Função+In..

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Função Inversa
Aprendemos, há algumas aulas, que as funções são relações entre conjuntos numéricos. Que elas associam um elemento de um conjunto a um elemento de outro conjunto. Vejamos o caso da função f(x) = 2x + 4.
Tabela de f(x) = 2x + 4;
	x
	f(x)
	Se x = -2;
	f(x) = 0;
	Se x = 0;
	f(x) = 4;
	Se x = 1;
	f(x) = 5;
Gráfico de f(x) = 2x + 4;
A função f(x) = 2x + 4 relaciona o conjunto x, que é idêntico ao conjunto dos números reais 
(infinito), com o conjunto y, que também é idêntico ao conjunto dos números reais e também é infinito.
Repare o sentido das flechas. O conjunto de partida (x) é o domínio e o conjunto de chegada (y) é o contradomínio. É óbvio que só colocamos alguns poucos elementos de x e de y, pois os dois conjuntos são infinitos, o que vai gerar infinitas flechas ligando cada elemento de x a um elemento de y. Repare que as mesmas informações que estão no diagrama estão no gráfico e também na tabela. Por exemplo: f(0) = 4; f(-2) = 0; etc...
Repare agora, no diagrama da função 
. Observe que o seu diagrama é dado por:
Compare o diagrama de f(x) com o de g(x). Note que: f(-2) = 0 e g(0) = - 2; g(4) = 0 e f(0) = 4. Perceba que g(x) estabelece a relação inversa de f(x) entre os dois conjuntos. Dizemos então, que g(x) é a função inversa de f(x) – ou que f(x) é a função inversa de g(x) – e, matematicamente escrevemos: g(x) = f -1(x) ou f(x) = g -1(x). O símbolo f -1(x) significa “função inversa de f(x)”, assim como g –1(x) significa “função inversa de g(x)”.
Como fazemos para descobrir a inversa de uma função?
Seja a função f(x) = 2x + 4. Para descobrir a função inversa:
- Substituímos x por g(x) e substituímos f(x) por x:
Neste caso, como 
, fazemos 
.
Isolamos g(x) no primeiro membro.
Vamos descobrir a inversa da função f(x) = x – 1.
Comparando as tabelas de f(x) = x – 1 e g(x) = x + 1, temos.
	�
�
Perceba que f(-2) = -3 e g(-3) = -2; f(0) = -1 e g(-1) = 0; etc... Se a função passa pelo ponto (-2, -3), a inversa passará pelo ponto (-3, -2). Se a equação passa pelo ponto (0, 1), a inversa passará pelo ponto (1, 0).
Veja se, de acordo com os exemplos anteriores, você concorda com esta propriedade: Se g(x) é função inversa de f(x), então
O conjunto domínio de f(x) será igual ao conjunto Imagem de g(x).
O conjunto imagem de f(x) será igual ao conjunto Domínio de g(x).
 dizemos: se g(x) = f -1(x) 
Dom{f(x)} = Im{g(x)} e Im{f(x)} = Dom{g(x)}.
Função Composta
Vamos pensar novamente na nossa função f(x) = 2x + 4. Imagine uma outra função, g(x) = x2. Vamos fazer com que o resultado de uma função seja utilizado na outra função. Dessa forma:
- em x = 2, f(2) = 8 e g(8) = 64. Logo, g(f(2)) = 64.
- em x = 1, f(1) = 6 e g(6) = 36. Logo, g(f(1)) = 36.
- em x = -1, f(-1) = 2 e g(2) = 4. Logo, g(f(2)) = 4.
- em x = 0. f(0) = 4 e g(4) = 12. Logo, g(f(0)) = 12.
A função g(f(x)) é o que chamamos de função composta.
Imagine que a função seja uma máquina onde colocamos um número e ela apresenta um outro número na saída, correspondente ao resultado da função:
Visão das funções f(x) = 2x + 4 e g(x) = x2 como uma máquina (esquema “caixa-preta”).
Então, a função composta é quando interligamos duas caixas, da seguinte forma:
função composta no esquema “caixa-preta”
A função g(f(x)) é chamada função composta de g(x) com f(x) e representada assim: gºf(x).
Preste atenção na tabela dessa função composta:
	x
	g(f(x))
	Demonstração
	-4
	16
	f(-4) = 2.(- 4)+4 = - 4
	g(- 4) = (- 4)2 = 16
	-3
	4
	f(-3) = 2.(- 3)+4 = - 2
	g(- 2) = (- 2)2 = 4
	-2
	0
	f(-4) = 2.(- 2)+4 = 0
	g(0) = (0)2 = 0
	-1
	4
	f(-1) = 2.(- 1)+4 = 2
	g(2) = (2)2 = 4
	0
	16
	f(-4) = 2.(0)+4 = 4
	g(4) = (4)2 = 16
	1
	36
	f(-4) = 2.(1)+4 = 6
	g(6) = (6)2 = 36
	2
	64
	f(-4) = 2.(2)+4 = 8
	g(8) = (8)2 = 64
	3
	100
	f(-4) = 2.(3)+4 = 10
	g(10) = (10)2 = 100
	4
	144
	f(-4) = 2.(4)+4 = 12
	g(12) = (12)2 = 144
Será que existe uma função h(x) cuja tabela seja igual a da função composta? Sim, existe. No caso, é a função h(x) = 4x2 + 16x + 16. Então dizemos que:
g(f(x)) = gºf(x) = h(x) = 4x2 + 16x + 16.
	Tabela de h(x)
	x
	h(x)
	Demonstração
	-4
	16
	4.(- 4)2 + 16.(- 4) + 16 = 16
	-3
	4
	4.(- 3)2 + 16.(- 3) + 16 = 4
	-2
	0
	4.(- 2)2 + 16.(- 2) + 16 = 0
	-1
	4
	4.(- 1)2 + 16.(- 1) + 16 = 4
	0
	16
	4.(0)2 + 16.(0) + 16 = 16
	1
	36
	4.(1)2 + 16.(1) + 16 = 36
	2
	64
	4.(2)2 + 16.(2) + 16 = 64
	3
	100
	4.(3)2 + 16.(3) + 16 = 100
	4
	144
	4.(4)2 + 16.(4) + 16 = 144
Como será que apareceu essa função? Como fazemos para achar a função equivalente à função composta? O método é simples se entendermos o conceito.
Observe que, se g(x) = x2, então, g(f(x)) = f(x)2. Como f(x) = 2x + 4 , g(f(x)) = (2x + 4)2 = 4x2 + 16x + 16.
Além de g(f(x)) podemos ter também a composição f(g(x))= fºg(x) = 2(g(x)) + 4 = 2x2 + 4, que é diferente de g(f(x)).
(Fatec – SP adaptado) Sejam 
 e 
definidas por 
 e 
. Se 
, então calcule o valor de t.
Passos para resolver o exercício:
Calcular f(g(x));
Calcular f(g(1)) = 16 e resolver o exercício.
Calculando f(g(x)), temos:
;
Como 
, então 
Como f(g(1)) = 16, logo:
Alguns tipos de função
Função constante: é toda função em que f(x) é igual a um número real somente, para qualquer valor de x.
Ex: f(x) = 3
Note que f(1) = f(2) = f(10) = f(1000000) = 3! Por isso chamamos de função constante. O gráfico de uma função constante pode ser dado por:
função constante
Função Crescente: é aquela em que, se x1 > x2, então teremos f(x1) > f(x2).
Ex: f(x) = 2x. Nesta função, f(8) = 16 > f(5) = 10, pois 8 > 5.
O gráfico de uma função crescente, é sempre inclinado para a direita. Em uma função crescente de primeiro grau o coeficiente que multiplica x é sempre positivo.
Ex:
função crescente
Função Decrescente: é aquela em que, se x1 > x2, então teremos f(x1) < f(x2).
Ex: f(x) = - x + 5. Nesta função, f(8) = 16 > f(5) = 10, pois 8 > 5.
O gráfico de uma função crescente, é sempre inclinado para a esquerda. Em uma função crescente de primeiro grau o coeficiente que multiplica x é sempre negativo.
Ex:
função decrescente
E a função f(x) = x2 mostrada abaixo, ela é crescente ou decrescente? Neste caso, dizemos que f(x) = x2 é decrescente no intervalo 
 e é crescente no intervalo 
. Confirme isso olhando no gráfico logo abaixo.
Função Par: é toda função onde f(-x) = f(x), ou seja, onde f(-3) = f(3), f(-1) = f(1), f(10) = f(-10). Um bom exemplo seria f(x) = x2 não é mesmo? Pois é, x2 é uma função par. Toda função par é simétrica em torno do eixo y, ou seja, o eixo y divide o desenho em duas partes iguais e opostas.
função par.
Outras funções pares são f(x) = x2 + 1, f(x) = x2 + 2, f(x) = x2 + 3, f(x) = 2x2, f(x) = 3x2, f(x) = 4x2, f(x) = 2x2 + 1, f(x) = 3x2 + 2, etc...
Veremos, mais adiante no curso, um outro tipo de função par, a função modular.
Função Ímpar: é toda função onde f(-x) = - f(x), ou seja, onde f(-3) = - f(3), f(-1) = - f(1), f(-10) = - f(10). Tomemos como exemplo f(x) = 2x. Note que:
	Tabela de f(x) = 2x. Note que, em cada momento, f(- x) = - f(x).
	f(1) = 2
	f(-1) = - 2
	f(2) = 4
	f(-2) = - 4
	f(3) = 6
	f(-3) = - 6
	f(4) = 8
	f(-4) = - 8
	f(5) = 10
	f(-5) = - 10
As funções f(x) = x, f(x) = 3x, f(x) = 4x, f(x) – x, f(x) = - 2x, etc... também são ímpares. O gráfico de uma função ímpar necessariamente passa pelo ponto (0,0) e a parte da função que se encontra no 1º quadrante é simétrica a parte que se encontra no 3º quadrante.
funções ímpares
Mas existem funções, como f(x) = x + 1, que não obedecem a nenhum desses critérios. Nesse caso, onde 
 e 
, dizemos que a função não é par e nem é ímpar.
Exercícios Propostos
(ITE – Bauru) Dadas as funções f(x) = 2x – 3 e g(x) = x3, determine (f º g)-1(x).
(Mack – SP adaptado) Se f(x – 1) = x2, então, qual o valor de f(2)?
(PUC – SP) Qual das funções a seguir é par?
n.d.a.
(Cescem – SP adaptado) Se f(x) = a + 1 e g(z) = 2z + 1, calcule g(f(x)).
(Mack – SP adaptado) Se f(x) = 2x – 1 e g(x) = x + 1, calcule g(f(2)).(Mack – SP adaptado) Se f(x) = 3x, g(x) = x2 – 2x + 1 e h(x) = x + 2, calcule h(f(g(2))).
(FCC – SP adaptado) Calcule a inversa da função 
.
(UFU – MG) se 
 é uma função estritamente crescente e ímpar, então sua inversa f-1 é:
Estritamente crescente e ímpar.
Estritamente decrescente e par.
Estritamente crescente e par.
Estritamente decrescente e par.
Nem par nem ímpar.
(UECE) Seja 
uma função definida por f(x) = mx + p. Se o gráfico de f passa pelos pontos P1(0,4) e P2(3,0), então o gráfico de f-1 passa pelo ponto:
(8, - 3)
(8, - 2)
(8, 2)
(8, 3)
(Santa – Casa SP adaptado) Se f-1 é a função inversa da função f, de R em R, definida por f(x) = 3x – 2, então qual o valor de f-1(-1)?
Respostas
9
a
2a+3
4
5
b
a
Bibliografia
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Rui. Matemática Fundamental, 2º grau. Volume Único. São Paulo: FTD, 1994.
Tabela de f(x)
Tabela de g(x)
_1300685980.unknown
_1300693337.unknown
_1300695486.unknown
_1317972210.xls
Plan1
		x		f(x)
		-3		-4
		-2.5		-3.5
		-2		-3
		-1.7		-2.7
		-1		-2
		0		-1
		1		0
		2		1
		2.4		1.4
		3		2
_1317972632.unknown
_1317972683.unknown
_1317972393.xls
Plan1
		x		g(x)
		-3		-2
		-2.5		-1.5
		-2		-1
		-1.7		-0.7
		-1		0
		0		1
		1		2
		2		3
		2.4		3.4
		3		4
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