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UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA CAMPUS DE JOAÇABA PRÓ-REITORIA DE ENSINO ÁREA DAS CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO MECÂNICA ELEMENTOS DE MÁQUINAS III Prof. Douglas Roberto Zaions, MSc. Joaçaba, 09 de Fevereiro de 2008 UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA CAMPUS DE JOAÇABA PRÓ-REITORIA DE ENSINO ÁREA DAS CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO MECÂNICA Disciplina de ELEMENTOS DE MÁQUINAS III Prof. Douglas Roberto Zaions, MSc. Joaçaba, 09 de Fevereiro de 2008 Este material foi elaborado para a disciplina de Elementos de Máquinas III do curso de Engenharia de Produção Mecânica oferecido pela Universidade do Oeste de Santa Catarina Campus de Joaçaba O trabalho apresenta citações dos autores pesquisados e referências bibliográficas, constituindo-se em uma ótima fonte para aprofundamento do conhecimento sobre elementos de máquinas. O presente trabalho abrange o programa da disciplina de Elementos de Máquinas III do Curso de Engenharia de Produção Mecânica da Universidade do Oeste de Santa Catarina – UNOESC - Campus de Joaçaba. No mesmo são tratados assuntos como: “Engrenagens cilíndricas: análise cinemática e dimensionamento. Engrenagens coroa-parafuso sem fim. Cames: análise cinemática”. Tem a finalidade de proporcionar aos acadêmicos o conteúdo básico da disciplina, com o intuito de melhorar o aproveitamento dos mesmos. Qualquer sugestão com referência ao presente trabalho, serão aguardadas, pois assim poderei melhorá-lo com futuras modificações. Prof. Eng. Douglas Roberto Zaions Fevereiro de 2008 DOUGLAS ROBERTO ZAIONS Engenheiro Mecânico formado pela Universidade Federal de Santa Maria em 1993. Em 1994 iniciou o curso de especialização em Engenharia Mecânica na Universidade Federal de Santa Catarina obtendo o grau de Especialista em Engenharia Mecânica. Em 2003 concluiu o curso de Mestrado em Engenharia de Produção na Universidade Federal do Rio Grande do Sul na área de concentração de Gerência, desenvolvendo o trabalho intitulado Consolidação da Metodologia da Manutenção Centrada em Confiabilidade em uma Planta de Celulose e Papel. Atualmente é doutorando do curso de Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Santa Catarina na área de concentração de Projeto de Sistemas Mecânicos. Foi Coordenador do Curso de Engenharia de Produção Mecânica de março/2000 até março/2006 e do Curso de Tecnologia em Processos Industriais – Modalidade Eletromecânica de março/2000 até Junho/2002 da UNOESC – Joaçaba. Conselheiro Estadual e membro da Câmara Especializada de Engenharia Industrial do Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia do Estado de Santa Catarina, CREA – SC no período de janeiro de 2001 até dezembro de 2003. Também foi Diretor do CREA – SC no período de janeiro de 2002 até dezembro de 2002. Doze anos de docência em cursos técnicos, tecnológicos, engenharia e especialização na área mecânica. Professor de várias disciplinas da área de projetos nos cursos Técnico em Mecânica e Eletromecânica do SENAI – CET Joaçaba. É Professor do curso de Engenharia de Produção Mecânica da UNOESC – Joaçaba onde atua nas disciplinas de Resistência dos Materiais, Elementos de Máquinas, Mecanismos, Processos de Usinagem e Comando Numérico, Pesquisa Operacional, Projeto de Máquinas e Manutenção Mecânica. É também pesquisador nas áreas de Projeto e Manutenção Industrial. Professor dos cursos de Especialização em Engenharia de Manutenção Industrial e Gestão da Produção da Universidade do Oeste de Santa Catarina ministrando respectivamente a disciplina de Manutenção de Elementos de Máquinas e Gestão da Manutenção. No curso de Especialização em Projetos de Sistemas Mecânicos atua nas disciplinas de Metodologia de Projeto de Sistemas Mecânicos e Projeto para a Confiabilidade e Mantenabilidade. É perito técnico judicial, desenvolvendo trabalhos nas áreas automotiva e industrial na busca de causa raiz de falhas. Contato: Universidade do Oeste de Santa Catarina – Campus de Joaçaba e-mail: douglas.zaions@unoesc.edu.br Fone/Fax: (49) 3551 - 2035 ÍNDICE 1 MECANISMOS DE CONTATO DIRETO .......................................................................................... 9 1.1 RAZÃO DE VELOCIDADE ANGULAR EM MECANISMOS DE CONTATO DIRETO ...................................... 9 2 CAMES .................................................................................................................................................. 13 2.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 13 2.2 PROJETO GRÁFICO DE CAMES ........................................................................................................ 13 2.2.1 Came de Disco com seguidor Radial ................................................................................... 13 2.2.2 Came de disco com seguidor oscilante ................................................................................ 16 2.2.3 Came de Retorno Comandado ............................................................................................. 18 2.2.4 Came Cilíndrico ................................................................................................................... 18 2.2.5 Came Invertido ..................................................................................................................... 19 2.3 TIPOS DE MOVIMENTO DO SEGUIDOR ............................................................................................. 19 2.4 FABRICAÇÃO DE CAMES ................................................................................................................. 28 2.5 PROJETO ANALÍTICO DE CAMES ..................................................................................................... 29 2.5.1 Came de Disco com Seguidor Radial de Face Plana ........................................................... 30 2.5.2 Came de Disco com Seguidor Radial de Rolete ................................................................... 35 2.5.3 Came de Disco com Seguidor Oscilante de Rolete .............................................................. 44 2.6 EXERCÍCIOS .................................................................................................................................... 48 3 ENGRENAGENS .................................................................................................................................. 50 3.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 50 3.2 PERFIL DOS DENTES DAS ENGRENAGENS ........................................................................................ 53 3.2.1 Perfil Cicloidal ..................................................................................................................... 53 3.2.2 Perfil Evolvental .................................................................................................................. 56 3.3 LEI GERAL DO ENGRENAMENTO .................................................................................................... 59 3.4 ENGRENAMENTO DE DUAS EVOLVENTES ........................................................................................ 60 3.5 DESLIZAMENTO ESPECÍFICO ........................................................................................................... 64 4 ENGRENAGEM CILÍNDRICADE DENTES RETOS .................................................................... 67 4.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 67 4.2 SIMBOLOS PRINCIPAIS DAS ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS ................................... 70 4.3 ESPESSURA DO DENTADO ............................................................................................................... 75 4.4 FOLGA NO FLANCO DOS DENTES ..................................................................................................... 77 4.5 ARCO ÚTIL DO PERFIL DO DENTE .................................................................................................. 80 4.6 CREMALHEIRA ............................................................................................................................... 82 4.7 INTERFERÊNCIA .............................................................................................................................. 83 4.7.1 Interferência de fabricação com a cremalheira ferramenta ................................................ 86 4.8 GRAU DE RECOBRIMENTO .............................................................................................................. 86 4.9 MECÂNISMO GEOMÉTRICO DE CORREÇÃO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS .... 90 4.9.1 Correção de Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos Externos ....................................... 94 4.9.2 Correção de Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos Internos ........................................ 94 4.9.3 Tipos de Engrenamentos ...................................................................................................... 94 4.9.4 Engrenamento V (vê) ........................................................................................................... 99 4.10 EMPREGO DA CORREÇÃO PARA EVITAR A INTERFERÊNCIA .......................................................... 104 4.11 CRITÉRIO DE CORREÇÃO DE HENRIOT ......................................................................................... 105 4.11.1 Distância entre centros NÃO IMPOSTA ............................................................................ 106 4.11.2 Distância entre centros IMPOSTA ..................................................................................... 108 5 ENGRENAGEM CILÍNDRICA DE DENTES HELICOIDAIS .................................................... 109 5.1 CURVA HELICOIDAL ..................................................................................................................... 109 5.2 ENGRENAGENS ESCALONADAS .................................................................................................... 110 5.3 ENGRENAGEM COM DENTADO HELICOIDAL .................................................................................. 111 5.4 PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS E SUAS RELAÇÕES ..................................................................... 112 5.5 CREMALHEIRA HELICOIDAL ......................................................................................................... 114 5.6 VOCABULÁRIO E RELAÇÕES FUNDAMENTAIS ............................................................................... 115 5.7 PROPORÇÕES DO DENTADO NORMAL ............................................................................................ 117 5.7.1 Engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais externos .................................................... 117 5.7.2 Engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais internos .................................................... 118 5.8 NÚMERO DE DENTES IMAGINÁRIOS DE UM DENTADO HELICOIDAL - RODA VIRTUAL ................... 118 5.9 INTERFERÊNCIA ............................................................................................................................ 119 5.10 GRAU DE RECOBRIMENTO ............................................................................................................ 120 5.11 MECANISMO GEOMÉTRICO DE CORREÇÃO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS ................................................................................................................................................... 121 5.11.1 Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais Externos ................................................ 121 5.11.2 Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais internos .................................................. 121 5.12 TIPOS DE ENGRENAMENTOS .......................................................................................................... 122 5.12.1 Engrenamento “V0” (Vê zero) ........................................................................................... 122 5.12.2 Engrenamento “V” (vê) ..................................................................................................... 123 5.13 REBAIXAMENTO DA ALTURA DO DENTE ....................................................................................... 125 5.14 EMPREGO DA CORREÇÃO PARA EVITAR A INTERFERÊNCIA DE FABRICAÇÃO ................................. 125 5.15 CRITÉRIO DE CORREÇÃO DE HENRIOT ......................................................................................... 126 5.15.1 Distância entre centros NÃO IMPOSTA ............................................................................ 127 5.15.2 Distância entre centros IMPOSTA ..................................................................................... 128 6 TRENS DE ENGRENAGENS ........................................................................................................... 129 6.1 GENERALIDADES .......................................................................................................................... 129 6.2 ESCOLHA DA RELAÇÃO DE TRANSMISSÃO ................................................................................... 130 7 DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS ................................................... 132 7.1 EQUAÇÃO DE FLEXÃO DE LEWIS .................................................................................................. 132 7.1.1 Efeitos dinâmicos ............................................................................................................... 134 7.2 DURABILIDADE SUPERFICIAL ....................................................................................................... 136 7.3 DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS PELO CRITÉRIO DA RESISTÊNCIA A FLEXÃO UTILIZANDO A METODOLOGIA DA AGMA ................................................................ 138 7.3.1 Tensões de Flexão .............................................................................................................. 138 7.3.2 Resistência a Fadiga por Flexão ....................................................................................... 139 7.3.3 Tensão admissível .............................................................................................................. 140 7.3.4 Fator de Vida YN (KN) ........................................................................................................ 142 7.3.5 Fator de Temperatura Yθ (KT) ............................................................................................ 142 7.3.6 Fator de Confiabilidade YZ (KR) ........................................................................................ 142 7.3.7 Fator Geométrico de Resistência a Flexão YJ (J) .............................................................. 143 7.3.8 Fator Dinâmico Kv ............................................................................................................. 144 7.3.9 Fator de Sobrecarga Ko..................................................................................................... 146 7.3.10 Fator de Tamanho Ks .............................................................................................................. 146 7.3.11 Fator de Distribuição de Carga KH (Km) ........................................................................... 146 7.3.12 Fator de Espessura de Borda KB ....................................................................................... 148 7.4 DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS PELO CRITÉRIO DO DESGASTE UTILIZANDO A METODOLOGIA DA AGMA ..................................................................................... 149 7.4.1 Tensões de Contato ............................................................................................................ 150 7.4.2 Resistência a Fadiga Superficial ....................................................................................... 150 7.4.3 Tensão Admissível de Contato ........................................................................................... 151 7.4.4 Fator de vida ZN (CL) ......................................................................................................... 153 7.4.5 Fator Razão de Dureza ZW (CH) ......................................................................................... 153 7.4.6 Fator de Temperatura Yθ (KT) ............................................................................................ 154 7.4.7 Fator de Confiabilidade YZ (KR) ........................................................................................ 154 7.4.8 Fator Dinâmico Kv ............................................................................................................. 155 7.4.9 Fator de Sobrecarga Ko ..................................................................................................... 156 7.4.10 Fator de Tamanho Ks .............................................................................................................. 157 7.4.11 Fator de Distribuição de Carga KH (Km) ........................................................................... 157 7.4.12 Fator de Acabamento Superficial ZR (Cf) ........................................................................... 159 7.4.13 Fator Geométrico de Resistência Superficial ZI (I) ........................................................... 159 7.4.14 Coeficiente Elástico ZE (Cp) ............................................................................................... 160 8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................................. 162 1 MECANISMOS DE CONTATO DIRETO A Figura 1.1 e Figura 1.2 ilustram alguns mecanismos de contato direto que serão abordados nesta disciplina. (a) (b) (c) Figura 1.1 - Mecanismos de contato direto: (a) Came bidimencional; (b) Came tridimensional; (c) Trem de Engrenagens Figura 1.2 - Mecanismos de contato direto: (a) Tipos de Engrenagens 1.1 RAZÃO DE VELOCIDADE ANGULAR EM MECANISMOS DE CONTATO DIRETO No estudo de mecanismos é necessário investigar o método pelo qual o movimento pode ser transmitido de um membro para outro. Pode-se transmitir movimento de três maneiras: (a) contato direto entre dois corpos tal como entre um excêntrico e um seguidor ou entre duas engrenagens, (b) através de um elemento intermediário ou uma biela e (c) por uma ligarão flexível, como uma correia ou uma corrente. Pode-se determinar a razão de velocidades angulares para o caso de dois corpos em contato. A Figura 1.3 mostra a came 2 e o seguidor 3 em contato no ponto P. A came gira no sentido horário e a velocidade do ponto P considerado como um ponto da peça 2 é representada pelo vetor PM. A linha NN' é a normal as duas superfícies no ponto P e é conhecida por normal comum, linha de transmissão ou linha de ação. A tangente comum é representada por TT'. 0 vetor PM2 é decomposto em duas componentes Pn ao longo da normal comum e Pt2, ao longo da tangente comum. A came e o seguidor são corpos rigidos e devem permanecer em contato, por isso, a componente da velocidade de P, considerado como um ponto da peça 3, deve ser igual componente normal da velocidade de P considerado como pertencente a peça 2. Portanto, conhecendo-se a direção do vetor velocidade P como pertencente a peça 3 e sabendo-se que ela é perpendicular ao raio O,P e conhecendo-se também sua componente normal, é possível a determinação do vetor velocidade PM3, conforme mostrado na Figura 1.3. A partir desse vetor, pode-se determinar a velocidade angular do seguidor através da relação V =Rω onde V é a velocidade linear de um ponto que se move ao longo de uma trajetória de raio R e ω é a velocidade angular do raio R. Figura 1.3 - Relação de Velocidade angular em mecanismo de contato direto Nos mecanismos em que há contato direto, é necessário determinar-se a velocidade de deslizamento. Da Figura 1.3 pode-se ver que a velocidade de deslizamento é a diferença vetorial entre as componentes tangenciais das velocidades dos pontos em contato. Esta diferença é dada pela distancia t2 t3, porque a componente Pt3 tem direção contraria a de Pt2. Se t2 e t3 estiverem do mesmo lado de P, a velocidade relativa será dada pela diferença dos segmentos Pt3 e Pt2. Se o ponto de contato estiver na linha de centros, os vetores PM2 e PM3 serão iguais e, em conseqüência, terão a mesma direção. Portanto, as componentes tangenciais serão iguais e a velocidade de deslizamento será nula. As duas peças terão portanto um movimento de rolamento puro. Assim pode-se dizer que a condição para que exista rolamento puro é que o ponto de contato permaneça sobre a linha de centros. Para o mecanismo da Figura 1.3 o movimento entre a came e o seguidor será uma combinação de rolamento e deslizamento. O rolamento puro somente poderá correr quando o ponto de contato P cair sobre a linha de centros. Enquanto, o contato nesse ponto poderá não ser possível devido as proporções do mecanismo. Não poderá ocorrer deslizamento puro entre a came 2 e o seguidor 3. Para tal acontecer, um ponto de uma das peças, dentro dos limites de seu curso, deve entrar em contato com todos os pontos sucessivos da superfície ativa da outra peça. É possível se determinar uma relação de modo que a razão de velocidades angulares de duas peças em contato direto possa ser calculada sem a necessidade da construção geométrica delineada acima. A partir dos centros O2 e O3 baixam-se perpendiculares à normal comum cruzando-a nos pontos e f, respectivamente. As seguintes relações são obtidas da Figura 1.3: 2 2 3 3 2 3 3 3 3 2 2 2 :log e PM PO PO PM o PO PM PO PM ⋅= == ω ω ωω como os triângulos PM2n e O2Pe são semelhantes, eO Pn PO PM 22 2 = Também como os triângulos PM3n e O3Pe são semelhantes, fO Pn PO PM 33 3 = Assim, fO eO Pn eO fO Pn 3 22 32 3 =×=ω ω KO KO fO eO 3 2 3 2 2 3 ==ω ω Assim, para um par de superfícies curvas em contato direto, as velocidades angulares são inversamente proporcionais aos segmentos determinados na linha centros por sua interseção com a normal comum. Conclui-se então que para uma razão de velocidades angulares constante a normal comum deve cruzar a linha de centros em um ponto fixo. 2 CAMES 2.1 INTRODUÇÃO As cames desempenham um papel importante nas máquinas e são extensivamente usadasem motores de combustão interna, máquinas operatrizes, antigamente em computadores mecânicos, instrumentos e muitas aplicações. Uma came pode ser projetada de duas maneiras: (i) Partindo do movimento desejado para o seguidor, projetar a came para dar este movimento; e (ii) Partindo-se da forma da came, determinar características de deslocamento, velocidade e aceleração, a partir do contorno da came. As cames com movimento especificado, podem ser projetadas graficamente e em certos casos, analiticamente. 2.2 PROJETO GRÁFICO DE CAMES 2.2.1 Came de Disco com seguidor Radial A Figura 2.1 mostra uma came de disco com um seguidor radial de face plana. Quando a came gira com velocidade angular constante na direção indicada, o seguidor se desloca para cima de uma distância aproximadamente de 20 mm, de acordo com a escala marcada na haste, durante meia volta da came. O movimento de retorno é o mesmo. A fim de determinar graficamente o contorno da came, será necessário inverter o mecanismo e manter a came estacionária enquanto o seguidor gira ao seu redor. Isto não afetará o movimento relativo entre a came e o seguidor e o procedimento é o seguinte: (i) Girar o seguidor em torno do centro da came no sentido oposto ao da rotação da came; (ii) Deslocar o seguidor radialmente de acordo com o indicado na escala para cada ângulo de rotação; e (iii) Desenhar o contorno da came tangente ao polígono formado pelas várias posições da face do seguidor. Infelizmente, para este último passo, não há um processo gráfico para determinar o ponto de contato entre a came e o seguidor. Este ponto deve ser determinado a olho empregando-se a curva francesa. O comprimento da face do seguidor deve ser determinado por tentativas. ocasionalmente pode ser escolhida uma escala de deslocamentos combinada com o raio mínimo da came de modo a se obter um contorno com uma ponta ou aresta. Esta aresta pode ser eliminada modificando-se a escala de deslocamento ou aumentando-se o raio mínimo da came. Figura 2.1 - Came de disco com seguidor radial Figura 2.2 - Came de disco com seguidor radial de rolete. Figura 2.3 - Came de disco com seguidor deslocado de rolete UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 15 Prof. Douglas Roberto Zaions A Figura 2.2 mostra o mesmo tipo de came com um seguidor de rolete. Com este tipo de seguidor o centro do rolete se deslocará com o movimento desejado. Os princípios de construção são idênticos aos do seguidor de face plana com exceção de que o contorno da came é tangente às várias posições do rolete. Na Figura 2.2 pode-se ver também, que a linha de ação entre a came e o seguidor não pode estar ao longo do eixo do seguidor, exceto quando este estiver em repouso (sem movimento de subida ou retorno). Isto produz uma força lateral no seguidor e pode causar uma deflexão ou quebra de sua haste. O ângulo existente entre a linha de ação e a linha de centros do seguidor é conhecido por ângulo de pressão e seu valor máximo deve ser o menor possível, especialmente em mecanismos de pequeno porte. Atualmente, esse valor máximo é de 30º. Embora seja possível medir o ângulo de pressão máximo na construção gráfica de uma came, muitas vezes é difícil determiná-lo analiticamente. Por esta razão será apresentado, mais adiante, um monograma para determinação do ângulo de pressão máxima em projetos analíticos de cames. O ângulo de pressão é constante para qualquer seguidor radial de face plana. O seguidor mostrado na Figura 2.1 tem a face perpendicular ao eixo da haste, de modo que o ângulo de pressão é zero e a força lateral exercida sobre o seguidor é desprezível comparada com a existente nos seguidores com rolete. Pode-se reduzir o ângulo de pressão aumentando-se o raio mínimo da came de modo que a trajetória do seguidor em relação à came seja para a mesma elevação. Isto eqüivale a aumentar o comprimento de um plano inclinado para a mesma elevação, a fim de reduzir o ângulo de inclinação do plano. Também, numa came com seguidor de rolete, o raio de curvatura de superfície primitiva deve ser maior do que o raio do rolete senão a superfície da came se tornará ponteaguda. Às vezes, as hastes dos seguidores de face plana ou rolete são deslocados lateralmente ao invés de serem radiais conforme mostrado nas Figura 2.1 e Figura 2.2 Isto é feito por razões estruturais ou no caso do seguidor de rolete, com a finalidade de reduzir o ângulo de pressão no curso de elevação. Pode-se notar, entretanto, que embora o ângulo de pressão seja reduzido durante o curso de elevação, no curso de retorno ele será aumentado. A Figura 2.3 ilustra uma came e um seguidor deslocado, com a mesma escala de deslocamento e o mesmo raio mínimo usados na Figura 2.2. se a direção do movimento de um seguidor deslocado, de face plana for paralela a uma linha radial de came, resultará a mesma came obtida com um seguidor radial. Entretanto, o comprimento da face do seguidor deve ser aumentado devido ao deslocamento haste. Elementos de Máquinas III 16 2.2.2 Came de disco com seguidor oscilante A Figura 2.4 mostra uma came de disco com um seguidor de face plana, oscilante. Usando o mesmo princípio de construção empregado para a came de com seguidor radial, gira-se o seguidor em torno da came. Ao mesmo tempo o seguidor deve ser girado, em torno de seu centro de rotação, segundo os deslocamentos angulares correspondentes à cada posição indicada na escala. Há diversas maneiras de se girar o seguidor em torno de seu centro. O método indicado na Figura 2.4 é usar a interseção de dois arcos de circunferência (por exemplo, o ponto 3’) para determinar um ponto da face do seguidor em sua nova posição, após girar em torno de seu centro e em torno da came. O primeiro desses dois arcos tem como raio a distância do centro da came até a posição 3 da escala de deslocamento e como centro de curvatura o centro de rotação da came. O segundo arco é traçado com o centro de curvatura situado no centro de rotação do seguidor após ter girado até a posição 3 e usando para o raio a distância do centro do seguidor até a escala de deslocamento. A interseção desses dois arcos será o ponto 3’. Devido ao úmero infinito de retas que podem passar pelo ponto 3’, é necessário ter-se uma informação adicional para determinar a posição correta da face do seguidor correspondente ao ponto 3’. Conforme mostrado na figura , isto foi conseguido por uma circunferência tangente ao prolongamento da face do seguidor na posição zero. Na figura, houve coincidência dessa circunferência com o diâmetro externo do cubo do seguidor. essa circunferência é, então, traçada em cada posição do centro do seguidor. Para se determinar a posição 3 da face do seguidor traça-se uma reta que passa pelo ponto 3’ e é tangente à circunferência do cubo do seguidor em sua posição 3. Repetindo-se este processo, obtém-se um polígono formado por diversas posições da face do seguidor. A partir deste polígono desenha-se o contorno da came. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 17 Prof. Douglas Roberto Zaions Figura 2.4 - Came de disco com seguidor oscilante de face plana A Figura 2.5 mostra uma came de disco com seguidor oscilante, com rolete. O procedimento para a determinação dos pontos 1’, 2’, 3’ etc. é semelhante ao indicado na Figura 2.5. Entretanto, neste caso, estes pontos são as posições do centro do rolete determinadas pela rotação do seguidor em torno da came. Traçam-se as circunferências correspondentes à cada posição do rolete e o contornos da came é tangente a essas circunferências. Deve-se notar que num projeto real seriam usadas divisões menores de modo a minimizar oerro do contorno da came. Deve-se mencionar também que o mesmo procedimento pode ser empregado no projeto de uma came com seguidor oscilante, de rolete, como o usado para uma came com seguidor radial deslocado Figura 2.5 - Came de disco com seguidor oscilante Elementos de Máquinas III 18 Figura 2.6 - Came de retorno comandada Embora a maioria das cames em uso seja dos tipos já mencionados, há muitos outros, alguns dos quais encontram grande aplicação. Nas seções seguintes serão abordados três desses tipos. 2.2.3 Came de Retorno Comandado Em uma came de disco e um seguidor radial freqüentemente é necessário que o retorno do seguidor seja comandado pela came e não sob a ação da gravidade ou de uma mola. A Figura 2.6 mostra um mecanismo deste tipo em que a came comanda o movimento do seguidor não somente durante a elevação como também no curso de retorno. Necessariamente, o movimento de retorno deve ser o mesmo que o de elevação, porém no sentido oposto. Esta came também é chamada de came de diâmetro constante. Este tipo de came pode também ser projetado empregando dois seguidores de rolete no lugar dos seguidores de face plana. Se for necessário ter-se um movimento de retorno independente do movimento de elevação, devem-se usar dois discos, um para a elevação e outro para o retorno. Estas cames duplas podem ser usadas com seguidores de rolete ou de face plana. 2.2.4 Came Cilíndrico Este tipo de came encontra muitas aplicações, particularmente em máquinas operatrizes. Talvez o exemplo mais comum, entretanto, seja a alavanca niveladora do molinete de vara de UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 19 Prof. Douglas Roberto Zaions pescar. A Figura 2.7 mostra um desenho onde o cilindro gira em torno de seu eixo e aciona um seguidor que é guiado por uma ranhura existente na superfície do cilindro. 2.2.5 Came Invertido Às vezes á vantajoso inverter o papel da came e do seguidor e deixar que o seguidor comande a came. Esta inversão encontra aplicação em máquinas de costura e outros mecanismos de natureza semelhante. A Figura 2.8 mostra o esboço de uma came de placa onde o braço oscila, causando um movimento alternativo do bloco por ação de um rolete dentro da ranhura da came. Figura 2.7 - Came Cilíndrico Figura 2.8 - Came invertido 2.3 TIPOS DE MOVIMENTO DO SEGUIDOR Antes de se determinar o contorno de uma came é necessário selecionar o movimento segundo o qual se deslocará o sistema. Se a velocidade de operação deve ser baixa, o Elementos de Máquinas III 20 movimento pode ser qualquer um dos movimentos comuns, por exemplo, parabólico (aceleração e desaceleração constantes), parabólico com velocidade constante, harmônico simples ou cicloidal. O movimento parabólico possui a mais baixa aceleração teórica para valores determinados de elevação do seguidor e rotação da came, dentre os movimentos citados e por esta razão tem sido empregado em muitos contornos de cames. Entretanto, em trabalhos a baixas velocidades isto tem pouco significado. O movimento parabólico pode ou não ter intervalos iguais de aceleração e desaceleração, dependendo das exigências do problema. O movimento parabólico também pode ser modificado para incluir um intervalo de velocidade constante entre a aceleração e a desaceleração; este movimento é muitas vezes denominado de velocidade constante modificada. O movimento harmônico simples apresenta uma vantagem de, ao empregar um seguidor radial de rolete, proporcionar um ângulo de pressão máximo menor do que no movimento parabólico com intervalos de tempo iguais ou no movimento cicloidal. Isto permitirá que o seguidor tenha apoios monos rígidos e maior trecho de balanço. Também menos potência será necessária para operar a came. Por estas razões o movimento harmônico simples é o preferido entre os outros tipos. Depois de selecionar o movimento do seguidor, é necessário determinar-se a escala de deslocamento e marcá-la sobre a haste do seguidor. As elevações podem ser calculadas, porém, são determinadas com mais facilidade graficamente, plotando-se uma curva deslocamento-tempo. Plotando-se o gráfico deslocamento-tempo é necessário determinar primeiro o ponto de inflexão se o movimento for parabólico ou uma modificação deste. Para os movimentos harmônico simples e cicloidal, o ponto de inflexão é determinado automaticamente pelo método de geração da curva. O ponto de inflexão de um movimento parabólico estará no meio da escala de deslocamento e da escala de tempos se os intervalos forem iguais. A determinação dos pontos de inflexão de um movimento parabólico modificado é um pouco mais complicada, como será visto a seguir. Consideremos um ponto de deslocando-se com movimento uniforme modificado, onde parte do repouso com aceleração constante, em seguida passa a ter velocidade constante e finalmente chega ao repouso com desaceleração constante. Os pontos de inflexão podem ser determinados especificando-se os intervalos de tempo ou de deslocamento correspondentes a UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 21 Prof. Douglas Roberto Zaions cada tipo de movimento. A Figura 2.9 indica uma construção gráfica para determinar os pontos de inflexão A e B quando são dados os intervalos de tempo. A Figura 2.10 mostra a construção para intervalos de deslocamento. Das relações 2 2 1 AtS = , V=At e S=Vt, é possível provar a validade da construção mostrada na Figura 2.9 e Figura 2.10. Figura 2.9 - Construção gráfica para determinar os pontos de inflexão Figura 2.10 - Construção para intervalos de deslocamento Depois que os pontos de inflexão foram determinados, como exemplo na Figura 2.10, o trecho 0A, de aceleração constante pode ser construído conforme indicado na Figura 2.11, onde o deslocamento L (correspondente a S1 da Figura 2.10) esta dividido no mesmo número de partes da escala de tempo, neste caso quatro. O trecho desacelerado BC da curva na Figura 2.10 será construído de modo semelhante para o deslocamento S3 e o correspondente intervalo de tempo. Figura 2.11 - Movimento Parabólico Elementos de Máquinas III 22 A Figura 2.12 mostra o movimento harmônico simples ( )[ ]trS rωcos1−= para um deslocamento L com seis divisões na escala de tempo. Nesta figura deve-se notar que se a came gira de meia-volta enquanto o seguidor se move segundo o deslocamento L a velocidade angular ωr do raio girante r se iguala à velocidade angular ω da came e a equação do deslocamento do seguidor pode ser escrita como ( ) ( )θω cos1cos1 −=−= rtrS . Se a came gira somente de um quarto de volta para o deslocamento ωω 2=⋅ rL e ( )θ2cos1−= rS . Portanto, pode-se ver que a relação entre ωr e ω é expressa por seguidor do L elevação para came da derotação ângulo 180º w w r = Figura 2.12 - Movimento harmônico Simples Uma came circular (excêntrico) proporcionará um movimento harmônico simples a um seguidor radial de face plana porque o ponto de contato entre estas duas peças e o centro geométrico da came estarão sempre na direção do movimento do seguidor. A Figura 2.13 mostra a construção para o movimento cicloidal ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −= β θππβ θ 2 2 1 senLS para um deslocamento L com seis divisões na escala de tempo. O raio do círculo gerado é π2 L . A circunferência deste círculo é dividida no mesmo número de partes que a escala de tempo, neste caso seis. Os seis pontos marcados na circunferência são projetados horizontalmente sobre o diâmetro vertical do círculo. Estes pontos são então projetados paralelamente à diretriz 0A até as linhas correspondentes marcadas no eixo do tempo. Para camesde alta velocidade a seleção do movimento do seguidor deve ser baseada não só nos deslocamentos mas também nas forças que atuam sobre o sistema como resultado do movimento selecionado. Por muitos anos o projeto de cames dizias respeito somente ao UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 23 Prof. Douglas Roberto Zaions movimento de um seguidor em um curso determinado, durante um certo tempo. As velocidades eram baixas de modo que as forças de inércia eram insignificantes. Com a tendência de uso de velocidades mais altas nas máquinas, entretanto, tornou-se necessário considerar as características dinâmicas do sistema e selecionar um contorno de came que minimizasse o carregamento dinâmico. Figura 2.13 - Movimento cicloidal Como um exemplo da importância do carregamento dinâmico, consideremos o movimento parabólico. Em relação às forças de inércia este movimento pareceria ser desejável por causa de sua baixa aceleração. Entretanto, não se pode ignorar o fato de que a aceleração cresce de zero a seu valor constante quase instantaneamente, resultando em uma alta taxa de aplicação da carga. Determina-se a taxa de variação da aceleração pela terceira derivada do deslocamento, conhecida por “jerk” ou segunda aceleração. Portanto, o “jerk” ou a segunda aceleração é uma indicação da característica de impacto do carregamento: pode-se dizer que o impacto tem a segunda aceleração igual ao infinito. A falta de rigidez e as folgas do sistema também tendem a aumentar o efeito da carga de impacto. No movimento parabólico onde a segunda aceleração é infinita, este impacto ocorre duas vezes durante o ciclo e tem o efeito de uma pancada súbita no sistema, que poderá ocasionar vibrações indesejáveis bem como danos estruturais. Como um modo de evitar o “jerk” infinito e seu efeito prejudicial em cames, um sistema de projeto de cames foi desenvolvido por Kloomok e Muffley que utiliza três funções analíticas: (a) ciclóide (e meio ciclóide), (b) harmônico (e meio harmônico) e (c) polinômio de oitavo grau. Os diagramas de deslocamento, velocidade e aceleração dessas funções estão representados nas Figura 2.14, Figura 2.15 e Figura 2.16. As curvas têm derivadas contínuas em todos os pontos intermediários. Portanto, a aceleração varia gradualmente e a segunda aceleração é finita. Evita-se o “jerk” infinito nos extremos igualando-se as acelerações. Deve- se notar que as velocidades são concordantes porque não podem aparecer descontinuidades na Elementos de Máquinas III 24 curva de deslocamento em função do tempo. Como exemplo, quando após um repouso seguir uma elevação, a aceleração nula no final do repouso é igualada selecionando-se uma curva que tenha aceleração nula no início da elevação. A aceleração exigida no final da elevação é determinada pela condição subsequente. Se imediatamente se segue um retorno, a aceleração pode terminar com um valor moderadamente alto de desaceleração porque este valor pode ser igualado exatamente por uma curva que tenha a mesma desaceleração no início do retorno. A seleção de curvas para atender as exigências particulares é feita de acordo com os seguintes critérios: 1. A ciclóide proporciona aceleração nula nos extremos dos trechos da curva. Portanto, pode ser combinada com dois repousos em cada extremidade. Como a ângulo de pressão é relativamente grande e sua aceleração retorna a zero desnecessariamente nos extremos, duas ciclóides não devem ser usadas em seqüência; 2. O harmônico proporciona os menores picos de aceleração e os menores ângulos de pressão das três curvas. Portanto, é a curva preferida quando as acelerações no início e no fim do trecho podem ser igualadas com as acelerações do trecho vizinho. O meio harmônio pode ser usado onde uma elevação a velocidade constante precede uma aceleração, porque a aceleração do ponto médio é zero. O meio harmônico pode ser combinado com o meio- ciclóide ou com um meio-polinômio; 3. O polinômio de oitavo grau tem uma curva de aceleração assimétrica e proporciona um pico de aceleração e ângulos de pressão intermediário entre o harmônico e a ciclóide. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 25 Prof. Douglas Roberto Zaions Figura 2.14 - Características do Movimento Cicloidal onde S- deslocamento; V - velocidade; A – aceleração Elementos de Máquinas III 26 Figura 2.15 - Características do Movimento Harmônico onde S- deslocamento; V - velocidade; A – aceleração UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 27 Prof. Douglas Roberto Zaions Figura 2.16 - Características do Movimento polinomial de oitavo grau S- deslocamento; V - velocidade; A - aceleração Exemplo 1 - Um seguidor de rolete deverá se deslocar, com elevação e retorno, sem repouso, durante um ciclo. Devido à operação realizada pelo mecanismo, parte da elevação deverá ser feita com velocidade constante. Determine as curvas dos movimentos a serem usadas. Referindo-se à Figura 2.17: AB: Use a meia-ciclóide C-1 a fim de proporcionar aceleração nula no início do movimento e em B onde será feita a ligação com o trecho de velocidade constante. Elementos de Máquinas III 28 BC: Velocidade constante. CD: Use o meio harmônio H-2 que se ligará em C ao trecho de velocidade constante, com aceleração nula e proporcionará um ângulo de pressão mínimo durante o resto da curva. DE: Use o polinômio P2 para combinar a desaceleração do harmônico em D e proporcionar aceleração nula no fim do retorno em E. Figura 2.17 - Curvas de deslocamento, velocidade e aceleração para o exemplo 1 Combinam-se as velocidades e as acelerações, de modo a não apresentarem descontinuidades. Estas estão mostradas na Figura 2.17a, b e c. Na Figura 2.17c, pode-se ver que não há “jerk” ou segunda aceleração em qualquer instante do ciclo. 2.4 FABRICAÇÃO DE CAMES O método gráfico de projeto de cames é limitado a aplicações onde a velocidade é baixa. A fabricação deste tipo de came depende da precisão do desenho do contorno e do método empregado para seguir este contorno como gabarito. Por um lado, pode-se riscar o contorno da came em uma chapa de aço e cortá-la com uma serra fita, obtendo a came. Por outro lado, pode-se usar uma fresadora copiadora em que o movimento da ferramenta é guiado por um seguidor que se desloca ao longo do perfil da came representado em um desenho. este desenho pode ser uma ampliação do tamanho real da came a fim de aumentar a precisão do copiamento. Em qualquer um dos casos apresentados o contorno da came deve ser acabado manualmente. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 29 Prof. Douglas Roberto Zaions O projeto gráfico e o conseqüente método de fabricação por copiamento são suficientemente precisos para cames de alta rotação. Por esta razão, voltou-se a atenção para o projeto analítico de cames e para o método que este projeto oferece para a geração de cames. Se for possível calcular os deslocamentos do seguidor para pequenos incrementos na rotação da came, o seu perfil pode ser obtido em uma fresadora ou em uma furadeira de coordenadas, com a ferramenta fazendo o papel do seguidor. Se o seguidor a ser empregado no mecanismo for de rolete, o eixo da ferramenta deverá ser perpendicular ao plano da came e o diâmetro da ferramenta deverá ser o mesmo do rolete. Se for um seguidor de face plana, o eixo da ferramenta deverá ser paralelo ao plano da came. Em ambos os casos deve-se conduzir a ferramenta para a posição correta, correspondente ao ângulo de rotação da came. Naturalmente, quanto menores forem os incrementos do ângulo de rotação, melhor será o acabamento da superfícieda came. Geralmente, empregam-se incrementos de 1º, que deixam pequenas saliências ou reentrâncias na superfície da came que devem ser removidas manualmente. Desenvolveram-se fresadoras automáticas de controle numérico que possibilitam incrementos inferiores a 1º na rotação da came e avanços da ferramenta com precisão de µm. Embora a máquina opere em passos discretos, estes são tão pequenos que dão a aparência de operação contínua. Espera-se o acabamento superficial da came produzida por uma máquina deste tipo seja de tal qualidade que permita a eliminação do acabamento manual. Este tipo de máquina também produzirá uma came muito mais depressa do que a fresadora de coordenadas, quando ambas as máquinas usarem os mesmos incrementos do ângulo da came. Nas discussões precedentes, imaginou-se que a came que estava sendo gerada seria usada na aplicação final. Na produção de várias máquinas do mesmo modelo em que são necessárias muitas cames iguais, em geral é mais prático fabricar o que se chama de came mestra e usá-la em uma máquina copiadora. A came mestra é quase sempre, quanto às dimensões, uma ampliação da came real. 2.5 PROJETO ANALÍTICO DE CAMES Em certos tipos de cames é possível projetá-los analiticamente, partindo-se do movimento especificado. Desenvolveram-se métodos práticos de projeto analítico para cames de disco com seguidor radial de face plana, seguidor radial de rolete, seguidor de rolete deslocado, seguidor oscilante de face plana. Os métodos para os seguidores de face plana, radial de rolete e oscilante de rolete estão apresentados abaixo: Elementos de Máquinas III 30 2.5.1 Came de Disco com Seguidor Radial de Face Plana A abordagem deste problema permite que o contorno da came seja determinado analiticamente. No método gráfico, os pontos de contato entre a came e o seguidor são desconhecidos e é difícil determinar sua localização exata quando se desenha o contorno da came. Também o raio mínimo da came, para evitar que seja ponteaguda, somente pode ser determinado por tentativas. No método analítico, que foi desenvolvido por Carver e Quinn, essas desvantagens são superadas e pode-se determinar três características valiosas das cames: (i) Equações paramétricas do contorno da came; (ii) Raio mínimo da came para evitar pontas; e (iii) Localização do ponto de contato que determina o comprimento da face do seguidor; Destas características, a primeira tem pouca aplicação prática, mas as outras duas dão informações que possibilitam a produção da came. O desenvolvimento dessas características é apresentado a seguir. A Figura 2.18 mostra uma came com seguidor radial de face plana. A came gira com velocidade angular constante. O ponto de contato entre a came e o seguidor tem coordenadas x e y e esta a uma distância l da linha de centro do seguidor. O deslocamento do seguidor em relação à origem é dado pela seguinte equação: Equação 2.1 ( )θfCR += onde o raio mínimo da came é representado por C e ( )θf representa o movimento desejado para o seguidor como uma função do deslocamento angular da came. A equação para o comprimento de contato l pode ser facilmente determinada pela geometria da Figura 2.18. Dos triângulos mostrados Equação 2.2 θθ cos⋅+⋅= xsenyR ou Equação 2.3 θθ senxyl ⋅−⋅= cos o membro da direita da equação 3, é a derivada em relação a θ do membro da direita da equação 2. Portanto ( )[ ]θθθ fCd d d dRl +== Equação 2.4 ( )θfl ′= UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 31 Prof. Douglas Roberto Zaions Se o diagrama de deslocamento é dado por uma equação matemática S= ( )θf , então R e l são determinados facilmente das equações 1 e 4. Da equação 4 pode-se ver que o comprimento mínimo da face do seguidor independe do raio mínimo da came. Também, o ponto de contato esta na posição mais afastada da linha de centro do seguidor quando a velocidade do seguidor é máxima. Quando o seguidor move em direção ao centro da came, a velocidade é negativa e o valor negativo de l indica que o contato se realiza abaixo do eixo do seguidor. Figura 2.18 - Seguidor radial de face plana Figura 2.19 - Formação de pontas em uma came Para determinar as equações de x e y para o contorno da came. é necessário somente resolver as equações 2 e 3 simultaneamente, o que resulta θθ lsenRx −= cos e θθ coslRseny += Elementos de Máquinas III 32 Substituindo-se os valores de R e l das equações 1 e 4 respectivamente, Equação 2.5 ( )[ ] ( ) θθθθ senffCx ′−+= cos Equação 2.6 ( )[ ] ( ) θθθθ cosfsenfCy ′++= O raio mínimo C para evitar uma ponta ou bico sobre a superfície da came pode ser determinado com facilidade analiticamente. Uma ponta ocorre quando θd dx e θd dy forem iguais a zero. Quando isto acontece, forma-se uma ponta na came conforme mostrado em x, y na Figura 2.19. Para determinar isto, consideremos que a linha de centro do seguidor tenha girado de um ângulo θ e que o contato entre a face de seguidor e a came ocorra no ponto (x, y). Mais adiante, quando o seguidor for girado de um pequeno ângulo dθ, o ponto de contato (x, y) não mudará por causa da ponta, ficando ainda em x e y. Assim pode-se ver que 0== θθ d dy d dx . Diferenciando as equações 5 e 6, Equação 2.7 ( ) ( )[ ] θθθθ senffCd dx ′′++−= Equação 2.8 ( ) ( )[ ] θθθθ cosffCd dy ′′++= As equações 7 e 8 podem se anular simultaneamente somente quando ( ) ( ) 0=′′++ θθ ffC Portanto para evitar pontas, Equação 2.9 ( ) ( ) 0>′′++ θθ ffC A soma ( ) ( )[ ]θθ ff ′′+ deve ser inspecionada para todos os valores de θ para determinar seu valor algébrico mínimo. É necessário usar o valor mínimo de modo que C seja suficientemente grande para assegurar que a equação 9 não se anule para qualquer valor de θ. Essa soma pode ser positiva ou negativa. Se for positiva, C será negativo e não terá significado prático. Neste caso, o raio mínimo será determinado pelo cubo da came ao invés de sê-lo pela função f(θ). Pode-se determinar os pontos do contorno da came pelas equações 5 e 6 que dão as coordenadas cartesianas, ou calculando R e l para diversos valores de θ. Em geral, o segundo método é mais fácil, mas em ambos os casos os pontos devem ser ligados com o auxílio de uma curva francesa para a obtenção do contorno da came. Na prática, entretanto, raramente é UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 33 Prof. Douglas Roberto Zaions necessário desenhar o perfil da came em escala. Depois que o raio mínimo C tenha sido determinado e os deslocamentos R tenham sido calculados, a came pode se confeccionada. Para tal, o comprimento da fresa deve ser maior do que o dobro do valor máximo de l. Durante a usinagem, o eixo da fresa deve estar paralelo ao plano da came. Exemplo 2 A fim de ilustrar a método de escrever as equações de deslocamento consideremos as seguintes condições: um seguidor de face plana é acionado em um deslocamento total de 37,5 mm. No início do ciclo (deslocamento zero), o seguidor repousadurante 2 π radianos. Em seguida eleva-se de 37,5 mm com movimento cicloidal (Curva C-5 de Kloomok e Muffley) em 2 π rad. Depois repousa durante 2 π rad e então retorna 37,5mm com movimento cicloidal (C-6) em 2 π rad. A Figura 2.20 mostra um esboço do diagrama. A Figura 2.20 mostra um esboço do diagrama de deslocamento. Figura 2.20 - Diagrama de deslocamento para a came do exemplo 2 Para a ciclóide C-5 as curvas de Kloomok e Muffley dão ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= β πθ πβ θ 2 2 1 senLS Deve-se mencionar, ao se escrever a relação S=f(θ), que valor S sempre deve ser medido a partir do eixo das abscissas e o valor de θ a partir do eixo das ordenadas. Na equação precedente, entretanto, θ é medido do ponto A e não do ponto 0. Portanto, reescrevendo a equação usando θ‘ conforme mostrado na Figura 2.20, ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ′−′= β θπ πβ θ 2 2 1 senLS AB É possível transladar a origem do ponto A para o ponto 0, substituindo a relação Elementos de Máquinas III 34 2 πθθ −=′ Portanto, S LAB = −⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − −⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ θ π β π π θ π β 2 1 2 2 2sen Substituindo L = 37,5mm e β = π/2, ( )SAB = −⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟− − 75 2 75 4 4 2π θ π π θ πsen Para a ciclóide C-6 S LCD = − ′′ + ′′ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥1 1 2 2 θ β π π θ βsen onde 2 3πθθ −=′′ L = 37,5 2 πβ = Portanto, ( )SCD = − + −150 75 754 4 6 θ π π θ πsen Deve-se observar que com as combinações de repouso e movimento cicloidal usadas, as velocidades e as acelerações são igualadas nas extremidades de cada trecho não havendo, portanto, segunda aceleração infinita em qualquer ponto do ciclo. Exemplo 3 - Como um exemplo de como são determinados o raio mínimo C e o comprimento da face do seguidor, consideremos um seguidor radial de face plana que se eleva de 50 mm e retorna, com movimento harmônico simples, durante meia volta da came. dois ciclos do seguidor ocorrem durante uma volta da came. É necessária somente uma equação de deslocamento para especificar o movimento do seguidor do começo ao fim do ciclo, UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 35 Prof. Douglas Roberto Zaions ( )S r r= −1 cosθ onde r é o raio girante e θr o ângulo girado pelo raio girante para obtenção do movimento harmônico(ver Figura 2.12). Para os dados representados, r = 25 mm θr = 2θ Portanto, ( ) ( )θθ 2cos125 −== fS ( ) θθ 250senf =′ e ( ) θθ 2cos100=′′f Para se determinar o raio mínimo, a soma ( ) ( )θθ ffC ′′++ deve ser maior do que zero. Substituindo-se os valores de ( )θf e ( )θf ′′ e simplificado, 02cos7525 >++ θC A soma 25 + 75cos2θ será um mínimo para 2 πθ = ; logo 07525 >−+C ou C > 50 mm O comprimento da face do seguidor é determinado por ( )l f= ′ =θ θ50 2sen mmlmáx 50= Com o movimento é simétrico, o comprimento teórico da face do seguidor é o dobro de lmáx ou seja, 100 mm. Deve-se dar um acréscimo ao comprimento da face do seguidor para evitar que o contato se realize no bordo da face. 2.5.2 Came de Disco com Seguidor Radial de Rolete A determinação analítica da superfície primitiva de uma came de disco com seguidor de rolete não apresenta dificuldades. Na Figura 2.21 a posição do centro do rolete em relação ao centro da came é dada pela seguinte equação: Elementos de Máquinas III 36 Equação 2.10 ( )θfRR += 0 onde R0 é o raio mínimo da superfície primitiva da came f(θ) é o movimento radial do seguidor em função do ângulo de rotação da came. Uma vez que se conhece o valor de R0 é fácil determinar as coordenadas do centro do rolete a partir das quais a came pode ser delineada. Figura 2.21 - Came de disco com seguidor radial de rolete: posição do centro do rolete em relação ao centro da came Figura 2.22 - Came de disco com seguidor radial de rolete: raio de curvatura ρ da superfície primitiva e o raio do rolete Kloomok e Muffley desenvolveram um método para verificar a existência de pontas em cames deste tipo, considerando o raio de curvatura ρ da superfície primitiva e o raio do rolete Rr. Estes valores são mostrados na Figura 2.22 junto com o raio de curvatura ρc da superfície da came. Se na Figura 2.22 ρ for mantido constante e for aumentado Rr, ρc irá decrescer. Continuando-se a aumentar Rr até atingir o valor ρ, o raio de curvatura da superfície da came, ρc, se reduzirá a um ponto e a came ficará ponteaguda, conforme indica a Erro! Fonte de referência não encontrada.a. Aumentando-se ainda o raio Rr a superfície da came fica rebaixada e o movimento realizado pelo seguidor será o desejado, conforme mostrado na Figura 2.22b. Portanto, a fim de evitar o aparecimento de uma ponta ou um rebaixo no perfil da came, o raio do rolete, Rr, deve ser menor do que ρmin, onde ρmin é o valor mínimo do raio UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 37 Prof. Douglas Roberto Zaions de curvatura da superfície primitiva em um determinado trecho da came. Havendo diversos tipos de curvas, sobre a superfície da came, pelas quais o seguidor irá passar, cada trecho deverá ser verificado separadamente. Como é impossível haver um rebaixo numa parte côncava da superfície da came, somente as partes convexas devem ser verificadas. Figura 2.23 - Método para verificar a existência de pontas O raio de curvatura em um ponto de uma curvatura, expresso em coordenadas polares, é dado por ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛+ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛+ = 2 22 2 2 3 2 2 2 φφ φρ d RdR d dRR d dRR onde ( )φfR = e as duas primeiras derivadas são contínuas. Pode-se usar esta equação para determinar o raio de curvatura da superfície primitiva da came. Para este caso, ( ) ( )φθ ff = . Da equação 10 ( )θfRR += 0 ( )θθ fd dR ′= ( )θθ fd Rd ′′=2 2 Portanto, Equação 2.11 ( )[ ]{ }( )[ ] ( )[ ]θθ θρ fRfR fR ′′−′+ ′+= 22 2 3 22 2 A equação 11 pode ser calculada para determinar a expressão de ρ para um tipo particular de movimento. Entretanto, a fim de evitar pontas e rebaixos no perfil da came, deve-se determinar ρmin. Para se obter este valor mínimo, deve-se derivar a equação 11 com várias Elementos de Máquinas III 38 funções, o que irá conduzir a equações transcedentais muito complexas. Por esta razão, são apresentados três conjuntos de curvas que mostram os valores de ρmin/R0 em função de β para as diversas relações de L/R0. Nestas curvas, β é o ângulo de rotação da came para cada trecho e L é a elevação correspondente. A Figura 2.24 apresenta as curvas para o movimento cicloidal, a Figura 2.25 para o movimento harmônico simples e a Figura 2.26, para o movimento polinomial de 8º grau. Por meio dessas curvas pode-se determinar se ρmin é maior ou menor que Rr. Exemplo 4 - Um seguidor radial de rolete deve mover-se com um deslocamento total de L = 15mm com movimento cicloidal, enquanto a came gira de β = 30º. O seguidor repousa durante 45º e então retorna com movimento cicloidal em 70º. Verifique se a came apresenta ponta ou rebaixo para um raio de rolete Rr de 6,25mm e raio mínimo R0 da superfície primitiva de 37,5mm. 40,0 5,37 15 0 == R L Será examinada apenas a elevação, devido ao seu ângulo β menor. Portanto, da figura 23, para 40,0 0 = R L e β = 30º, 22,0 0 min = R ρ e mm25,85,3722,0min =×=ρ A camenão terá ponta ou rebaixo, porque ρmin > Rr. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 39 Prof. Douglas Roberto Zaions Figura 2.24 - Movimento cicloidal Elementos de Máquinas III 40 Figura 2.25 - Movimento Harmônico UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 41 Prof. Douglas Roberto Zaions Figura 2.26 - Movimento polinomial do oitavo grau Elementos de Máquinas III 42 Conforme mencionado anteriormente, é importante considerar-se o valor do ângulo de pressão, no projeto de cames com seguidores de rolete. É necessário manter o ângulo de pressão máximo o menor possível e até hoje este máximo foi estabelecido arbitrariamente em 30º. Entretanto, são usados ocasionalmente valores maiores quando as condições permitem. Embora seja possível empregar os métodos analíticos. Há diversos métodos disponíveis, um dos quais foi desenvolvido por Kloomok e Muffley, pelo qual pode-se determinar analiticamente o ângulo de pressão tanto para o seguidor radial de rolete como para o oscilante de rolete. A que será abordado somente o caso do seguidor radial de rolete. Para a came de disco e o seguidor radial de rolete mostrados na Figura 2.27, o ângulo de pressão OCA é denominado α e o centro da came, O. Supõe-se que a came está preparada e o seguidor gira no sentido horário da posição C até C ′ segundo um pequeno ângulo ∆θ. Da figura abaixo tem-se: CE ECtg ′=′ −1α Figura 2.27 -Came de disco e o seguidor radial: ângulo de pressão Quando ∆θ tende a zero, os ângulos OCE e CAC ′ tendem para 90º. Ao mesmo tempo o segmento CD tende para o comprimento do arco CF, igual a R∆θ e ambos, CD e Cf para CE. Portanto, ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=′ − →∆ θαθ d dR R tg 1lim 1 0 UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 43 Prof. Douglas Roberto Zaions Como os lados de α e α′ se tornam, respectivamente, perpendiculares quando ∆θ tende a zero, α′ se tornará igual a α. Portanto, Equação 2.12 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= − θα d dR R tg 11 Pode-se determinar uma expressão para α, em qualquer tipo de movimento, partindo-se da equação 12. Entretanto, a determinação do ângulo de pressão máximo é quase sempre muito difícil, porque leva a equações transcedentais complexas. Por isso, Kloomok e Muffley empregam um nomograma desenvolvido por E. C. Varnun, apresentado na Figura 2.28; β e L/R0 são parâmetros já definidos anteriormente. Determina-se, usando-se o monograma, o valor máximo do ângulo de pressão para três tipos de movimento. Figura 2.28 - Monograma para determinação do ângulo de pressão Exemplo 5 - Um seguidor radial de rolete deve mover-se com deslocamento total de 18,75mm, com movimento cicloidal enquanto a came gira de 45º. O seguidor repousa por, 30º e então retorna com movimento cicloidal em 60º. Determine o valor de R0 para limitar o αmáx em 30º. Será examinada somente a elevação, devido ao seu ângulo β menor. Para β=45º e αmáx=30º, Elementos de Máquinas III 44 26,0 0 = R L (da Figura 2.28) Portanto, mmR 72 26,0 75,18 0 == Se o espaço não permite tal valor de R0, β pode ser aumentado e a came deve girar mais rápido para conservar o mesmo tempo de elevação. 2.5.3 Came de Disco com Seguidor Oscilante de Rolete Na Figura 2.29 vê-se o início do traçado de uma came de disco com seguidor oscilante de rolete. O ângulo de elevação ψ é função do ângulo de rotação da came θ. Embora a came gire de θ para o ângulo de elevação ψ, o raio R gira segundo o ângulo φ. Especificando-se valores de R e φ, é possível obter-se o contorno da came. Figura 2.29 - Came de Disco com Seguidor Oscilante de Rolete Da Figura 2.29 pode-se ver que Equação 2.13 φ = θ - λ onde Equação 2.14 λ = β - Γ O ângulo β é uma constante do sistema e pode-se obter sua equação usando-se o triângulo OOA ′ . Assim, UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 45 Prof. Douglas Roberto Zaions Equação 2.15 0 22 0 2 2 cos SR lRS −+=β onde S, R0 e l têm dimensões fixas. O ângulo Γ é função de R; sua equação pode ser obtida do triângulo OOB ′ como Equação 2.16 SR lRS 2 cos 222 −+=Γ Também pode-se escrever uma equação para R, a partir do triângulo OOB ′ Equação 2.17 ( )Σ+−+= ψcos2222 lSSlR O ângulo ∑ é uma constante determinada a partir do triângulo OOA ′ como Equação 2.18 lS RSl 2 cos 2 0 22 −+=Σ e o ângulo ψ é o ângulo de elevação para um determinado ângulo de rotação da came θ. Portanto, das equações precedentes, os valores de R e φ podem ser calculados a partir de valores de θ e dos correspondentes ângulos de elevação ψ. No projeto deste tipo de came, é necessário verificar se há rebaixos e conferir o ângulo de pressão máximo. As equações do raio de curvatura e do ângulo de pressão podem ser obtidas com mais facilidade pelo método de variáveis complexas de Raven. A Figura 2.30 mostra o esboço de uma came de disco e um seguidor oscilante de rolete, com o raio de curvatura da superfície primitiva ρ e o ângulo de pressão α. O ponto O é o centro da came, o pondo D é o centro da curvatura e o ponto O′ , o centro de rotação do seguidor. A elevação angular do seguidor a partir da horizontal é σ, que é dada pela equação Equação 2.19 ( )θσσ f+= 0 onde f(θ) é a elevação angular desejada para o seguidor, a partir de um ângulo de referência σ0 (não mostrado na figura). Da Figura 2.30, o ângulo de pressão α é dado por γπσα −−= 2 Substituindo-se a equação 19 por σ Equação 2.20 ( )[ ] γπθσα −−+= 20 f Elementos de Máquinas III 46 A fim de se obter uma expressão para o ângulo γ, determinam-se duas equações de posição, independentes, para o ponto A, centro do rolete. A primeira equação é obtida seguindo-se o trajeto (O-D-A) e a outra, seguindo-se o trajeto (O-B-O’-A). Figura 2.30 - Ângulo de pressão A equação para o primeiro trajeto é dada por γδ ρeerR ′+′= Equação 2.21 ( ) ( )γγρδδ isenisenr +++= coscos A equação para o segundo trajeto é dada por σilebiaR ++= Equação 2.22 ( )σσ isenlbia +++= cos Separando-se as partes reais e imaginárias das equações 21 e 22, Equação 2.23 σγρδ coscoscos lar +=+ Equação 2.24 σγρδ lsenbsenrsen +=+ Derivando as equações 23 e 24 em relação a θ, θ σσθ γγρθ δδ d dlsen d dsen d drsen −=−− θ σσθ γγρθ δδ d dl d d d dr coscoscos =+ UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 47 Prof. Douglas Roberto Zaions Para uma rotação infinitesimal da came, ρ pode ser considerado como constante. Assim, o ponto D, o centro de curvatura da came no ponto de contato e r podem ser considerados como fixos à came para um acréscimo de rotação dθ. Portanto,o valor de dδ é igual a dθ e como δ diminui quando θ cresce, segue-se que dδ/dθ = -1. Também, dσ/dθ = f’(θ). Portanto, Equação 2.25 ( ) σθθ γγρδ senfl d dsenrsen ′−=− Equação 2.26 ( ) σθθ γγρδ coscoscos fl d dr ′=+− Eliminando-se dγ/dθ nas equações 25 e 26, ( ) ( ) σθδ σθδγ coscos flr senflrsentg ′+ ′+= Os termos r cosδ e r senδ podem ser calculados das equações 23 e 24, dando Equação 2.27 ( )[ ]( )[ ]θσ θσγ fla flsenbtg ′++ ′++= 1cos 1 que, quando substituída na equação 20, dará i ângulo de pressão α. Para se determinar αmax, será necessário o emprego de gráficos semelhantes aos dados por Kloomok e Muffley. Para se calcular o raio de curvatura ρ, é necessário primeiro derivar a equação 27 em relação a θ. Substituindo dγ/dθ da equação 26 e com o auxílio da equações 19,23 e 27, obtém- se a seguinte equação para ρ: Equação 2.28 [ ]( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )θσσθθρ flbasenfbCaCfDC DC ′′−+′+−′++ += cos122 2 3 22 onde ( )[ ]θσ flaC ′++= 1cos ( )[ ]θσ flsenbD ′++= 1 Para evitar o rebaixo, ρ deve ser maior do que o raio do rolete. Portanto, é possível determinar-se ρmin para cada posição do perfil da came. Para isso, é necessário o emprego de gráficos semelhantes aos dados por Kloomok e Muffley. Elementos de Máquinas III 48 2.6 EXERCÍCIOS 1 - Um seguidor se desloca com movimento harmônico H-1, elevando-se 25 mm em 4 π rad de rotação da came. O seguidor então se eleva de mais 25 mm com movimento cicloidal C- 2, para completar o curso de elevação. O seguidor repousa e retorna 25 cm com movimento cicloidal C-3 e os 25mm restantes com movimento harmônico H-4 em 4 π rad. (a)Determine os ângulos de rotação da came para os movimentos cicloidais e para o repouso combinando velocidades e acelerações. (b)Determine a equação para o deslocamento S em função de θ para cada tipo de movimento, tendo como origem das abscissas o ponto O, origem dos eixos coordenados, de modo que o deslocamento possa ser calculado para qualquer ângulo θ usando-se a equação adequada. 2 - No diagrama de deslocamento mostrado na figura 1 abaixo, deseja-se obter uma elevação total de 37,5mm com um seguidor radial de face plana combinando o movimento cicloidal C-1 com o harmônico H-2. (a) Usando os dados do diagrama, determine o ângulo β2, referente ao movimento harmônico, a fim de que haja continuidade de velocidades e de acelerações em B, ponto de transição entre os dois movimentos. (b) Determine o comprimento máximo teórico da face do seguidor necessário para os dois movimentos. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 49 Prof. Douglas Roberto Zaions 3 - No desenho mostrado na figura 2 abaixo, a came de disco é empregada para posicionar o seguidor radial de face plana em um mecanismo de computo. O perfil da came deve ser projetado para dar um deslocamento S ao seguidor de acordo com a função s =kθ2 , partindo do repouso, quando a came girar no sentido anti-horário. Para 60o de rotação da came, a partir da posição inicial, a elevação do seguidor é de 10 mm. Determine analiticamente as distâncias R e l quando a came tiver girado 45o a partir da posição inicial. Verifique a existência de pontas no contorno da came durante a rotação de 600. Elementos de Máquinas III 50 3 ENGRENAGENS 3.1 INTRODUÇÃO A norma NBR 6174 define engrenagem como todo elemento mecânico denteado de forma constante, destinado a transmitir, movimento e/ou receber movimento de um outro elemento mecânico denteado também de forma constante, pela ação dos dentes em contato sucessivos. As engrenagens são usadas para transmitir torque e velocidade angular em uma grande variedade de aplicações mecânicas. Permitem a redução ou o aumento do torque com perdas muito pequenas de energia, e aumento ou redução de velocidades angulares sem nenhuma perda. Baseada nas superfícies básicas usadas para a transmissão do movimento, as engrenagens podem ser divididas em: (i) Engrenagens cilíndricas; (ii) Engrenagens cônicas; e (iii) Engrenagens hiperbolóidicas. Na transmissão de movimentos deve-se também considerar as Engrenagens coroa e sem-fim. A Figura 3.1 a) e b) ilustra engrenagens cilíndricas de dentes retos externos e internos respectivamente. As engrenagens cilíndricas de dentes retos externos são geralmente utilizadas em transmissões que necessitam mudanças de engrenagens em serviço pois são fáceis de engatar. São preferencialmente usadas em transmissões de baixa rotação ao invés de alta devido ao ruído que produzem. As engrenagens cilíndricas com dentes internos são usadas em transmissões planetárias e transmissões finais de máquinas pesadas e são bastante utilizadas para melhor aproveitamento do espaço. Apresentam rendimento em torno de 98 a 99 %. As engrenagens cilíndricas com dentes helicoidais são empregadas em escala um pouco menor que as engrenagens com dentes retos, e podem ser montadas além dos eixos paralelos (Figura 3.1-d), com eixos reversos(Figura 3.3-a). Possuem rendimento de 96 a 99%. São menos ruidosas, possuem melhor capacidade de carga e são usadas em velocidades mais elevadas. Transmitem esforços axiais ao eixo em virtude da inclinação do dente. Para evitar UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica 51 Prof. Douglas Roberto Zaions este inconveniente usa-se as rodas helicoidais duplas (Figura 3.1-e) ou espinha de peixe (Figura 3.1-f). Figura 3.1 – Engrenagens cilíndricas. Fonte: Niemann: 1971 Figura 3.2 – Engrenagens Cônicas Fonte: Niemann: 1971 As engrenagens cônicas são utilizadas para transmissão de movimento entre eixos concorrentes e apresentam elevada capacidade de carga. Exigem precisão de montagem e Elementos de Máquinas III 52 transmitem esforços axiais aos eixos. Podem ser de dentes retos(Figura 3.2-a), dentes helicoidais(Figura 3.2-b) ou dentes curvos(Figura 3.2-c) Para elevadas velocidade é necessário o uso de dentes curvos. A Zerol é uma cônica de dentes curvos fabricada pela Gleason. Rendimento de 98%. Segundo Niemann (1971), as engrenagens cônicas são empregadas para relações de transmissão (multiplicação) até 6 e para relações de multiplicação acima de 1,2, são em geral mais caras que as engrenagens cilíndricas. Figura 3.3 – Engrenagens: a) helicoidal, b) coroa sem-fim Fonte: Niemann: 1971 As engrenagens coroa sem-fim (Figura 3.3-b) apresentam a vantagem de oferecer grandes reduções e de podem ser utilizadas para controle preciso de movimento circular de algum elemento, como por exemplo uma mesa divisora. Seu rendimento é baixo e varia de 45 a 97%, sendo portanto grande parte da potência transformada em calor, necessitando-se muitas vezes de aletas de refrigeração ou mesmo de radiador com ventilador para resfriamento da unidade. A capacidade de redução pode ser de até 60 ( com limite extremo de 100). Amortecem vibrações e são menos ruidosas que as reduções com outros tipos de engrenagens. As engrenagens cilíndricas com dentes helicoidais cruzados (Figura 3.3-a), são utilizadas para eixos reversos para uma pequena distância entre eixos, para cargas pequenas e relações de transmissão de 1 a 5 aproximadamente (NIEMANN, 1971). As engrenagens hiperbolóidicas (Figura 3.4) são utilizadas para transmissão de movimento entre eixos reversos e possuem elevada capacidade de carga. São muito utilizadas em tratores e veículos automotores em geral em diferenciais onde é essencial a questão da altura do eixo propulsor. Os principais
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