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Modelos para variáveis aleatórias contínuas Prof. Danielle Peralta 9 de maio de 2013 Prof. Danielle Peralta Distribuição Normal 5. Variáveis Aleatórias Contínuas I Definição: Uma variável aleatória contínua X é contínua em R se existir uma função f (x) tal que: I f (x) ≥ 0 não negativa; I ∫∞ −∞ f (x)dx = 1 A função f (x) é chamada função densidade de probabilidade (fdp). Observamos que: P(a ≤ X ≤ b) = ∫ b a f (x)dx (1) Prof. Danielle Peralta Distribuição Normal 5. Variáveis Aleatórias Contínuas I Definição: A esperança é dada por: E (X ) = ∫ ∞ −∞ xf (x)dx (2) I e a variância, por: Var(X ) = E (X 2)− [E (X )]2 (3) onde E (X 2) = ∫ ∞ −∞ x2f (x)dx (4) Prof. Danielle Peralta Distribuição Normal 5.1 Distribuição Exponencial A distribuição Exponencial tem aplicações em confiabilidade de sistemas. Uma variável aleatória contínua T tem Distribuição Exponencial de probabilidade se sua f.d.p é dada por: f (t) = λ exp (−λt) para t ≥ 0 (5) Esperança e variância da distribuição Exponencial é dada por: E (T ) = 1/λ (6) Var(T ) = 1/λ2 (7) Prof. Danielle Peralta Distribuição Normal Exemplo: Uma fábrica de tubos de TV determinou que a vida média dos tubos de sua fabricação é de 800 hora de uso contínuo e segue distribuição exponencial. Qual a probabilidade de que a fábrica tenha que substituir um tubo integralmente, se oferece uma garantia de 300 horas de uso? Prof. Danielle Peralta Distribuição Normal 5.2 Distribuição Normal Uma variável aleatória contínua X tem Distribuição Normal de probabilidade se sua f.d.p é dada por: f (x) = 1 σ √ 2pi exp− 12 ( x−µ σ ) 2 para −∞ < x <∞ (8) As principais características dessa função são: I o ponto de máximo de f (x) é o ponto X = µ I os pontos de inflexão da função são X = µ+ σ e X = µ− σ I a curva é simétrica em relação a µ I E (X ) = µ e VAR(X ) = σ2 Prof. Danielle Peralta Distribuição Normal O gráfico da f (x) é dado por: Prof. Danielle Peralta Distribuição Normal Se quisermos calcular a probabilidade por exemplo, entre um intervalo a e b, devemos proceder: P(a ≤ X ≤ b) = ∫ b a 1 σ √ 2pi exp− 12 ( x−µ σ ) 2 dx (9) que apresenta um grau relativo de dificuldade. Assim, fazemos uma transformação na variável X. Seja X : N(µ, σ2) ou seja, X uma v.a que segue distribuição normal com média µ e variância σ2 de tal modo que: Z = X − µ σ (10) Assim, a v.a Z, chamada de normal padrão tem E (Z ) = 0 e VAR(Z ) = 1. Para qualquer valor assumido pela v.a Z temos uma probabilidade associada. Esses valores estão dispostos em tabela - Tabela Normal Padrão ou Normal Padronizada ou Normalizada. Iremos trabalhar com a Normal Padrão Acumulada. Prof. Danielle Peralta Distribuição Normal Exemplos I Seja X ∼ N(100, 25). Calcular: a) P(100 ≤ X ≤ 106) b) P(89 ≤ X ≤ 107); c) P(112 ≤ X ≤ 116); d) P(X ≥ 108) I Uma fábrica de carros sabe que os motors de sua fabricação têm duração normal com media de 150.000km e desvio padrão de 5.000km. Qual a probabilidade de que um carro, escolhido ao acaso, dos fabricados por essa firma tenha um motor que dure: a) Menos de 170.000km; b) Entre 140.000 e 165.000km. Prof. Danielle Peralta Distribuição Normal Referências I BUSSAB, W.O. e MORETIN, P.A., Estatística Básica, 4. ed., São Paulo, Atual, 1987 I MAGALHÃES, M. N. e LIMA, A. C. P. Noções de Probabilidade e Estatística. 6a Ed. EDUSP, 2008. I MORETTIN, L.G., Estatística Básica, Volume 1 - Probabilidade, 7. ed, São Paulo, Pearson Education do Brasil, 1999. Prof. Danielle Peralta Distribuição Normal
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