[LIVRO]_ELEMENTOS DE MÁQUINAS III - Prof. Douglas Roberto Zaions, MSc

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UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA 
 
CAMPUS DE JOAÇABA 
 
PRÓ-REITORIA DE ENSINO 
 
ÁREA DAS CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA 
 
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO MECÂNICA 
 
 
 
 
 
ELEMENTOS 
DE 
MÁQUINAS III 
Prof. Douglas Roberto Zaions, MSc. 
 
 
Joaçaba, 09 de Fevereiro de 2008 
 
 
UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA 
 
CAMPUS DE JOAÇABA 
 
PRÓ-REITORIA DE ENSINO 
 
ÁREA DAS CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA 
 
CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO MECÂNICA 
 
 
 
 
Disciplina de 
ELEMENTOS DE MÁQUINAS III 
 
 
Prof. Douglas Roberto Zaions, MSc. 
 
 
 
 
Joaçaba, 09 de Fevereiro de 2008 
Este material foi elaborado para a disciplina de Elementos de Máquinas III do curso 
de Engenharia de Produção Mecânica oferecido pela Universidade do Oeste de Santa 
Catarina Campus de Joaçaba 
 
O trabalho apresenta citações dos autores pesquisados e referências bibliográficas, 
constituindo-se em uma ótima fonte para aprofundamento do conhecimento sobre 
elementos de máquinas. 
 
O presente trabalho abrange o programa da disciplina de Elementos de 
Máquinas III do Curso de Engenharia de Produção Mecânica da Universidade do Oeste 
de Santa Catarina – UNOESC - Campus de Joaçaba. 
 
No mesmo são tratados assuntos como: “Engrenagens cilíndricas: análise cinemática 
e dimensionamento. Engrenagens coroa-parafuso sem fim. Cames: análise cinemática”. 
 
Tem a finalidade de proporcionar aos acadêmicos o conteúdo básico da disciplina, 
com o intuito de melhorar o aproveitamento dos mesmos. 
 
Qualquer sugestão com referência ao presente trabalho, serão aguardadas, pois 
assim poderei melhorá-lo com futuras modificações. 
 
Prof. Eng. Douglas Roberto Zaions 
Fevereiro de 2008 
 
 
 
DOUGLAS ROBERTO ZAIONS 
Engenheiro Mecânico formado pela Universidade Federal de Santa Maria em 1993. Em 
1994 iniciou o curso de especialização em Engenharia Mecânica na Universidade Federal de 
Santa Catarina obtendo o grau de Especialista em Engenharia Mecânica. Em 2003 concluiu o 
curso de Mestrado em Engenharia de Produção na Universidade Federal do Rio Grande do 
Sul na área de concentração de Gerência, desenvolvendo o trabalho intitulado Consolidação 
da Metodologia da Manutenção Centrada em Confiabilidade em uma Planta de Celulose e 
Papel. Atualmente é doutorando do curso de Engenharia Mecânica da Universidade Federal 
de Santa Catarina na área de concentração de Projeto de Sistemas Mecânicos. 
Foi Coordenador do Curso de Engenharia de Produção Mecânica de março/2000 até 
março/2006 e do Curso de Tecnologia em Processos Industriais – Modalidade Eletromecânica 
de março/2000 até Junho/2002 da UNOESC – Joaçaba. 
Conselheiro Estadual e membro da Câmara Especializada de Engenharia Industrial do 
Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia do Estado de Santa Catarina, 
CREA – SC no período de janeiro de 2001 até dezembro de 2003. Também foi Diretor do 
CREA – SC no período de janeiro de 2002 até dezembro de 2002. 
Doze anos de docência em cursos técnicos, tecnológicos, engenharia e especialização na 
área mecânica. 
Professor de várias disciplinas da área de projetos nos cursos Técnico em Mecânica e 
Eletromecânica do SENAI – CET Joaçaba. 
É Professor do curso de Engenharia de Produção Mecânica da UNOESC – Joaçaba onde 
atua nas disciplinas de Resistência dos Materiais, Elementos de Máquinas, Mecanismos, 
Processos de Usinagem e Comando Numérico, Pesquisa Operacional, Projeto de Máquinas e 
Manutenção Mecânica. É também pesquisador nas áreas de Projeto e Manutenção Industrial. 
Professor dos cursos de Especialização em Engenharia de Manutenção Industrial e Gestão 
da Produção da Universidade do Oeste de Santa Catarina ministrando respectivamente a 
disciplina de Manutenção de Elementos de Máquinas e Gestão da Manutenção. No curso de 
Especialização em Projetos de Sistemas Mecânicos atua nas disciplinas de Metodologia de 
Projeto de Sistemas Mecânicos e Projeto para a Confiabilidade e Mantenabilidade. 
É perito técnico judicial, desenvolvendo trabalhos nas áreas automotiva e industrial na 
busca de causa raiz de falhas. 
Contato: Universidade do Oeste de Santa Catarina – Campus de Joaçaba 
 e-mail: douglas.zaions@unoesc.edu.br 
 Fone/Fax: (49) 3551 - 2035 
 
ÍNDICE 
1  MECANISMOS DE CONTATO DIRETO .......................................................................................... 9 
1.1  RAZÃO DE VELOCIDADE ANGULAR EM MECANISMOS DE CONTATO DIRETO ...................................... 9 
2  CAMES .................................................................................................................................................. 13 
2.1  INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 13 
2.2  PROJETO GRÁFICO DE CAMES ........................................................................................................ 13 
2.2.1  Came de Disco com seguidor Radial ................................................................................... 13 
2.2.2  Came de disco com seguidor oscilante ................................................................................ 16 
2.2.3  Came de Retorno Comandado ............................................................................................. 18 
2.2.4  Came Cilíndrico ................................................................................................................... 18 
2.2.5  Came Invertido ..................................................................................................................... 19 
2.3  TIPOS DE MOVIMENTO DO SEGUIDOR ............................................................................................. 19 
2.4  FABRICAÇÃO DE CAMES ................................................................................................................. 28 
2.5  PROJETO ANALÍTICO DE CAMES ..................................................................................................... 29 
2.5.1  Came de Disco com Seguidor Radial de Face Plana ........................................................... 30 
2.5.2  Came de Disco com Seguidor Radial de Rolete ................................................................... 35 
2.5.3  Came de Disco com Seguidor Oscilante de Rolete .............................................................. 44 
2.6  EXERCÍCIOS .................................................................................................................................... 48 
3  ENGRENAGENS .................................................................................................................................. 50 
3.1  INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 50 
3.2  PERFIL DOS DENTES DAS ENGRENAGENS ........................................................................................ 53 
3.2.1  Perfil Cicloidal ..................................................................................................................... 53 
3.2.2  Perfil Evolvental .................................................................................................................. 56 
3.3  LEI GERAL DO ENGRENAMENTO .................................................................................................... 59 
3.4  ENGRENAMENTO DE DUAS EVOLVENTES ........................................................................................ 60 
3.5  DESLIZAMENTO ESPECÍFICO ........................................................................................................... 64 
4  ENGRENAGEM CILÍNDRICADE DENTES RETOS .................................................................... 67 
4.1  INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 67 
4.2  SIMBOLOS PRINCIPAIS DAS ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS ................................... 70 
4.3  ESPESSURA DO DENTADO ............................................................................................................... 75 
4.4  FOLGA NO FLANCO DOS DENTES ..................................................................................................... 77 
4.5  ARCO ÚTIL DO PERFIL DO DENTE .................................................................................................. 80 
4.6  CREMALHEIRA ............................................................................................................................... 82 
4.7  INTERFERÊNCIA .............................................................................................................................. 83 
4.7.1  Interferência de fabricação com a cremalheira ferramenta ................................................ 86 
4.8  GRAU DE RECOBRIMENTO .............................................................................................................. 86 
4.9  MECÂNISMO GEOMÉTRICO DE CORREÇÃO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS .... 90 
 
4.9.1  Correção de Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos Externos ....................................... 94 
4.9.2  Correção de Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos Internos ........................................ 94 
4.9.3  Tipos de Engrenamentos ...................................................................................................... 94 
4.9.4  Engrenamento V (vê) ........................................................................................................... 99 
4.10  EMPREGO DA CORREÇÃO PARA EVITAR A INTERFERÊNCIA .......................................................... 104 
4.11  CRITÉRIO DE CORREÇÃO DE HENRIOT ......................................................................................... 105 
4.11.1  Distância entre centros NÃO IMPOSTA ............................................................................ 106 
4.11.2  Distância entre centros IMPOSTA ..................................................................................... 108 
5  ENGRENAGEM CILÍNDRICA DE DENTES HELICOIDAIS .................................................... 109 
5.1  CURVA HELICOIDAL ..................................................................................................................... 109 
5.2  ENGRENAGENS ESCALONADAS .................................................................................................... 110 
5.3  ENGRENAGEM COM DENTADO HELICOIDAL .................................................................................. 111 
5.4  PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS E SUAS RELAÇÕES ..................................................................... 112 
5.5  CREMALHEIRA HELICOIDAL ......................................................................................................... 114 
5.6  VOCABULÁRIO E RELAÇÕES FUNDAMENTAIS ............................................................................... 115 
5.7  PROPORÇÕES DO DENTADO NORMAL ............................................................................................ 117 
5.7.1  Engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais externos .................................................... 117 
5.7.2  Engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais internos .................................................... 118 
5.8  NÚMERO DE DENTES IMAGINÁRIOS DE UM DENTADO HELICOIDAL - RODA VIRTUAL ................... 118 
5.9  INTERFERÊNCIA ............................................................................................................................ 119 
5.10  GRAU DE RECOBRIMENTO ............................................................................................................ 120 
5.11  MECANISMO GEOMÉTRICO DE CORREÇÃO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES 
HELICOIDAIS ................................................................................................................................................... 121 
5.11.1  Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais Externos ................................................ 121 
5.11.2  Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais internos .................................................. 121 
5.12  TIPOS DE ENGRENAMENTOS .......................................................................................................... 122 
5.12.1  Engrenamento “V0” (Vê zero) ........................................................................................... 122 
5.12.2  Engrenamento “V” (vê) ..................................................................................................... 123 
5.13  REBAIXAMENTO DA ALTURA DO DENTE ....................................................................................... 125 
5.14  EMPREGO DA CORREÇÃO PARA EVITAR A INTERFERÊNCIA DE FABRICAÇÃO ................................. 125 
5.15  CRITÉRIO DE CORREÇÃO DE HENRIOT ......................................................................................... 126 
5.15.1  Distância entre centros NÃO IMPOSTA ............................................................................ 127 
5.15.2  Distância entre centros IMPOSTA ..................................................................................... 128 
6  TRENS DE ENGRENAGENS ........................................................................................................... 129 
6.1  GENERALIDADES .......................................................................................................................... 129 
6.2  ESCOLHA DA RELAÇÃO DE TRANSMISSÃO ................................................................................... 130 
7  DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS ................................................... 132 
7.1  EQUAÇÃO DE FLEXÃO DE LEWIS .................................................................................................. 132 
 
7.1.1  Efeitos dinâmicos ............................................................................................................... 134 
7.2  DURABILIDADE SUPERFICIAL ....................................................................................................... 136 
7.3  DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS PELO CRITÉRIO DA 
RESISTÊNCIA A FLEXÃO UTILIZANDO A METODOLOGIA DA AGMA ................................................................ 138 
7.3.1  Tensões de Flexão .............................................................................................................. 138 
7.3.2  Resistência a Fadiga por Flexão ....................................................................................... 139 
7.3.3  Tensão admissível .............................................................................................................. 140 
7.3.4  Fator de Vida YN (KN) ........................................................................................................ 142 
7.3.5  Fator de Temperatura Yθ (KT) ............................................................................................ 142 
7.3.6  Fator de Confiabilidade YZ (KR) ........................................................................................ 142 
7.3.7  Fator Geométrico de Resistência a Flexão YJ (J) .............................................................. 143 
7.3.8  Fator Dinâmico Kv ............................................................................................................. 144 
7.3.9  Fator de Sobrecarga Ko..................................................................................................... 146 
7.3.10  Fator de Tamanho Ks .............................................................................................................. 146 
7.3.11  Fator de Distribuição de Carga KH (Km) ........................................................................... 146 
7.3.12  Fator de Espessura de Borda KB ....................................................................................... 148 
7.4  DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS PELO CRITÉRIO DO 
DESGASTE UTILIZANDO A METODOLOGIA DA AGMA ..................................................................................... 149 
7.4.1  Tensões de Contato ............................................................................................................ 150 
7.4.2  Resistência a Fadiga Superficial ....................................................................................... 150 
7.4.3  Tensão Admissível de Contato ........................................................................................... 151 
7.4.4  Fator de vida ZN (CL) ......................................................................................................... 153 
7.4.5  Fator Razão de Dureza ZW (CH) ......................................................................................... 153 
7.4.6  Fator de Temperatura Yθ (KT) ............................................................................................ 154 
7.4.7  Fator de Confiabilidade YZ (KR) ........................................................................................ 154 
7.4.8  Fator Dinâmico Kv ............................................................................................................. 155 
7.4.9  Fator de Sobrecarga Ko ..................................................................................................... 156 
7.4.10  Fator de Tamanho Ks .............................................................................................................. 157 
7.4.11  Fator de Distribuição de Carga KH (Km) ........................................................................... 157 
7.4.12  Fator de Acabamento Superficial ZR (Cf) ........................................................................... 159 
7.4.13  Fator Geométrico de Resistência Superficial ZI (I) ........................................................... 159 
7.4.14  Coeficiente Elástico ZE (Cp) ............................................................................................... 160 
8  REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................................. 162 
 
 
 
 
 
1 MECANISMOS DE CONTATO DIRETO 
A Figura 1.1 e Figura 1.2 ilustram alguns mecanismos de contato direto que serão 
abordados nesta disciplina. 
 
(a) (b) (c) 
Figura 1.1 - Mecanismos de contato direto: (a) Came bidimencional; (b) Came tridimensional; 
(c) Trem de Engrenagens 
 
Figura 1.2 - Mecanismos de contato direto: (a) Tipos de Engrenagens 
1.1 RAZÃO DE VELOCIDADE ANGULAR EM MECANISMOS DE CONTATO 
DIRETO 
No estudo de mecanismos é necessário investigar o método pelo qual o movimento pode 
ser transmitido de um membro para outro. Pode-se transmitir movimento de três maneiras: (a) 
contato direto entre dois corpos tal como entre um excêntrico e um seguidor ou entre duas 
engrenagens, (b) através de um elemento intermediário ou uma biela e (c) por uma ligarão 
flexível, como uma correia ou uma corrente. Pode-se determinar a razão de velocidades 
angulares para o caso de dois corpos em contato. A Figura 1.3 mostra a came 2 e o seguidor 3 
 
em contato no ponto P. A came gira no sentido horário e a velocidade do ponto P considerado 
como um ponto da peça 2 é representada pelo vetor PM. A linha NN' é a normal as duas 
superfícies no ponto P e é conhecida por normal comum, linha de transmissão ou linha de 
ação. A tangente comum é representada por TT'. 0 vetor PM2 é decomposto em duas 
componentes Pn ao longo da normal comum e Pt2, ao longo da tangente comum. A came e o 
seguidor são corpos rigidos e devem permanecer em contato, por isso, a componente da 
velocidade de P, considerado como um ponto da peça 3, deve ser igual componente normal da 
velocidade de P considerado como pertencente a peça 2. Portanto, conhecendo-se a direção do 
vetor velocidade P como pertencente a peça 3 e sabendo-se que ela é perpendicular ao raio 
O,P e conhecendo-se também sua componente normal, é possível a determinação do vetor 
velocidade PM3, conforme mostrado na Figura 1.3. A partir desse vetor, pode-se determinar a 
velocidade angular do seguidor através da relação V =Rω onde V é a velocidade linear de um 
ponto que se move ao longo de uma trajetória de raio R e ω é a velocidade angular do raio R. 
 
Figura 1.3 - Relação de Velocidade angular em mecanismo de contato direto 
Nos mecanismos em que há contato direto, é necessário determinar-se a velocidade de 
deslizamento. Da Figura 1.3 pode-se ver que a velocidade de deslizamento é a diferença 
vetorial entre as componentes tangenciais das velocidades dos pontos em contato. Esta 
diferença é dada pela distancia t2 t3, porque a componente Pt3 tem direção contraria a de Pt2. 
Se t2 e t3 estiverem do mesmo lado de P, a velocidade relativa será dada pela diferença dos 
segmentos Pt3 e Pt2. Se o ponto de contato estiver na linha de centros, os vetores PM2 e PM3 
serão iguais e, em conseqüência, terão a mesma direção. Portanto, as componentes tangenciais 
serão iguais e a velocidade de deslizamento será nula. As duas peças terão portanto um 
 
movimento de rolamento puro. Assim pode-se dizer que a condição para que exista rolamento 
puro é que o ponto de contato permaneça sobre a linha de centros. 
Para o mecanismo da Figura 1.3 o movimento entre a came e o seguidor será uma 
combinação de rolamento e deslizamento. O rolamento puro somente poderá correr quando o 
ponto de contato P cair sobre a linha de centros. Enquanto, o contato nesse ponto poderá não 
ser possível devido as proporções do mecanismo. Não poderá ocorrer deslizamento puro entre 
a came 2 e o seguidor 3. Para tal acontecer, um ponto de uma das peças, dentro dos limites de 
seu curso, deve entrar em contato com todos os pontos sucessivos da superfície ativa da outra 
peça. 
É possível se determinar uma relação de modo que a razão de velocidades angulares de 
duas peças em contato direto possa ser calculada sem a necessidade da construção geométrica 
delineada acima. A partir dos centros O2 e O3 baixam-se perpendiculares à normal comum 
cruzando-a nos pontos e f, respectivamente. 
As seguintes relações são obtidas da Figura 1.3: 
2
2
3
3
2
3
3
3
3
2
2
2
:log
 e 
PM
PO
PO
PM
o
PO
PM
PO
PM
⋅=
==
ω
ω
ωω
 
como os triângulos PM2n e O2Pe são semelhantes, 
eO
Pn
PO
PM
22
2 = 
Também como os triângulos PM3n e O3Pe são semelhantes, 
fO
Pn
PO
PM
33
3 = 
Assim, 
fO
eO
Pn
eO
fO
Pn
3
22
32
3 =×=ω
ω
 
 
KO
KO
fO
eO
3
2
3
2
2
3 ==ω
ω
 
Assim, para um par de superfícies curvas em contato direto, as velocidades angulares são 
inversamente proporcionais aos segmentos determinados na linha centros por sua interseção 
com a normal comum. Conclui-se então que para uma razão de velocidades angulares 
constante a normal comum deve cruzar a linha de centros em um ponto fixo. 
 
 
2 CAMES 
 
2.1 INTRODUÇÃO 
As cames desempenham um papel importante nas máquinas e são extensivamente usadasem motores de combustão interna, máquinas operatrizes, antigamente em computadores 
mecânicos, instrumentos e muitas aplicações. Uma came pode ser projetada de duas maneiras: 
(i) Partindo do movimento desejado para o seguidor, projetar a came para dar este 
movimento; e (ii) Partindo-se da forma da came, determinar características de deslocamento, 
velocidade e aceleração, a partir do contorno da came. 
As cames com movimento especificado, podem ser projetadas graficamente e em certos 
casos, analiticamente. 
2.2 PROJETO GRÁFICO DE CAMES 
2.2.1 Came de Disco com seguidor Radial 
A Figura 2.1 mostra uma came de disco com um seguidor radial de face plana. Quando a 
came gira com velocidade angular constante na direção indicada, o seguidor se desloca para 
cima de uma distância aproximadamente de 20 mm, de acordo com a escala marcada na haste, 
durante meia volta da came. O movimento de retorno é o mesmo. A fim de determinar 
graficamente o contorno da came, será necessário inverter o mecanismo e manter a came 
estacionária enquanto o seguidor gira ao seu redor. Isto não afetará o movimento relativo 
entre a came e o seguidor e o procedimento é o seguinte: (i) Girar o seguidor em torno do 
centro da came no sentido oposto ao da rotação da came; (ii) Deslocar o seguidor radialmente 
de acordo com o indicado na escala para cada ângulo de rotação; e (iii) Desenhar o contorno 
da came tangente ao polígono formado pelas várias posições da face do seguidor. 
Infelizmente, para este último passo, não há um processo gráfico para determinar o ponto 
de contato entre a came e o seguidor. Este ponto deve ser determinado a olho empregando-se 
a curva francesa. O comprimento da face do seguidor deve ser determinado por tentativas. 
 
ocasionalmente pode ser escolhida uma escala de deslocamentos combinada com o raio 
mínimo da came de modo a se obter um contorno com uma ponta ou aresta. Esta aresta pode 
ser eliminada modificando-se a escala de deslocamento ou aumentando-se o raio mínimo da 
came. 
 
Figura 2.1 - Came de disco com seguidor radial 
 
Figura 2.2 - Came de disco com seguidor 
radial de rolete. 
 
Figura 2.3 - Came de disco com seguidor 
deslocado de rolete 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 15 
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A Figura 2.2 mostra o mesmo tipo de came com um seguidor de rolete. Com este tipo de 
seguidor o centro do rolete se deslocará com o movimento desejado. Os princípios de 
construção são idênticos aos do seguidor de face plana com exceção de que o contorno da 
came é tangente às várias posições do rolete. Na Figura 2.2 pode-se ver também, que a linha 
de ação entre a came e o seguidor não pode estar ao longo do eixo do seguidor, exceto quando 
este estiver em repouso (sem movimento de subida ou retorno). Isto produz uma força lateral 
no seguidor e pode causar uma deflexão ou quebra de sua haste. O ângulo existente entre a 
linha de ação e a linha de centros do seguidor é conhecido por ângulo de pressão e seu valor 
máximo deve ser o menor possível, especialmente em mecanismos de pequeno porte. 
Atualmente, esse valor máximo é de 30º. Embora seja possível medir o ângulo de pressão 
máximo na construção gráfica de uma came, muitas vezes é difícil determiná-lo 
analiticamente. Por esta razão será apresentado, mais adiante, um monograma para 
determinação do ângulo de pressão máxima em projetos analíticos de cames. O ângulo de 
pressão é constante para qualquer seguidor radial de face plana. O seguidor mostrado na 
Figura 2.1 tem a face perpendicular ao eixo da haste, de modo que o ângulo de pressão é zero 
e a força lateral exercida sobre o seguidor é desprezível comparada com a existente nos 
seguidores com rolete. Pode-se reduzir o ângulo de pressão aumentando-se o raio mínimo da 
came de modo que a trajetória do seguidor em relação à came seja para a mesma elevação. 
Isto eqüivale a aumentar o comprimento de um plano inclinado para a mesma elevação, a fim 
de reduzir o ângulo de inclinação do plano. Também, numa came com seguidor de rolete, o 
raio de curvatura de superfície primitiva deve ser maior do que o raio do rolete senão a 
superfície da came se tornará ponteaguda. 
Às vezes, as hastes dos seguidores de face plana ou rolete são deslocados lateralmente ao 
invés de serem radiais conforme mostrado nas Figura 2.1 e Figura 2.2 Isto é feito por razões 
estruturais ou no caso do seguidor de rolete, com a finalidade de reduzir o ângulo de pressão 
no curso de elevação. Pode-se notar, entretanto, que embora o ângulo de pressão seja reduzido 
durante o curso de elevação, no curso de retorno ele será aumentado. A Figura 2.3 ilustra uma 
came e um seguidor deslocado, com a mesma escala de deslocamento e o mesmo raio mínimo 
usados na Figura 2.2. se a direção do movimento de um seguidor deslocado, de face plana for 
paralela a uma linha radial de came, resultará a mesma came obtida com um seguidor radial. 
Entretanto, o comprimento da face do seguidor deve ser aumentado devido ao deslocamento 
haste. 
Elementos de Máquinas III 16 
2.2.2 Came de disco com seguidor oscilante 
A Figura 2.4 mostra uma came de disco com um seguidor de face plana, oscilante. Usando 
o mesmo princípio de construção empregado para a came de com seguidor radial, gira-se o 
seguidor em torno da came. Ao mesmo tempo o seguidor deve ser girado, em torno de seu 
centro de rotação, segundo os deslocamentos angulares correspondentes à cada posição 
indicada na escala. Há diversas maneiras de se girar o seguidor em torno de seu centro. O 
método indicado na Figura 2.4 é usar a interseção de dois arcos de circunferência (por 
exemplo, o ponto 3’) para determinar um ponto da face do seguidor em sua nova posição, 
após girar em torno de seu centro e em torno da came. O primeiro desses dois arcos tem como 
raio a distância do centro da came até a posição 3 da escala de deslocamento e como centro de 
curvatura o centro de rotação da came. O segundo arco é traçado com o centro de curvatura 
situado no centro de rotação do seguidor após ter girado até a posição 3 e usando para o raio a 
distância do centro do seguidor até a escala de deslocamento. A interseção desses dois arcos 
será o ponto 3’. Devido ao úmero infinito de retas que podem passar pelo ponto 3’, é 
necessário ter-se uma informação adicional para determinar a posição correta da face do 
seguidor correspondente ao ponto 3’. Conforme mostrado na figura , isto foi conseguido por 
uma circunferência tangente ao prolongamento da face do seguidor na posição zero. Na 
figura, houve coincidência dessa circunferência com o diâmetro externo do cubo do seguidor. 
essa circunferência é, então, traçada em cada posição do centro do seguidor. Para se 
determinar a posição 3 da face do seguidor traça-se uma reta que passa pelo ponto 3’ e é 
tangente à circunferência do cubo do seguidor em sua posição 3. Repetindo-se este processo, 
obtém-se um polígono formado por diversas posições da face do seguidor. A partir deste 
polígono desenha-se o contorno da came. 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 17 
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Figura 2.4 - Came de disco com seguidor oscilante de face plana 
A Figura 2.5 mostra uma came de disco com seguidor oscilante, com rolete. O 
procedimento para a determinação dos pontos 1’, 2’, 3’ etc. é semelhante ao indicado na 
Figura 2.5. Entretanto, neste caso, estes pontos são as posições do centro do rolete 
determinadas pela rotação do seguidor em torno da came. Traçam-se as circunferências 
correspondentes à cada posição do rolete e o contornos da came é tangente a essas 
circunferências. Deve-se notar que num projeto real seriam usadas divisões menores de modo 
a minimizar oerro do contorno da came. Deve-se mencionar também que o mesmo 
procedimento pode ser empregado no projeto de uma came com seguidor oscilante, de rolete, 
como o usado para uma came com seguidor radial deslocado 
 
Figura 2.5 - Came de disco com seguidor oscilante 
Elementos de Máquinas III 18 
 
Figura 2.6 - Came de retorno comandada 
Embora a maioria das cames em uso seja dos tipos já mencionados, há muitos outros, 
alguns dos quais encontram grande aplicação. Nas seções seguintes serão abordados três 
desses tipos. 
2.2.3 Came de Retorno Comandado 
Em uma came de disco e um seguidor radial freqüentemente é necessário que o retorno do 
seguidor seja comandado pela came e não sob a ação da gravidade ou de uma mola. A Figura 
2.6 mostra um mecanismo deste tipo em que a came comanda o movimento do seguidor não 
somente durante a elevação como também no curso de retorno. Necessariamente, o 
movimento de retorno deve ser o mesmo que o de elevação, porém no sentido oposto. Esta 
came também é chamada de came de diâmetro constante. 
Este tipo de came pode também ser projetado empregando dois seguidores de rolete no 
lugar dos seguidores de face plana. Se for necessário ter-se um movimento de retorno 
independente do movimento de elevação, devem-se usar dois discos, um para a elevação e 
outro para o retorno. Estas cames duplas podem ser usadas com seguidores de rolete ou de 
face plana. 
2.2.4 Came Cilíndrico 
Este tipo de came encontra muitas aplicações, particularmente em máquinas operatrizes. 
Talvez o exemplo mais comum, entretanto, seja a alavanca niveladora do molinete de vara de 
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pescar. A Figura 2.7 mostra um desenho onde o cilindro gira em torno de seu eixo e aciona 
um seguidor que é guiado por uma ranhura existente na superfície do cilindro. 
2.2.5 Came Invertido 
Às vezes á vantajoso inverter o papel da came e do seguidor e deixar que o seguidor 
comande a came. Esta inversão encontra aplicação em máquinas de costura e outros 
mecanismos de natureza semelhante. A Figura 2.8 mostra o esboço de uma came de placa 
onde o braço oscila, causando um movimento alternativo do bloco por ação de um rolete 
dentro da ranhura da came. 
 
Figura 2.7 - Came Cilíndrico 
 
Figura 2.8 - Came invertido 
2.3 TIPOS DE MOVIMENTO DO SEGUIDOR 
Antes de se determinar o contorno de uma came é necessário selecionar o movimento 
segundo o qual se deslocará o sistema. Se a velocidade de operação deve ser baixa, o 
Elementos de Máquinas III 20 
movimento pode ser qualquer um dos movimentos comuns, por exemplo, parabólico 
(aceleração e desaceleração constantes), parabólico com velocidade constante, harmônico 
simples ou cicloidal. 
O movimento parabólico possui a mais baixa aceleração teórica para valores determinados 
de elevação do seguidor e rotação da came, dentre os movimentos citados e por esta razão tem 
sido empregado em muitos contornos de cames. Entretanto, em trabalhos a baixas velocidades 
isto tem pouco significado. O movimento parabólico pode ou não ter intervalos iguais de 
aceleração e desaceleração, dependendo das exigências do problema. O movimento 
parabólico também pode ser modificado para incluir um intervalo de velocidade constante 
entre a aceleração e a desaceleração; este movimento é muitas vezes denominado de 
velocidade constante modificada. 
O movimento harmônico simples apresenta uma vantagem de, ao empregar um seguidor 
radial de rolete, proporcionar um ângulo de pressão máximo menor do que no movimento 
parabólico com intervalos de tempo iguais ou no movimento cicloidal. Isto permitirá que o 
seguidor tenha apoios monos rígidos e maior trecho de balanço. Também menos potência será 
necessária para operar a came. Por estas razões o movimento harmônico simples é o preferido 
entre os outros tipos. 
Depois de selecionar o movimento do seguidor, é necessário determinar-se a escala de 
deslocamento e marcá-la sobre a haste do seguidor. As elevações podem ser calculadas, 
porém, são determinadas com mais facilidade graficamente, plotando-se uma curva 
deslocamento-tempo. 
Plotando-se o gráfico deslocamento-tempo é necessário determinar primeiro o ponto de 
inflexão se o movimento for parabólico ou uma modificação deste. Para os movimentos 
harmônico simples e cicloidal, o ponto de inflexão é determinado automaticamente pelo 
método de geração da curva. O ponto de inflexão de um movimento parabólico estará no meio 
da escala de deslocamento e da escala de tempos se os intervalos forem iguais. A 
determinação dos pontos de inflexão de um movimento parabólico modificado é um pouco 
mais complicada, como será visto a seguir. 
Consideremos um ponto de deslocando-se com movimento uniforme modificado, onde 
parte do repouso com aceleração constante, em seguida passa a ter velocidade constante e 
finalmente chega ao repouso com desaceleração constante. Os pontos de inflexão podem ser 
determinados especificando-se os intervalos de tempo ou de deslocamento correspondentes a 
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cada tipo de movimento. A Figura 2.9 indica uma construção gráfica para determinar os 
pontos de inflexão A e B quando são dados os intervalos de tempo. A Figura 2.10 mostra a 
construção para intervalos de deslocamento. Das relações 2
2
1 AtS = , V=At e S=Vt, é possível 
provar a validade da construção mostrada na Figura 2.9 e Figura 2.10. 
 
Figura 2.9 - Construção gráfica para determinar os pontos de inflexão 
 
Figura 2.10 - Construção para intervalos de deslocamento 
Depois que os pontos de inflexão foram determinados, como exemplo na Figura 2.10, o 
trecho 0A, de aceleração constante pode ser construído conforme indicado na Figura 2.11, 
onde o deslocamento L (correspondente a S1 da Figura 2.10) esta dividido no mesmo número 
de partes da escala de tempo, neste caso quatro. O trecho desacelerado BC da curva na Figura 
2.10 será construído de modo semelhante para o deslocamento S3 e o correspondente intervalo 
de tempo. 
 
Figura 2.11 - Movimento Parabólico 
Elementos de Máquinas III 22 
A Figura 2.12 mostra o movimento harmônico simples ( )[ ]trS rωcos1−= para um 
deslocamento L com seis divisões na escala de tempo. Nesta figura deve-se notar que se a 
came gira de meia-volta enquanto o seguidor se move segundo o deslocamento L a velocidade 
angular ωr do raio girante r se iguala à velocidade angular ω da came e a equação do 
deslocamento do seguidor pode ser escrita como ( ) ( )θω cos1cos1 −=−= rtrS . Se a came 
gira somente de um quarto de volta para o deslocamento ωω 2=⋅ rL e ( )θ2cos1−= rS . 
Portanto, pode-se ver que a relação entre ωr e ω é expressa por 
seguidor do L elevação para came da derotação ângulo
180º
w
w r = 
 
Figura 2.12 - Movimento harmônico Simples 
Uma came circular (excêntrico) proporcionará um movimento harmônico simples a um 
seguidor radial de face plana porque o ponto de contato entre estas duas peças e o centro 
geométrico da came estarão sempre na direção do movimento do seguidor. 
A Figura 2.13 mostra a construção para o movimento cicloidal 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −= β
θππβ
θ 2
2
1 senLS para um deslocamento L com seis divisões na escala de tempo. O 
raio do círculo gerado é π2
L . A circunferência deste círculo é dividida no mesmo número de 
partes que a escala de tempo, neste caso seis. Os seis pontos marcados na circunferência são 
projetados horizontalmente sobre o diâmetro vertical do círculo. Estes pontos são então 
projetados paralelamente à diretriz 0A até as linhas correspondentes marcadas no eixo do 
tempo. 
Para camesde alta velocidade a seleção do movimento do seguidor deve ser baseada não 
só nos deslocamentos mas também nas forças que atuam sobre o sistema como resultado do 
movimento selecionado. Por muitos anos o projeto de cames dizias respeito somente ao 
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movimento de um seguidor em um curso determinado, durante um certo tempo. As 
velocidades eram baixas de modo que as forças de inércia eram insignificantes. Com a 
tendência de uso de velocidades mais altas nas máquinas, entretanto, tornou-se necessário 
considerar as características dinâmicas do sistema e selecionar um contorno de came que 
minimizasse o carregamento dinâmico. 
 
Figura 2.13 - Movimento cicloidal 
Como um exemplo da importância do carregamento dinâmico, consideremos o movimento 
parabólico. Em relação às forças de inércia este movimento pareceria ser desejável por causa 
de sua baixa aceleração. Entretanto, não se pode ignorar o fato de que a aceleração cresce de 
zero a seu valor constante quase instantaneamente, resultando em uma alta taxa de aplicação 
da carga. Determina-se a taxa de variação da aceleração pela terceira derivada do 
deslocamento, conhecida por “jerk” ou segunda aceleração. Portanto, o “jerk” ou a segunda 
aceleração é uma indicação da característica de impacto do carregamento: pode-se dizer que o 
impacto tem a segunda aceleração igual ao infinito. A falta de rigidez e as folgas do sistema 
também tendem a aumentar o efeito da carga de impacto. No movimento parabólico onde a 
segunda aceleração é infinita, este impacto ocorre duas vezes durante o ciclo e tem o efeito de 
uma pancada súbita no sistema, que poderá ocasionar vibrações indesejáveis bem como danos 
estruturais. 
Como um modo de evitar o “jerk” infinito e seu efeito prejudicial em cames, um sistema 
de projeto de cames foi desenvolvido por Kloomok e Muffley que utiliza três funções 
analíticas: (a) ciclóide (e meio ciclóide), (b) harmônico (e meio harmônico) e (c) polinômio 
de oitavo grau. Os diagramas de deslocamento, velocidade e aceleração dessas funções estão 
representados nas Figura 2.14, Figura 2.15 e Figura 2.16. As curvas têm derivadas contínuas 
em todos os pontos intermediários. Portanto, a aceleração varia gradualmente e a segunda 
aceleração é finita. Evita-se o “jerk” infinito nos extremos igualando-se as acelerações. Deve-
se notar que as velocidades são concordantes porque não podem aparecer descontinuidades na 
Elementos de Máquinas III 24 
curva de deslocamento em função do tempo. Como exemplo, quando após um repouso seguir 
uma elevação, a aceleração nula no final do repouso é igualada selecionando-se uma curva 
que tenha aceleração nula no início da elevação. A aceleração exigida no final da elevação é 
determinada pela condição subsequente. Se imediatamente se segue um retorno, a aceleração 
pode terminar com um valor moderadamente alto de desaceleração porque este valor pode ser 
igualado exatamente por uma curva que tenha a mesma desaceleração no início do retorno. 
A seleção de curvas para atender as exigências particulares é feita de acordo com os 
seguintes critérios: 
1. A ciclóide proporciona aceleração nula nos extremos dos trechos da curva. Portanto, 
pode ser combinada com dois repousos em cada extremidade. Como a ângulo de pressão é 
relativamente grande e sua aceleração retorna a zero desnecessariamente nos extremos, duas 
ciclóides não devem ser usadas em seqüência; 
2. O harmônico proporciona os menores picos de aceleração e os menores ângulos de 
pressão das três curvas. Portanto, é a curva preferida quando as acelerações no início e no fim 
do trecho podem ser igualadas com as acelerações do trecho vizinho. O meio harmônio pode 
ser usado onde uma elevação a velocidade constante precede uma aceleração, porque a 
aceleração do ponto médio é zero. O meio harmônico pode ser combinado com o meio-
ciclóide ou com um meio-polinômio; 
3. O polinômio de oitavo grau tem uma curva de aceleração assimétrica e proporciona um 
pico de aceleração e ângulos de pressão intermediário entre o harmônico e a ciclóide. 
 
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Figura 2.14 - Características do Movimento Cicloidal onde S- deslocamento; V - velocidade; 
A – aceleração 
Elementos de Máquinas III 26 
 
 
Figura 2.15 - Características do Movimento Harmônico onde S- deslocamento; V - 
velocidade; A – aceleração 
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Figura 2.16 - Características do Movimento polinomial de oitavo grau S- deslocamento; V - 
velocidade; A - aceleração 
Exemplo 1 - Um seguidor de rolete deverá se deslocar, com elevação e retorno, sem 
repouso, durante um ciclo. Devido à operação realizada pelo mecanismo, parte da elevação 
deverá ser feita com velocidade constante. Determine as curvas dos movimentos a serem 
usadas. Referindo-se à Figura 2.17: 
AB: Use a meia-ciclóide C-1 a fim de proporcionar aceleração nula no início do 
movimento e em B onde será feita a ligação com o trecho de velocidade constante. 
Elementos de Máquinas III 28 
BC: Velocidade constante. 
CD: Use o meio harmônio H-2 que se ligará em C ao trecho de velocidade constante, com 
aceleração nula e proporcionará um ângulo de pressão mínimo durante o resto da curva. 
DE: Use o polinômio P2 para combinar a desaceleração do harmônico em D e 
proporcionar aceleração nula no fim do retorno em E. 
 
Figura 2.17 - Curvas de deslocamento, velocidade e aceleração para o exemplo 1 
Combinam-se as velocidades e as acelerações, de modo a não apresentarem 
descontinuidades. Estas estão mostradas na Figura 2.17a, b e c. Na Figura 2.17c, pode-se ver 
que não há “jerk” ou segunda aceleração em qualquer instante do ciclo. 
2.4 FABRICAÇÃO DE CAMES 
O método gráfico de projeto de cames é limitado a aplicações onde a velocidade é baixa. 
A fabricação deste tipo de came depende da precisão do desenho do contorno e do método 
empregado para seguir este contorno como gabarito. Por um lado, pode-se riscar o contorno 
da came em uma chapa de aço e cortá-la com uma serra fita, obtendo a came. Por outro lado, 
pode-se usar uma fresadora copiadora em que o movimento da ferramenta é guiado por um 
seguidor que se desloca ao longo do perfil da came representado em um desenho. este 
desenho pode ser uma ampliação do tamanho real da came a fim de aumentar a precisão do 
copiamento. Em qualquer um dos casos apresentados o contorno da came deve ser acabado 
manualmente. 
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O projeto gráfico e o conseqüente método de fabricação por copiamento são 
suficientemente precisos para cames de alta rotação. Por esta razão, voltou-se a atenção para o 
projeto analítico de cames e para o método que este projeto oferece para a geração de cames. 
Se for possível calcular os deslocamentos do seguidor para pequenos incrementos na rotação 
da came, o seu perfil pode ser obtido em uma fresadora ou em uma furadeira de coordenadas, 
com a ferramenta fazendo o papel do seguidor. Se o seguidor a ser empregado no mecanismo 
for de rolete, o eixo da ferramenta deverá ser perpendicular ao plano da came e o diâmetro da 
ferramenta deverá ser o mesmo do rolete. Se for um seguidor de face plana, o eixo da 
ferramenta deverá ser paralelo ao plano da came. Em ambos os casos deve-se conduzir a 
ferramenta para a posição correta, correspondente ao ângulo de rotação da came. 
Naturalmente, quanto menores forem os incrementos do ângulo de rotação, melhor será o 
acabamento da superfícieda came. Geralmente, empregam-se incrementos de 1º, que deixam 
pequenas saliências ou reentrâncias na superfície da came que devem ser removidas 
manualmente. Desenvolveram-se fresadoras automáticas de controle numérico que 
possibilitam incrementos inferiores a 1º na rotação da came e avanços da ferramenta com 
precisão de µm. Embora a máquina opere em passos discretos, estes são tão pequenos que dão 
a aparência de operação contínua. Espera-se o acabamento superficial da came produzida por 
uma máquina deste tipo seja de tal qualidade que permita a eliminação do acabamento 
manual. Este tipo de máquina também produzirá uma came muito mais depressa do que a 
fresadora de coordenadas, quando ambas as máquinas usarem os mesmos incrementos do 
ângulo da came. 
Nas discussões precedentes, imaginou-se que a came que estava sendo gerada seria usada 
na aplicação final. Na produção de várias máquinas do mesmo modelo em que são necessárias 
muitas cames iguais, em geral é mais prático fabricar o que se chama de came mestra e usá-la 
em uma máquina copiadora. A came mestra é quase sempre, quanto às dimensões, uma 
ampliação da came real. 
2.5 PROJETO ANALÍTICO DE CAMES 
Em certos tipos de cames é possível projetá-los analiticamente, partindo-se do movimento 
especificado. Desenvolveram-se métodos práticos de projeto analítico para cames de disco 
com seguidor radial de face plana, seguidor radial de rolete, seguidor de rolete deslocado, 
seguidor oscilante de face plana. Os métodos para os seguidores de face plana, radial de rolete 
e oscilante de rolete estão apresentados abaixo: 
Elementos de Máquinas III 30 
2.5.1 Came de Disco com Seguidor Radial de Face Plana 
A abordagem deste problema permite que o contorno da came seja determinado 
analiticamente. No método gráfico, os pontos de contato entre a came e o seguidor são 
desconhecidos e é difícil determinar sua localização exata quando se desenha o contorno da 
came. Também o raio mínimo da came, para evitar que seja ponteaguda, somente pode ser 
determinado por tentativas. No método analítico, que foi desenvolvido por Carver e Quinn, 
essas desvantagens são superadas e pode-se determinar três características valiosas das cames: 
(i) Equações paramétricas do contorno da came; (ii) Raio mínimo da came para evitar pontas; 
e (iii) Localização do ponto de contato que determina o comprimento da face do seguidor; 
Destas características, a primeira tem pouca aplicação prática, mas as outras duas dão 
informações que possibilitam a produção da came. O desenvolvimento dessas características é 
apresentado a seguir. 
A Figura 2.18 mostra uma came com seguidor radial de face plana. A came gira com 
velocidade angular constante. O ponto de contato entre a came e o seguidor tem coordenadas 
x e y e esta a uma distância l da linha de centro do seguidor. O deslocamento do seguidor em 
relação à origem é dado pela seguinte equação: 
Equação 2.1 ( )θfCR += 
onde o raio mínimo da came é representado por C e ( )θf representa o movimento 
desejado para o seguidor como uma função do deslocamento angular da came. 
A equação para o comprimento de contato l pode ser facilmente determinada pela 
geometria da Figura 2.18. Dos triângulos mostrados 
Equação 2.2 θθ cos⋅+⋅= xsenyR 
ou 
Equação 2.3 θθ senxyl ⋅−⋅= cos 
o membro da direita da equação 3, é a derivada em relação a θ do membro da direita da 
equação 2. Portanto 
( )[ ]θθθ fCd
d
d
dRl +== 
Equação 2.4 ( )θfl ′= 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 31 
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Se o diagrama de deslocamento é dado por uma equação matemática S= ( )θf , então R e l 
são determinados facilmente das equações 1 e 4. Da equação 4 pode-se ver que o 
comprimento mínimo da face do seguidor independe do raio mínimo da came. Também, o 
ponto de contato esta na posição mais afastada da linha de centro do seguidor quando a 
velocidade do seguidor é máxima. Quando o seguidor move em direção ao centro da came, a 
velocidade é negativa e o valor negativo de l indica que o contato se realiza abaixo do eixo do 
seguidor. 
 
Figura 2.18 - Seguidor radial de face plana 
 
Figura 2.19 - Formação de pontas em uma came 
Para determinar as equações de x e y para o contorno da came. é necessário somente 
resolver as equações 2 e 3 simultaneamente, o que resulta 
θθ lsenRx −= cos 
e 
θθ coslRseny += 
Elementos de Máquinas III 32 
Substituindo-se os valores de R e l das equações 1 e 4 respectivamente, 
Equação 2.5 ( )[ ] ( ) θθθθ senffCx ′−+= cos 
Equação 2.6 ( )[ ] ( ) θθθθ cosfsenfCy ′++= 
O raio mínimo C para evitar uma ponta ou bico sobre a superfície da came pode ser 
determinado com facilidade analiticamente. Uma ponta ocorre quando θd
dx e θd
dy forem 
iguais a zero. Quando isto acontece, forma-se uma ponta na came conforme mostrado em x, y 
na Figura 2.19. Para determinar isto, consideremos que a linha de centro do seguidor tenha 
girado de um ângulo θ e que o contato entre a face de seguidor e a came ocorra no ponto (x, 
y). Mais adiante, quando o seguidor for girado de um pequeno ângulo dθ, o ponto de contato 
(x, y) não mudará por causa da ponta, ficando ainda em x e y. Assim pode-se ver que 
0== θθ d
dy
d
dx . 
Diferenciando as equações 5 e 6, 
Equação 2.7 ( ) ( )[ ] θθθθ senffCd
dx ′′++−= 
Equação 2.8 ( ) ( )[ ] θθθθ cosffCd
dy ′′++= 
As equações 7 e 8 podem se anular simultaneamente somente quando 
( ) ( ) 0=′′++ θθ ffC 
Portanto para evitar pontas, 
Equação 2.9 ( ) ( ) 0>′′++ θθ ffC 
A soma ( ) ( )[ ]θθ ff ′′+ deve ser inspecionada para todos os valores de θ para determinar 
seu valor algébrico mínimo. É necessário usar o valor mínimo de modo que C seja 
suficientemente grande para assegurar que a equação 9 não se anule para qualquer valor de θ. 
Essa soma pode ser positiva ou negativa. Se for positiva, C será negativo e não terá 
significado prático. Neste caso, o raio mínimo será determinado pelo cubo da came ao invés 
de sê-lo pela função f(θ). 
Pode-se determinar os pontos do contorno da came pelas equações 5 e 6 que dão as 
coordenadas cartesianas, ou calculando R e l para diversos valores de θ. Em geral, o segundo 
método é mais fácil, mas em ambos os casos os pontos devem ser ligados com o auxílio de 
uma curva francesa para a obtenção do contorno da came. Na prática, entretanto, raramente é 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 33 
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necessário desenhar o perfil da came em escala. Depois que o raio mínimo C tenha sido 
determinado e os deslocamentos R tenham sido calculados, a came pode se confeccionada. 
Para tal, o comprimento da fresa deve ser maior do que o dobro do valor máximo de l. 
Durante a usinagem, o eixo da fresa deve estar paralelo ao plano da came. 
Exemplo 2 A fim de ilustrar a método de escrever as equações de deslocamento 
consideremos as seguintes condições: um seguidor de face plana é acionado em um 
deslocamento total de 37,5 mm. No início do ciclo (deslocamento zero), o seguidor repousadurante 
2
π radianos. Em seguida eleva-se de 37,5 mm com movimento cicloidal (Curva C-5 
de Kloomok e Muffley) em 
2
π rad. Depois repousa durante 
2
π rad e então retorna 37,5mm 
com movimento cicloidal (C-6) em 
2
π rad. A Figura 2.20 mostra um esboço do diagrama. A 
Figura 2.20 mostra um esboço do diagrama de deslocamento. 
 
Figura 2.20 - Diagrama de deslocamento para a came do exemplo 2 
Para a ciclóide C-5 as curvas de Kloomok e Muffley dão 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −= β
πθ
πβ
θ 2
2
1 senLS 
Deve-se mencionar, ao se escrever a relação S=f(θ), que valor S sempre deve ser medido a 
partir do eixo das abscissas e o valor de θ a partir do eixo das ordenadas. Na equação 
precedente, entretanto, θ é medido do ponto A e não do ponto 0. Portanto, reescrevendo a 
equação usando θ‘ conforme mostrado na Figura 2.20, 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ′−′= β
θπ
πβ
θ 2
2
1 senLS AB 
É possível transladar a origem do ponto A para o ponto 0, substituindo a relação 
Elementos de Máquinas III 34 
2
πθθ −=′ 
Portanto, 
S LAB =
−⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ −
−⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
θ π
β π
π θ π
β
2 1
2
2
2sen 
Substituindo L = 37,5mm e β = π/2, 
( )SAB = −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟− −
75
2
75
4
4 2π θ
π
π θ πsen 
Para a ciclóide C-6 
S LCD = − ′′ + ′′
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥1
1
2
2
θ
β π π
θ
βsen 
onde 
2
3πθθ −=′′ L = 37,5 
2
πβ = 
Portanto, 
( )SCD = − + −150 75 754 4 6
θ
π π θ πsen 
Deve-se observar que com as combinações de repouso e movimento cicloidal usadas, as 
velocidades e as acelerações são igualadas nas extremidades de cada trecho não havendo, 
portanto, segunda aceleração infinita em qualquer ponto do ciclo. 
Exemplo 3 - Como um exemplo de como são determinados o raio mínimo C e o 
comprimento da face do seguidor, consideremos um seguidor radial de face plana que se eleva 
de 50 mm e retorna, com movimento harmônico simples, durante meia volta da came. dois 
ciclos do seguidor ocorrem durante uma volta da came. 
É necessária somente uma equação de deslocamento para especificar o movimento do 
seguidor do começo ao fim do ciclo, 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 35 
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( )S r r= −1 cosθ 
onde r é o raio girante e θr o ângulo girado pelo raio girante para obtenção do movimento 
harmônico(ver Figura 2.12). Para os dados representados, 
r = 25 mm θr = 2θ 
Portanto, 
( ) ( )θθ 2cos125 −== fS ( ) θθ 250senf =′ e ( ) θθ 2cos100=′′f 
Para se determinar o raio mínimo, a soma ( ) ( )θθ ffC ′′++ deve ser maior do que zero. 
Substituindo-se os valores de ( )θf e ( )θf ′′ e simplificado, 
02cos7525 >++ θC 
A soma 25 + 75cos2θ será um mínimo para 
2
πθ = ; logo 
07525 >−+C 
ou 
C > 50 mm 
O comprimento da face do seguidor é determinado por 
( )l f= ′ =θ θ50 2sen 
mmlmáx 50= 
Com o movimento é simétrico, o comprimento teórico da face do seguidor é o dobro de 
lmáx ou seja, 100 mm. Deve-se dar um acréscimo ao comprimento da face do seguidor para 
evitar que o contato se realize no bordo da face. 
2.5.2 Came de Disco com Seguidor Radial de Rolete 
A determinação analítica da superfície primitiva de uma came de disco com seguidor de 
rolete não apresenta dificuldades. Na Figura 2.21 a posição do centro do rolete em relação ao 
centro da came é dada pela seguinte equação: 
Elementos de Máquinas III 36 
Equação 2.10 ( )θfRR += 0 
onde R0 é o raio mínimo da superfície primitiva da came f(θ) é o movimento radial do 
seguidor em função do ângulo de rotação da came. Uma vez que se conhece o valor de R0 é 
fácil determinar as coordenadas do centro do rolete a partir das quais a came pode ser 
delineada. 
 
Figura 2.21 - Came de disco com seguidor radial de rolete: posição do centro do rolete em 
relação ao centro da came 
 
Figura 2.22 - Came de disco com seguidor radial de rolete: raio de curvatura ρ da superfície 
primitiva e o raio do rolete 
Kloomok e Muffley desenvolveram um método para verificar a existência de pontas em 
cames deste tipo, considerando o raio de curvatura ρ da superfície primitiva e o raio do rolete 
Rr. Estes valores são mostrados na Figura 2.22 junto com o raio de curvatura ρc da superfície 
da came. Se na Figura 2.22 ρ for mantido constante e for aumentado Rr, ρc irá decrescer. 
Continuando-se a aumentar Rr até atingir o valor ρ, o raio de curvatura da superfície da came, 
ρc, se reduzirá a um ponto e a came ficará ponteaguda, conforme indica a Erro! Fonte de 
referência não encontrada.a. Aumentando-se ainda o raio Rr a superfície da came fica 
rebaixada e o movimento realizado pelo seguidor será o desejado, conforme mostrado na 
Figura 2.22b. Portanto, a fim de evitar o aparecimento de uma ponta ou um rebaixo no perfil 
da came, o raio do rolete, Rr, deve ser menor do que ρmin, onde ρmin é o valor mínimo do raio 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 37 
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de curvatura da superfície primitiva em um determinado trecho da came. Havendo diversos 
tipos de curvas, sobre a superfície da came, pelas quais o seguidor irá passar, cada trecho 
deverá ser verificado separadamente. Como é impossível haver um rebaixo numa parte 
côncava da superfície da came, somente as partes convexas devem ser verificadas. 
 
Figura 2.23 - Método para verificar a existência de pontas 
O raio de curvatura em um ponto de uma curvatura, expresso em coordenadas polares, é 
dado por 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
2
22
2
2
3
2
2
2 φφ
φρ
d
RdR
d
dRR
d
dRR
 
onde ( )φfR = e as duas primeiras derivadas são contínuas. Pode-se usar esta equação 
para determinar o raio de curvatura da superfície primitiva da came. Para este caso, 
( ) ( )φθ ff = . Da equação 10 
( )θfRR += 0 ( )θθ fd
dR ′= ( )θθ fd
Rd ′′=2
2
 
Portanto, 
Equação 2.11 ( )[ ]{ }( )[ ] ( )[ ]θθ θρ fRfR fR ′′−′+ ′+= 22 2
3
22
2
 
A equação 11 pode ser calculada para determinar a expressão de ρ para um tipo particular 
de movimento. Entretanto, a fim de evitar pontas e rebaixos no perfil da came, deve-se 
determinar ρmin. Para se obter este valor mínimo, deve-se derivar a equação 11 com várias 
Elementos de Máquinas III 38 
funções, o que irá conduzir a equações transcedentais muito complexas. Por esta razão, são 
apresentados três conjuntos de curvas que mostram os valores de ρmin/R0 em função de β para 
as diversas relações de L/R0. 
Nestas curvas, β é o ângulo de rotação da came para cada trecho e L é a elevação 
correspondente. A Figura 2.24 apresenta as curvas para o movimento cicloidal, a Figura 2.25 
para o movimento harmônico simples e a Figura 2.26, para o movimento polinomial de 8º 
grau. Por meio dessas curvas pode-se determinar se ρmin é maior ou menor que Rr. 
Exemplo 4 - Um seguidor radial de rolete deve mover-se com um deslocamento total de L 
= 15mm com movimento cicloidal, enquanto a came gira de β = 30º. O seguidor repousa 
durante 45º e então retorna com movimento cicloidal em 70º. Verifique se a came apresenta 
ponta ou rebaixo para um raio de rolete Rr de 6,25mm e raio mínimo R0 da superfície 
primitiva de 37,5mm. 
40,0
5,37
15
0
==
R
L 
Será examinada apenas a elevação, devido ao seu ângulo β menor. Portanto, da figura 23, 
para 40,0
0
=
R
L e β = 30º, 
22,0
0
min =
R
ρ
 e mm25,85,3722,0min =×=ρ 
A camenão terá ponta ou rebaixo, porque ρmin > Rr. 
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Figura 2.24 - Movimento cicloidal 
 
Elementos de Máquinas III 40 
 
Figura 2.25 - Movimento Harmônico 
 
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Figura 2.26 - Movimento polinomial do oitavo grau 
Elementos de Máquinas III 42 
Conforme mencionado anteriormente, é importante considerar-se o valor do ângulo de 
pressão, no projeto de cames com seguidores de rolete. É necessário manter o ângulo de 
pressão máximo o menor possível e até hoje este máximo foi estabelecido arbitrariamente em 
30º. Entretanto, são usados ocasionalmente valores maiores quando as condições permitem. 
Embora seja possível empregar os métodos analíticos. Há diversos métodos disponíveis, um 
dos quais foi desenvolvido por Kloomok e Muffley, pelo qual pode-se determinar 
analiticamente o ângulo de pressão tanto para o seguidor radial de rolete como para o 
oscilante de rolete. A que será abordado somente o caso do seguidor radial de rolete. 
Para a came de disco e o seguidor radial de rolete mostrados na Figura 2.27, o ângulo de 
pressão OCA é denominado α e o centro da came, O. Supõe-se que a came está preparada e o 
seguidor gira no sentido horário da posição C até C ′ segundo um pequeno ângulo ∆θ. Da 
figura abaixo tem-se: 
CE
ECtg
′=′ −1α 
 
Figura 2.27 -Came de disco e o seguidor radial: ângulo de pressão 
Quando ∆θ tende a zero, os ângulos OCE e CAC ′ tendem para 90º. Ao mesmo tempo o 
segmento CD tende para o comprimento do arco CF, igual a R∆θ e ambos, CD e Cf para CE. 
Portanto, 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=′ −
→∆ θαθ d
dR
R
tg 1lim 1
0
 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 43 
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Como os lados de α e α′ se tornam, respectivamente, perpendiculares quando ∆θ tende a 
zero, α′ se tornará igual a α. Portanto, 
Equação 2.12 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= − θα d
dR
R
tg 11 
Pode-se determinar uma expressão para α, em qualquer tipo de movimento, partindo-se da 
equação 12. Entretanto, a determinação do ângulo de pressão máximo é quase sempre muito 
difícil, porque leva a equações transcedentais complexas. Por isso, Kloomok e Muffley 
empregam um nomograma desenvolvido por E. C. Varnun, apresentado na Figura 2.28; β e 
L/R0 são parâmetros já definidos anteriormente. Determina-se, usando-se o monograma, o 
valor máximo do ângulo de pressão para três tipos de movimento. 
 
Figura 2.28 - Monograma para determinação do ângulo de pressão 
Exemplo 5 - Um seguidor radial de rolete deve mover-se com deslocamento total de 
18,75mm, com movimento cicloidal enquanto a came gira de 45º. O seguidor repousa por, 30º 
e então retorna com movimento cicloidal em 60º. Determine o valor de R0 para limitar o αmáx 
em 30º. Será examinada somente a elevação, devido ao seu ângulo β menor. 
Para β=45º e αmáx=30º, 
Elementos de Máquinas III 44 
26,0
0
=
R
L (da Figura 2.28) 
Portanto, 
mmR 72
26,0
75,18
0 == 
Se o espaço não permite tal valor de R0, β pode ser aumentado e a came deve girar mais 
rápido para conservar o mesmo tempo de elevação. 
2.5.3 Came de Disco com Seguidor Oscilante de Rolete 
Na Figura 2.29 vê-se o início do traçado de uma came de disco com seguidor oscilante de 
rolete. O ângulo de elevação ψ é função do ângulo de rotação da came θ. Embora a came gire 
de θ para o ângulo de elevação ψ, o raio R gira segundo o ângulo φ. Especificando-se valores 
de R e φ, é possível obter-se o contorno da came. 
 
Figura 2.29 - Came de Disco com Seguidor Oscilante de Rolete 
Da Figura 2.29 pode-se ver que 
Equação 2.13 φ = θ - λ 
onde 
Equação 2.14 λ = β - Γ 
O ângulo β é uma constante do sistema e pode-se obter sua equação usando-se o triângulo 
OOA ′ . Assim, 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 45 
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Equação 2.15 
0
22
0
2
2
cos
SR
lRS −+=β 
onde S, R0 e l têm dimensões fixas. 
O ângulo Γ é função de R; sua equação pode ser obtida do triângulo OOB ′ como 
Equação 2.16 
SR
lRS
2
cos
222 −+=Γ 
Também pode-se escrever uma equação para R, a partir do triângulo OOB ′ 
Equação 2.17 ( )Σ+−+= ψcos2222 lSSlR 
O ângulo ∑ é uma constante determinada a partir do triângulo OOA ′ como 
Equação 2.18 
lS
RSl
2
cos
2
0
22 −+=Σ 
e o ângulo ψ é o ângulo de elevação para um determinado ângulo de rotação da came θ. 
Portanto, das equações precedentes, os valores de R e φ podem ser calculados a partir de 
valores de θ e dos correspondentes ângulos de elevação ψ. 
No projeto deste tipo de came, é necessário verificar se há rebaixos e conferir o ângulo de 
pressão máximo. As equações do raio de curvatura e do ângulo de pressão podem ser obtidas 
com mais facilidade pelo método de variáveis complexas de Raven. A Figura 2.30 mostra o 
esboço de uma came de disco e um seguidor oscilante de rolete, com o raio de curvatura da 
superfície primitiva ρ e o ângulo de pressão α. O ponto O é o centro da came, o pondo D é o 
centro da curvatura e o ponto O′ , o centro de rotação do seguidor. A elevação angular do 
seguidor a partir da horizontal é σ, que é dada pela equação 
Equação 2.19 ( )θσσ f+= 0 
onde f(θ) é a elevação angular desejada para o seguidor, a partir de um ângulo de 
referência σ0 (não mostrado na figura). Da Figura 2.30, o ângulo de pressão α é dado por 
γπσα −−=
2
 
Substituindo-se a equação 19 por σ 
Equação 2.20 ( )[ ] γπθσα −−+=
20
f 
Elementos de Máquinas III 46 
A fim de se obter uma expressão para o ângulo γ, determinam-se duas equações de 
posição, independentes, para o ponto A, centro do rolete. A primeira equação é obtida 
seguindo-se o trajeto (O-D-A) e a outra, seguindo-se o trajeto (O-B-O’-A). 
 
Figura 2.30 - Ângulo de pressão 
A equação para o primeiro trajeto é dada por 
γδ ρeerR ′+′= 
Equação 2.21 ( ) ( )γγρδδ isenisenr +++= coscos 
A equação para o segundo trajeto é dada por 
σilebiaR ++= 
Equação 2.22 ( )σσ isenlbia +++= cos 
Separando-se as partes reais e imaginárias das equações 21 e 22, 
Equação 2.23 σγρδ coscoscos lar +=+ 
Equação 2.24 σγρδ lsenbsenrsen +=+ 
Derivando as equações 23 e 24 em relação a θ, 
θ
σσθ
γγρθ
δδ
d
dlsen
d
dsen
d
drsen −=−− 
θ
σσθ
γγρθ
δδ
d
dl
d
d
d
dr coscoscos =+ 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 47 
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Para uma rotação infinitesimal da came, ρ pode ser considerado como constante. Assim, o 
ponto D, o centro de curvatura da came no ponto de contato e r podem ser considerados como 
fixos à came para um acréscimo de rotação dθ. Portanto,o valor de dδ é igual a dθ e como δ 
diminui quando θ cresce, segue-se que dδ/dθ = -1. Também, dσ/dθ = f’(θ). Portanto, 
Equação 2.25 ( ) σθθ
γγρδ senfl
d
dsenrsen ′−=− 
Equação 2.26 ( ) σθθ
γγρδ coscoscos fl
d
dr ′=+− 
Eliminando-se dγ/dθ nas equações 25 e 26, 
( )
( ) σθδ
σθδγ
coscos flr
senflrsentg ′+
′+= 
Os termos r cosδ e r senδ podem ser calculados das equações 23 e 24, dando 
Equação 2.27 ( )[ ]( )[ ]θσ
θσγ
fla
flsenbtg ′++
′++=
1cos
1 
que, quando substituída na equação 20, dará i ângulo de pressão α. Para se determinar 
αmax, será necessário o emprego de gráficos semelhantes aos dados por Kloomok e Muffley. 
Para se calcular o raio de curvatura ρ, é necessário primeiro derivar a equação 27 em 
relação a θ. Substituindo dγ/dθ da equação 26 e com o auxílio da equações 19,23 e 27, obtém-
se a seguinte equação para ρ: 
Equação 2.28 [ ]( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )θσσθθρ flbasenfbCaCfDC DC ′′−+′+−′++ += cos122 2
3
22
 
onde 
( )[ ]θσ flaC ′++= 1cos 
( )[ ]θσ flsenbD ′++= 1 
Para evitar o rebaixo, ρ deve ser maior do que o raio do rolete. Portanto, é possível 
determinar-se ρmin para cada posição do perfil da came. Para isso, é necessário o emprego de 
gráficos semelhantes aos dados por Kloomok e Muffley. 
 
Elementos de Máquinas III 48 
2.6 EXERCÍCIOS 
1 - Um seguidor se desloca com movimento harmônico H-1, elevando-se 25 mm em 
4
π rad 
de rotação da came. O seguidor então se eleva de mais 25 mm com movimento cicloidal C-
2, para completar o curso de elevação. O seguidor repousa e retorna 25 cm com movimento 
cicloidal C-3 e os 25mm restantes com movimento harmônico H-4 em 
4
π rad. 
(a)Determine os ângulos de rotação da came para os movimentos cicloidais e para o 
repouso combinando velocidades e acelerações. 
(b)Determine a equação para o deslocamento S em função de θ para cada tipo de 
movimento, tendo como origem das abscissas o ponto O, origem dos eixos coordenados, de 
modo que o deslocamento possa ser calculado para qualquer ângulo θ usando-se a equação 
adequada. 
 
2 - No diagrama de deslocamento mostrado na figura 1 abaixo, deseja-se obter uma 
elevação total de 37,5mm com um seguidor radial de face plana combinando o movimento 
cicloidal C-1 com o harmônico H-2. 
(a) Usando os dados do diagrama, determine o ângulo β2, referente ao movimento 
harmônico, a fim de que haja continuidade de velocidades e de acelerações em B, ponto de 
transição entre os dois movimentos. 
(b) Determine o comprimento máximo teórico da face do seguidor necessário para os dois 
movimentos. 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 49 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
3 - No desenho mostrado na figura 2 abaixo, a came de disco é empregada para posicionar 
o seguidor radial de face plana em um mecanismo de computo. O perfil da came deve ser 
projetado para dar um deslocamento S ao seguidor de acordo com a função s =kθ2 , partindo 
do repouso, quando a came girar no sentido anti-horário. Para 60o de rotação da came, a partir 
da posição inicial, a elevação do seguidor é de 10 mm. Determine analiticamente as distâncias 
R e l quando a came tiver girado 45o a partir da posição inicial. Verifique a existência de 
pontas no contorno da came durante a rotação de 600. 
 
Elementos de Máquinas III 50 
3 ENGRENAGENS 
3.1 INTRODUÇÃO 
A norma NBR 6174 define engrenagem como todo elemento mecânico denteado de forma 
constante, destinado a transmitir, movimento e/ou receber movimento de um outro elemento 
mecânico denteado também de forma constante, pela ação dos dentes em contato sucessivos. 
As engrenagens são usadas para transmitir torque e velocidade angular em uma grande 
variedade de aplicações mecânicas. Permitem a redução ou o aumento do torque com perdas 
muito pequenas de energia, e aumento ou redução de velocidades angulares sem nenhuma 
perda. 
Baseada nas superfícies básicas usadas para a transmissão do movimento, as engrenagens 
podem ser divididas em: (i) Engrenagens cilíndricas; (ii) Engrenagens cônicas; e (iii) 
Engrenagens hiperbolóidicas. Na transmissão de movimentos deve-se também considerar as 
Engrenagens coroa e sem-fim. 
A Figura 3.1 a) e b) ilustra engrenagens cilíndricas de dentes retos externos e internos 
respectivamente. As engrenagens cilíndricas de dentes retos externos são geralmente 
utilizadas em transmissões que necessitam mudanças de engrenagens em serviço pois são 
fáceis de engatar. São preferencialmente usadas em transmissões de baixa rotação ao invés de 
alta devido ao ruído que produzem. As engrenagens cilíndricas com dentes internos são 
usadas em transmissões planetárias e transmissões finais de máquinas pesadas e são bastante 
utilizadas para melhor aproveitamento do espaço. Apresentam rendimento em torno de 98 a 
99 %. 
As engrenagens cilíndricas com dentes helicoidais são empregadas em escala um pouco 
menor que as engrenagens com dentes retos, e podem ser montadas além dos eixos paralelos 
(Figura 3.1-d), com eixos reversos(Figura 3.3-a). Possuem rendimento de 96 a 99%. São 
menos ruidosas, possuem melhor capacidade de carga e são usadas em velocidades mais 
elevadas. Transmitem esforços axiais ao eixo em virtude da inclinação do dente. Para evitar 
UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 51 
Prof. Douglas Roberto Zaions 
este inconveniente usa-se as rodas helicoidais duplas (Figura 3.1-e) ou espinha de peixe 
(Figura 3.1-f). 
 
Figura 3.1 – Engrenagens cilíndricas. 
Fonte: Niemann: 1971 
 
Figura 3.2 – Engrenagens Cônicas 
Fonte: Niemann: 1971 
As engrenagens cônicas são utilizadas para transmissão de movimento entre eixos 
concorrentes e apresentam elevada capacidade de carga. Exigem precisão de montagem e 
Elementos de Máquinas III 52 
transmitem esforços axiais aos eixos. Podem ser de dentes retos(Figura 3.2-a), dentes 
helicoidais(Figura 3.2-b) ou dentes curvos(Figura 3.2-c) Para elevadas velocidade é 
necessário o uso de dentes curvos. A Zerol é uma cônica de dentes curvos fabricada pela 
Gleason. Rendimento de 98%. Segundo Niemann (1971), as engrenagens cônicas são 
empregadas para relações de transmissão (multiplicação) até 6 e para relações de 
multiplicação acima de 1,2, são em geral mais caras que as engrenagens cilíndricas. 
 
Figura 3.3 – Engrenagens: a) helicoidal, b) coroa sem-fim 
Fonte: Niemann: 1971 
As engrenagens coroa sem-fim (Figura 3.3-b) apresentam a vantagem de oferecer grandes 
reduções e de podem ser utilizadas para controle preciso de movimento circular de algum 
elemento, como por exemplo uma mesa divisora. Seu rendimento é baixo e varia de 45 a 97%, 
sendo portanto grande parte da potência transformada em calor, necessitando-se muitas vezes 
de aletas de refrigeração ou mesmo de radiador com ventilador para resfriamento da unidade. 
A capacidade de redução pode ser de até 60 ( com limite extremo de 100). Amortecem 
vibrações e são menos ruidosas que as reduções com outros tipos de engrenagens. 
As engrenagens cilíndricas com dentes helicoidais cruzados (Figura 3.3-a), são utilizadas 
para eixos reversos para uma pequena distância entre eixos, para cargas pequenas e relações 
de transmissão de 1 a 5 aproximadamente (NIEMANN, 1971). 
As engrenagens hiperbolóidicas (Figura 3.4) são utilizadas para transmissão de 
movimento entre eixos reversos e possuem elevada capacidade de carga. São muito utilizadas 
em tratores e veículos automotores em geral em diferenciais onde é essencial a questão da 
altura do eixo propulsor. Os principais