Lista 1 _Equações Diferenciais_2012.1

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Engenharia de Produção, Engenharia Elétrica, Engenharia de Computação, 
Engenharia Mecatrônica e Engenharia Ambiental 
Disciplina: Equações Diferenciais ( 2010.2) 
Data: _____/_____/_____ Prof.: ____________ Turma: _________ 
Aluno(a): 
___________________________________________________________ 
 
Lista 1 
 (EDO de Primeira Ordem e de Ordem Superior) 
 
* Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem 
 
1) Indique a ordem da EDO e verifique se a função dada é uma solução. 
 
a) SIMsxayyy :.Re)3cos(,09 ==+′′ 
b) NÃOsxyyxyx :.Re2,0 ==′++ 
c) SIMskxyyyxyxyx :.Re,033 323 ==−′−′′+′′′ 
 
2) Encontre a EDO correspondente a família de curvas: 
 
a) 232 32:.Re, xyyskkxy =′ℜ∈+= 
b) y
x
y
skkxy ′=ℜ∈= 2:.Re,2 
c) )(1:.Re,1 xyyskkeyx y −′=ℜ∈+−= − 
d) Família de retas de inclinação m passando pela origem. 
x
yys =′:.Re 
 
e) Família de circunferências com centro em ox passando por (0,2). 
 
 
 
3) Resolva as EDO’ s a seguir e se indicado, encontre a solução particular que satisfaz as 
condições iniciais dadas: 
 
a) kxysydxxdy ==− :.Re0 
 
b) keyxsdyxxyydx y ==++ 52:.Re0)5(2 
 
c) 83)ln(:.Re1,3,32 22 −=+==′−=′ xyysyxyyyy 
 
d) )(cot)sec(cos)ln(:.Re,
2
,)ln()sen( xgxyseyxyyxy −====′ pi 
 
042:.Re 22 =+′+− yxyyxs
e) )3ln(
)ln(4
:.Re4,3,)ln( xysyxydxdyxx ==== 
f) ))(ln(:.Re kxxysyxyx +=+=′ 
 
g) 042:.Re2)0(, 22 =+++−=
−
+
=′ xxyysy
xy
xyy 
h) kyxyxsdyyxdxyx =−+=−++ 2
2
3
2
:.Re0)23()3( 
 
i) kyxsdy
y
xdxyx ==+ )ln(:.Re0)ln(2 2
2
 
 
j) xx exysyeyy )1(:.Re1)0(, +===−′ 
 
l) 2)
2
(:.Re2
2
2
−+==+′ x
ekyseyyx
x
x
 
m) 
1
:.Re0)1(
2
2
+
==+′+
x
kysxyyx 
n) 32:.Re63 22 xkeysxyxy −+==+′ 
o) 
22
2
:.Re1)1(
2
+
++
=+=++
x
kxxysxy
dx
dy
x 
p) kxyxxsxdydxyx =+=+− ln:.Re0)( 
 
 
Obs: Para as questões (4) e (5) temos a constante de decaimento ln(2)
5745
k −= 
4) Num castelo inglês existe uma velha mesa redonda de madeira que muitos afirmam ser a 
famosa Távola Redonda do Rei Arthur. Por meio de um contador Geiger (instrumento que 
mede a radioatividade) constatou-se que a massa M, atualmente existente na mesa, é de 
0,894 vezes a massa M0 de C14 que existe num pedaço de madeira viva com o mesmo peso 
da mesa. M0 é também a massa de C14 que existia na mesa quando esta foi feita a t anos. A 
mesa pode ser a famosa Távola Redonda ? (As lendas do Rei Arthur remontam os séculos 
11-12). 
 
Resp: t 928 anos, a mesa pode ser a famosa Távola Redonda≅ 
 
5) Numa caverna da França, famosa pelas pinturas pré-históricas, foram encontrados 
pedaços de carvão vegetal nos quais a radioatividade do C14 era 0,145 vezes a 
radioatividade normalmente encontrada num pedaço de carvão feito hoje. Calcule a idade 
do carvão encontrado e com isto dê uma estimativa para a época em que as pinturas foram 
feitas. 
 
-ln(0,145)Resp: t= .5745 (aproximadamente 16000 anos atrás)
ln(2)
Resp: t 2,24 horas, tome t e subtraia de 1 hora.≅
6) Uma certa cidade tinha uma população de 25.000 habitantes em 1960 e uma população 
de 30.000 em 1970. Assuma que sua população continuará a crescer exponencialmente a 
uma taxa constante. Que população os planejadores devem esperar para o ano 2000? 
 
46Resp: 25000 ...
5
� �
≅� �
� �
 
 
 
7) Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade 
presente. Após uma hora observam-se 1000 núcleos de bactérias na cultura, e após 4 horas, 
3000 núcleos. Determine: 
 
a) Uma expressão para o número de núcleos presentes na cultura, num tempo arbitrário t. 
 
b) O número de núcleos inicialmente existentes na cultura. 
 
( ) 0,366tResp: a) N t 694e b) 694=
 
 
8) Conhecemos de observações experimentais, que a temperatura superficial de um objeto 
varia numa taxa proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a do meio 
ambiente. Esta é a lei do resfriamento de Newton. Portanto, se T(t) é a temperatura do 
objeto no tempo t e Tα é a temperatura ambiente constante, temos a relação 
( )dTdt k T T k= − ∈ℜα , depende do material de que é constituída a superfície do objeto. 
 
Aplicação: Usando estes dados, considere uma substância posta numa corrente de ar. Sendo 
a temperatura do ar 30oC e resfriando a substância de 100oC para 70oC em 15 minutos, 
encontre o momento em que a temperatura da substância será de 40oC. 
 
ln(7)Resp: 
0,037
 
 
 
9) O corpo de uma vítima de assassinato foi descoberto. O perito da polícia chegou à 1:00h 
da madrugada e, imediatamente, tomou a temperatura do cadáver, que era de 34,8oC. Uma 
hora mais tarde ele tomou novamente a temperatura e encontrou 34,1oC. A temperatura do 
quarto onde se encontrava a vítima era constante a 20oC. Use a lei do resfriamento de 
Newton para estimar a hora em que se deu a morte, admitindo que a temperatura normal de 
uma pessoa viva é 36,5oC. 
 
 
 
 
 
L
EI
L
R
dt
dI
=+
Obs: Para as questões (10) e (11) utilize os resultados do texto abaixo. 
 
A equação básica que rege a quantidade de corrente I (em ampères) em um circuito simples 
do tipo RL (figura 1), consistindo de uma resistência R (em ohms), um indutor L (em 
henryes) e uma força eletromotriz (fem) E (em volts) é. 
 
 
 
 
 
Para um circuito do tipo RC (figura 2) consistindo de uma resistência R, um capacitor C 
(em farads), uma força eletromotriz E, a equação que rege a quantidade de carga elétrica q 
(em coulombs) no capacitor é 
dq
dt RC q
E
R
+ =
1
 e a relação entre q e I é dada por I
dq
dt= . 
 
 
 
 
 
 
10) Um circuito RL tem fem de 5 volts, resistência de 50 ohms e indutância de 1 henry. A 
corrente inicial é zero. Determine a corrente no circuito no instante t. 
Resp.: I t e t( ) = − +−1
10
1
10
50
 amp. 
Comentário: A quantidade 
−
−
1
10
50e t é chamada corrente transitória, pois tende a zero (se 
desvanece) quando t→∞. A quantidade 1
10
 é chamada corrente estacionária. Quando 
t→∞ a corrente I(t) tende para a corrente estacionária. 
 
 
 
11) Um circuito RC tem fem de 5 volts, resistência de 10 ohms, capacitância de 10-2 farads 
e inicialmente uma carga de 5 coulombs no capacitor. Determine: 
 
a) A corrente transitória. 
b) A corrente estacionária. Resp.: (a) − −99
2
10e t amp.; (b) 0 amp. 
 
Figura 1: circuito RL Figura 2: circuito RC 
* Equações Diferenciais Ordinárias de Ordem Superior 
 
12) Resolva as EDO´s abaixo: 
 
a) CBxAxxxyspyx +++==′′′ 2)ln(2:Re2 
 
b) BAxxexyspxexyyx ++−==′−′′ 2)1(:Re2 
c) BxAxyspyxyx ++==′+′′ )ln(2))(ln(2:Re12 
 
d) BxAyspyyx +==′+′′ )ln(:Re0 
 
e) kxyyspyyyyy +=−+=′==′−′′ 21ln:Re0)0(,1)0(,4)( 22 
 
 
13) Verifique se o conjunto das funções abaixo são linearmente independentes (LI) ou 
linearmente dependentes (LD). 
 
a) LDspxxyxyxy :Re34,, 23221 −=== 
 
b) LDspxsenyxyy :Re)(,)(cos,5 23221 === 
 
c) LDspxyxyxy :Re3,1, 321 +=−== 
 
d) LIspxyxyxy :Re,,1 2321 ==+= 
 
 
14) A função indicada )(1 xy é uma solução da ED dada. Encontre uma segunda solução 
)(2 xy LI com )(1 xy . 
 
 
a) xx xeyspeyyyy 2221 :Re044 ===+′−′′ 
 
b) 91 2
110 9 0 Re :
8
x xy y y y e sp y e′′ ′− + = = = 
 
c) )ln(:Re0167 42412 xxyspxyyyxyx ===+′−′′ 
 
d) 1 20 ln( ) Re : 1xy y y x sp y′′ ′+ = = = − 
 
2 2
1 2 3 4) x x x xe y C e C e C e C e− −= + + +
2 2
2 2
1 2 3 4 1 2 3 4
2 2 2 2) ( cos sen ) ( cos sen )
2 2 2 2
x xi x i x i i x i i xf y C e C e C e C e ou y e C x C x e C x C x−− −= + + + = + + +
15) Determine a solução geral das equações diferenciais lineares homogêneas com 
coeficientes constantes: 
 
a) 023 =+′−′′ yyyb) 084 =+′−′′ yyy 
 
c) 043 =+′′−′′′ yyy 
 
d) 02 =−′+′′ yyy 
 
e) 0454 =+′′− yyy )( 
 
f) 0y4 =+)(y 
 
 
 
Respostas: 
 
a) x22x1 eCeCy ++++==== 
 
b) x2seneCx2coseCy x22x21 ++++==== 
 
c) x23x22x1 xeCeCeCy ++++++++==== −−−− 
 
d) x22x1 eCeCy −−−−++++==== 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
* Transformada de Laplace 
 
 
 
 
 
16) Use a definição de transformada de Laplace para determinar { }-3teL . 1Resp: 
s+3
 
 
17) Sabendo que 
20
2 pi
=�
+∞
− dte x , calcule 
�
	
�
�
t
1
� . (Sugestão faça xst = ) �Resp: 
s
 
 
18) Sabe-se que { } )()( sFtf =� . Mostre que { } �
�
�
�
�
�
=
a
sF
a
atf 1)(� . 
 
 
19) Use a transformada da derivada de uma função e calcule { })cos(tt� . (Sugestão: use a 
segunda derivada da função). 
12
1
:Re 24
2
++
−
ss
s
sp . 
 
 
20) Determine { })cos(.2 tte t−� 
2540268
34
:Re 234
2
++++
++
ssss
ss
sp 
 
 
2)(
1
 te15.
as
at
−
→
2x
) '3 12 , y(0) 0
b) y' 2y x , y(0) 4
c) y' 4y 6e , y(0) 8
d) y' 2y 10senx , y(0) 1
e) y'' 2y' y 4 , y(0) 8 e y'(0) 2
a y y+ = =
+ = =
+ = =
+ = =
+ + = = =
xx
x
xx
x
xeeye
xsenxeyd
eeyc
e
R
−−
−
−
−
++=
+−=
+=
++=
=
644)
)(4)cos(23)
7)
4
17
2
x
 
4
1-
 y b)
4e-4y a)
:esp
2
24
2
3x-
21) Use a tabela de transformadas e determine a transformada das seguintes funções: 
4
-2x -2x xa) f(x) 5 x b) f(x) 7 e c) f(x) 5e sen(3x) d) f(x) 3
6
= + = + = = + 
4
2 2 2 5
5s 1 8s 14 15 3s 4Resp: a) b) c) d)
s s 2s s 4s 13 s
+ + +
+ + +
 
 
 
22) Use a tabela para determinar as transformadas inversas das funções a seguir: 
 
2
334sl)F(s) 
84s
1sk)F(s) 
106
5)()
23
325si)F(s) 
43
17sF(s) h) 
2)(s
3g)F(s) 
10
1)()
s
5
e)F(s) 
34ss
117sF(s) d) 
2ss
65s
c)F(s) 
3s
10F(s) b) 
s
5
a)F(s)
23
2
22
3
2
23
2
36
222
−+
++
=
++
+
=
++
=
+−
+−
=
−+
++
=
+
==
=
++
+
=
+
+
=
−
==
ss
s
sss
sFj
ss
s
ss
s
s
sFf
 
5
3x 2x x 3x
2 2x
x 2x x x 2x 3x
2x
xResp: a)f(x) 5 b)f(x) 10e c)f(x) 3 2e d)2e 5e e)f(x) 5x f)f(x)
1200
3x eg)f(x) h)f(x) e 3xe i)f(x) e 2xe 3e j)f(x) 5e senx
2
k)f(x) e cos(2
− − −
−
− − −
−
= = = + + = =
= = + = + + =
=
2x x x x1x) e sen(2x) l)f(x) 2e 2e cosx e senx
2
− − −
− = + −
 
 
 
23) Resolva as EDO’s a seguir usando Transformada de Laplace: