Prob_Aula_4

Prévia do material em texto

Modelos para variáveis aleatórias
contínuas
Prof. Danielle Peralta
9 de maio de 2013
Prof. Danielle Peralta Distribuição Normal
5. Variáveis Aleatórias Contínuas
I Definição: Uma variável aleatória contínua X é contínua em R se
existir uma função f (x) tal que:
I f (x) ≥ 0 não negativa;
I
∫∞
−∞ f (x)dx = 1
A função f (x) é chamada função densidade de probabilidade
(fdp). Observamos que:
P(a ≤ X ≤ b) =
∫ b
a
f (x)dx (1)
Prof. Danielle Peralta Distribuição Normal
5. Variáveis Aleatórias Contínuas
I Definição: A esperança é dada por:
E (X ) =
∫ ∞
−∞
xf (x)dx (2)
I e a variância, por:
Var(X ) = E (X 2)− [E (X )]2 (3)
onde
E (X 2) =
∫ ∞
−∞
x2f (x)dx (4)
Prof. Danielle Peralta Distribuição Normal
5.1 Distribuição Exponencial
A distribuição Exponencial tem aplicações em confiabilidade de sistemas.
Uma variável aleatória contínua T tem Distribuição Exponencial de
probabilidade se sua f.d.p é dada por:
f (t) = λ exp (−λt) para t ≥ 0 (5)
Esperança e variância da distribuição Exponencial é dada por:
E (T ) = 1/λ (6)
Var(T ) = 1/λ2 (7)
Prof. Danielle Peralta Distribuição Normal
Exemplo: Uma fábrica de tubos de TV determinou que a vida média dos
tubos de sua fabricação é de 800 hora de uso contínuo e segue
distribuição exponencial. Qual a probabilidade de que a fábrica tenha que
substituir um tubo integralmente, se oferece uma garantia de 300 horas
de uso?
Prof. Danielle Peralta Distribuição Normal
5.2 Distribuição Normal
Uma variável aleatória contínua X tem Distribuição Normal de
probabilidade se sua f.d.p é dada por:
f (x) = 1
σ
√
2pi
exp− 12 (
x−µ
σ )
2 para −∞ < x <∞ (8)
As principais características dessa função são:
I o ponto de máximo de f (x) é o ponto X = µ
I os pontos de inflexão da função são X = µ+ σ e X = µ− σ
I a curva é simétrica em relação a µ
I E (X ) = µ e VAR(X ) = σ2
Prof. Danielle Peralta Distribuição Normal
O gráfico da f (x) é dado por:
Prof. Danielle Peralta Distribuição Normal
Se quisermos calcular a probabilidade por exemplo, entre um intervalo a e
b, devemos proceder:
P(a ≤ X ≤ b) =
∫ b
a
1
σ
√
2pi
exp− 12 (
x−µ
σ )
2 dx (9)
que apresenta um grau relativo de dificuldade. Assim, fazemos uma
transformação na variável X.
Seja X : N(µ, σ2) ou seja, X uma v.a que segue distribuição normal com
média µ e variância σ2 de tal modo que:
Z = X − µ
σ
(10)
Assim, a v.a Z, chamada de normal padrão tem E (Z ) = 0 e VAR(Z ) = 1.
Para qualquer valor assumido pela v.a Z temos uma probabilidade
associada. Esses valores estão dispostos em tabela - Tabela Normal
Padrão ou Normal Padronizada ou Normalizada. Iremos trabalhar com a
Normal Padrão Acumulada.
Prof. Danielle Peralta Distribuição Normal
Exemplos
I Seja X ∼ N(100, 25). Calcular:
a) P(100 ≤ X ≤ 106)
b) P(89 ≤ X ≤ 107);
c) P(112 ≤ X ≤ 116);
d) P(X ≥ 108)
I Uma fábrica de carros sabe que os motors de sua fabricação têm
duração normal com media de 150.000km e desvio padrão de
5.000km. Qual a probabilidade de que um carro, escolhido ao
acaso, dos fabricados por essa firma tenha um motor que dure:
a) Menos de 170.000km;
b) Entre 140.000 e 165.000km.
Prof. Danielle Peralta Distribuição Normal
Referências
I BUSSAB, W.O. e MORETIN, P.A., Estatística Básica, 4. ed., São
Paulo, Atual, 1987
I MAGALHÃES, M. N. e LIMA, A. C. P. Noções de Probabilidade e
Estatística. 6a Ed. EDUSP, 2008.
I MORETTIN, L.G., Estatística Básica, Volume 1 - Probabilidade,
7. ed, São Paulo, Pearson Education do Brasil, 1999.
Prof. Danielle Peralta Distribuição Normal