Buscar

Provas Antigas Calculo I UFES

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

C�lculo I/Lista CI/Lista1-2011-2.pdf
1
Prof.: Etereldes
Lista 1 - Parte I - Ca´lculo I - 2011/2
Revisa˜o: inequac¸o˜es, raiz e mo´dulo
Func¸a˜o: domı´nio, imagem e paridade
Gra´ficos que envolvem retas e mo´dulo
Resolva as inequac¸o˜es dos exerc´ıcios 1. a 12.
1. −3x+ 1 < 2x+ 5
2. x2 − 5x+ 6 < 0
3. 2x2 − x− 10 > 0
4. 3x2 − 7x+ 6 < 0
5. (x− 1)(1 + x)(2− 3x) < 0
6.
2x− 1
1− x < 0
7.
x
2x− 3 ≤ 3
8. (2x− 1)2 < 16
9. x+
1
x
> 2
10.
x2 − 7x+ 10
−x2 + 9x− 18 ≤ 0
11.
x+ 1
2− x <
x
x+ 3
12. x2 + x < x3 + 1
Nos exerc´ıcios 13. a 20. resolva para x e represente a soluc¸a˜o na reta nume´rica.
13. |x− 2| = 4
14. |x+ 3| = |2x+ 1|
15. |2x+ 3| = 2x+ 3
16. |3 + 2x| ≤ 2
17. |2x+ 5| > 3
18. |3− 4x| > x+ 2
19.
∣∣∣∣ 1x− 2
∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣ 52x− 1
∣∣∣∣
20.
∣∣x2 − 5x∣∣ < |x|2 − |5x|
Nos exerc´ıcios 21. a 24. a func¸a˜o real de varia´vel real e´ definida por sua expressa˜o anal´ıtica. Determine
o seu domı´nio.
21. f(x) =
1√|x| − x
22. y =
1
3
√
x+ 1
23. f(x) =
√
1−√1− x2
24. g(x) =
x√|x| − 1
25. f(x) =
√
1− x2 +√x2 − 1
Estude a variac¸a˜o do sinal das func¸o˜es dos exerc´ıcios 26. a 29.
26. f(x) = (2x− 3)(x+ 1)(x− 2)
27. f(x) =
x(2x− 1)
x+ 1
28. g(t) =
2t− 3
|1− t|(1− 2t)
29. F (x) = 2− 1
x
− x
30. Sejam x, y e z os lados de um triaˆngulo retaˆngulo, onde x e´ a hipotenusa. Se o triaˆngulo tem per´ımetro
igual a 6, indique a a´rea deste triaˆngulo em func¸a˜o da hipotenusa.
Nos exerc´ıcios 31. a 46. esboce o gra´fico da func¸a˜o, especificando o domı´nio, a imagem e, quando poss´ıvel,
a paridade (par ou ı´mpar).
31. f(x) = (2− x)|3− x|
32. f(x) =
3− x
|3− x|
33. f(x) = (x− 2)(x+ 1)
34. g(x) =
∣∣x2 − x− 2∣∣
35. f(x) = |3− x|+ |x− 1|
36. f(x) =
√
x(x− 2)
2
37. f(x) =
{
−√3− 2x se x < 32√
2x− 3 se x ≥ 32
38. y = | |x| − 2 |
39. f(x) =
√|x2 − 16|
40. g(x) =
{
4 +
√
25− x2 se −5 ≤ x ≤ 5
4 se x < −5 ou x > 5
41. f(x) =
√−x
42. f(x) = x
(√|x|)2
43. f(x) =
∣∣x2 − 4x+ 3∣∣
x− 1
44. y =
∣∣x3 − 5x2 + 2x+ 8∣∣
x− 2
45. 21. y =
{
1− x2 , −1 < x < 1
x2 − |x| , x ≤ −1 ou x ≥ 1
RESPOSTAS
1. x > − 4
5
2. 2 < x < 3
3. x < −2 ou x > 5
2
4. ∅
5. −1 < x < 2
3
ou x > 1
6. x < 1
2
ou x > 1
7. x < 3
2
ou x ≥ 9
5
8.
(− 3
2
, 5
2
)
9. (0, 1) ∪ (1,∞)
10. (−∞, 2] ∪ (3, 5] ∪ (6,∞)
11. (−∞,−3) ∪ (2,∞)
12. (−1, 1) ∪ (1,∞)
13. {6,−2}
14.
{
2,− 4
3
}
15.
[− 3
2
,∞)
16.
[− 5
2
,− 1
2
]
17. (−∞,−4) ∪ (−1,∞)
18.
(−∞, 1
5
) ∪ ( 5
3
,∞)
19.
(−∞, 1
2
) ∪ ( 1
2
, 11
7
] ∪ [3,∞)
20. ∅
21. x < 0
22. x 6= −1
23. −1 ≤ x ≤ 1
24. x < −1 ou x > 1
25. x = −1 ou x = 1
26. f(x)

< 0 se x < −1 ou 3
2
< x < 2
= 0 se x = −1 ou x = 3
2
ou x = 2
> 0 se −1 < x < 3
2
ou x > 2
27. f(x)

< 0 se x < −1 ou 0 < x < 1
2
= 0 se x = 0 ou x = 1
2
> 0 se −1 < x < 0 ou x > 1
2
28. g(t)

< 0 se t < 1
2
ou t > 3
2
= 0 se t = 3
2
> 0 se 1
2
< t < 1 ou 1 < t < 3
2
29. F (x)

< 0 se 0 < x < 1 ou x > 1
= 0 se x = 1
> 0 se x < 0
30. Seja S = S(x) a a´rea do triaˆngulo. Como y e z sa˜o os catetos, S = 1
2
yz, que denotamos por (eq. 1).
Foi dado o per´ımetro P = x + y + z = 6, logo y + z = 6 − x. Elevando ambos os lados dessa u´ltima equac¸a˜o ao
quadrado, obtemos a equac¸a˜o y2 + 2yz + z2 = 36− 12x+ x2 , que denotamos por (eq. 2).
Como x e´ a hipotenusa, sabemos que x2 = y2 + z2 , que denotamos por (eq. 3).
Na (eq. 2), substituindo-se o valor de x2 dado pela (eq. 3), obtemos y2 + 2yz + z2 = 36− 12x+ y2 + z2.
Simplificando essa equac¸a˜o, 2yz = 36− 12x, explicitando o produto yz = 12(3− x)
2
= 6(3− x).
Agora, substituindo-se o produto yz na (eq. 1), obtemos S = 1
2
· 6(3− x), logo S(x) = 3(3− x).
31. 32. 33. 34. 35.
y
x0
2
4
6
2 4 6
dom = R;
im = R
x
y
–2
–1
1
2
1 2 3 4
dom = R− {3};
im = {−1, 1}
y
x
–2
0
2
–2 –1 1 2
dom = R;
im =
[− 9
4
,∞)
y
x
–2
2
4
–2 –1 1 2 3
dom = R;
im = [0,∞)
y
x0
2
4
–1 1 2 3 4
dom = R;
im = [2,∞)
36. 37. 38. 39. 40.
y
x
2
4
–2 2 4
dom = (−∞, 0] ∪ [2,∞);
im = [0,∞)
y
x
–2
0
2
–2 2 4
dom = R;
im = R
y
x0
2
4
–4 –2 2 4
dom = R;
im = [0,∞)
e´ par
x
y
2
4
6
8
–6 –4 –2 2 4 6
dom = R;
im = [0,∞)
e´ par
y
x0
2
4
6
8
10
–8 –6 –4 2 4 6 8
dom = R;
im = [4, 9]
e´ par
3
41. 42. 43. 44. 45.
y
x
2
–3 –2 –1
dom = (−∞, 0];
im = [0,∞)
y
x
–4 –2 2 4
dom = R;
im = R
e´ ı´mpar
x
y
–4
–2
0
2
dom = R− {1};
im = (−∞,−2) ∪ [0,∞)
x
y
–6
–4
–2
2
4
6
–2 2 4 6 8
dom = R− {2};
im = R
x
y
2
4
–2 2
dom = R;
im = [0,∞)
e´ par
Lista 1 - Parte II - Ca´lculo I - 2011/2
Operac¸o˜es com func¸o˜es
Func¸a˜o composta
Transformac¸o˜es em gra´ficos
1. Se f(x) = 3x2 + 2 e g(x) =
1
3x+ 2
, determine:
(a) (f + g)(x)
(b) (f(x))−1
(c) (f · g)(x)
(d)
(
f
g
)
(x)
(e)
(
g
f
)
(x)
(f) (f ◦ g)(x)
2. Seja f(x) =
3− x
x
. Determine:
(a) f
(
x2
)− (f(x))2 (b) f ( 1
x
)
− 1
f(x)
(c) (f ◦ f)(x)
3. Dadas f(x) =
{ −x , x < 0
x2 , x ≥ 0 e g(x) =
{
1
x
, x < 0√
x , x ≥ 0
, determine:
(a) (f ◦ g)(x)
(b) (g ◦ f)(x)
Nos exerc´ıcios 4. a 11., a partir do gra´fico da func¸a˜o y = f(x) dado abaixo, esboce o gra´fico da func¸a˜o dada.
4. y = f (|x|)
5. y = |f(x)|
6. y = f(−x)
7. y = −f(x)
8. y = f(x+ 2)
9. y = f(x) + 3
10. y =
f(x) + |f(x)|
2
11. y =
f(x)− |f(x)|
2
x
y = f(x)
–4
–2
0
2
4
–8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14
Esboce os gra´ficos das func¸o˜es dos exerc´ıcios 12. a 17.
12. f(x) = 8− 3√ x
2
− 1
13. f(x) =
√
2|x| − 6
14. f(x) = |x− 1|3
15. f(x) = 1 + 3
√
1− x
16. f(x) = (|x| − 1)3
17. f(x) =
∣∣x2 − 4|x|+ 3∣∣
Nos exerc´ıcios 18. a 21. determime o domı´nio, a imagem e esboce o gra´fico da func¸a˜o dada.
18. f(x) = 3 sen (2pix)
19. f(x) = tan
(x
2
) 20. f(x) =
∣∣∣∣ sen (x2)− 12
∣∣∣∣ , 0 ≤ x ≤ 4pi
21. f(x) =
1
2
sec
(
x− pi
3
)
4
RESPOSTAS
1. (a) y =
9x3 + 6x2 + 6x+ 5
3x+ 2
, x 6= −2
3
(b) y =
1
3x2 + 2
(c) y =
3x2 + 2
3x+ 2
, x 6= −2
3
(d) y = 9x3 + 6x2 + 6x+ 4, x 6= −2
3
(e) y =
1
9x3 + 6x2 + 6x+ 4
, x 6= −2
3
(f) y =
18x2 + 24x+ 11
9x2 + 12x+ 4
, x 6= −2
3
2. (a) y =
6x− 2x2 − 6
x2
(b) y =
9x− 3x2 − 3
3− x
(c) y =
4x− 3
3− x
3. (a) (f ◦ g)(x) =
{
− 1
x
, x < 0
x , x ≥ 0
(b) (g ◦ f)(x) =
{ √−x , x < 0
x , x ≥ 0
4.
y
x
–4
–2
2
4
–14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14
5.
y
x
–4
–2
2
4
–14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14
6.
y
x
–4
–2
2
4
–14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14
7.
y
x
–4
–2
2
4
–14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14
8.
y
x
–4
–2
2
4
–14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14
9.
y
x
–2
0
2
4
6
–14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14
10.
y
x
–4
–2
2
4
–14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8
10 12 14
11.
y
x
–4
–2
2
4
–14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14
12.
y
x
–2
2
4
6
8
10 20
13.
y
x
0
2
4
6
8
–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10
14.
x
y
1
2
–2 2 4
15.
y
x
–2
0
2
–4 –2 2 4 6
16.
x
y
–1
1
2
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
17.
y
x
2
4
–6 –4 –2 2 4 6
18.
y
x
–2
0
2
–6 –4 –2 2 4 6
19.
y
x
–10
10
–10 10
20.
x0
1
2
3
5 10
21.
y
x
–10
–5
5
10
–15 –10 –5 5 10 15
C�lculo I/Lista CI/Lista10-CalculoI-2011-2.pdf
1
Prof.: Etereldes
Lista 10 - Ca´lculo I - 2011/2
Regra de L’Hoˆpital
Calcule os limites dos exerc´ıcios 1. a 12.
1. lim
x→0
cos2x− 1
ex2 − 1
2. lim
x→1+
(lnx)x−1
3. lim
x→+∞
(
x2 − 1) e−x2
4. lim
x→+∞
ln (lnx)
lnx
5. lim
x→0+
ln( arcsenx)
cotx
6. lim
x→0
x
arctanx
7. lim
x→+∞
(
2
pi arctanx
)x
8. lim
x→+∞
(
cos
2
x
)x2
9. lim
x→0+
(
tan
pi
x+ 2
)x
10. lim
x→0
(
1
e (1 + x)
1
x
) 1
x
11. lim
x→0
(
1 + ex
2
)cothx
12. lim
x→0+
(
senhx
x
) 1
x
Nos exerc´ıcios 13. e 14. encontre o valor de a que satisfaz a igualdade.
13. lim
x→+∞
(
1 + e2x
2
) a
x
=
√
e 14. limx→+∞
(
x+ a
x− a
)x
= 4
Nos exerc´ıcios 15. a 22. encontre, se existirem, as ass´ıntotas horizontais e verticais do gra´fico
da func¸a˜o.
15. f(x) =
x
lnx
16. f(x) =
e−
1
x2
x
17. f(x) = e
1
x
18. f(x) = x2 lnx
19. f(x) = e−x2
20. f(x) = xe−x
21. f(x) = x coshx
22. f(x) = pix
3
RESPOSTAS
2
1. −1
2. 1
3. 0
4. 0
5. 0
6. 1
7. e−
2
pi
8. e−2
9. 1
10. e−
1
2
11. e
1
2
12. 1
13. 14
14. ln 2
15. Ass´ıntota vertical: x = 1
16. Ass´ıntota horizontal: y = 0
17. Ass´ıntota vertical: x = 0
Ass´ıntota horizontal: y = 0
18. Na˜o tem ass´ıntotas
19. Ass´ıntota horizontal: y = 0
20. Ass´ıntota horizontal: y = 0
21. Na˜o tem ass´ıntotas
22. Ass´ıntota horizontal: y = 0
C�lculo I/Lista CI/Lista11-CalculoI-2011-2.pdf
1
Prof.: Etereldes
Lista 11 - Ca´lculo I - 2011/2
Esboc¸o de gra´ficos
Nos exerc´ıcios 1. a 8. esboce o gra´fico da func¸a˜o f e deˆ explicitamente o que se pede:
• domı´nio D de f ; • paridade de f ; • equac¸o˜es das ass´ıntotas verticais e horizontais do gra´fico;
• intervalos de D em que f e´ cont´ınua;
• intervalos de D onde f e´ crescente e onde f e´ decrescente;
• extremos relativos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem;
• intervalos onde a concavidade do gra´fico e´ para cima, onde e´ para baixo e os seus pontos de inflexa˜o;
• extremos absolutos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem.
1. f(x) =
x3 − 2
x
2. f(x) =
16− x2
(x− 2)2
3. f(x) = (x− 1)x2/3
4. f(x) =
3x+ 1√
x2 − 2x− 3
5. f(x) =
3x2
4− 4x+ x2
6. f(x) = −1− 1
x
+
1
x2
7. f(x) = x+ senx
8. f(x) = x− 5 arctanx
9. Seja f : R∗ −→ R duas vezes diferencia´vel e tal que
• f(x) 6= 0, ∀x ∈ R∗, f(−1) = −2 e f(1) = 3;
• lim
x→0−
f(x) = −∞, lim
x→0+
f(x) = 0, lim
x→−∞ f(x) = −∞, limx→∞ f(x) = 0,
• f ′′(x) < 0 se {x 6= 0 e x < 2}, f ′′(x) = 0 se x = 2 , f ′′(x) > 0 se x > 2;
• o gra´fico de f ′ esta´ dado ao lado.
Nestas condic¸o˜es,
(a) prove que f(x) > 0, ∀x > 0
(b) prove que f(x) < 0, ∀x < 0
(c) esboce um poss´ıvel gra´fico de f .
Gra´fico de y = f ′(x)
y
x
–4
–2
0
2
4
–2 1 2 3 4 5 6 7 8
Esboce os gra´ficos dos exerc´ıcios 10. a 17.
10. f(x) =
x
lnx
11. f(x) =
e−
1
x2
x
12. f(x) = e
1
x
13. f(x) = x2 lnx
14. f(x) = e−x
2
15. f(x) = xe−x
16. f(x) = x coshx
17. f(x) = pix
3
2
RESPOSTAS
1.
x
y
–10
10
20
–2 –1 1 2 3 4
D = (−∞, 0) ∪ (0,∞); nem par, nem ı´mpar; cont´ınua em D; ass´ıntota vertical:
x = 0, na˜o tem ass´ıntota horizontal; na˜o tem reta tangente vertical; crescente em
(−1, 0) ∪ (0,∞), decrescente em (−∞,−1); mı´nimo relativo = f(−1) = 3, na˜o tem
ma´ximo relativo; concavidade para cima em (−∞, 0)∪( 3√2,∞), para baixo em (0, 3√2),
ponto de inflexa˜o =
(
3
√
2, f
(
3
√
2
))
=
(
3
√
2, 0
)
; na˜o tem mı´nimo absoluto pois lim
x→0+
f(x) =
−∞, na˜o tem ma´ximo absoluto pois lim
x→0−
f(x) =∞ ; imagem = (−∞,∞).
2.
y
x
–2
0
2
4
6
8
–20 –12 –8 4 8 12 16 20
D = (−∞, 2) ∪ (2,∞); nem par, nem ı´mpar; cont´ınua em D; ass´ıntota vertical:
x = 2, ass´ıntota horizontal: y = −1; na˜o tem reta tangente vertical; crescente em
(−∞, 2) ∪ (8,∞); decrescente em (2, 8); mı´nimo relativo = f(8) = −4/3, na˜o tem
ma´ximo relativo; concavidade para cima em (−∞, 2) ∪ (2, 11), para baixo em (11,∞),
ponto de inflexa˜o = (11, f(11)) = (11,−35/27); mı´nimo absoluto = f(8) = −4/3, na˜o
tem ma´ximo absoluto pois lim
x→2
f(x) =∞ ; imagem = [−4/3,∞).
3.
y
x
–1
1
–3 –2 –1 1 2 3 4
D = (−∞,∞); nem par, nem ı´mpar; cont´ınua emD; na˜o tem ass´ıntota vertical, na˜o tem
ass´ıntota horizontal; reta tangente vertical: x = 0; crescente em (−∞, 0) ∪ (2/5,∞);
decrescente em (2, 2/5); mı´nimo relativo = f(2/5) =
(−3 3√20) /25, ma´ximo relativo
= f(0) = 0; concavidade para cima em (−1/5, 0) ∪ (0,∞), para baixo em (−∞,−1/5),
ponto de inflexa˜o =
(−1/5,−6 3√5/25); na˜o tem mı´nimo absoluto pois lim
x→−∞
f(x) = −∞,
na˜o tem ma´ximo absoluto pois lim
x→∞
f(x) =∞ ; imagem = (−∞,∞).
4.
y
x
–6
–4
–2
2
4
6
8
–10 –5 5 10
D = (−∞,−1) ∪ (3,∞); nem par, nem ı´mpar; cont´ınua em D; ass´ıntotas verticais:
x = −1 e x = 3, ass´ıntotas horizontais: y = −3 e y = 3; na˜o tem reta tangente
vertical; crescente em (−∞,−2); decrescente em (−2,−1) ∪ (3,∞); na˜o tem mı´nimo
relativo, ma´ximo relativo = f(−2) = −√5; concavidade para cima em (−∞,−3)∪(3,∞),
para baixo em (−3,−1), ponto de inflexa˜o = (−3,−4√3/3); na˜o tem mı´nimo absoluto
pois lim
x→−1−
f(x) = −∞, na˜o tem ma´ximo absoluto pois lim
x→3+
f(x) = ∞ ; imagem
=
(−∞,−√5] ∪ (3,∞).
5.
y
x
0
10
20
30
–10 –5 5 10 15
D = (−∞, 2) ∪ (2,∞); nem par, nem ı´mpar; cont´ınua em D; ass´ıntota vertical:
x = 2, ass´ıntota horizontal: y = 3; na˜o tem reta tangente vertical; crescente em (0, 2);
decrescente em (−∞, 0)∪ (2,∞); mı´nimo relativo = f(0) = 0, na˜o tem ma´ximo relativo;
concavidade para cima em (−1, 2) ∪ (2,∞), para baixo em (−∞,−1), ponto de inflexa˜o
= (−1, 1/3); mı´nimo absoluto = f(0) = 0, na˜o tem ma´ximo absoluto pois lim
x→2
f(x) =∞
; imagem = [0,∞).
6.
y
x
–2
2
4
6
–10 10
D = (−∞, 0) ∪ (0,∞); nem par, nem ı´mpar; cont´ınua em D; ass´ıntota vertical:
x = 0, ass´ıntota horizontal: y = −1; na˜o tem reta tangente vertical; crescente em
(−∞, 0) ∪ (2,∞); decrescente em (0, 2); mı´nimo relativo = f(2) = −5/4, na˜o tem
ma´ximo relativo; concavidade para cima em (−∞, 0) ∪ (0, 3), para baixo em (3,∞),
ponto de inflexa˜o = (3,−11/9); mı´nimo absoluto = f(2) = −5/4, na˜o tem ma´ximo
absoluto pois lim
x→0
f(x) =∞ ; imagem = [−5/4,∞).
7.
y
x
–20
–10
0
10
20
–20 20
D = (−∞,∞); e´ ı´mpar; cont´ınua em D; na˜o tem ass´ıntota vertical, na˜o tem ass´ıntota
horizontal; na˜o tem reta tangente vertical; crescente em D; na˜o tem mı´nimo relativo,
na˜o tem ma´ximo relativo;
concavidade para cima em (pi + 2kpi, 2pi + 2kpi), k ∈ Z, para
baixo em (2kpi, pi+2kpi), k ∈ Z, pontos de inflexa˜o (x, y) = (2kpi, f(2kpi)) = (2kpi, 2kpi) e
(x, y) = (pi+2kpi, f(pi+2kpi)) = (pi+2kpi, pi+2kpi), k ∈ Z, na˜o tem mı´nimo absoluto pois
lim
x→−∞
f(x) = −∞, na˜o tem ma´ximo absoluto pois lim
x→∞
f(x) =∞ ; imagem = (−∞,∞).
8.
y
x
–10
0
10
–20 20
D = (−∞,∞); e´ ı´mpar; cont´ınua em D; na˜o tem ass´ıntota vertical, na˜o tem ass´ıntota
horizontal; na˜o tem reta tangente vertical; crescente em (−∞,−2)∪ (2,∞), decrescente
em (−2, 2); mı´nimo relativo = f(2) = 2−5 arctan 2 ∼= −3, 55, ma´ximo relativo = f(2) =
−2+5 arctan 2 ∼= 3, 55; concavidade para cima em (0,∞), para baixo em (−∞, 0), ponto
de inflexa˜o = (0, 0); na˜o tem mı´nimo absoluto pois lim
x→−∞
f(x) = −∞, na˜o tem ma´ximo
absoluto pois lim
x→∞
f(x) =∞ ; imagem = (−∞,∞).
3
9. Primeiro observe que por hipo´tese, ∃f ′′(x), ∀x 6= 0 =⇒ ∃f ′(x), ∀x 6= 0 =⇒ f e´ cont´ınua ∀x 6= 0.
O gra´fico de y = f ′(x) e os outros dados conduzem ao seguinte quadro:
−∞← x x < −1 x = −1 −1 < x < 0 x→ 0− 0+ ← x 0 < x < 1 x = 1 1 < x x→∞
f ′(x) + 0 − − + + 0 −
f(x) −∞ cresce −2 decresce −∞ 0 cresce 3 decresce 0
(a) Como lim
x→0+
f(x) = 0 , f e´ crescente no intervalo (0, 1), e´ cont´ınua no intervalo (0, 1], f(1) = 3 > 0, podemos
concluir que f(x) > 0 no intervalo (0, 1].
Como f(1) = 3 > 0, f e´ cont´ınua no intervalo [1,∞), decrescente no intervalo (1,∞), lim
x→∞
f(x) = 0,
podemos concluir que f(x) > 0 no intervalo [1,∞).
(b) Como lim
x→−∞
f(x) = −∞, f e´ crescente no intervalo (−∞,−1), e´ cont´ınua no intervalo (−∞,−1], f(−1) =
−2 < 0, podemos concluir que f(x) < 0 no intervalo (−∞,−1].
Como f(−1) = −2 < 0, lim
x→0−
f(x) = 0, f e´ cont´ınua no intervalo [−1, 0), decrescente no intervalo (−1, 0),
lim
x→0−
f(x) = 0, podemos concluir que f(x) < 0 no intervalo [−1, 0).
(c) Como f ′(1) = 0, f e´ cont´ınua no intervalo (0,∞), f e´ crescente no intervalo (0, 1),
f e´ decrescente no intervalo (1,∞), podemos concluir que f tem um ma´ximo
relativo em x = 1, onde o gra´fico de f tem reta tangente horizontal.
Como f ′(−1) = 0, f e´ cont´ınua no intervalo (−∞, 0), f e´ crescente no intervalo
(−∞,−1), f e´ decrescente no intervalo (−1, 0), podemos concluir que f tem um
ma´ximo relativo em x = −1, onde o gra´fico de f tem reta tangente horizontal.
Analisando a concavidade do gra´fico:
f ′′(x) < 0 se x < 0 ou 0 < x < 2 =⇒ o gra´fico e´ coˆncavo para baixo nos intervalos
(−∞, 0) e (0, 2).
f ′′(x) > 0 se x > 2 =⇒ o gra´fico e´ coˆncavo para cima no intervalo (2,∞).
x
y
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
–3 –2 –1 1 2 3
10. 11. 12. 13.
y
x
0 2 4 6 8 10
Mı´nimo relativo de f
= f(e) = e
lim
x→0
f(x) = 0
lim
x→∞
f(x) =∞
lim
x→1−
f(x) = −∞
lim
x→1+
f(x) =∞
Ass´ıntota vertical: x = 1
x
y
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
–10 –5 5 10
Mı´nimo absoluto de f
= f (−√e) = −e
− 1
2√
2
Ma´ximo absoluto de f
= f (
√
e) =
e−
1
2√
2
lim
x→−∞
f(x) = lim
x→∞
f(x) = 0
Ass´ıntota horizontal y = 0
x
y
1
2
3
4
5
–10 10
lim
x→−∞
f(x) = 1
lim
x→∞
f(x) = 1
lim
x→0−
f(x) = 0
lim
x→0+
f(x) =∞
Ass´ıntota horizontal y = 1
Ass´ıntota vertical x = 0
x
y
0
1
1
Mı´nimo absoluto de f
= f
(
1
e
)
= − 1
e2
lim
x→0
f(x) = 0
lim
x→∞
f(x) =∞
14. 15. 16. 17.
y
x
1
–4 –2 2 4
Ma´ximo absoluto de f
= f(0) = 1
lim
x→−∞
f(x) = 0
lim
x→∞
f(x) = 0
Ass´ıntota horizontal: y = 0
y
x1 2 3 4
Ma´ximo absoluto de f
= f(1) =
1
e
lim
x→−∞
f(x) = −∞
lim
x→∞
f(x) = 0
Ass´ıntota horizontal: y = 0
y
x
–2 –1 1 2
lim
x→−∞
f(x) = −∞
lim
x→∞
f(x) =∞
y
x0
2
4
6
–2 –1 1
lim
x→−∞
f(x) = 0
lim
x→∞
f(x) =∞
Ass´ıntota horizontal: y = 0
C�lculo I/Lista CI/Lista12-CalculoI-2011-2.pdf
1
Prof.: Etereldes
Lista 12 - Ca´lculo I - 2011/2
Integral indefinida
Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o
Calcule as integrais dos exerc´ıcios 1. a 22.
1.
∫ (
(
3
√
t )2 − 2
)
dt
2.
∫
x−√x
3
dx
3.
∫ (
3
x2
− 1
)
dx
4.
∫ √
2
x
dx
5.
∫
(2− s)√s ds
6.
∫
sen 3x cos 3x dx
7.
∫
sen θ cos3 θ dθ
8.
∫
arctanx
1 + x2
dx
9.
∫
dx√
x (1 +
√
x)
2
10.
∫
dx
4 + 3x2
11.
∫
x√
1− x4 dx
12.
∫
y
(3y − 4)3 dy
13.
∫
dt
t2 + 2t+ 2
14.
∫
x√
x− 1 dx
15.
∫
x(1 + x)
4
3 dx
16.
∫
cosx
4 + sen 2x
dx
17.
∫
cos2 x dx (cos2 x =
1 + cos 2x
2
)
18.
∫
tan2 x dx
19.
∫
sen 2x
3 + cos 2x
dx
20.
∫
dx
x ln
√
x
21.
∫
3xex dx
22.
∫
ex√
1− e2x dx
23. Encontre a expressa˜o que define a func¸a˜o f , cujo gra´fico conte´m o ponto
(
0, 83
)
e cuja derivada e´
f ′(x) = x
√
1− x2.
Resolva os problemas de valor inicial dos exerc´ıcios 24. a 29.
24.
{
y′ =
1
x2
− 1
x3
y(1) = 32
25.

dy
dx
=
x√
2x2 + 1
y(0) = 1
26.
{
y′ =
1
x
− 1
x3
y(1) = 2
27.
{
y′ =
x
2x2 + e2
y(0) = 1
28.
 dydx = e
1/x
x2
y(1) = 0
29.
{
f ′(x) =
(
1− sen 2x) sen 2x
f
(
pi
2
)
= 0
30. Uma func¸a˜o tem derivada de segunda ordem f ′′(x) = 6x− 6. Encontre a expressa˜o da f , sabendo que seu
gra´fico conte´m o ponto (2, 1) e que em tal ponto a reta tangente tem equac¸a˜o 3x− y − 5 = 0.
RESPOSTAS
1. 3
5
t
5
3 − 2t+ C
2.
x2
6
− 2
√
x3
9
+ C
3. − 3
x
− x+ C
4. 2x
√
2
x
+ C
5. 4
3
s
3
2 − 2
5
s
5
2 + C
6.
1
6
( sen 3x)2 + C
7. −cos
4 θ
4
+ C
8.
1
2
(arctanx)2 + C
9.
−2
1 +
√
x
+ C
10.
√
3
6
arctan
√
3 x
2
+ C
11.
1
2
arcsenx2 + C
12.
2− 3y
9(3y − 4)2 + C
2
13. arctan (t+ 1) + C
14.
2
3
√
(x− 1)3 + 2√x− 1 + C
15.
3(1 + x)
10
3
10
− 3(1 + x)
7
3
7
+ C
16.
1
2
arctan
(
1
2
senx
)
+ C
17.
1
2
x+
1
4
sen 2x+ C
18. −x+ tanx+ C
19. −1
2
ln |3 + cos 2x|+ C
20. 2 ln |ln√x|+ C
21.
3xex
1 + ln 3
+ C
22. arcsen ex + C
23. f(x) = −1
3
√
(1− x2)3 + 3
24. y = − 1
x
+
1
2x2
+ 2
25. y =
1
2
√
2x2 + 1 +
1
2
26. y = ln |x|+ 1
2x2
+
3
2
27. y =
1
4
ln
(
2x2 + e2
)
+
1
2
28. y = −e 1x + e
29. f(x) = sen 2x− 1
2
sen 4x− 1
2
30. f(x) = x3 − 3x2 + 3x− 1
C�lculo I/Lista CI/Lista13-CalculoI-2011-2.pdf
1
Prof.: Etereldes
Lista 13 - Ca´lculo I - 2011/2
Integral Definida
Teorema Fundamental do Ca´lculo
A´rea de regio˜es planas
Calcule as integrais dos exerc´ıcios 1. a 10.
1.
∫ 1
−1
(
(
3
√
t )2 − 2
)
dt
2.
∫ 1
0
x−√x
3
dx
3.
∫ 3
1
(
3
x2
− 1
)
dx
4.
∫ 2
1
√
2
x
dx
5.
∫ 2
0
(2− s)√s ds
6.
∫ 1
−1
|x| dx
7.
∫ 4
0
∣∣x2 − 4x+ 3∣∣ dx
8.
∫ pi
4
0
cos3 x dx
9.
∫ 3
2
x√
x− 1 dx
10.
∫ 1
2
0
x√
1− x4 dx
Derive as func¸o˜es dos exerc´ıcios 11. a 15.
11. f(x)
=
∫ 1
−x
t2 − 2t
t2 + 4
dt
12. f(x) =
∫ x4
− sen2x
cos t3 dt
13. f(x) = x2
∫ 2√x
1
√
t2 + 1 dt
14. F (x) =
∫ | sen x|
0
ln t dt
15. F (x) =
∫ √x
0
et
2+1 dt
Calcule os limites dos exerc´ıcios 16. e 17.
16. lim
x→pi
∫ x
2
pi
2
cos( sen t) dt
(x− pi)3
17. lim
x→−1
∫ 1
−x
et
2
dt
(x+ 1)3
Calcule a a´rea da regia˜o R dos exerc´ıcios 18. a 24.
18. R e´ a regia˜o entre os gra´ficos de y = x2 − 1 e y = x+ 5.
19. R e´ limitada por y = x2 − 2x, o eixo x e as retas x = −2 e x = 4.
20. R e´ a regia˜o entre a reta x = 2 e a curva x = y2 + 1.
21. R e´ o conjunto dos pontos (x, y) tais que x2 ≤ y ≤ √x.
22. R e´ a regia˜o entre os gra´ficos de y = |x| e y = x2, com −3 ≤ x ≤ 3.
23. R e´ a regia˜o delimitada pelas curvas y = x, xy2 = 1 e y = 2.
24. R e´ a regia˜o delimitada pelas curvas y = senx e y = − sen 2x; 0 ≤ x ≤ pi.
25. Esboce e encontre a a´rea da regia˜o entre o eixo x e a hipe´rbole y =
4
x− 1 , para 2 ≤ x ≤ 3.
26. Esboce e encontre a a´rea da regia˜o delimitada por y =
3
x− 1 , pelo eixo x, pelo eixo y e pela reta x = −4.
2
27. Esboce e encontre a a´rea da regia˜o limitada pela curva y = ex e a reta que conte´m os pontos (0, 1) e (1, e).
28. Esboce e encontre a a´rea da regia˜o situada acima do eixo x, abaixo da reta y = 1 e limitada por y = ln |x|.
29. Determine m de modo que a a´rea da regia˜o limitada por y = mx e y = 2x− x2 seja 36.
30. A reta y = 1− x divide a regia˜o compreendida entre as para´bolas y = 2x2 − 2x e y = −2x2 + 2 em duas
partes. Mostre que as a´reas assim obtidas sa˜o iguais e calcule o seu valor.
31. Calcule
∫ 1
0
xf ′(x) dx, sabendo que f(1) = 2 e que
∫ 1
0
f(t) dt e´ igual a a´rea da regia˜o R entre o gra´fico de
y = −x2 e as retas y = 1, x = 0 e x = 1.
(
sugesta˜o:
d
dx
(xf(x)) = f(x) + xf ′(x)
)
3
RESPOSTAS
1. −145
2. − 118
3. 0
4.
(
4− 2√2)
5. 1615
√
2
6. 1
7. 4
8. 512
√
2
9.
1
3
(
10
√
2− 8)
10.
1
2
arcsen
1
4
11. f ′(x) =
x2 + 2x
x2 + 4
12. f ′(x) = 4x3 cosx12 + sen 2x cos
(
sen 6x
)
13. f ′(x) =
√
(4x+ 1)x3 + 2x
∫ 2√x
1
√
t2 + 1 dt
14. F ′(x) =
senx
| senx| (cosx) ln | senx|
15. F ′(x) =
ex+1
2
√
x
16. ∞
17. ∞
18.
∫ 3
−2
(
(x+ 5)− (x2 − 1)) dx
19.
∫ 0
−2
(
x2 − 2x) dx+ ∫ 2
0
− (x2 − 2x) dx+
+
∫ 4
2
(
x2 − 2x) dx = 44
3
20.
∫ 1
−1
(
2− (y2 + 1)) dy = 4
3
21.
∫ 1
0
(√
x− x2) dx = 1
3
22. 2
∫ 1
0
(
x− x2) dx+
+2
∫ 3
1
(
x2 − x) dx = 29
3
23.
∫ 2
1
(
y − y−2) dy = 1
24.
∫ 2pi
3
0
( senx+ sen 2x) dx+
+2
∫ pi
2pi
3
−( senx+ sen 2x) dx = 5
2
25.
y
x0
2
4
1 2 3
a´rea = 4 ln 2
26.
y
x
–2
2
–4 –3 –2 –1
a´rea = 3 ln 5
27.
y
x
1
2
1
a´rea=
3− e
2
28.
y
x
1
–3 –2 –1 1 2 3
a´rea = 2e− 2
29. m = −4
30.
∫ 1
− 12
[(
2− 2x2)− (1− x)] dx =
=
∫ 1
− 12
[
(1− x)− (2x2 − 2x)] dx = 9
8
31.
2
3
C�lculo I/Lista CI/Lista2-2011-2.pdf
2
Prof.: Etereldes
Lista 2 - Ca´lculo I - 2011/2
Limite e limites laterais
Continuidade
1. Os gra´ficos de g e h sa˜o dados. Ache os limites laterais de f no ponto indicado.
f(x) = g(x) · h(x)
e
f(x) = (h ◦ g)(x)
ambas no ponto x = 1
g
y
x
–1
0
1
2
3
4
5
–3 –2 –1 1 2 3 4
h
y
x
–2
2
4
–3 –2 –1 1 2 3 4
2. Dadas as func¸o˜es f(x) =
{
x2 + 3 se x ≤ 1
x+ 1 se x > 1
e g(x) =
{
x2 se x ≤ 1
2 se x > 1
,
(i) Esboce o gra´fico de f e g;
(ii) Calcule lim
x→1
f(x) e lim
x→1
g(x);
(iii) Deˆ a expressa˜o da func¸a˜o F (x) = f(x) · g(x)
e verifique se existe lim
x→1
F (x).
3. Deˆ um exemplo no qual lim
x→0
|f(x)| existe, mas lim
x→0
f(x) na˜o existe.
4. Se f(x) > 0 para todo x 6= 2 e f(2) = −3, verifique se as afirmativas abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas.
Caso seja verdadeira, apresente uma justificativa. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
(a) lim
x→2
f(x) na˜o existe (b) lim
x→2
f(x) = −3 (c) Se existir, lim
x→2
f(x) e´ positivo
5. Sabe-se que lim
x→2
f(x) = 5 e f e´ definida em R. Todas as afirmativas abaixo sa˜o falsas. Tente desenhar um
contra-sxemplo para cada uma delas.
(a) f(x) > 0 para x ∈ (1, 3) (b) f(2) = 5 (c) f(2) e´ positivo
Nos exerc´ıcios 6. a 11. calcule o limite, caso exista. Caso na˜o exista, justifique.
6. lim
x→ 12
2x2 + 5x− 3
2x2 − 5x+ 2
7. lim
x→1
3
(
1− x2)− 2 (1− x3)
(1− x3) (1− x2)
8. lim
x→0
√
1− 2x− x2 − (x+ 1)
x
9. lim
x→0
√
x+ 2 +
√
x+ 6−√6−√2
x
10. lim
x→0
1− 3√1− x
1 + 3
√
3x− 1
11. lim
x→1
x2 − 5x+ 4
|x− 1|
Nos exerc´ıcios 12. a 14. verifique se a func¸a˜o dada e´ cont´ınua nos pontos indicados. Justifique a resposta.
12. f(x) =

√
x− 1
x− 1 , x 6= 1
2 , x = 1
em x = 1 13. f(x) =
√
x2 + 1
x6 + x2 + 2
em qualquer x ∈ R
14. f(x) =
1
2
(x− 1)[|x|] , para −2 ≤ x ≤ 2,
3
onde
[|x|] = maior inteiro que na˜o supera x. Pontos x = 0 e x = 1.
(Sugesta˜o: esboce o gra´fico de f)
15. Para a func¸a˜o f definida por f(x) =
 −
√
2− x , x < 1
ax+ b , 1 ≤ x < 2∣∣x2 − 7x+ 12∣∣ , x ≥ 2
(a) Determine os valores de a e b para que f seja cont´ınua em R (b) Esboce o gra´fico de f .
16. Deˆ um exemplo com duas func¸o˜es f e g tais que f seja cont´ınua em x = 0, g seja descont´ınua em x = 0 e
no entanto f · g seja cont´ınua em x = 0.
RESPOSTAS
1. lim
x→1−
g(x) · h(x) = 4 lim
x→1+
g(x) · h(x) = −6 lim
x→1−
(h ◦ g)(x) = −2 lim
x→1+
(h ◦ g)(x) = 0
2. i)
f
y
x
–1
1
2
3
4
5
6
–2 2 4
g
x
y
–1
0
1
2
3
4
–2 –1 1 2 3
ii) lim
x→1−
f(x) = 4 lim
x→1−
g(x) = 1
lim
x→1+
f(x) = 2 lim
x→1+
g(x) = 2
iii) F (x) =
{ (
x2 + 3
)
x2 , x ≤ 1
2(x+ 1) , x > 1
lim
x→1
F (x) = 4
3. f(x) =
x
|x|
4. (a) Falso (b) Falso (c) Falso. Contra-exemplo: f(x) =
{ |x− 2| se x 6= 2
−3 se x = 2 limx→2 f(x) = 0
6. −7
3
7.
1
2
8. −2 9.
√
6 +
√
2
4
√
3
10.
1
3
11. f(x)→ 3 se x→ 1− e f(x)→ −3 se x→ 1+, portanto o limite na˜o existe
12. Na˜o, pois lim
x→1
f(x) =
1
2
6= 2 = f(1)
13. Sim, e´ cont´ınua em R.
O denominador nunca se anula pois x6 + x2 ≥ 0 ⇒ x6 + x2 + 2 ≥ 2 > 0. Analogamente, o radicando
y = x2 + 1 > 0. Logo o domı´nio de f e´ igual a R.
Assim basta verificar se as func¸o˜es do numerador e denominador sa˜o cont´ınuas para todo x ∈ R, pois
sabemos que o quociente de func¸o˜es cont´ınuas e´ uma func¸a˜o cont´ınua.
Verificando:
A func¸a˜o do denominador e´ cont´ınua em R pois e´ uma func¸a˜o polinomial (qualquer func¸a˜o polinomial e´
cont´ınua em R). A func¸a˜o do numerador e´ a composic¸a˜o de duas func¸o˜es: a func¸a˜o raiz e uma func¸a˜o
polinomial. Como a func¸a˜o raiz e´ cont´ınua em [0,∞), em particular e´ cont´ınua em (0,∞), isto e´, neste
caso ∀x ∈ R, y = x2 + 1 > 0⇒ ∀x ∈ R, y ∈ (0,∞)⇒ √y e´ cont´ınua em (0,∞) . Como a a composta de
cont´ınuas e´ cont´ınua, a func¸a˜o do numerador e´ cont´ınua.
14.
–1
1
2
3
–3 –2 –1 1 2 3
e´ cont´ınua em x = 1 e descont´ınua em x = 0
15. (a) a = 3 e b = −4
y
x
–2
–1
0
1
2
3
–2 2 4
4
16. f(x) = |x| e g(x) =
{ x
|x| , x 6= 0
0 , x = 0
C�lculo I/Lista CI/Lista3-C�lculoI-2011-2.pdf
2
Prof.: Etereldes
Lista 3 - Ca´lculo I - 2011/2
Limite infinito e no infinito
Teoremas do confronto e anulamento
Limites trigonome´tricos
Nos exerc´ıcios 1. a 4. os gra´ficos de g e h sa˜o dados. Ache os limites laterais de f no ponto indicado.
1. f(x) =
g(x)
h(x)
, no ponto x = 2 h
g
y
x
–2
0
2
4
–2 2 4 6 8
2. f(x) =
g(x)
h(x)
, no ponto x = 3
g
y
x
–2
2
4
–3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8
h
y
x
–100
0
100
200
300
–2 2 4 6 8
3. f(x) =
g(x)
h(x)
, no ponto x = 2 g
y
x
–1
1
2
3
4
5
6
–2 2 4
h
y
x
–300
–200
–100
0
100
200
300
–2 2 4 6 8
4.
f(x) =
g(x)
h(x)
e f(x) = (g ◦ h)(x)
ambas no ponto x = 4
h
g
y
x
–2
2
4
6
8
–2 2 4 6 8
Nos exercic´ıos 5. a 10. calcule o limite, caso exista. Caso na˜o exista, justifique.
5. lim
x→+∞
(
xn − xn−1)
6. lim
x→+∞
(x+ 1)(x+ 2) · · · (x+ 10)
(x2 + 1)
5
7. lim
x→−∞
√
x2 − 2x+ 2
x+ 1
8. lim
x→−∞
(
x+
√
x2 + 3x+ 2
)
9. lim
x→−1
(
3
x+ 1
− 5
x2 − 1
)
10. lim
x→5
(√
25− x2
x− 5
)
11. Seja f definida por f(x) =

x3 + 2x2 + x
x3 + 5x2 + 7x+ 3
se x 6= −3, x 6= −1
0 se x = −3
−1/2 se x = −1
3
(a) A func¸a˜o f esta´ definida em R? Justifique.
(b) Deˆ os pontos onde f e´ cont´ınua. Justifique.
(c) Deˆ os pontos onde f e´ descont´ınua. Justifique.
(d) A func¸a˜o f e´ cont´ınua em R? Justifique.
Nos exerc´ıcios 12. a 15. determine as equac¸o˜es das ass´ıntotas verticais e horizontais do gra´fico da func¸a˜o
dada.
12. f(x) =
3x
x− 1 13. f(x) =
2x√
x2 + 4
14. f(x) =
2x2 + 1
2x2 − 3x
15. f(x) =
x√
x2 − 4
16. A func¸a˜o f e´ tal que para x 6= 2, f satisfaz 1 + 4x− x2 ≤ f(x) ≤ x2 − 4x+ 9. Calcule lim
x→2
f(x).
17. Seja f uma func¸a˜o limitada. Use o teorema do anulamento (e´ o corola´rio do teorema do confronto) para
provar que lim
x→0
x2f(x) = 0.
18. Sabendo que para x > 1, f(x) satisfaz (x− 1)2 < (x2 − 1) · f(x) < (x+ 1)2, calcule lim
x→+∞ f(x).
Nos exercic´ıos 19. a 27. calcule o limite, caso exista. Caso na˜o exista, justifique.
19. lim
x→0
senx3
x
20. lim
x→0
tan(pix)
tanx
21. lim
x→0
sen 2
(
ax2
)
x4
22. lim
x→0
1− cos(ax)
x2
23. lim
x→0
1− secx
x2
24. lim
x→0
sen (x) sen (3x) sen (5x)
tan(2x) tan(4x) tan(6x)
25. lim
x→0
√
1 + tanx−√1 + senx
x3
26. lim
x→0
(
x cos
1
x
)
27. lim
x→−2
(
x2 − 4) sen ( 1
x+ 2
)
28. lim
x→+∞
x− cosx
x
29. lim
x→−∞
1 + x senx
x
30. lim
x→−∞x
2 senx
Nos exerc´ıcios 31. a 33. verifique se a func¸a˜o dada tem extensa˜o cont´ınua a toda reta R.
31. f(x) =
sen 24x
x
32. f(x) =
−1 + senx
x− pi/2 33. f(x) =
sen
(
x2 − 4)
x+ 2
RESPOSTAS
1. lim
x→2−
f(x) = +∞; lim
x→2+
f(x) = −∞
2. lim
x→3−
f(x) = 0; lim
x→3+
f(x) = −∞
3. lim
x→2−
f(x) = 0; lim
x→2+
f(x) = 0
4. lim
x→4−
g(x)
h(x)
= lim
x→4+
g(x)
h(x)
= −∞
lim
x→4−
(g ◦ h)(x) = lim
x→4+
(g ◦ h)(x) = 5
5. @, pois quando x→ +∞ a func¸a˜o → +∞
6. 1 7. −1 8. −3
2
9. @, pois a func¸a˜o → −∞ se x→ −1−
(ou, a func¸a˜o → +∞ se x→ −1+)
10. @, pois a func¸a˜o→ −∞ se x→ 5−.
Obs.: 6 ∃x;x→ 5+, pois neste caso −5 ≤ x < 5.
11. (a) Sim, pois a u´nica restric¸a˜o da expressa˜o e´ o denominador na˜o nulo, os u´nicos pontos que anulam o denominador
sa˜o x = −1 e x = −3 e nestes pontos a func¸a˜o foi definida por outras expresso˜es, a saber f(−1) = −1/2 e f(−3) = 0.
(b) Em R − {−3,−1} a func¸a˜o e´ cont´ınua pois e´ o quociente de func¸o˜es polinomiais e toda func¸a˜o polinomial e´
cont´ınua. Em x = −1 a func¸a˜o e´ cont´ınua pois lim
x→−1
f(x) = −1
2
= f(−1).
(c) A func¸a˜o e´ descont´ınua em x = −3 pois f(x)→ +∞ se x→ −3− (outra justificativa seria f(x)→ −∞ se x→
−3+, basta na˜o ter um dos limites laterais).
(d) Na˜o, pois na˜o e´ cont´ınua em x = −3.
12. V: x = 1; H: y = 3
13. V: na˜o tem; H: y = −2, y = 2
14. V: x = 0, x =
3
2
; H: y = 1
15. V: x = −2, x = 2; H: y = −1, y = 1
16. 5
17. (i) Para g(x) = x2 e a = 0, temos lim
x→a
g(x) = lim
x→0
x2 = 0
4
(ii) f e´ limitada, isto significa que ∃M ; |f(x)| ≤M .
Assim, as duas hipo´teses (i) e (ii) do teorema do anula-
mento se verificam. Logo vale a tese do teorema, a saber
lim
x→a
g(x)f(x) = 0⇒ lim
x→0
x2f(x) = 0.
18. 1
19. 0
20. pi
21. a2
22.
a2
2
23. −1
2
24.
5
16
25.
1
4
26. 0
27. 0
28. 1
29. @, oscila entre −1 e 1
30. @, oscila entre −∞ e +∞
31. Sim, g(x) =
 sen
24x
x
, x 6= 0
0 , x = 0
32. Sim, g(x) =

−1 + senx
x− pi/2 , x 6= pi/2
0 , x = pi/2
33. Sim, g(x) =
 sen
(
x2 − 4)
x+ 2
, x 6= −2
−4 , x = −2
C�lculo I/Lista CI/Lista4-C�lculoI-2011-2.pdf
2
Prof.: Etereldes
Lista 4 - Ca´lculo I - 2011/2
Teorema do Valor Intermedia´rio
Miscelaˆnia
Nos exerc´ıcios 1. a 15. calcule cada limite, quando poss´ıvel. Caso conclua que o limite na˜o existe,
justifique.
1. lim
x→−∞
(
xn − xn−1)
2. lim
x→−∞
x
3
√
1− x3
3. lim
x→+∞
√
x+
√
x√
x+ 1
4. lim
x→1
3x3 − 2x2 − 3x+ 2
(2x− 2)2
5. lim
x→0
(1 + x)5 − (1 + 5x)
x5 + x2
6. lim
x→ 1
2
2
√
6x− 3√4x
4x2 − 4x+ 1
7. lim
x→1
x100 − 2x+ 1
x50 − 2x+ 1
8. lim
x→−2
3
√
x− 6 + 2
x3 + 8
9. lim
x→0
sen (x) + sen (3x) + sen (5x)
tan(2x) + tan(4x) + tan(6x)
10. lim
x→0
(x− sen (ax))(x+ tan(bx))
1− cos(cx) , a, b, c 6= 0
11. lim
x→0
1− cos3 x
x senx cosx
12. lim
x→1
sen (pix)
1− x2
13. lim
x→pi
sen (tanx)
tanx
14. lim
x→pi
2
sen (x)− 1
x cosx
15. lim
x→0+
cos
(
1√
x
)
sen
(√
x+ 1− 1√
x
)
16. lim
x→+∞
x− senx
x+ senx
17. lim
x→−∞
x2 sen (x)− 1
x3 + 1
18. Achar as constantes a e b de modo que lim
x→+∞
(
ax+ b− x
3 + 1
x2 + 1
)
= 0.
19. Calcule os limites laterais de f(x) =
g(x)
senx
em x = 0, se g(x) =
{
cos(x) + 3 , x < 0
x2 − 9 , x ≥ 0
Nos exerc´ıcios 20. e 21. verifique se a func¸a˜o e´ cont´ınua no ponto indicado. Justifique a resposta.
20. f(x) =
 x3 cos
(
1
x
)
se x 6= 0
1 se x = 0
em x = 0
21. f(t) =

1−√t
1− 3√t se t 6= 1
3/2 se t = 1
em t = 1
3
22. Verifique se existe a ∈ R tal que f(x) =
{
1 + ax , x ≤ 0
x4 + 2a , x > 0
seja cont´ınua em R.
23. Seja f : R −→ R, tal que x senx ≤ f(x) ≤ x2 cos2 x, ∀x ∈
(
−pi
2
,
pi
2
)
. Verifique se f e´ cont´ınua
em x = 0.
4
Para cada func¸a˜o dos exerc´ıcios 24. a 26. determine um intervalo de amplitude 1, no qual esta´
localizado pelo menos um zero dessa func¸a˜o.
24. f(x) = x3 + x− 1 25. f(x) = x3 + 3x− 5 26. f(x) = 1 + x cos pix
2
27. Mostre que os gra´ficos de y = 1 e y = x2 tanx teˆm intersec¸a˜o em pelo menos um ponto do
intervalo
(
−pi
2
,
pi
2
)
.
28. Deˆ um exemplo de uma func¸a˜o tal que que em dois pontos distintos x = a e x = b a func¸a˜o tem
sinais contra´rios, f na˜o e´ cont´ınua no intervalo [a, b] e a tese do Teorema do Valor
Intermedia´rio
e´ verdadeira.
29. Deˆ um exemplo de uma func¸a˜o tal que que em dois pontos distintos x = a e x = b a func¸a˜o tem
sinais contra´rios, f na˜o e´ cont´ınua no intervalo [a, b] e a tese do Teorema do Valor Intermedia´rio
e´ falsa.
30. Se uma func¸a˜o f muda de sinal quando x varia de um ponto x = x1 para o ponto x = x2, existira´
obrigatoriamente um ponto entre x1 e x2 onde a func¸a˜o f se anula? Justifique sua resposta.
RESPOSTAS
1. Se n for par, @ pois a func¸a˜o → +∞
e se n for ı´mpar, @ pois a func¸a˜o → −∞
2. −1 3. 1
4. @ pois se x→ 1− a func¸a˜o → −∞
(ou se x→ 1+ a func¸a˜o → +∞)
5. 10
6. @ pois se x→ 1
2
−
a func¸a˜o → −∞
(ou se x→ 1
2
+
a func¸a˜o → −∞)
7.
49
24
8.
1
144
9.
3
4
10.
2(1− a)(1 + b)
c2
11.
3
2
12.
pi
2
13. 1
14. 0
15. 0
16. 1
17. 0
18. a = 1, b = 0
19. lim
x→0−
f(x) = −∞ lim
x→0+
f(x) = −∞
20. Na˜o, pois lim
x→0
f(x) = 0 6= 1 = f(0)
21. Sim, pois lim
t→1
f(t) =
3
2
= f(1)
22.
1
2
23. Sim
24. f(0) = −1 < 0 < 1 = f(1),
f e´ cont´ınua em [0, 1].
Pelo Teorema do Valor Intermedia´rio (TVI), existe
um c; 0 < c < 1; f(c) = 0, isto e´, existe um zero
da func¸a˜o no intervalo [0, 1].
25. Idem ao 22. para o intervalo [1, 2]
26. Idem ao item 22. para o intervalo
[
1
2 ,
3
2
]
27. Aplicando o TVI em f(x) = −1 + x2 tanx no in-
tervalo [0, pi/3], mostra-se que f tem um zero no
intervalo [0, pi/3].
Isto e´, ∃c; c ∈ [0, pi/3]; f(c) = 0.
Como [0, pi/3] ⊂ (−pi/2, pi/2), temos que
∃c; c ∈ (−pi/2, pi/2); −1 + c2 tan c = f(c) = 0.
Isto e´, ∃c; c ∈ (−pi/2, pi/2); c2 tan c = 1.
28. f(x) =
(x+ 1)2
1− x em [−2, 2];
29. f(x) =
1
x
em [−1, 1]
30. Na˜o. Ver exemplo 29.
C�lculo I/Lista CI/Lista5-C�lculoI-2011-2.pdf
2
Prof.: Etereldes
Lista 5 - Ca´lculo I - 2011/2
Derivada por definic¸a˜o
Regras ba´sicas de derivac¸a˜o
Diferenciabilidade × continuidade
Nos exerc´ıcios 1. a 3. use a definic¸a˜o de derivada de uma func¸a˜o para calcular f ′ (x0) e determine
a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o no ponto (x0, f (x0)).
1. f(x) =
√
x2 + 4, x0 =
√
5 2. f(x) =
x+ 4
x+ 2
, x0 = 0 3. fx) =
1
x
, x0 =
1
2
4. Quantas retas tangentes ao gra´fico de y = x3 + 3x sa˜o paralelas a` reta y = 6x + 1? Determine
as equac¸o˜es dessas tangentes.
5. Seja f(x) =

3− x
2
, x < 1
1√
x
, x ≥ 1
f e´ diferencia´vel em x = 1? f e´ cont´ınua em x = 1?
6. Seja f(x) =

−x
2
, x < 1
1√
x
, x ≥ 1 f e´ diferencia´vel em x = 1? f e´ cont´ınua em x = 1?
7. Determine a e b de modo que f(x) =
{
x2 se x < 1
ax+ b se x ≥ 1 seja diferencia´vel.
8. Seja f tal que |f(x)| ≤ x2, ∀x ∈ R. Mostre que f e´ diferencia´vel em x = 0.
Derive cada func¸a˜o dos exerc´ıcios 9. a 17. (se poss´ıvel, simplifique a func¸a˜o e/ou a derivada da
func¸a˜o)
9. f(x) = 2
(
x2 + 2x+ 1
)
tanx
10. f(x) = cos2 x
11. f(x) =
√
x senx+ x1/3
12. f(x) = 2x cosx tanx
13. f(x) =
x secx
x2 + 2x+ 3
14. f(x) =
(
x2 − 2x+ 2)2
x4 + x2 + 1
15. f(x) =
1
(x2 + 2)2
16. f(x) =
{
x3 sen (1/x) , x 6= 0
0 , x = 0
17. f(x) = |2x− 8|, x 6= 4
Nos exerc´ıcios 18. a 21. use o gra´fico da func¸a˜o para determinar os valores de x em que a func¸a˜o
e´ diferencia´vel e indique os valores de x em que a derivada e´ (i) nula (ii) positiva (iii) negativa.
18. f(x) = |x+ 3| 19. f(x) = |x2 − 9| 20. f(x) =√|x| 21. f(x) = { x2 − 4 , x ≤ 0
4− x2 , x > 0
3
RESPOSTAS
1. f ′
(√
5
)
= lim
x→√5
√
x2 + 4− 3
x−√5 =
√
5
3
; reta tangente: y − 3 =
√
5
3
(
x−√5)
2. f ′(0) = −1
2
; reta tangente: y = −x
2
+ 2 3. f ′
(
1
2
)
= −4; reta tangente: y = −4x+ 4
4. Duas retas tangentes: y = 6x− 2 e y = 6x+ 2
5. f e´ diferencia´vel em x = 1 pois f ′(1) = −1/2; f e´ cont´ınua em x = 1, pois tem um teorema que garante
que toda func¸a˜o diferencia´vel num ponto e´ cont´ınua nesse ponto.
6. f na˜o e´ cont´ınua em x = 1, pois lim
x→1−
f(x) = −1
2
6= lim
x→1+
f(x) = 1; f na˜o e´ diferencia´vel em x = 1 pois
se fosse, f seria cont´ınua em x = 1 (tem um terorema que garante que toda func¸a˜o diferencia´vel num
ponto e´ cont´ınua nesse ponto) e ja´ provamos que f na˜o e´ cont´ınua em x = 1.
7. a = 2 e b = −1 8. Use o teorema do sandu´ıche para calcular a derivada pela definic¸a˜o
9. f ′(x) = 2
(
x2 + 2x+ 1
)
sec2 x+ 2(2x+ 2) tanx = 2(x+ 1)
[
(x+ 1) sec2 x+ 2 tanx
]
10. f ′(x) = −2 cosx senx = − sen 2x
11. f ′(x) =
1
2
√
x
senx+
√
x cosx+
1
3
x−2/3 =
senx+ 2x cosx
2
√
x
+
1
3
3
√
x2
12. f(x) = 2x cosx tanx = 2x senx⇒ f ′(x) = 2( senx+ x cosx)
13. f ′(x) =
(
x2 + 2x+ 3
)
(x secx tanx+ secx)− [x(secx)(2x+ 2)]
(x2 + 2x+ 3)
2 =
[
3− x2 + (x3 + 2x2 + 3x) tanx] secx
(x2 + 2x+ 3)
2
14. f ′(x) =
(
x4 + x2 + 1
) [
2
(
x2 − 2x+ 2) (2x− 2)]− (x2 − 2x+ 2)2 (4x3 + 2x)
(x4 + x2 + 1)
2 =
=
2
(
x2 − 2x+ 2) (2x4 − 3x3 − 2)
(x4 + x2 + 1)
2
15. f ′(x) = −2 (x2 + 2)−3 (2x) = −4x
(x2 + 2)
3 16. f
′(x) =
{
−x cos 1
x
+ 3x2 sen
1
x
, x 6= 0
0 , x = 0
17. x 6= 4, f(x) = |2x− 8| =
{ −2x+ 8 se x < 4
2x− 8 se x > 4 ⇒ f
′(x) =
{ −2 se x < 4
2 se x > 4
=
2(x− 4)
|x− 4|
18.
y
x
–2
2
4
–6 –4 –2 2
f(x) = |x+3| na˜o e´ diferencia´vel em x = −3 pois o gra´fico tem um bico no ponto
(−3, f(−3)) = (−3, 0). E´ diferencia´vel em R− {−3}.
(i) 6 ∃x tal que f ′(x) = 0
(ii) f ′(x) > 0 : x ∈ (−3,∞) (iii) f ′(x) < 0 : x ∈ (−∞,−3)
19.
y
x
–2
2
4
6
8
10
12
–6 –4 –2 2 4 6
f(x) = |x2 − 9| na˜o e´ diferencia´vel em x = ±3 pois o gra´fico tem um bico nos
pontos (−3, f(−3)) = (−3, 0) e (3, f(3)) = (3, 0) . E´ diferencia´vel em R−{−3, 3}.
(i) f ′(x) = 0: x = 0
(ii) f ′(x) > 0 : x ∈ (−3, 0) ∪ (3,∞) (iii) f ′(x) < 0 : x ∈ (−∞,−3) ∪ (0, 3)
20.
y
x
–1
1
2
3
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
f(x) =
√|x| na˜o e´ diferencia´vel em x = 0 pois o gra´fico tem um bico no ponto
(0, f(0)) = (0, 0). E´ diferencia´vel em R− {0}.
(i) 6 ∃x tal que f ′(x) = 0
(ii) f ′(x) > 0 : x ∈ (0,∞) (iii) f ′(x) < 0 : x ∈ (−∞, 0)
4
21.
y
x
–4
–2
0
2
4
–4 –3 –2 1 2 3 4
f(x) =
{
x2 − 4 , x ≤ 0
4− x2 , x > 0 na˜o e´ cont´ınua em x = 0 pois o gra´fico tem um
salto em x = 0, logo f(x) na˜o e´ diferencia´vel em x = 0. E´ diferencia´vel em R−{0}.
(i) 6 ∃x tal que f ′(x) = 0
(ii) 6 ∃x tal que f ′(x) > 0 (iii) f ′(x) < 0 : x ∈ (−∞, 0) ∪ (0,∞)
C�lculo I/Lista CI/Lista6-CalculoI-2011-2.pdf
1
Prof.: Etereldes
Lista 6 - Ca´lculo I - 2011/2
Diferenciabilidade × continuidade
Algumas aplicac¸o˜es de derivada
Regra da cadeia
1. Uma part´ıcula se move sobre uma linha reta de acordo com a equac¸a˜o s =
√
t, sendo s a distaˆncia (em
metros) da part´ıcula ao seu ponto de partida, apo´s decorridos t segundos da partida.
(a) Calcule a velocidade me´dia da part´ıcula de t = 9 ate´ t = 16
(b) Calcule a velocidade instantaˆnea da part´ıcula quando t = 9.
2. Calcule a taxa de variac¸a˜o do volume de um bala˜o esfe´rico em relac¸a˜o ao seu raio, quando o raio do bala˜o
for igual a 5 cm.
3. Um proje´til e´ lanc¸ado verticalmente para cima e t segundos apo´s o lanc¸amento esta´ a s metros do solo,
onde s = s(t) = 256 t− 16t2. Calcule:
(a) A velocidade do proje´til t = 4 segundos apo´s o lanc¸amento;
(b) O tempo necessa´rio para o proje´til atingir a altura ma´xima;
(c) A altura ma´xima atingida pelo proje´til.
4. No instante t horas um ve´ıculo esta´ 16
√
t3 − 24t + 16 quiloˆmetros a` leste de um ponto de refereˆncia na
estrada.
(a) Qual a velocidade no instante t = 14 e qual e´ o sentido do movimento em relac¸a˜o ao ponto de
refereˆncia?
(b) Onde esta´ o ve´ıculo quando a velocidade e´ zero?
Nos exerc´ıcios 5. a 10. derive a func¸a˜o (se poss´ıvel, simplifique antes e/ou depois de derivar).
5. f(x) =
4
√
2x4 + 2x
cos2 x
6. f(x) = ( sen 2x)
(
x3 + 2x
)2/3
7. F (u) =
u3 − 3u2
(u4 + 1)
5/2
8. G(r) =
5
√
2r2 − 2
r − 1
9. M(x) =
√
x+
√
x+
√
x
10. f(x) =
{
x3 sen
1
x4
se x 6= 0
0 se x = 0
11. Sejam f(x) =
√
2x+ 1 e g(x) =
√
tanx. Calcule (f ◦ g)′
(pi
4
)
.
12. Considere f uma func¸a˜o diferencia´vel e g definida por g(x) = f2(cosx).
Sabendo que f(0) = 1 e f ′(0) = −1
2
, calcule g′
(pi
2
)
.
13. Seja g : R −→ R diferencia´vel; g(0) = 1
2
e g′(0) = 1.
Calcule f ′(0), onde f(x) = (cosx)g2
(
tan
x
x2 + 2
)
.
14. Sejam g diferencia´vel e f(x) = x g
(
x2
)
.
2
(a) Mostre que f ′(x) = g
(
x2
)
+ 2x2g ′
(
x2
)
;
(b) Calcule g(4), sabendo que g(4) + g′(4) = 1 e f ′(2) = −1.
15. Considere as func¸o˜es g(x) =
{
1 se x < −1
|x| se x ≥ −1 e f(x) =
{
1 se x < 0
1− x2 se x ≥ 0
(a) Encontre (f ◦ g)(x); (b) Usando (a), encontre (f ◦ g)′(x) e determine seu domı´nio D;
(c) Determine o conjunto C onde podemos aplicar a regra da cadeia para calcular (f ◦ g)′(x);
(d) Usando a regra da cadeia, encontre (f ◦ g)′(x), ∀x ∈ C;
(e) Compare (b) e (d); (f) Esboce os gra´ficos de g, f e f ◦ g;
(g) Indique nos gra´ficos os pontos onde g, f e f ◦ g na˜o sa˜o diferencia´veis.
3
RESPOSTAS
1. (a)
√
16−√9
16− 9 ; (b) lim∆t→0
√
9 + ∆t−√9
∆t
= s′(9) =
1
6
m/seg.
2. Sendo V = volume, V ′(5) = 100pi cm3/cm. 3. (a) 128 m/seg; (b) 8 seg (c) 1024 m
4. (a) s′(1/4) = −12 < 0 ⇒ sentido: ve´ıculo se aproxima da refereˆncia, rumo oeste, com velocidade escalar de 12
km/h; (b) 8 km a` leste da refereˆncia.
5. f ′(x) =
(
cos2 x
)
(1/4)
(
2x4 + 2x
)−3/4
(8x3 + 2)− (2x4 + 2x)1/4 (2 cos x)(− senx)
cos4 x
=
(
4x3 + 1
)
cosx+ 8
(
x4 + 1
)
senx
2 (2x4 + 2x)3/4 cos3 x
6. f ′(x) = ( sen 2x)(2/3)
(
x3 + 2x
)−1/3 (
3x2 + 2
)
+ (cos 2x)(2)
(
x3 + 2x
)2/3
=
2
(
3x2 + 2
)
( sen 2x) + 6
(
x3 + 2x
)
(cos 2x)
3 (x3 + 2x)1/3
7. F ′(u) =
(
u4 + 1
)5/2 (
3u2 − 6u)− (u3 − 3u2) (5/2) (u4 + 1)3/2) (4u3)
(u4 + 1)5
=
−7u6 + 24u5 + 3u2 − 6u
(u4 + 1)7/2
8. G′(r) =
1
5
(2r + 2)−4/5(2) =
2
5 5
√
(2r + 2)4
9. f ′(x) =
1 +
1 +
1
2
√
x
2
√
x+
√
x
2
√
x+
√
x+
√
x
10. f ′(x) =
{
3x2 sen
1
x4
− 4
x2
cos
1
x4
, x 6= 0
0 , x = 0
11.
√
3
3
12. 1 13.
1
2
14.
9
7
15. (a) (f ◦ g)(x) =
{
0, x < −1
1− x2, x ≥ −1
(b) (f ◦ g)′(x) =
{
0, x < −1
−2x, x > −1 6 ∃(f ◦ g)
′(−1) pois (f ◦ g)′−(−1) = 0 6= (f ◦ g)′+(−1) = 2
D = dom(f ◦ g)′ = R− {−1}
(c) g′(x) =

0, x < −1
−1, −1 < x < 0
1, x > 0
6 ∃ g′(−1) pois g′−(−1) = 0 6= g′+(−1) = −1 e
6 ∃ g′(0) pois g′−(0) = −1 6= g′+(0) = 1
Logo dom (g′) = R− {−1, 0}
f ′(x) =
{
0, x < 0
−2x, x ≥ 0 Logo dom (f
′ ◦ g) = {x ∈ (dom g) = R; y = g(x) ∈ (dom f ′) = R} = R
Como C = (dom (f ′ ◦ g)) ∩ (dom (g′)), temos C = R− {−1, 0}.
(d) Visando aplicar a regra da cadeia, vamos calcular primeiro f ′(g(x)) em C = R− {−1, 0}:
Como g(x) =

1, x < −1
|x|, −1 < x < 0
|x|, x > 0
temos f ′(g(x)) =

f ′(1) = −2, x < −1
f ′ (|x|) = −2|x| = 2x, −1 < x < 0
f ′ (|x|) = −2|x| = −2x, x > 0
.
Aplicando a regra da cadeia: (f ◦ g)′(x) = f ′(g(x))g′(x) =

−2× 0 = 0, x < −1
(2x)× (−1) = −2x, −1 < x < 0
(−2x)× (1) = −2x, x > 0
(e) (f ◦ g)′(x) sa˜o iguais nos pontos comuns de D e C, mas na˜o e´ poss´ıvel aplicar a regra da cadeia para calcular
(f ◦ g)′(0).
(f)
y = g(x)
y
x
–4
–2
0
2
4
–4 –3 –2 1 2 3 4
y = f(x)
y
x
–4
–2
0
2
4
–4 –3 –2 1 2 3 4
y = (f ◦ g)(x)
y
x
–4
–2
0
2
4
–4 –3 –2 1 2 3 4
C�lculo I/Lista CI/Lista7-CalculoI-2011-2.pdf
1
Prof.: Etereldes
Lista 7 - Ca´lculo I - 2011/2
Teorema de Rolle
Teorema do Valor Me´dio - TVM
Nos exerc´ıcios 1. a 6. verifique se o Teorema de Rolle pode ser aplicado a` f nos intervalos
indicados.
1. f(x) = 1− |x− 1|, x ∈ [0, 2]
2. f(x) = x2 − 2x, x ∈ [−1, 3]
3. f(x) = (x− 3)(x+ 1)2, x ∈ [−1, 3]
4. f(x) = x− x 13 , x ∈ [0, 1]
5. f(x) = x− x 13 , x ∈ [−1, 1]
6. f(x) =
 x
2 − 4
x2
, x 6= 0
0, x = 0
I = [−2, 2]
gra´fico do ex. 6
x
y
–40
–30
–20
–10
10
7. A altura de uma bola, t segundos apo´s o lanc¸amento, e´ dada por f(t) = −16t2 + 48t+ 32.
(a) Verifique que f(1) = f(2);
(b) Segundo o Teorema de Rolle, qual deve ser a velocidade v da bola em algum instante do
intervalo [1, 2]? Enuncie o Teorema de Rolle;
(c) Encontre a velocidade me´dia da bola durante os dois primeiros segundos;
(d) Em que instante a velocidade instantaˆnea e´ igual a` velocidade me´dia acima? Enuncie o
teorema que nos garante isso.
8. Seja f : [−1, 2] −→ R cont´ınua em [−1, 2], diferencia´vel em (−1, 2), com f(−1) = −1 e f(2) = 5.
Prove que existe um ponto no gra´fico de f em que a reta tangente e´ paralela a` reta y = 2x.
9. Seja p(x) = Ax2+Bx+C. Prove que, para qualquer intervalo [a, b], o valor de c cuja existeˆncia
e´ garantida pelo Teorema do Valor Me´dio (TVM), e´ o ponto me´dio do intervalo.
10. Se a > 0 e n e´ um inteiro na˜o negativo qualquer, prove que p(x) = x2n+1 + ax+ b na˜o pode ter
duas ra´ızes reais.
11. Mostre que g(x) = 8x3 + 30x2 + 24x+ 10 admite uma u´nica raiz no intervalo (−3,−2).
12. Seja P uma func¸a˜o polinomial na˜o constante.
(a) Prove que, entre dois zeros consecutivos de P ′ (isto e´, dois valores de x que anulam a
derivada e tal que entre eles na˜o existe outro valor que anula a derivada), existe no ma´ximo
uma raiz de P .
(b) Se P tem treˆs ra´ızes distintas em [a, b], prove que P ′′(c) = 0, para algum valor c ∈ (a, b).
2
RESPOSTAS
1. Na˜o, a hipo´tese f diferencia´vel em (0, 2) falha, pois f na˜o e´ diferencia´vel em x = 1 ∈ (0, 2).
2. Sim 3. Sim 4. Sim
5. Na˜o, f diferencia´vel em (−1, 1) na˜o se verifica, pois f na˜o e´ diferencia´vel em x = 0 ∈ (−1, 1).
6. Na˜o, a hipo´tese f cont´ınua em [−2, 2] na˜o se verifica, pois f na˜o e´ cont´ınua em x = 0 ∈ [−2, 2].
7. (a) f(1) = f(2) = 64 (b) v = 0 (c) 16 m/seg (d) t = 1 seg
8. Existe uma reta tangente ao gra´fico e paralela a` reta y = 2x ⇐⇒ ∃x ∈ [1, 2] tal que f ′(x) = 2 (coefi-
cientes angulares iguais). Calcule o coeficiente angular da reta secante ao gra´fico que conte´m os pontos
(−1, f(−1)) e (2, f(2)), depois aplique o Teorema do Valor Me´dio (TVM).
9. (i) p e´ cont´ınua em [a, b] pois p e´ uma func¸a˜o polinomial; (ii) p e´ diferencia´vel em (a, b) pois p e´ uma
func¸a˜o polinomial. Se valem as hipo´teses (i) e (ii) do TVM, enta˜o vale a tese : ∃c ∈ (a, b) tal que
p′(c) =
p(b)− p(a)
b− a =
(
Ab2 +Bb+ C
)− (Aa2 +Ba+ C)
b− a =
A
(
b2 − a2)+B(b− a)
b− a =
=
A(b− a)(b+ a) +B(b− a)
b− a =
(b− a)[A(b+ a) +B]
b− a = A(b+ a) +B.
Ale´m disso, como p′(x) = 2Ax+B, temos que p′(c) = 2Ac+B.
Igualando as duas expresso˜es de p′(c) e simplificando,
chegamos a c =
a+ b
2
.
10. Suponha, por absurdo, que p(x) tem duas ra´ızes reais x1 e x2 com x1 < x2. As hipo´teses do Teorema de
Rolle para p em [x1, x2] sa˜o verdadeiras: (i) e (ii) p e´ cont´ınua em [x1, x2] e diferencia´vel em (x1, x2) pois
p e´ uma func¸a˜o polinomial; (iii) p (x1) = p (x2) = 0 pois x1 e x2 sa˜o ra´ızes de p(x).
Aplicando o Teorema de Rolle: ∃c ∈ (x1, x2) tal que p′(c) = 0 (*)
Por outro lado, p′(x) = (2n+ 1)x2n + a = (2n+ 1) (xn)2 + a.
Como, (2n+ 1) (xn)
2 ≥ 0, ∀x ∈ R e por hipo´tese a > 0, temos que p′(x) > 0, ∀x ∈ R (**)
As concluso˜es (*) e (**) sa˜o contradito´rias, logo na˜o e´ poss´ıvel supor que existem duas ra´ızes reais.
11. 1a parte: Como a func¸a˜o polinomial g e´ cont´ınua em [−3,−2], g(−3) = −8 < 0 e g(−2) = 18 > 0, pelo
Teorema do Valor Intermedia´rio, g possui pelo menos uma raiz entre −3 e −2.
2a parte: Suponha, por absurdo, que g admite duas ra´ızes c1 e c2 tal que −3 < c1 < c2 < −2. Logo
g(c1) = g(c2) = 0. Como a func¸a˜o polinomial g e´ cont´ınua em [−3,−2] e diferencia´vel em (−3,−2),
pelo Teorema de Rolle, ∃c entre c1 e c2 tal que g′(c) = 0. (*)
Por outro lado, g′(x) = 24x2 + 60x + 24 = 12(x + 2)(2x + 1), analisando o sinal de g′(x), temos
g′(x) > 0 quando −3 < x < −2, logo g′(c) > 0, que contradiz com (*). Conclusa˜o: g na˜o admite
duas ra´ızes entre −3 e −2.
Pela 1a parte, g possui pelo menos uma raiz entre −3 e −2 e pela 2a parte, g na˜o admite duas ra´ızes
entre −3 e −2, consequentemente g possui uma u´nica raiz entre −3 e −2.
12. (a) Suponha que x1 e x2 sa˜o dois zeros consecutivos de P
′. Suponha, por absurdo, que entre x1 e x2
existem duas ra´ızes de P . Sejam x3 e x4, com x3 < x4 essas ra´ızes de P . Assim, (x3, x4) ⊂ (x1, x2).
Aplicando o Teorema de Rolle para a func¸a˜o P em [x3, x4]: [(i)P (x3) = P (x4) = 0], verifique as
outras duas hipo´teses, afirmamos que ∃ c ∈ (x3, x4) ⊂ (x1, x2) tal que P ′(c) = 0 =⇒ ∃ c ∈ (x1, x2)
tal que P ′(c) = 0, o que contradiz com a hipo´tese de que x1 e x2 sa˜o dois zeros consecutivos de P ′.
(b) Sejam x1, x2 e x3 as treˆs ra´ızes, com x1 < x2 < x3. O Teorema de Rolle aplicado a P nos intervalos
[x1, x2] e [x2, x3] nos garante (verifique as hipo´teses) que ∃ c1 ∈ (x1, x2) e ∃ c2 ∈ (x2, x3) tais que
P ′ (c1) = P ′ (c2) = 0. Agora, o Teorema de Rolle aplicado a P ′ no intervalo [c1, c2] nos garante
(verifique as hipo´teses) que ∃ c ∈ (c1, c2) tal que P ′′ (c) = 0.
C�lculo I/Lista CI/Lista8-CalculoI-2011-2.pdf
1
Prof.: Etereldes
Lista 8 - Ca´lculo I - 2011/2
Crescimento e decrescimento de func¸o˜es
Ma´ximos e mı´nimos locais
Ma´ximos e mı´nimos absolutos
Nos exerc´ıcios 1. a 3. deˆ os intervalos em que a func¸a˜o e´ crescente e em que e´ decrescente.
1. f(x) = x+
3
x2 2. g(t) =
3t2 + 4t
1 + t2
3. F (u) =
u2 − u+ 1
2(u− 1)
4. Seja f uma func¸a˜o tal que f(0) = 0 e f ′(x) =
x2
1 + x2
, ∀x ∈ R. Mostre que 0 < f(x) < x,∀x > 0.
5. Mostre que senx < x, ∀x > 0.
(Sugesta˜o: para x ≥ pi/2, use propriedades da trigonometria, para 0 < x < pi/2, use derivada)
6. Prove a desigualdade cosx > 1− x
2
2
, x 6= 0.
(Sugesta˜o: prove para x > 0 e depois use o fato de que as func¸o˜es de ambos os lados sa˜o pares)
7. Prove, para x > 0, a desigualdade x− x
3
6
< senx.
8. Mostre que: (a) ex > x, ∀x ∈ R (b) ex > x
2
2
, ∀x ≥ 0
Nos exerc´ıcios 9. a 11. localize os pontos onde ocorrem os extremos absolutos das func¸o˜es nos
intervalos dados.
9. f(x) = x3 − 3x2, x ∈ [−1, 3]
10. f(x) = 2 cosx+ sen 2x, x ∈ [0, 4pi]
11. f(x) =
x5
5
− x
3
3
+ 2, x ∈ [−2, 2]
12. Mostre que f(x) =
lnx
x
tem ma´ximo absoluto em x = e. Conclua que pie < epi.
13. Ache a inclinac¸a˜o ma´xima da curva y = x3 − 3x+ 3 no intervalo [−32 , 52].
14. Mostre que p(x) = x3 − 3x2 + 6 tem exatamente uma raiz real e localize-a em um intervalo de
amplitude ma´xima 1.
15. Mostre que f(x) = x2− x senx− cosx tem exatamente duas ra´ızes reais e localize-as em intervalos
de amplitude ma´xima pi/2.
16. Prove que para todo x > 0 vale a seguinte desigualdade: x+
1
x
≥ 2.
(Sugesta˜o: estude o crescimento da expressa˜o do lado esquerdo e determine o mı´nimo absoluto
dessa expressa˜o no intervalo dado).
17. A concentrac¸a˜o C de certa substaˆncia qu´ımica no fluxo sangu¨´ınio em t horas apo´s ter sido injetado
no mu´sculo e´ dada por C =
3t
54 + t3
. Em que instante a concentrac¸a˜o e´ ma´xima? Qual e´ a
concetrac¸a˜o ma´xima?
2
RESPOSTAS
1. Crescente em (−∞, 0) ∪ ( 3√6,∞), decrescente em (0, 3√6).
2. Crescente em
(−12 , 2), decrescente em (−∞,− 12) ∪ (2,∞).
3. Crescente em (−∞, 0) ∪ (2,∞), decrescente em (0, 1) ∪ (1, 2).
4. Primeiro vamos mostrar que f(x) > 0, ∀x > 0.
(i) f ′(x) =
x2
1 + x2
> 0, ∀x 6= 0 =⇒ f e´ crescente em (−∞, 0) ∪ (0,∞);
(ii) A func¸a˜o f e´ cont´ınua em R pois f e´ diferencia´vel em R.
Por (i) e (ii) conclu´ımos: f e´ crescente em (0,∞) e cont´ınua em [0,∞) =⇒ f(x) > f(0), ∀x > 0.
Finalmente, como por hipo´tese f(0) = 0, conclu´ımos que f(x) > 0, ∀x > 0.
Agora vamos mostrar que f(x) < x, ∀x > 0. Mas f(x) < x, ∀x > 0⇐⇒ x−f(x) > 0, ∀x > 0. Considerando
F (x) = x− f(x) temos que provar que F (x) > 0, ∀x > 0. Provando:
(i) F ′(x) = 1− x
2
1 + x2
=
1
1 + x2
> 0, x 6= 0 =⇒ f e´ crescente em (−∞, 0) ∪ (0,∞);
(ii) A func¸a˜o F e´ cont´ınua em R pois e´ a diferenc¸a de func¸o˜es cont´ınuas em R.
Por (i) e (ii) conclu´ımos: F e´ crescente em (0,∞) e cont´ınua em [0,∞) =⇒ F (x) > F (0), ∀x > 0.
Como F (0) = 0− f(0) = 0, conclu´ımos que F (x) > 0, ∀x > 0.
5. Para x ≥ pi
2
. Como 1 <
pi
2
e senx ≤ 1, temos que senx ≤ 1 < pi
2
≤ x. Logo senx < x.
Para 0 < x <
pi
2
. Como senx < x⇐⇒ x− senx > 0, considere F (x) = x− senx.
Como F e´ a soma de func¸o˜es cont´ınuas em R, conclu´ımos que F e´ cont´ınua em R. (*)
F ′(x) = 1− cosx e sabemos que cosx < 1, ∀x ∈
(
0,
pi
2
)
. Logo F ′(x) = 1− cosx > 0 ∀x ∈
(
0,
pi
2
)
.
Assim conclu´ımos que F e´ crescente em
(
0,
pi
2
)
. (**)
Pelas concluso˜es (*) e (**), temos que F (x) = x− senx > F (0) = 0, ∀x ∈
(
0,
pi
2
)
.
6. Como ∀x > 0, cosx > 1− x
2
2
⇐⇒ ∀x > 0, (cosx)− 1 + x
2
2
> 0, considere F (x) = (cosx)− 1 + x
2
2
.
Como F (0) = 1 − 1 + 0 = 0, se provarmos que (i) F e´ cont´ınua em [0,∞) e (ii) F e´ crescente em (0,∞)
conclu´ıremos que F (x) > F (0) = 0, ∀x > 0. Provando (i) e (ii):
(i) F e´ cont´ınua em R pois e´ a soma, diferenc¸a e quociente de func¸o˜es cont´ınuas em R.
(ii) Para provar que F e´ crescente em (0,∞) basta provar que F ′(x) > 0, ∀x > 0. Mas F ′(x) = − senx+ x.
Logo basta provar que − senx+ x > 0, ∀x > 0, isto e´, senx < x, ∀x > 0, ja´ provado no exerc´ıcio 5.
Agora, seguindo a sugesta˜o, x < 0⇒ −x > 0⇒ F (−x) > 0 (provado acima). Mas F (−x) = (cos(−x))− 1+
(−x)2
2
= F (x). Logo ∀x < 0, F (x) = F (−x) > 0.
7. Considere G(x) = ( senx)− x+ x
3
6
. Temos G′(x) = (cosx)− 1 + x
2
2
. Esta e´ a func¸a˜o F do exerc´ıcio 6. e ja´
provamos que (cosx)− 1 + x
2
2
> 0, ∀x > 0. Assim, conclu´ımos que G e´ crescente em (0,∞). (*)
Como G e´ a soma de func¸o˜es cont´ınuas em R, conclu´ımos que G e´ cont´ınua em R. (**)
Pelas concluso˜es (*) e (**), temos que G(x) = ( senx)− x+ x
3
6
> G(0) = 0, ∀x > 0.
8. (a) Vamos analisar cada possibilidade.
(i) Supondo x < 0. Sabemos que ex > 0, ∀x, em particular quando x < 0 temos que ex > 0 > x.
(ii) Supondo x ≥ 0. Para x = 0, e0 = 1 > 0. Considere a func¸a˜o f(x) = ex − x, cont´ınua em [0,∞).
Derivando, f ′(x) = ex − 1. Mas x > 0 ⇒ ex > 1 ⇒ f ′(x) > 0 ⇒ f e´ estritamente crescente em [0,∞)
⇒ f(x) > f(0) = e0 − 0 = 1 > 0⇒ f(x) = ex − x > 0⇒ ex > x.
(b) Considere a func¸a˜o f(x) = ex− x
2
2
, cont´ınua em [0,∞). Derivando f ′(x) = ex−x. Foi mostrado no item
anterior que ex > x,∀x, logo f ′(x) > 0. Mas f ′(x) > 0 ⇒ f e´ estritamente crescente em [0,∞) ⇒ f(x) >
f(0) = e0 − 0 = 1 > 0⇒ f(x) = ex − x
2
2
> 0 ⇒ ex > x
2
2
.
3
9. A func¸a˜o polinomial f(x) = x3 − 3x2 e´ cont´ınua no intervalo fechado e limitado [−1, 3], logo f satisfaz
as hipo´teses do Teorema dos Valores Extremos (e´ o teorema de Weierstrass). Aplicando esse teorema,
comparamos os valores f(−1) e f(3) com os valores de f nos pontos cr´ıticos que esta˜o no interior de [−1, 3].
Conclu´ımos que: mı´n f = f(−1) = f(2) = −4 e ma´x f = f(0) = f(3) = 0.
10. A func¸a˜o f(x) = 2 cosx+ sen 2x e´ cont´ınua em R pois e´ a soma de produto e composta de func¸o˜es cont´ınuas
em R, logo f e´ cont´ınua no intervalo fechado e limitado [0, 4pi]. Assim, pelo Teorema de Weierstrass,
comparamos os valores f(0) e f(4pi) com os valores de f nos pontos cr´ıticos que esta˜o em (0, 4pi). Conclu´ımos:
mı´n f = f(5pi/6) = (17pi/6) = −3√3/2 e ma´x f = f(pi/6) = (13pi/6) = 3√3/2.
11. A func¸a˜o polinomial f(x) =
x5
5
− x
3
3
+ 2 e´ cont´ınua no intervalo fechado e limitado [−2, 2]. Assim, pelo
Teorema dos Valores Extremos, comparamos os valores f(−2) e f(2) com os valores de f nos pontos cr´ıticos
que esta˜o em (−2, 2). Conclu´ımos: mı´n f = f(−2) = −26
15
e ma´x f = f(2) =
86
15
.
12. Domı´nio de f = (0,∞). Derivando, f ′(x) = 1− lnx
x2
. Analisando o sinal de f ′(x), temos f ′(x) > 0 quando
0 < x < e; f ′(x) < 0 quando x > e⇒ f e´ crescente quando 0 < x < e; f e´ decrescente quando x > e. Logo
f tem um ma´ximo relativo no u´nico ponto cr´ıtico x = e. Como f e´ cont´ınua em x = e, conclu´ımos que f
tem um ma´ximo absoluto em x = e.
Provando a desigualdade: f tem ma´ximo absoluto em x = e⇒ f(pi) < f(e) = ln e
e
=
1
e
⇒ f(pi) = lnpi
pi
<
1
e
.
Como e > 0 e pi > 0, temos: e lnpi < pi. Aplicando a propriedade de logaritmo de poteˆncia, temos
e lnpi = lnpie, logo lnpie < pi. Sabemos que a func¸a˜o exponencial e´ estritamente crescente, logo elnpi
e
< epi.
Sabemos que eln x = x,∀x > 0, em particular elnpie = pie. Logo, pie < epi.
13. Ma´x f ′ = f ′(5/2) = 63/4.
14. Estudando o crescimento de f e aplicando o Teorema do Valor Intermedia´rio, conclui-se que a u´nica raiz esta´
em (−2,−1).
15. Idem anterior, uma raiz esta´ em (−pi/2, 0) e a outra em (0, pi/2).
16. No intervalo (0,∞), o mı´nimo absoluto de f(x) = x+ 1
x
e´ igual a f(1) = 2. Logo f(x) ≥ f(1) = 2.
17. No instante t = 3. A concentrac¸a˜o ma´xima e´
1
9
= 0, 1111... = 0, 1.
C�lculo I/Lista CI/Lista9-CalculoI-2011-2.pdf
1
Prof.: Etereldes
Lista 9 - Ca´lculo I - 2011/2
Func¸a˜o impl´ıcita
Taxas relacionadas
1. Determine a expressa˜o de pelo menos duas func¸o˜es y = y(x) definidas implicitamente pela
equac¸a˜o xy2 + x+ y = 1. Explicite seus domı´nios.
2. Seja y = f(x) definida implicitamente pela equac¸a˜o sec2(x + y) − cos2(x + y) = 3
2
. Calcule
f ′
(pi
4
)
, sabendo que f
(pi
4
)
= 0.
3. Seja y = f(x) definida implicitamente pela equac¸a˜o x2−x√xy+2y2 = 10. Encontre o coefciente
angular da reta normal ao gra´fico da func¸a˜o f no ponto (4, 1).
4. Considere y = f(x) definida implicitamente por x4 − xy + y4 = 1. Calcule f ′(0) , sabendo que
f(x) > 0, ∀x ∈ R.
5. Considere a curva da figura ao lado conhecida por cisso´ide de Dio´cles
cuja equac¸a˜o e´ (2− x)y2 = x3.
(a) Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da curva em (1, 1);
(b) Obtenha as equac¸o˜es das retas tangentes ao gra´fico da curva nos
pontos em que x =
3
2
.
y
x
–4
–2
0
2
4
–1 1 2
6. Considere a leminiscata de equac¸a˜o
(
x2 + y2
)2
= x2−y2 (figura ao lado).
Determine os quatro pontos da leminiscata em que as retas tangentes
sa˜o horizontais. Ache, em seguida, os dois pontos em que as tangentes
sa˜o verticais.
y
x
–1
0
1
–1 1
7. Cascallho esta´ caindo e formando uma pilha coˆnica que aumenta a uma taxa de 3 m3/min, de
modo que o raio do cone e´ sempre igual a sua altura. Encontre a taxa de variac¸a˜o da altura da
pilha quando a altura e´ de 3 m.
8. Uma caˆmara de televisa˜o no n´ıvel do solo esta´ filmando a subida de um oˆnibus espacial que
esta´ subindo verticalmente de acordo com a equac¸a˜o s = 15t2, sendo s a altura e t o tempo. A
caˆmara esta´ a 600 m do local de lanc¸amento. Encontre a taxa de variac¸a˜o da distaˆncia entre a
ca˜mara e a base do oˆnibus espacial, 10 seg apo´s o lanc¸amento (suponha que a caˆmara e a base
do oˆnibus esta˜o no mesmo n´ıvel no tempo t = 0).
2
9. Num determinado instante, um controlador de tra´fego ae´reo veˆ dois
avio˜es na mesma altura voando a velocidades constantes, em trajeto´rias
ortogonais que se cruzam num ponto P (veja figura). Neste instante,
um dos avio˜es esta´ a 150 milhas do ponto P e se aproxima de P a` 450
milhas por hora, enquanto o outro esta´ a 200 milhas do ponto P e se
movendo a` 600 milhas por hora, tambe´m em direc¸a˜o ao ponto P .
150
200
P
(a) Antes do ponto P , a distaˆncia entre os avio˜es esta´ diminuindo? a que taxa?
(b) Os avio˜es correm risco de choque? em caso afirmativo, quanto tempo o controlador tem
para fazer com que um dos avio˜es mude a sua trajeto´ria?
10. Um ponto move-se ao longo da elipse x2+4y2 = 1. A abcissa x esta´ variando a uma velocidade
dx
dt
= sen 4t. Mostre que (a)
dy
dt
= −x sen 4t
4y
(b)
d2y
dt2
= − sen
24t+ 16xy2 cos 4t
16y3
.
11. Um ponto move-se sobre a semi-circunfereˆncia x2+ y2 = 5, y ≥ 0. Suponha dx
dt
> 0. Determine
o ponto da curva em que a velocidade de y seja o dobro da velocidade de x.
12. Uma escada de 8 m esta´ encostada numa parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada
do pe´ da parede a uma velocidade constante de 2 m/seg, com que velocidade a extremidade
superior estara´ descendo no instante em que a inferior estiver a 3 m da parede?
13. Enche-se de a´gua um reservato´rio, cuja forma e´ de um cone circular reto
(veja a figura), a uma taxa de 0, 1 m3/seg. O ve´rtice esta´ a 15 m do
topo e o raio do topo e´ de 10 m. Com que velocidade o n´ıvel h da a´gua
esta´ subindo no instante em que h = 5 m?
a´gua
10 m
15 m
h
14. O raio de luz de um farol, que esta´ situado a 3 km de uma praia reta, faz 8 rpm (rotac¸o˜es por
minuto). Considere a altura do farol desprez´ıvel em relac¸a˜o a sua distaˆncia ate´ a praia. Ache a
velocidade da extremidade do raio de luz, ao longo da praia, quando ele faz um aˆngulo de 45◦
com a linha da praia.
RESPOSTAS
1. y = f(x) =
−1−√1 + 4x− 4x2
2x
y = g(x) =
−1 +√1 + 4x− 4x2
2x
;
domı´nio =
(
1−√2
2 , 0
)⋃(
0, 1+
√
2
2
)
2. −1
3. 0
4.
1
4
5. (a) y = 2x− 1
(b) y = 3
√
3x− 3√3 e y = −3√3x+ 3√3
6. Tangentes horizontais em:
x =
√
6
4
e y =
√
2
4
;
x =
√
6
4
e y = −
√
2
4
;
x = −
√
6
4
e y =
√
2
4
;
x = −
√
6
4
e y = −
√
2
4
.
Tangentes verticais em:
x = 1 e y = 0; x = −1 e y = 0.
7. 10, 6 cm/min
8. 278, 54 m/seg
9. (a) esta´ diminuindo a` velocidade escalar de 750
mi/h
(b) 20 min
11. (−2, 1)
3
12. velocidade escalar de
6√
55
m/seg ∼= 80, 9
cm/seg
13.
0, 9
100pi
m/seg ∼= 0, 2865 cm/seg
14. 96pi ∼= 301, 6 km/min ∼= 5, 03 km/h
C�lculo I/P1 2011_2.pdf
1
Prof.: Etereldes
05/09/2011
Prova I - Ca´lculo I
1. (2,0) Encontre o lim
x→+∞
f(x) se, para todo x > 1 tem-se
10ex − 21
2ex
< f(x) <
5
√
x√
x− 1 .
2. (2,0)
Calcule lim
x→5
2x − 32
x− 5 . Este limite representa a derivada de uma func¸a˜o f num ponto
a. Encontre f e a.
3. (1,5) Derive a func¸a˜o f(v) =
v3 − 2v√v
v
.
4. (2,0) Encontre equac¸o˜es da reta tangente e da reta normal (perpendicular a` tangente) ao
gra´fico de f(x) = 2xex no ponto (0, 0).
5. (2,5) Marque falso ou verdadeiro. Justifique sua resposta.
(a) (0,5) lim
x→4
2x
x− 4 −
8
x− 4 = limx→4
2x
x− 4 − limx→4
8
x− 4.
(b) (0,5) Se lim
x→5
f(x) = 2 e limx→5 g(x) = 0, enta˜o lim
x→5
f(x)
g(x)
na˜o existe.
(c) (0,5) Se lim
x→0+
f(x) =∞ e lim
x→0+
g(x) =∞, enta˜o lim
x→0+
[f(x)− g(x)] = 0.
(d) (0,5) Se lim
x→6
[f(x)g(x)] existe, enta˜o deve ser f(6)g(6).
(e) (0,5) A equac¸a˜o x10 − 10x2 + 5 = 0 tem uma raiz no intervalo (0, 2).
EXTRA (1,0) Calcule lim
x→0
3
√
1 + cx− 1
x
, onde c ∈ R∗. Encontre o valor de c para que a func¸a˜o
g(x) =

3
√
1 + cx− 1
x
se x > 0
√
3x2 + 5x+ 1 se x ≤ 0
seja cont´ınua.
OBS: Respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas!
Boa prova!
C�lculo I/Sol P1m 2012-1.pdf
MAT09570 – CÁLCULO 1
Turmas da Manhã – Período 2012/1
1ª Prova Parcial
1. (1 ponto) Esboce o gráfico de
f (x)= 1−|x+1|.
Indique no seu esboço os pontos onde o gráfico intercepta os eixos coordenados.
2. (1,5 pontos) Seja
f (x)= 1
1+2x .
Encontre uma fórmula para f −1(x). Qual o domínio e a imagem de f −1 ?
3. Calcule os limites
(a) (1,5 pontos) lim
x→−∞
x+2p
9x2+1
; (b) (1 ponto) lim
x→0 (e
x −1)cos 1
x2
.
4. (2 pontos) Mostre que existe x ∈ (0,6) tal que cos(pix)= 5
x
.
5. Seja f a função dada por
f (x)=

p
1−2x−1
x
se x < 0;
−
p
2x2+1 se 0É x < 2;
3
x
se x Ê 2.
(a) (1,5 pontos) Em que pontos f é contínua?
(b) (1,5 pontos) Calcule f ′(3) diretamente da definição de derivada e determine a equa-
ção da reta tangente ao gráfico de f no ponto (3,1).
Nota: Não é permitido o uso de calculadoras. Todas as questões devem ser justificadas atra-
vés de cálculos ou pela citação de teoremas apropriados. Respostas sem justificativas serão
desconsideradas. A duração da prova é de 2 horas.
1
Prof.: Etereldes
13/04/2012
Soluc¸a˜o da Prova I - Ca´lculo I
1. Como |x + 1| =
{
x+ 1, se x ≥ −1
−x− 1, se x < −1 enta˜o f(x) =
{ −x, se x ≥ −1
x+ 2, se x < −1 . Assim seu
gra´fico e´:
2. Vamos encontrar o domı´nio e imagem de f . Como 1 + 2x 6= 0 para todo x ∈ R, o
domı´nio de f e´ R. Como 2x > 0 para todo x, enta˜o f(x) < 1 para todo x. Ale´m
disso f(x) > 0 para todo x. Logo, o Im(f) = {y ∈ R; 0 < y < 1}. Sendo assim a
f−1 : {y ∈ R; 0 < y < 1} 7−→ R. f−1 e´ a func¸a˜o tal que
1
1 + 2f−1(y)
= y. Poratnto f−1(y) = log2
(
1− y
y
)
.
3. a) lim
x→−∞
x(1 + 2
x
)√
9x2(1 + 1
9x2
)
= lim
x→−∞
x(1 + 2
x
)
3|x|
√
(1 + 1
9x2
)
= −1
3
lim
→−∞
(1 + 2
x
)√
(1 + 1
9x2
)
= −1
3
.
b) Veja que se x > 0 enta˜o ex − 1 > 0. Como −1 ≤ cos( 1
x2
) ≤ 1 para todo x 6= 0, enta˜o
−(ex − 1) ≤ (ex − 1) cos( 1
x2
) ≤ (ex − 1). Pelo teorema do confronto temos
− lim
x→0+
(ex − 1) ≤ lim
x→0+
(ex − 1) cos( 1
x2
) ≤ lim
x→0+
(ex − 1). Logo, lim
x→0+
(ex − 1) cos( 1
x2
) = 0.
Por outro lado, se x < 0 enta˜o ex−1 < 0. Como −1 ≤ cos( 1
x2
) ≤ 1 para todo x 6= 0, enta˜o
(ex − 1) ≤ (ex − 1) cos( 1
x2
) ≤ −(ex − 1). Pelo teorema do confronto temos
lim
x→0−
(ex−1) ≤ lim
x→0−
(ex−1) cos( 1
x2
) ≤ − lim
x→0−
(ex−1). Poratnto, lim
x→0−
(ex−1) cos( 1
x2
) = 0.
Como os limites laterais sa˜o zero, enta˜o o limite e´ zero.
4. Seja f(x) = cos(pix) − 5
x
. Veja que f e´ cont´ınua em (0, 6] em particular em [1, 6]. Ale´m
disso f(1) = cos(pi) − 5 = −6 < 0 e f(6) = cos(6pi) − 5
6
= 1
6
> 0. Pelo Teorema do valor
intermedia´rio, existe x ∈ (1, 6) tal que f(x) = 0.
5. a) Os possiveis pontos de descontinuidade de f sa˜o x = 0 e x = 2. Vamos analisar o
acontece nestes pontos. Como
lim
x→0
√
1− 2x− 1
x
= lim
x→0
√
1− 2x− 1
x
√
1− 2x+ 1√
1− 2x+ 1 = limx→0
−2x
x(
√
1− 2x+ 1) = −1
2
enta˜o lim
x→0−
f(x) = −1. Ale´m disso,
lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
−
√
2x2 + 1 = −1 = f(0).
Logo, f e´ cont´ınua em x = 0.
Vamos analisar em x = 2. lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
−
√
2x2 + 1 = −
√
9 = −3. e lim
x→2+
f(x) =
lim
x→0+
3
x
=
3
2
= f(2). Logo lim
x→2
f(x) na˜o existe, e portanto f na˜o e´ cont´ınua em x = 2.
Concluimos enta˜o que f e´ cont´ınua R− {2}.
b) f ′(3) = lim
h→0
f(3 + h)− f(3)
h
= lim
h→0
3
3+h
− 3
3
h
= lim
h→0
3−(3+h)
3+h
h
= − lim
h→0
−h
3+h
h
= −1
3
. A
equac¸a˜o da reta tangente no ponto (3, 1) e´ y − 1 = f ′(3)(x − 3) = −1
3
(x − 3), ou seja,
y = −x
3
+ 2.
		P1m 2012-1
		Sol P1m 2012-1
C�lculo I/Sol P2 2011-2.pdf
1
Prof.: Etereldes
17/10/2011
Prova II - Ca´lculo I
1. (1,0) Calcule o limite lim
x→0
tg(pix)
ln(1 + x)
.
2. (1,0) Mostre que a equac¸a˜o 3x+2 cos(x)+5 = 0 tem exatamente uma raiz real. (Sugesta˜o:
use o teorema de Rolle)
3. Uma viga retangular sera´ cortada de uma tora de madeira com raio de 30cm.
(a) (1,0) Mostre que a viga com a´rea da sec¸a˜o transversal ma´xima e´ quadrada.
(b) (1,0) Quatro pranchas retangulares sera˜o cortadas de cada uma das quatro sec¸o˜es da
tora que restara˜o apo´s o corte da viga quadrada (como na figura abaixo). Determine
as dimenso˜es das pranchas que tera˜o a´rea da sec¸a˜o tranversal ma´xima.
4. (2,0) Esboce o gra´fico de uma func¸a˜o que satisfac¸a as condic¸o˜es dadas abaixo:
f(0) = 0, f ′(2) = f ′(1) = f ′(9) = 0, lim
x→∞
f(x) = 0, lim
x→6
f(x) = −∞, f ′(x) < 0 em
(−∞,−2) ∪ (1, 6) ∪ (9,∞), f ′(x) > 0 em (−2, 1) ∪ (6, 9), f ′′(x) < 0 em (0, 6) ∪ (6, 12) e
f ′′(x) > 0 em (−∞, 0) ∪ (12,∞).
5. (2,0) Esboce o gra´fico de f(x) = 3
√
x2 − 1. Determine o domı´nio, ass´ıntotas se houver,
intervalos de crescimento e decrescimento, ma´ximos e mı´nimos, concavidade e pontos de
inflexa˜o.
6. Marque falso ou verdadeiro. Se verdadeiro justifique e se falso deˆ um contra exemplo.
(a) (0,5) Se f e g sa˜o crescentes em um intervalo I enta˜o fg e´ crescente em I.
(b) (0,5) Se f tem um ma´ximo absoluto em c, enta˜o f ′(c) = 0.
(c) (0,5) Se f ′ = g′ para 0 < x < 1, enta˜o f = g para 0 < x < 1.
(d) (0,5) Na˜o existe f deriva´vel tal que f(1) = 0, f(2) = −3 e f ′(x) ≥ −1, ∀x ∈ (1, 2).
OBS: Respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas!
Boa prova!
1) Esse limite é uma forma indeterminada tipo 
�
�
 . Por L’Hôspital temos 
 
2) Como ��0� � 7 � 0 , ��	
� � 	3
 	 2 
 5 � 	3�
 	 1� � 0 e � é contínua então 
pelo teorema do valor intermediário temos que existe � no intervalo �	
, 0� tal que 
���� � 0. Se existissem ��	e �� com ����	� � ����� � 0 então pelo teorema Rolle 
deveria existir um ��	���	, ��� tal que ����� � 0. No entanto, ����� � 3 	 2sen���, 
que é maior do que igual a 1 para todo x. 
3) a) Veja que a área da seção transversal será	� � 4��. E 
Além disso, �� 
 �� � 900. Logo ���� � 4�√900 	 ��. Assim, "#
"$
=4 %��&�$
'
√%��&$'
 que 
assume valor máximo em � � √450, pois 
"#
"$
� 0 em � � √450 e A�0� � A�30� �
0. Usando que �� 
 �� � 900 temos que � � �. 
b) A Área que queremos maximizar é � � 2��� 	 √450� . 
Além disso, �� 
 �� � 900. Logo ���� � 2�)√900

Teste o Premium para desbloquear

Aproveite todos os benefícios por 3 dias sem pagar! 😉
Já tem cadastro?

Outros materiais