P2 algelin -2012

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO 
Prova P2 de Álgebra Linear – 23/03/2013 
Profa. Karen L. G. Paulino 
 
Nome: ______________________________________________________ Turma: ____ 
 
Observações: 1. A prova deve ser feita a lápis e a resposta final destacada a caneta. 
 2. Mantenha a ordem das questões na folha de respostas. 
 
1. (2,0 pontos) Determine o polinômio característico da matriz A, 












402
013
101
A 
associada a um operador linear T: R3  R3. Sabendo que λ = 1 é um autovalor de A, 
determine os outros autovalores da matriz e encontre uma base e a dimensão para os 
respectivos auto-espaços. 
 
2. (2,0 pontos) Seja F: R2  R3 uma transformação linear tal que F (x,y) = (2x-y, x+3y, -
2y). Considere as bases α = {(-1,1), (2,1)} do R2 e β = {(0,0,1), (0,1,-1), (1,1,0)} do R3. 
Determine a matriz de F nas bases α e β. 
 
3. (2,0 pontos) Sejam as bases α = {(1,0), (1,1)} do R2 e β = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} do 
R3. Considere a transformação linear T: R3  R2 representada matricialmente por
  







012
301
T . Determine a transformação linear. 
 
4. (2,0 pontos) Considere a transformação linear T: R3  R2, S(x,y,z) = (y-z, z-x), 
determine: 
(a) uma base e a dimensão do núcleo de S 
(b) uma base e a dimensão da imagem de S 
(c) S é um isomorfismo? Justifique sua resposta. 
 
5. (2,0 pontos) Sejam W1 e W2 subespaços vetoriais de R
2, sendo W1 formado pelos 
vetores que têm as duas componentes iguais - W1 = {(x, y) Є R
2 ; x = y } , e W2 formado 
pelos vetores que têm a primeira componente igual a zero - W2 = {(x, y) Є R
2 ; x = 0 }. 
W1 + W2 é soma direta? Verifique se R
2= W1 + W2. 
BOA PROVA!