se ω0 = γ, λ = −γ (amortecimento-cr´ıtico),
2. Se ω0 > γ, λ = −γ ± iω1 (subamortecido),
3. Se ω0 < γ, λ = −γ ± ω2 (superamortecido).
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L-C em se´rie
O Circuito R-L-C em se´rie
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
0 = −Ldi(t)
dt
− Ri(t)− q(t)
C
0 =
d2q(t)
dt2
+
R
L
dq(t)
dt
+
1
LC
q(t)
0 =
d2q(t)
dt2
+ 2γ
dq(t)
dt
+ ω20q(t)
ω0 =
1√
LC
; γ =
R
2L
q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq˜(t)
dt
= λqeλt
d2q˜(t)
dt2
= λ2qeλt = λ2q˜(t)
0 = λ2 + 2γλ+ ω20
λ = −γ ±
√
γ2 − ω20 = −γ ± ω2
ω1 =
√
ω20 − γ2
1. Se ω0 = γ, λ = −γ (amortecimento-cr´ıtico),
2. Se ω0 > γ, λ = −γ ± iω1 (subamortecido),
3. Se ω0 < γ, λ = −γ ± ω2 (superamortecido).
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L-C em se´rie
O Circuito R-L-C em se´rie
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
0 = −Ldi(t)
dt
− Ri(t)− q(t)
C
0 =
d2q(t)
dt2
+
R
L
dq(t)
dt
+
1
LC
q(t)
0 =
d2q(t)
dt2
+ 2γ
dq(t)
dt
+ ω20q(t)
ω0 =
1√
LC
; γ =
R
2L
q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq˜(t)
dt
= λqeλt
d2q˜(t)
dt2
= λ2qeλt = λ2q˜(t)
0 = λ2 + 2γλ+ ω20
λ = −γ ±
√
γ2 − ω20 = −γ ± ω2
ω1 =
√
ω20 − γ2
1. Se ω0 = γ, λ = −γ (amortecimento-cr´ıtico),
2. Se ω0 > γ, λ = −γ ± iω1 (subamortecido),
3. Se ω0 < γ, λ = −γ ± ω2 (superamortecido).
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L-C em se´rie
O Circuito R-L-C em se´rie
I Em −∞ ≤ t < 0, q(t = −∞) = εC ,
I Em t = 0 temos q(t = 0) = q0 = εC ,
0 = −Ldi(t)
dt
− Ri(t)− q(t)
C
0 =
d2q(t)
dt2
+
R
L
dq(t)
dt
+
1
LC
q(t)
0 =
d2q(t)
dt2
+ 2γ
dq(t)
dt
+ ω20q(t)
ω0 =
1√
LC
; γ =
R
2L
q˜(t) = qeλt ; q = Ae iφ
dq˜(t)
dt
= λqeλt
d2q˜(t)
dt2
= λ2qeλt = λ2q˜(t)
0 = λ2 + 2γλ+ ω20
λ = −γ ±
√
γ2 − ω20 = −γ ± ω2
ω1 =
√
ω20 − γ2
1. Se ω0 = γ, λ = −γ (amortecimento-cr´ıtico),
2. Se ω0 > γ, λ = −γ ± iω1 (subamortecido),
3. Se ω0 < γ, λ = −γ ± ω2 (superamortecido).
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L-C em se´rie
O Circuito R-L-C em se´rie
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L-C em se´rie
O Circuito R-L-C em se´rie
q˜(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)
i˜(t) =
dq˜(t)
dt
= Aiω0e
i(ω0t+φ)
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L-C em se´rie
O Circuito R-L-C em se´rie
q˜(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)
i˜(t) =
dq˜(t)
dt
= Aiω0e
i(ω0t+φ)
e±iθ = cos(θ)± i sin(θ)
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L-C em se´rie
O Circuito R-L-C em se´rie
q˜(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)
i˜(t) =
dq˜(t)
dt
= Aiω0e
i(ω0t+φ)
e±iθ = cos(θ)± i sin(θ)
q˜(t) = A[cos(ω0t + φ) + i sin(ω0t + φ)]
i˜(t) = Aω0[i cos(ω0t + φ)− sin(ω0t + φ)]
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L-C em se´rie
O Circuito R-L-C em se´rie
q˜(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)
i˜(t) =
dq˜(t)
dt
= Aiω0e
i(ω0t+φ)
e±iθ = cos(θ)± i sin(θ)
q˜(t) = A[cos(ω0t + φ) + i sin(ω0t + φ)]
i˜(t) = Aω0[i cos(ω0t + φ)− sin(ω0t + φ)]
q(t) = Re[q˜(t)] = A cos(ω0t + φ)
i(t) = Re[i˜(t)] = −Aω0 sin(ω0t + φ)
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L-C em se´rie
O Circuito R-L-C em se´rie
q˜(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)
i˜(t) =
dq˜(t)
dt
= Aiω0e
i(ω0t+φ)
e±iθ = cos(θ)± i sin(θ)
q˜(t) = A[cos(ω0t + φ) + i sin(ω0t + φ)]
i˜(t) = Aω0[i cos(ω0t + φ)− sin(ω0t + φ)]
q(t) = Re[q˜(t)] = A cos(ω0t + φ)
i(t) = Re[i˜(t)] = −Aω0 sin(ω0t + φ)
q(t = 0) = q0 = A cos(φ)
i(t = 0) = i0 = −Aω0 sin(φ)
Cap´ıtulo 30 - Indutaˆncia
O Circuito R-L-C em se´rie
O Circuito R-L-C em se´rie
q˜(t) = Ae iφe iω0t = Ae i(ω0t+φ)
i˜(t) =
dq˜(t)
dt
= Aiω0e
i(ω0t+φ)
e±iθ = cos(θ)± i sin(θ)
q˜(t) = A[cos(ω0t + φ) + i sin(ω0t + φ)]
i˜(t) = Aω0[i cos(ω0t + φ)− sin(ω0t + φ)]
q(t) = Re[q˜(t)] = A cos(ω0t + φ)
i(t) = Re[i˜(t)] = −Aω0 sin(ω0t + φ)
q(t = 0) = q0 = A cos(φ)
i(t = 0) = i0 = −Aω0 sin(φ)
A =
√
q20 + (i0/ω0)
2
φ = arctan
[
− i0
q0ω0
]
	Introdução
	Indutância Mútua
	Indutores e Auto-Indutância
	Energia do Campo Magnético
	O Circuito R-L
	O Circuito L-C
	O Circuito R-L-C em série