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Lista de Exerc´ıcios: Distribuic¸o˜es de Probabilidade
1. Um caminho para se chegar a uma festa pode ser dividido em treˆs etapas. Sem enganos o trajeto sera´ feito em 1
hora. Se enganos acontecem na primeira etapa acrescente 10 minutos ao tempo do trajeto. Para enganos na segunda
etapa, o acre´scimo e´ de 20 e, para a terceira, 30 minutos. Admita que a probabilidade de engano e´ de 0, 1, 0, 2 e 0, 3
para a primeira, segunda e terceira etapas, respectivamente. E´ prova´vel haver atraso na chegada a` festa? Determine a
probabilidade de haver atraso mas o atraso na˜o passar de 40 minutos. R. 0,496 e 0,436
2. Na manufatura de uma artigo e´ sabido que um entre dez artigos e´ defeituoso. Qual a probabilidade de que em uma
amostra casual de tamanho quatro contenha:
a) nenhum defeituoso? b) exatamente um defeituoso? c) exatamente dois defeituosos? d) na˜o mais do que dois
defeituosos?
R. a. 0,656 b. 0,292 c. 0,049 d. 0,996
3. Uma certa doenc¸a pode ser curada atrave´s de procedimento ciru´rgico em 80% dos casos. Dentre os que teˆm essa doenc¸a,
sorteamos 15 pacientes que sera˜o submetidos a` cirurgia. Fazendo alguma suposic¸a˜o adicional que julgar necessa´ria,
responda qual a probabilidade de:
a) Todos serem curados? b) Pelo menos dois serem curados? c) Ao menos 10 ficarem livres da doenc¸a?
4. A varia´vel aleato´ria Y tem densidade Poisson com paraˆmetros λ = 2. Obtenha:
a) P(Y < 2) b) P(2 ≤ Y < 4) c) P(Y > 0) d) P(Y = 1|Y < 3)
5. A aplicac¸a˜o de fundo anti-corrosivo em chapas de ac¸o de 1m2 e´ feita mecanicamente e pode produzir defeitos (pequenas
bolhas na pintura), de acordo com uma v.a Poisson de paraˆmetro λ = 1 por m2. Uma chapa e´ sorteada ao acaso para
ser inspecionada, pergunta-se a probabilidade de:
a) Encontrarmos pelo menos 1 defeito;
b) No ma´ximo 2 defeitos serem encontrados;
c) Encontrarmos de 2 a 4 defeitos;
d) Na˜o mais de 1 defeito ser encontrado.
R. a. 0,632 b. 0,92 c. 0,261 d. 0,736
6. Estat´ısticas de acidentes, num trecho da rodovia SP330, indicam a probabilidade 0, 05 de haver um acidente durante
a madrugada (24 a`s 6h). Em ocorrendo um acidente nesse per´ıodo, a chance de gerar v´ıtimas e´ de 0, 5. Ainda
considerando o per´ıodo acima, se acontece um acidente com v´ıtima, ela sera´ fatal com probabilidade 0, 1. O servic¸o de
ajuda aos usua´rios utiliza 2 ve´ıculos na inspec¸a˜o de tra´fego naquela a´rea. A esse nu´mero, acrescentamos mais 2 ve´ıculos
se houver acidente. Se o acidente tem v´ıtimas, acrescente mais 2 ve´ıculos e, acrescente mais 1 ve´ıculo se a v´ıtima for
fatal. Encontre a func¸a˜o de probabilidade da varia´vel aleato´ria nu´mero de ve´ıculos em servic¸o de aux´ılio nessa estrada
durante a madrugada.
7. Um fabricante de pec¸as de automo´veis garante que uma caixa de suas pec¸as contera´, no ma´ximo, duas defeituosas. Se a
caixa conte´m 18 pec¸as, e a experieˆncia tem mostrado que esse processo de fabricac¸a˜o produz 5% das pec¸as defeituosas,
qual a probabilidade de que uma caixa satisfac¸a a garantia? R. 0,9418
8. Uma indu´stria de tintas recebe pedidos de seus vendedores atrave´s de fax, telefone e internet. O nu´mero de pedidos que
chegam por qualquer meio (no hora´rio comercial) e´ uma v.a discreta com distribuic¸a˜o Poisson com taxa de 5 pedidos
por hora.
a) Calcule a probabilidade de mais de 2 pedidos por hora.
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b) Em um dia de trabalho (8 horas), qual seria a probabilidade de haver 50 pedidos?
c) Na˜o haver nenhum pedido, em um dia de trabalho, e´ um evento raro?
R. a. 0,875 b. 0,018 c. exp(−40)
9. Um curso de treinamento aumenta a produtividade de uma certa populac¸a˜o de funciona´rios em 80% dos casos. Se dez
funciona´rios quaisquer participam desse curso, encontre a probabilidade de:
a) exatamente sete funciona´rios aumentarem a produtividade;
b) na˜o mais do que oito funciona´rios aumentarem a produtividade;
c) pelo menos treˆs funciona´rios na˜o aumentarem a produtividade.
R. a. 0, 2013 b. 0, 6242 c. 0, 3222
10. Sendo X ∼ Exp(1), determine:
a) P (0 < X < 2) b) P (X < 2) c) P (1 < X < 4)
d) P (X > 3) e) P (X < 2|X > 1)
R. a. 0, 865 b. 0, 865 c. 0, 350 d. 0, 050 e. 0, 633
11. O peso bruto de latas de conserva e´ uma v.a normal, com me´dia 1.000g e desvio de 20g.
a) Qual a probabilidade de uma lata pesar menos de 980g?
b) Qual a probabilidade de uma lata pesar mais de 1.010g?
R. a. 0, 1587 b. 0, 3085
12. Seja X ∼ N(4, 1), determine:
a) P (X ≤ 4) b) P (4 < X < 5) c) P (2 ≤ X < 5)
d) P (5 ≤ X ≤ 7) e) P (X ≤ 1) f) P (0 ≤ X ≤ 2)
R. a. 0, 500 b. 0, 3413 c. 0, 8185 d. 0, 1574 e. 0, 0013 f. 0, 0228
13. Suponha que um mecanismo eletroˆnico tenha um tempo estimado de vida X (1.000 horas) que possa ser considerado
uma v.a cont´ınua com f.d.p, f(x) = exp(−x), x > 0 . Suponha que o custo de fabricac¸a˜o de um item seja 2,00 reais e
o prec¸o de vendas 5,00 reais. O fabricante garante total devoluc¸a˜o se X ≤ 0, 9. Qual e´ o lucro esperado do item. 0, 033
14. Estudos meteorolo´gicos indicam que a precipitac¸a˜o pluviome´trica mensal, em per´ıodos de seca numa certa regia˜o, pode
ser considerada como seguindo a distribuic¸a˜o Normal de me´dia 30mm e variaˆncia de 16mm2.
a) Qual seria o valor da precipitac¸a˜o pluviome´trica de modo que exista apenas 10% de probabilidade de haver uma
precipitac¸a˜o inferior a esse valor?
b) Construa um intervalo central em torno da me´dia que contenha 80% dos poss´ıveis valores de precipitac¸a˜o plu-
viome´trica.
c) Admitindo esse modelo correto para os pro´ximos 50 meses, em quantos deles esperar´ıamos uma precipitac¸a˜o plu-
viome´trica superior a 34 mm?
R. a. 24,88 b. [24,88; 35,12] c. aprox. 8 meses
15. Uma fa´brica tem tubos de TV determinou que a vida me´dia dos tubos se sua fabricac¸a˜o e´ de 800 horas de uso cont´ınuo
e segue distribuic¸a˜o exponencial. Qual a probabilidade de que a fa´brica tenha de substituir um tubo gratuitamente, se
oferece uma garantia de 300 horas de uso? R. 0, 3127
16. A distribuic¸a˜o de pesos de coelhos criados numa granja pode muito bem ser representada por uma distribuic¸a˜o normal,
com me´dia 5kg e desvio de 0, 8kg. Um abatedouro comprara´ 5.000 coelhos e pretende classifica´-los de acordo com o
peso, do seguinte modo: 20% dos leves como pequenos, os 55% seguintes como me´dios, os 15% seguintes como grandes
e os 10% mais pesados como extras. Quais os limites de peso para cada classe? R. 4, 33, 5, 54 e 6, 02
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