exercicios resolvidos volume de um paralelepipedo

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ítulo: Volume de um Paralelepípedo por Integral Tripla – Exercício Resolvido 
 
 Enunciado: 
Calcule o volume VVV do sólido delimitado pelas superfícies: 
• 0≤x≤20 \leq x \leq 20≤x≤2 
• 0≤y≤20 \leq y \leq 20≤y≤2 
• 0≤z≤50 \leq z \leq 50≤z≤5 
Sabendo que o integrando é constante f(x,y,z)=1f(x,y,z) = 1f(x,y,z)=1, determine o 
valor da integral tripla: 
V=∭E1 dVV = \iiint_E 1 \, dVV=∭E1dV 
Onde EEE é o paralelepípedo definido pelas superfícies acima. 
Escolha a alternativa correta: 
a) V=80V = 80V=80 
b) V=16V = 16V=16 
c) V=15V = 15V=15 
d) V=40V = 40V=40 
e) V=0V = 0V=0 
 
 Resolução: 
Nesse caso, o volume é simplesmente o produto das dimensões do 
paralelepípedo: 
V=(2−0)(2−0)(5−0)=2⋅2⋅5=20V = (2 - 0)(2 - 0)(5 - 0) = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 
20V=(2−0)(2−0)(5−0)=2⋅2⋅5=20 
Mas vamos resolver como integral tripla, para fins didáticos: 
V=∫02∫02∫051 dz dy dxV = \int_0^2 \int_0^2 \int_0^5 1 \, dz\, dy\, dxV=∫02∫02∫05
1dzdydx 
1. Integral em zzz: 
∫051 dz=5\int_0^5 1\, dz = 5∫051dz=5 
2. Integral em yyy: 
∫025 dy=5⋅2=10\int_0^2 5\, dy = 5 \cdot 2 = 10∫025dy=5⋅2=10 
3. Integral em xxx: 
∫0210 dx=10⋅2=20\int_0^2 10\, dx = 10 \cdot 2 = 20∫0210dx=10⋅2=20 
 
 Resposta final: 
V=20V = \boxed{20}V=20 
 Obs: Nenhuma das alternativas corresponde ao resultado correto! Isso pode 
ser proposital no exercício ou um erro de digitação.