P1_calculo_1_gabarito

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Primeira Prova de Ca´lculo I - 2011
Unifesp- 1o semestre - 30/04/2011
GABARITO
1a Questa˜o (2,5 pontos) Determine os seguintes limites:
(a) (0,5 ponto) lim
t→1
t2 + t− 2
t2 − 1
(b) (0,5 ponto) lim
x→−∞
9x4 + x
2x4 + 5x2 − x + 6
(c) (0,5 ponto) lim
x→0
sen(3x)
4x
(d) (1,0 ponto) lim
x→1
√
2x(x− 1)
|x− 1|
Soluc¸a˜o:
(a)
lim
t→1
t2 + t− 2
t2 − 1 = limt→1
(t + 2)���
�(t− 1)
(t + 1)���
�(t− 1) = limt→1
t + 2
t + 1
=
3
2
(b)
lim
x→−∞
9x4 + x
2x4 + 5x2 − x + 6 = limx→−∞
9x
4
x4
+ x
x4
2x
4
x4
+ 5x
2
x4
− x
x4
+ 6
x4
=
9
2
(c)
lim
x→0
sen(3x)
4x
=
1
4
lim
x→0
sen(3x)
x
· 3
3
=
3
4
lim
x→0
sen(3x)
3x
=
3
4
· 1 = 3
4
(d) Devemos analisar as derivadas laterais em x = 1 neste caso
lim
x→1+
√
2x(x− 1)
|x− 1| = limx→1+
√
2x���
�(x− 1)
���x− 1 =
√
2
lim
x→1−
√
2x(x− 1)
|x− 1| = limx→1−
−√2x����(x− 1)
���x− 1 = −
√
2
Logo o limite na˜o existe.
1
2a Questa˜o (2,5 pontos) Calcule f ′(x) para as func¸o˜es dos itens (a), (b) e (c). Calcule f ′(x), pela
definic¸a˜o de derivada, para a func¸a˜o do ı´tem (d).
(a) (0,5 ponto) f(x) =
x + 1
x− 1
(b) (0,5 ponto) f(x) = ln(x +
√
x2 + 1)
(c) (0,5 ponto) f(x) = cotg(3x2 + 5)
(d) (1,0 ponto) f(x) =
3
x2 + 1
Soluc¸a˜o:
(a) df
dx
= (x−1)−(x+1)
(x−1)2 =
−2
(x−1)2
(b) df
dx
=
(
1 + x√
x2+1
)
1
(x+
√
x2+1)
=
(√
x2+1+x√
x2+1
)
1
(x+
√
x2+1)
= 1√
x2+1
(c) Lembre-se que cot(x) = cos(x)
sen(x)
, logo
cot′(x) =
−sen(x)2 − cos2(x)
sen2(x)
= −cossec2(x).
(a fo´rmula de cot′(x) estava tambe´m no formula´rio e podia ser usada direta-
mente)
Assim: df
dx
= −6x · cossec2(3x2 + 5).
(d)
f(x + h) =
3
(x + h)2 + 1
f(x + h)− f(x) = 3
(x + h)2 + 1
− 3
x2 + 1
=
3(x2 + 1)− 3[(x + h)2 + 1]
[(x + h)2 + 1][x2 + 1]
=
−6hx− 3h2
[(x + h)2 + 1](x2 + 1)
f(x + h)− f(x)
h
=
−6x− 3h
[(x + h)2 + 1](x2 + 1)
lim
h→0
f(x + h)− f(x)
h
= lim
h→0
−6x− 3h
[(x + h)2 + 1](x2 + 1)
=
−6x
(x2 + 1)2
2
3a Questa˜o (2,5 pontos) Para a func¸a˜o
f(x) =
1− 2x
x2
, x > 0,
determine, quando existir:
(a) (0,5 ponto) Os cruzamentos da f(x) com os eixos.
(b) (0,5 ponto) Os pontos cr´ıticos e as regio˜es em que f(x) e´ crescente e decrescente.
(c) (0,5 ponto) Os pontos de inflexa˜o e as regio˜es de concavidade para cima e para
baixo.
(d) (0,5 ponto) As ass´ıntotas.
(e) (0,5 ponto) Esboce o gra´fico.
Soluc¸a˜o:
(a) O cruzamento da f(x) com o eixo x e´ dado por
f(x) =
1− 2 · x
x2
= 0⇒ x = 1
2
.
(b) Derivando a func¸a˜o teremos:
df
dx
= 2
x− 1
x3
igualando a` zero teremos o ponto cr´ıtico em x = 1. Os sinais da derivada primeira
permitem verificar se a func¸a˜o e´ crescente ou decrescente. Quando x > 1 tanto o
denominador quanto o numerador sa˜o positivos, portanto a derivada primeira e´
positiva e a func¸a˜o e´ crescente. Em 0 < x < 1 o numerador e´ negativo enquanto
o denominador continua positivo, portanto a primeira derivada e´ negativa, e a
func¸a˜o e´ descrescente neste intervalo.
(c) Os pontos de inflexo˜es sa˜o dados pela segunda derivada:
d2f
dx2
= −2 2x− 3
x4
Quando f ′′(x) = 0 teremos x = 3/2 como ponto de inflexa˜o. x4 e´ sempre
positivo, de forma que se x > 3/2 a derivada segunda e´ negativa e portanto a
concavidade e´ para baixo. Quando x < 3/2 a derivada segunda e´ positiva e
teremos concavidade para cima neste intervalo.
3
(d) Dentro do intervalo dado, teremos uma ass´ıntota horizontal, em y = 0
lim
x→+∞
1− 2x
x2
= lim
x→+∞
1/x2 − 2x/x2
x2/x2
= 0.
A ass´ıntota vertical em x = 0 na˜o esta´ no domı´nio da func¸a˜o, mas precisamos
estudar o comportamento da func¸a˜o conforme esta se aproxima de zero:
lim
x→0+
1− 2x
x2
= +∞
(e) Segue o gra´fico.
4
4a Questa˜o (2,5 pontos) Uma caixa de base quadrada e sem tampa tem um volume de 32.103 cm3.
Encontre as dimenso˜es da caixa que minimize a quantidade de material utilizado.
(Dica: Desenhe um diagrama do problema. Escreva as equac¸o˜es da a´rea superficial
e do volume da caixa.)
Soluc¸a˜o: Seja b o tamanho da base e h a sua altura.
O volume e´ 32.000 = b2h ⇒ h = 32.000/b2. A a´rea superficial da caixa aberta e´
S = b2 + 4hb (uma base de a´rea b2 e 4 lados de a´rea hb ).
Podemos usar a expressa˜o do volume para re-escrever a a´rea como S = b2+4(32.000/b2)b =
b2 + 4(32.000)/b.
Enta˜o
S ′(b) = 2b− 4(32.000)/b2 = 2(b3 − 64.000)/b2 = 0⇒ b = 3
√
64.000 = 40
Teremos enta˜o um mı´nimo absoluto, pelo teste da derivada primeira, pois S ′(b) < 0
se 0 < b < 40 e S ′(b) > 0 se b > 40. A caixa deve ter as dimenso˜es 40× 40× 20.
5