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C�lculo I/Lista CI/Lista1-2011-2.pdf 1 Prof.: Etereldes Lista 1 - Parte I - Ca´lculo I - 2011/2 Revisa˜o: inequac¸o˜es, raiz e mo´dulo Func¸a˜o: domı´nio, imagem e paridade Gra´ficos que envolvem retas e mo´dulo Resolva as inequac¸o˜es dos exerc´ıcios 1. a 12. 1. −3x+ 1 < 2x+ 5 2. x2 − 5x+ 6 < 0 3. 2x2 − x− 10 > 0 4. 3x2 − 7x+ 6 < 0 5. (x− 1)(1 + x)(2− 3x) < 0 6. 2x− 1 1− x < 0 7. x 2x− 3 ≤ 3 8. (2x− 1)2 < 16 9. x+ 1 x > 2 10. x2 − 7x+ 10 −x2 + 9x− 18 ≤ 0 11. x+ 1 2− x < x x+ 3 12. x2 + x < x3 + 1 Nos exerc´ıcios 13. a 20. resolva para x e represente a soluc¸a˜o na reta nume´rica. 13. |x− 2| = 4 14. |x+ 3| = |2x+ 1| 15. |2x+ 3| = 2x+ 3 16. |3 + 2x| ≤ 2 17. |2x+ 5| > 3 18. |3− 4x| > x+ 2 19. ∣∣∣∣ 1x− 2 ∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣ 52x− 1 ∣∣∣∣ 20. ∣∣x2 − 5x∣∣ < |x|2 − |5x| Nos exerc´ıcios 21. a 24. a func¸a˜o real de varia´vel real e´ definida por sua expressa˜o anal´ıtica. Determine o seu domı´nio. 21. f(x) = 1√|x| − x 22. y = 1 3 √ x+ 1 23. f(x) = √ 1−√1− x2 24. g(x) = x√|x| − 1 25. f(x) = √ 1− x2 +√x2 − 1 Estude a variac¸a˜o do sinal das func¸o˜es dos exerc´ıcios 26. a 29. 26. f(x) = (2x− 3)(x+ 1)(x− 2) 27. f(x) = x(2x− 1) x+ 1 28. g(t) = 2t− 3 |1− t|(1− 2t) 29. F (x) = 2− 1 x − x 30. Sejam x, y e z os lados de um triaˆngulo retaˆngulo, onde x e´ a hipotenusa. Se o triaˆngulo tem per´ımetro igual a 6, indique a a´rea deste triaˆngulo em func¸a˜o da hipotenusa. Nos exerc´ıcios 31. a 46. esboce o gra´fico da func¸a˜o, especificando o domı´nio, a imagem e, quando poss´ıvel, a paridade (par ou ı´mpar). 31. f(x) = (2− x)|3− x| 32. f(x) = 3− x |3− x| 33. f(x) = (x− 2)(x+ 1) 34. g(x) = ∣∣x2 − x− 2∣∣ 35. f(x) = |3− x|+ |x− 1| 36. f(x) = √ x(x− 2) 2 37. f(x) = { −√3− 2x se x < 32√ 2x− 3 se x ≥ 32 38. y = | |x| − 2 | 39. f(x) = √|x2 − 16| 40. g(x) = { 4 + √ 25− x2 se −5 ≤ x ≤ 5 4 se x < −5 ou x > 5 41. f(x) = √−x 42. f(x) = x (√|x|)2 43. f(x) = ∣∣x2 − 4x+ 3∣∣ x− 1 44. y = ∣∣x3 − 5x2 + 2x+ 8∣∣ x− 2 45. 21. y = { 1− x2 , −1 < x < 1 x2 − |x| , x ≤ −1 ou x ≥ 1 RESPOSTAS 1. x > − 4 5 2. 2 < x < 3 3. x < −2 ou x > 5 2 4. ∅ 5. −1 < x < 2 3 ou x > 1 6. x < 1 2 ou x > 1 7. x < 3 2 ou x ≥ 9 5 8. (− 3 2 , 5 2 ) 9. (0, 1) ∪ (1,∞) 10. (−∞, 2] ∪ (3, 5] ∪ (6,∞) 11. (−∞,−3) ∪ (2,∞) 12. (−1, 1) ∪ (1,∞) 13. {6,−2} 14. { 2,− 4 3 } 15. [− 3 2 ,∞) 16. [− 5 2 ,− 1 2 ] 17. (−∞,−4) ∪ (−1,∞) 18. (−∞, 1 5 ) ∪ ( 5 3 ,∞) 19. (−∞, 1 2 ) ∪ ( 1 2 , 11 7 ] ∪ [3,∞) 20. ∅ 21. x < 0 22. x 6= −1 23. −1 ≤ x ≤ 1 24. x < −1 ou x > 1 25. x = −1 ou x = 1 26. f(x) < 0 se x < −1 ou 3 2 < x < 2 = 0 se x = −1 ou x = 3 2 ou x = 2 > 0 se −1 < x < 3 2 ou x > 2 27. f(x) < 0 se x < −1 ou 0 < x < 1 2 = 0 se x = 0 ou x = 1 2 > 0 se −1 < x < 0 ou x > 1 2 28. g(t) < 0 se t < 1 2 ou t > 3 2 = 0 se t = 3 2 > 0 se 1 2 < t < 1 ou 1 < t < 3 2 29. F (x) < 0 se 0 < x < 1 ou x > 1 = 0 se x = 1 > 0 se x < 0 30. Seja S = S(x) a a´rea do triaˆngulo. Como y e z sa˜o os catetos, S = 1 2 yz, que denotamos por (eq. 1). Foi dado o per´ımetro P = x + y + z = 6, logo y + z = 6 − x. Elevando ambos os lados dessa u´ltima equac¸a˜o ao quadrado, obtemos a equac¸a˜o y2 + 2yz + z2 = 36− 12x+ x2 , que denotamos por (eq. 2). Como x e´ a hipotenusa, sabemos que x2 = y2 + z2 , que denotamos por (eq. 3). Na (eq. 2), substituindo-se o valor de x2 dado pela (eq. 3), obtemos y2 + 2yz + z2 = 36− 12x+ y2 + z2. Simplificando essa equac¸a˜o, 2yz = 36− 12x, explicitando o produto yz = 12(3− x) 2 = 6(3− x). Agora, substituindo-se o produto yz na (eq. 1), obtemos S = 1 2 · 6(3− x), logo S(x) = 3(3− x). 31. 32. 33. 34. 35. y x0 2 4 6 2 4 6 dom = R; im = R x y –2 –1 1 2 1 2 3 4 dom = R− {3}; im = {−1, 1} y x –2 0 2 –2 –1 1 2 dom = R; im = [− 9 4 ,∞) y x –2 2 4 –2 –1 1 2 3 dom = R; im = [0,∞) y x0 2 4 –1 1 2 3 4 dom = R; im = [2,∞) 36. 37. 38. 39. 40. y x 2 4 –2 2 4 dom = (−∞, 0] ∪ [2,∞); im = [0,∞) y x –2 0 2 –2 2 4 dom = R; im = R y x0 2 4 –4 –2 2 4 dom = R; im = [0,∞) e´ par x y 2 4 6 8 –6 –4 –2 2 4 6 dom = R; im = [0,∞) e´ par y x0 2 4 6 8 10 –8 –6 –4 2 4 6 8 dom = R; im = [4, 9] e´ par 3 41. 42. 43. 44. 45. y x 2 –3 –2 –1 dom = (−∞, 0]; im = [0,∞) y x –4 –2 2 4 dom = R; im = R e´ ı´mpar x y –4 –2 0 2 dom = R− {1}; im = (−∞,−2) ∪ [0,∞) x y –6 –4 –2 2 4 6 –2 2 4 6 8 dom = R− {2}; im = R x y 2 4 –2 2 dom = R; im = [0,∞) e´ par Lista 1 - Parte II - Ca´lculo I - 2011/2 Operac¸o˜es com func¸o˜es Func¸a˜o composta Transformac¸o˜es em gra´ficos 1. Se f(x) = 3x2 + 2 e g(x) = 1 3x+ 2 , determine: (a) (f + g)(x) (b) (f(x))−1 (c) (f · g)(x) (d) ( f g ) (x) (e) ( g f ) (x) (f) (f ◦ g)(x) 2. Seja f(x) = 3− x x . Determine: (a) f ( x2 )− (f(x))2 (b) f ( 1 x ) − 1 f(x) (c) (f ◦ f)(x) 3. Dadas f(x) = { −x , x < 0 x2 , x ≥ 0 e g(x) = { 1 x , x < 0√ x , x ≥ 0 , determine: (a) (f ◦ g)(x) (b) (g ◦ f)(x) Nos exerc´ıcios 4. a 11., a partir do gra´fico da func¸a˜o y = f(x) dado abaixo, esboce o gra´fico da func¸a˜o dada. 4. y = f (|x|) 5. y = |f(x)| 6. y = f(−x) 7. y = −f(x) 8. y = f(x+ 2) 9. y = f(x) + 3 10. y = f(x) + |f(x)| 2 11. y = f(x)− |f(x)| 2 x y = f(x) –4 –2 0 2 4 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14 Esboce os gra´ficos das func¸o˜es dos exerc´ıcios 12. a 17. 12. f(x) = 8− 3√ x 2 − 1 13. f(x) = √ 2|x| − 6 14. f(x) = |x− 1|3 15. f(x) = 1 + 3 √ 1− x 16. f(x) = (|x| − 1)3 17. f(x) = ∣∣x2 − 4|x|+ 3∣∣ Nos exerc´ıcios 18. a 21. determime o domı´nio, a imagem e esboce o gra´fico da func¸a˜o dada. 18. f(x) = 3 sen (2pix) 19. f(x) = tan (x 2 ) 20. f(x) = ∣∣∣∣ sen (x2)− 12 ∣∣∣∣ , 0 ≤ x ≤ 4pi 21. f(x) = 1 2 sec ( x− pi 3 ) 4 RESPOSTAS 1. (a) y = 9x3 + 6x2 + 6x+ 5 3x+ 2 , x 6= −2 3 (b) y = 1 3x2 + 2 (c) y = 3x2 + 2 3x+ 2 , x 6= −2 3 (d) y = 9x3 + 6x2 + 6x+ 4, x 6= −2 3 (e) y = 1 9x3 + 6x2 + 6x+ 4 , x 6= −2 3 (f) y = 18x2 + 24x+ 11 9x2 + 12x+ 4 , x 6= −2 3 2. (a) y = 6x− 2x2 − 6 x2 (b) y = 9x− 3x2 − 3 3− x (c) y = 4x− 3 3− x 3. (a) (f ◦ g)(x) = { − 1 x , x < 0 x , x ≥ 0 (b) (g ◦ f)(x) = { √−x , x < 0 x , x ≥ 0 4. y x –4 –2 2 4 –14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14 5. y x –4 –2 2 4 –14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14 6. y x –4 –2 2 4 –14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14 7. y x –4 –2 2 4 –14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14 8. y x –4 –2 2 4 –14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14 9. y x –2 0 2 4 6 –14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14 10. y x –4 –2 2 4 –14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14 11. y x –4 –2 2 4 –14 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 12 14 12. y x –2 2 4 6 8 10 20 13. y x 0 2 4 6 8 –10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10 14. x y 1 2 –2 2 4 15. y x –2 0 2 –4 –2 2 4 6 16. x y –1 1 2 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 17. y x 2 4 –6 –4 –2 2 4 6 18. y x –2 0 2 –6 –4 –2 2 4 6 19. y x –10 10 –10 10 20. x0 1 2 3 5 10 21. y x –10 –5 5 10 –15 –10 –5 5 10 15 C�lculo I/Lista CI/Lista10-CalculoI-2011-2.pdf 1 Prof.: Etereldes Lista 10 - Ca´lculo I - 2011/2 Regra de L’Hoˆpital Calcule os limites dos exerc´ıcios 1. a 12. 1. lim x→0 cos2x− 1 ex2 − 1 2. lim x→1+ (lnx)x−1 3. lim x→+∞ ( x2 − 1) e−x2 4. lim x→+∞ ln (lnx) lnx 5. lim x→0+ ln( arcsenx) cotx 6. lim x→0 x arctanx 7. lim x→+∞ ( 2 pi arctanx )x 8. lim x→+∞ ( cos 2 x )x2 9. lim x→0+ ( tan pi x+ 2 )x 10. lim x→0 ( 1 e (1 + x) 1 x ) 1 x 11. lim x→0 ( 1 + ex 2 )cothx 12. lim x→0+ ( senhx x ) 1 x Nos exerc´ıcios 13. e 14. encontre o valor de a que satisfaz a igualdade. 13. lim x→+∞ ( 1 + e2x 2 ) a x = √ e 14. limx→+∞ ( x+ a x− a )x = 4 Nos exerc´ıcios 15. a 22. encontre, se existirem, as ass´ıntotas horizontais e verticais do gra´fico da func¸a˜o. 15. f(x) = x lnx 16. f(x) = e− 1 x2 x 17. f(x) = e 1 x 18. f(x) = x2 lnx 19. f(x) = e−x2 20. f(x) = xe−x 21. f(x) = x coshx 22. f(x) = pix 3 RESPOSTAS 2 1. −1 2. 1 3. 0 4. 0 5. 0 6. 1 7. e− 2 pi 8. e−2 9. 1 10. e− 1 2 11. e 1 2 12. 1 13. 14 14. ln 2 15. Ass´ıntota vertical: x = 1 16. Ass´ıntota horizontal: y = 0 17. Ass´ıntota vertical: x = 0 Ass´ıntota horizontal: y = 0 18. Na˜o tem ass´ıntotas 19. Ass´ıntota horizontal: y = 0 20. Ass´ıntota horizontal: y = 0 21. Na˜o tem ass´ıntotas 22. Ass´ıntota horizontal: y = 0 C�lculo I/Lista CI/Lista11-CalculoI-2011-2.pdf 1 Prof.: Etereldes Lista 11 - Ca´lculo I - 2011/2 Esboc¸o de gra´ficos Nos exerc´ıcios 1. a 8. esboce o gra´fico da func¸a˜o f e deˆ explicitamente o que se pede: • domı´nio D de f ; • paridade de f ; • equac¸o˜es das ass´ıntotas verticais e horizontais do gra´fico; • intervalos de D em que f e´ cont´ınua; • intervalos de D onde f e´ crescente e onde f e´ decrescente; • extremos relativos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem; • intervalos onde a concavidade do gra´fico e´ para cima, onde e´ para baixo e os seus pontos de inflexa˜o; • extremos absolutos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem. 1. f(x) = x3 − 2 x 2. f(x) = 16− x2 (x− 2)2 3. f(x) = (x− 1)x2/3 4. f(x) = 3x+ 1√ x2 − 2x− 3 5. f(x) = 3x2 4− 4x+ x2 6. f(x) = −1− 1 x + 1 x2 7. f(x) = x+ senx 8. f(x) = x− 5 arctanx 9. Seja f : R∗ −→ R duas vezes diferencia´vel e tal que • f(x) 6= 0, ∀x ∈ R∗, f(−1) = −2 e f(1) = 3; • lim x→0− f(x) = −∞, lim x→0+ f(x) = 0, lim x→−∞ f(x) = −∞, limx→∞ f(x) = 0, • f ′′(x) < 0 se {x 6= 0 e x < 2}, f ′′(x) = 0 se x = 2 , f ′′(x) > 0 se x > 2; • o gra´fico de f ′ esta´ dado ao lado. Nestas condic¸o˜es, (a) prove que f(x) > 0, ∀x > 0 (b) prove que f(x) < 0, ∀x < 0 (c) esboce um poss´ıvel gra´fico de f . Gra´fico de y = f ′(x) y x –4 –2 0 2 4 –2 1 2 3 4 5 6 7 8 Esboce os gra´ficos dos exerc´ıcios 10. a 17. 10. f(x) = x lnx 11. f(x) = e− 1 x2 x 12. f(x) = e 1 x 13. f(x) = x2 lnx 14. f(x) = e−x 2 15. f(x) = xe−x 16. f(x) = x coshx 17. f(x) = pix 3 2 RESPOSTAS 1. x y –10 10 20 –2 –1 1 2 3 4 D = (−∞, 0) ∪ (0,∞); nem par, nem ı´mpar; cont´ınua em D; ass´ıntota vertical: x = 0, na˜o tem ass´ıntota horizontal; na˜o tem reta tangente vertical; crescente em (−1, 0) ∪ (0,∞), decrescente em (−∞,−1); mı´nimo relativo = f(−1) = 3, na˜o tem ma´ximo relativo; concavidade para cima em (−∞, 0)∪( 3√2,∞), para baixo em (0, 3√2), ponto de inflexa˜o = ( 3 √ 2, f ( 3 √ 2 )) = ( 3 √ 2, 0 ) ; na˜o tem mı´nimo absoluto pois lim x→0+ f(x) = −∞, na˜o tem ma´ximo absoluto pois lim x→0− f(x) =∞ ; imagem = (−∞,∞). 2. y x –2 0 2 4 6 8 –20 –12 –8 4 8 12 16 20 D = (−∞, 2) ∪ (2,∞); nem par, nem ı´mpar; cont´ınua em D; ass´ıntota vertical: x = 2, ass´ıntota horizontal: y = −1; na˜o tem reta tangente vertical; crescente em (−∞, 2) ∪ (8,∞); decrescente em (2, 8); mı´nimo relativo = f(8) = −4/3, na˜o tem ma´ximo relativo; concavidade para cima em (−∞, 2) ∪ (2, 11), para baixo em (11,∞), ponto de inflexa˜o = (11, f(11)) = (11,−35/27); mı´nimo absoluto = f(8) = −4/3, na˜o tem ma´ximo absoluto pois lim x→2 f(x) =∞ ; imagem = [−4/3,∞). 3. y x –1 1 –3 –2 –1 1 2 3 4 D = (−∞,∞); nem par, nem ı´mpar; cont´ınua emD; na˜o tem ass´ıntota vertical, na˜o tem ass´ıntota horizontal; reta tangente vertical: x = 0; crescente em (−∞, 0) ∪ (2/5,∞); decrescente em (2, 2/5); mı´nimo relativo = f(2/5) = (−3 3√20) /25, ma´ximo relativo = f(0) = 0; concavidade para cima em (−1/5, 0) ∪ (0,∞), para baixo em (−∞,−1/5), ponto de inflexa˜o = (−1/5,−6 3√5/25); na˜o tem mı´nimo absoluto pois lim x→−∞ f(x) = −∞, na˜o tem ma´ximo absoluto pois lim x→∞ f(x) =∞ ; imagem = (−∞,∞). 4. y x –6 –4 –2 2 4 6 8 –10 –5 5 10 D = (−∞,−1) ∪ (3,∞); nem par, nem ı´mpar; cont´ınua em D; ass´ıntotas verticais: x = −1 e x = 3, ass´ıntotas horizontais: y = −3 e y = 3; na˜o tem reta tangente vertical; crescente em (−∞,−2); decrescente em (−2,−1) ∪ (3,∞); na˜o tem mı´nimo relativo, ma´ximo relativo = f(−2) = −√5; concavidade para cima em (−∞,−3)∪(3,∞), para baixo em (−3,−1), ponto de inflexa˜o = (−3,−4√3/3); na˜o tem mı´nimo absoluto pois lim x→−1− f(x) = −∞, na˜o tem ma´ximo absoluto pois lim x→3+ f(x) = ∞ ; imagem = (−∞,−√5] ∪ (3,∞). 5. y x 0 10 20 30 –10 –5 5 10 15 D = (−∞, 2) ∪ (2,∞); nem par, nem ı´mpar; cont´ınua em D; ass´ıntota vertical: x = 2, ass´ıntota horizontal: y = 3; na˜o tem reta tangente vertical; crescente em (0, 2); decrescente em (−∞, 0)∪ (2,∞); mı´nimo relativo = f(0) = 0, na˜o tem ma´ximo relativo; concavidade para cima em (−1, 2) ∪ (2,∞), para baixo em (−∞,−1), ponto de inflexa˜o = (−1, 1/3); mı´nimo absoluto = f(0) = 0, na˜o tem ma´ximo absoluto pois lim x→2 f(x) =∞ ; imagem = [0,∞). 6. y x –2 2 4 6 –10 10 D = (−∞, 0) ∪ (0,∞); nem par, nem ı´mpar; cont´ınua em D; ass´ıntota vertical: x = 0, ass´ıntota horizontal: y = −1; na˜o tem reta tangente vertical; crescente em (−∞, 0) ∪ (2,∞); decrescente em (0, 2); mı´nimo relativo = f(2) = −5/4, na˜o tem ma´ximo relativo; concavidade para cima em (−∞, 0) ∪ (0, 3), para baixo em (3,∞), ponto de inflexa˜o = (3,−11/9); mı´nimo absoluto = f(2) = −5/4, na˜o tem ma´ximo absoluto pois lim x→0 f(x) =∞ ; imagem = [−5/4,∞). 7. y x –20 –10 0 10 20 –20 20 D = (−∞,∞); e´ ı´mpar; cont´ınua em D; na˜o tem ass´ıntota vertical, na˜o tem ass´ıntota horizontal; na˜o tem reta tangente vertical; crescente em D; na˜o tem mı´nimo relativo, na˜o tem ma´ximo relativo; concavidade para cima em (pi + 2kpi, 2pi + 2kpi), k ∈ Z, para baixo em (2kpi, pi+2kpi), k ∈ Z, pontos de inflexa˜o (x, y) = (2kpi, f(2kpi)) = (2kpi, 2kpi) e (x, y) = (pi+2kpi, f(pi+2kpi)) = (pi+2kpi, pi+2kpi), k ∈ Z, na˜o tem mı´nimo absoluto pois lim x→−∞ f(x) = −∞, na˜o tem ma´ximo absoluto pois lim x→∞ f(x) =∞ ; imagem = (−∞,∞). 8. y x –10 0 10 –20 20 D = (−∞,∞); e´ ı´mpar; cont´ınua em D; na˜o tem ass´ıntota vertical, na˜o tem ass´ıntota horizontal; na˜o tem reta tangente vertical; crescente em (−∞,−2)∪ (2,∞), decrescente em (−2, 2); mı´nimo relativo = f(2) = 2−5 arctan 2 ∼= −3, 55, ma´ximo relativo = f(2) = −2+5 arctan 2 ∼= 3, 55; concavidade para cima em (0,∞), para baixo em (−∞, 0), ponto de inflexa˜o = (0, 0); na˜o tem mı´nimo absoluto pois lim x→−∞ f(x) = −∞, na˜o tem ma´ximo absoluto pois lim x→∞ f(x) =∞ ; imagem = (−∞,∞). 3 9. Primeiro observe que por hipo´tese, ∃f ′′(x), ∀x 6= 0 =⇒ ∃f ′(x), ∀x 6= 0 =⇒ f e´ cont´ınua ∀x 6= 0. O gra´fico de y = f ′(x) e os outros dados conduzem ao seguinte quadro: −∞← x x < −1 x = −1 −1 < x < 0 x→ 0− 0+ ← x 0 < x < 1 x = 1 1 < x x→∞ f ′(x) + 0 − − + + 0 − f(x) −∞ cresce −2 decresce −∞ 0 cresce 3 decresce 0 (a) Como lim x→0+ f(x) = 0 , f e´ crescente no intervalo (0, 1), e´ cont´ınua no intervalo (0, 1], f(1) = 3 > 0, podemos concluir que f(x) > 0 no intervalo (0, 1]. Como f(1) = 3 > 0, f e´ cont´ınua no intervalo [1,∞), decrescente no intervalo (1,∞), lim x→∞ f(x) = 0, podemos concluir que f(x) > 0 no intervalo [1,∞). (b) Como lim x→−∞ f(x) = −∞, f e´ crescente no intervalo (−∞,−1), e´ cont´ınua no intervalo (−∞,−1], f(−1) = −2 < 0, podemos concluir que f(x) < 0 no intervalo (−∞,−1]. Como f(−1) = −2 < 0, lim x→0− f(x) = 0, f e´ cont´ınua no intervalo [−1, 0), decrescente no intervalo (−1, 0), lim x→0− f(x) = 0, podemos concluir que f(x) < 0 no intervalo [−1, 0). (c) Como f ′(1) = 0, f e´ cont´ınua no intervalo (0,∞), f e´ crescente no intervalo (0, 1), f e´ decrescente no intervalo (1,∞), podemos concluir que f tem um ma´ximo relativo em x = 1, onde o gra´fico de f tem reta tangente horizontal. Como f ′(−1) = 0, f e´ cont´ınua no intervalo (−∞, 0), f e´ crescente no intervalo (−∞,−1), f e´ decrescente no intervalo (−1, 0), podemos concluir que f tem um ma´ximo relativo em x = −1, onde o gra´fico de f tem reta tangente horizontal. Analisando a concavidade do gra´fico: f ′′(x) < 0 se x < 0 ou 0 < x < 2 =⇒ o gra´fico e´ coˆncavo para baixo nos intervalos (−∞, 0) e (0, 2). f ′′(x) > 0 se x > 2 =⇒ o gra´fico e´ coˆncavo para cima no intervalo (2,∞). x y –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 –3 –2 –1 1 2 3 10. 11. 12. 13. y x 0 2 4 6 8 10 Mı´nimo relativo de f = f(e) = e lim x→0 f(x) = 0 lim x→∞ f(x) =∞ lim x→1− f(x) = −∞ lim x→1+ f(x) =∞ Ass´ıntota vertical: x = 1 x y –0.4 –0.2 0 0.2 0.4 –10 –5 5 10 Mı´nimo absoluto de f = f (−√e) = −e − 1 2√ 2 Ma´ximo absoluto de f = f ( √ e) = e− 1 2√ 2 lim x→−∞ f(x) = lim x→∞ f(x) = 0 Ass´ıntota horizontal y = 0 x y 1 2 3 4 5 –10 10 lim x→−∞ f(x) = 1 lim x→∞ f(x) = 1 lim x→0− f(x) = 0 lim x→0+ f(x) =∞ Ass´ıntota horizontal y = 1 Ass´ıntota vertical x = 0 x y 0 1 1 Mı´nimo absoluto de f = f ( 1 e ) = − 1 e2 lim x→0 f(x) = 0 lim x→∞ f(x) =∞ 14. 15. 16. 17. y x 1 –4 –2 2 4 Ma´ximo absoluto de f = f(0) = 1 lim x→−∞ f(x) = 0 lim x→∞ f(x) = 0 Ass´ıntota horizontal: y = 0 y x1 2 3 4 Ma´ximo absoluto de f = f(1) = 1 e lim x→−∞ f(x) = −∞ lim x→∞ f(x) = 0 Ass´ıntota horizontal: y = 0 y x –2 –1 1 2 lim x→−∞ f(x) = −∞ lim x→∞ f(x) =∞ y x0 2 4 6 –2 –1 1 lim x→−∞ f(x) = 0 lim x→∞ f(x) =∞ Ass´ıntota horizontal: y = 0 C�lculo I/Lista CI/Lista12-CalculoI-2011-2.pdf 1 Prof.: Etereldes Lista 12 - Ca´lculo I - 2011/2 Integral indefinida Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o Calcule as integrais dos exerc´ıcios 1. a 22. 1. ∫ ( ( 3 √ t )2 − 2 ) dt 2. ∫ x−√x 3 dx 3. ∫ ( 3 x2 − 1 ) dx 4. ∫ √ 2 x dx 5. ∫ (2− s)√s ds 6. ∫ sen 3x cos 3x dx 7. ∫ sen θ cos3 θ dθ 8. ∫ arctanx 1 + x2 dx 9. ∫ dx√ x (1 + √ x) 2 10. ∫ dx 4 + 3x2 11. ∫ x√ 1− x4 dx 12. ∫ y (3y − 4)3 dy 13. ∫ dt t2 + 2t+ 2 14. ∫ x√ x− 1 dx 15. ∫ x(1 + x) 4 3 dx 16. ∫ cosx 4 + sen 2x dx 17. ∫ cos2 x dx (cos2 x = 1 + cos 2x 2 ) 18. ∫ tan2 x dx 19. ∫ sen 2x 3 + cos 2x dx 20. ∫ dx x ln √ x 21. ∫ 3xex dx 22. ∫ ex√ 1− e2x dx 23. Encontre a expressa˜o que define a func¸a˜o f , cujo gra´fico conte´m o ponto ( 0, 83 ) e cuja derivada e´ f ′(x) = x √ 1− x2. Resolva os problemas de valor inicial dos exerc´ıcios 24. a 29. 24. { y′ = 1 x2 − 1 x3 y(1) = 32 25. dy dx = x√ 2x2 + 1 y(0) = 1 26. { y′ = 1 x − 1 x3 y(1) = 2 27. { y′ = x 2x2 + e2 y(0) = 1 28. dydx = e 1/x x2 y(1) = 0 29. { f ′(x) = ( 1− sen 2x) sen 2x f ( pi 2 ) = 0 30. Uma func¸a˜o tem derivada de segunda ordem f ′′(x) = 6x− 6. Encontre a expressa˜o da f , sabendo que seu gra´fico conte´m o ponto (2, 1) e que em tal ponto a reta tangente tem equac¸a˜o 3x− y − 5 = 0. RESPOSTAS 1. 3 5 t 5 3 − 2t+ C 2. x2 6 − 2 √ x3 9 + C 3. − 3 x − x+ C 4. 2x √ 2 x + C 5. 4 3 s 3 2 − 2 5 s 5 2 + C 6. 1 6 ( sen 3x)2 + C 7. −cos 4 θ 4 + C 8. 1 2 (arctanx)2 + C 9. −2 1 + √ x + C 10. √ 3 6 arctan √ 3 x 2 + C 11. 1 2 arcsenx2 + C 12. 2− 3y 9(3y − 4)2 + C 2 13. arctan (t+ 1) + C 14. 2 3 √ (x− 1)3 + 2√x− 1 + C 15. 3(1 + x) 10 3 10 − 3(1 + x) 7 3 7 + C 16. 1 2 arctan ( 1 2 senx ) + C 17. 1 2 x+ 1 4 sen 2x+ C 18. −x+ tanx+ C 19. −1 2 ln |3 + cos 2x|+ C 20. 2 ln |ln√x|+ C 21. 3xex 1 + ln 3 + C 22. arcsen ex + C 23. f(x) = −1 3 √ (1− x2)3 + 3 24. y = − 1 x + 1 2x2 + 2 25. y = 1 2 √ 2x2 + 1 + 1 2 26. y = ln |x|+ 1 2x2 + 3 2 27. y = 1 4 ln ( 2x2 + e2 ) + 1 2 28. y = −e 1x + e 29. f(x) = sen 2x− 1 2 sen 4x− 1 2 30. f(x) = x3 − 3x2 + 3x− 1 C�lculo I/Lista CI/Lista13-CalculoI-2011-2.pdf 1 Prof.: Etereldes Lista 13 - Ca´lculo I - 2011/2 Integral Definida Teorema Fundamental do Ca´lculo A´rea de regio˜es planas Calcule as integrais dos exerc´ıcios 1. a 10. 1. ∫ 1 −1 ( ( 3 √ t )2 − 2 ) dt 2. ∫ 1 0 x−√x 3 dx 3. ∫ 3 1 ( 3 x2 − 1 ) dx 4. ∫ 2 1 √ 2 x dx 5. ∫ 2 0 (2− s)√s ds 6. ∫ 1 −1 |x| dx 7. ∫ 4 0 ∣∣x2 − 4x+ 3∣∣ dx 8. ∫ pi 4 0 cos3 x dx 9. ∫ 3 2 x√ x− 1 dx 10. ∫ 1 2 0 x√ 1− x4 dx Derive as func¸o˜es dos exerc´ıcios 11. a 15. 11. f(x) = ∫ 1 −x t2 − 2t t2 + 4 dt 12. f(x) = ∫ x4 − sen2x cos t3 dt 13. f(x) = x2 ∫ 2√x 1 √ t2 + 1 dt 14. F (x) = ∫ | sen x| 0 ln t dt 15. F (x) = ∫ √x 0 et 2+1 dt Calcule os limites dos exerc´ıcios 16. e 17. 16. lim x→pi ∫ x 2 pi 2 cos( sen t) dt (x− pi)3 17. lim x→−1 ∫ 1 −x et 2 dt (x+ 1)3 Calcule a a´rea da regia˜o R dos exerc´ıcios 18. a 24. 18. R e´ a regia˜o entre os gra´ficos de y = x2 − 1 e y = x+ 5. 19. R e´ limitada por y = x2 − 2x, o eixo x e as retas x = −2 e x = 4. 20. R e´ a regia˜o entre a reta x = 2 e a curva x = y2 + 1. 21. R e´ o conjunto dos pontos (x, y) tais que x2 ≤ y ≤ √x. 22. R e´ a regia˜o entre os gra´ficos de y = |x| e y = x2, com −3 ≤ x ≤ 3. 23. R e´ a regia˜o delimitada pelas curvas y = x, xy2 = 1 e y = 2. 24. R e´ a regia˜o delimitada pelas curvas y = senx e y = − sen 2x; 0 ≤ x ≤ pi. 25. Esboce e encontre a a´rea da regia˜o entre o eixo x e a hipe´rbole y = 4 x− 1 , para 2 ≤ x ≤ 3. 26. Esboce e encontre a a´rea da regia˜o delimitada por y = 3 x− 1 , pelo eixo x, pelo eixo y e pela reta x = −4. 2 27. Esboce e encontre a a´rea da regia˜o limitada pela curva y = ex e a reta que conte´m os pontos (0, 1) e (1, e). 28. Esboce e encontre a a´rea da regia˜o situada acima do eixo x, abaixo da reta y = 1 e limitada por y = ln |x|. 29. Determine m de modo que a a´rea da regia˜o limitada por y = mx e y = 2x− x2 seja 36. 30. A reta y = 1− x divide a regia˜o compreendida entre as para´bolas y = 2x2 − 2x e y = −2x2 + 2 em duas partes. Mostre que as a´reas assim obtidas sa˜o iguais e calcule o seu valor. 31. Calcule ∫ 1 0 xf ′(x) dx, sabendo que f(1) = 2 e que ∫ 1 0 f(t) dt e´ igual a a´rea da regia˜o R entre o gra´fico de y = −x2 e as retas y = 1, x = 0 e x = 1. ( sugesta˜o: d dx (xf(x)) = f(x) + xf ′(x) ) 3 RESPOSTAS 1. −145 2. − 118 3. 0 4. ( 4− 2√2) 5. 1615 √ 2 6. 1 7. 4 8. 512 √ 2 9. 1 3 ( 10 √ 2− 8) 10. 1 2 arcsen 1 4 11. f ′(x) = x2 + 2x x2 + 4 12. f ′(x) = 4x3 cosx12 + sen 2x cos ( sen 6x ) 13. f ′(x) = √ (4x+ 1)x3 + 2x ∫ 2√x 1 √ t2 + 1 dt 14. F ′(x) = senx | senx| (cosx) ln | senx| 15. F ′(x) = ex+1 2 √ x 16. ∞ 17. ∞ 18. ∫ 3 −2 ( (x+ 5)− (x2 − 1)) dx 19. ∫ 0 −2 ( x2 − 2x) dx+ ∫ 2 0 − (x2 − 2x) dx+ + ∫ 4 2 ( x2 − 2x) dx = 44 3 20. ∫ 1 −1 ( 2− (y2 + 1)) dy = 4 3 21. ∫ 1 0 (√ x− x2) dx = 1 3 22. 2 ∫ 1 0 ( x− x2) dx+ +2 ∫ 3 1 ( x2 − x) dx = 29 3 23. ∫ 2 1 ( y − y−2) dy = 1 24. ∫ 2pi 3 0 ( senx+ sen 2x) dx+ +2 ∫ pi 2pi 3 −( senx+ sen 2x) dx = 5 2 25. y x0 2 4 1 2 3 a´rea = 4 ln 2 26. y x –2 2 –4 –3 –2 –1 a´rea = 3 ln 5 27. y x 1 2 1 a´rea= 3− e 2 28. y x 1 –3 –2 –1 1 2 3 a´rea = 2e− 2 29. m = −4 30. ∫ 1 − 12 [( 2− 2x2)− (1− x)] dx = = ∫ 1 − 12 [ (1− x)− (2x2 − 2x)] dx = 9 8 31. 2 3 C�lculo I/Lista CI/Lista2-2011-2.pdf 2 Prof.: Etereldes Lista 2 - Ca´lculo I - 2011/2 Limite e limites laterais Continuidade 1. Os gra´ficos de g e h sa˜o dados. Ache os limites laterais de f no ponto indicado. f(x) = g(x) · h(x) e f(x) = (h ◦ g)(x) ambas no ponto x = 1 g y x –1 0 1 2 3 4 5 –3 –2 –1 1 2 3 4 h y x –2 2 4 –3 –2 –1 1 2 3 4 2. Dadas as func¸o˜es f(x) = { x2 + 3 se x ≤ 1 x+ 1 se x > 1 e g(x) = { x2 se x ≤ 1 2 se x > 1 , (i) Esboce o gra´fico de f e g; (ii) Calcule lim x→1 f(x) e lim x→1 g(x); (iii) Deˆ a expressa˜o da func¸a˜o F (x) = f(x) · g(x) e verifique se existe lim x→1 F (x). 3. Deˆ um exemplo no qual lim x→0 |f(x)| existe, mas lim x→0 f(x) na˜o existe. 4. Se f(x) > 0 para todo x 6= 2 e f(2) = −3, verifique se as afirmativas abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, apresente uma justificativa. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo. (a) lim x→2 f(x) na˜o existe (b) lim x→2 f(x) = −3 (c) Se existir, lim x→2 f(x) e´ positivo 5. Sabe-se que lim x→2 f(x) = 5 e f e´ definida em R. Todas as afirmativas abaixo sa˜o falsas. Tente desenhar um contra-sxemplo para cada uma delas. (a) f(x) > 0 para x ∈ (1, 3) (b) f(2) = 5 (c) f(2) e´ positivo Nos exerc´ıcios 6. a 11. calcule o limite, caso exista. Caso na˜o exista, justifique. 6. lim x→ 12 2x2 + 5x− 3 2x2 − 5x+ 2 7. lim x→1 3 ( 1− x2)− 2 (1− x3) (1− x3) (1− x2) 8. lim x→0 √ 1− 2x− x2 − (x+ 1) x 9. lim x→0 √ x+ 2 + √ x+ 6−√6−√2 x 10. lim x→0 1− 3√1− x 1 + 3 √ 3x− 1 11. lim x→1 x2 − 5x+ 4 |x− 1| Nos exerc´ıcios 12. a 14. verifique se a func¸a˜o dada e´ cont´ınua nos pontos indicados. Justifique a resposta. 12. f(x) = √ x− 1 x− 1 , x 6= 1 2 , x = 1 em x = 1 13. f(x) = √ x2 + 1 x6 + x2 + 2 em qualquer x ∈ R 14. f(x) = 1 2 (x− 1)[|x|] , para −2 ≤ x ≤ 2, 3 onde [|x|] = maior inteiro que na˜o supera x. Pontos x = 0 e x = 1. (Sugesta˜o: esboce o gra´fico de f) 15. Para a func¸a˜o f definida por f(x) = − √ 2− x , x < 1 ax+ b , 1 ≤ x < 2∣∣x2 − 7x+ 12∣∣ , x ≥ 2 (a) Determine os valores de a e b para que f seja cont´ınua em R (b) Esboce o gra´fico de f . 16. Deˆ um exemplo com duas func¸o˜es f e g tais que f seja cont´ınua em x = 0, g seja descont´ınua em x = 0 e no entanto f · g seja cont´ınua em x = 0. RESPOSTAS 1. lim x→1− g(x) · h(x) = 4 lim x→1+ g(x) · h(x) = −6 lim x→1− (h ◦ g)(x) = −2 lim x→1+ (h ◦ g)(x) = 0 2. i) f y x –1 1 2 3 4 5 6 –2 2 4 g x y –1 0 1 2 3 4 –2 –1 1 2 3 ii) lim x→1− f(x) = 4 lim x→1− g(x) = 1 lim x→1+ f(x) = 2 lim x→1+ g(x) = 2 iii) F (x) = { ( x2 + 3 ) x2 , x ≤ 1 2(x+ 1) , x > 1 lim x→1 F (x) = 4 3. f(x) = x |x| 4. (a) Falso (b) Falso (c) Falso. Contra-exemplo: f(x) = { |x− 2| se x 6= 2 −3 se x = 2 limx→2 f(x) = 0 6. −7 3 7. 1 2 8. −2 9. √ 6 + √ 2 4 √ 3 10. 1 3 11. f(x)→ 3 se x→ 1− e f(x)→ −3 se x→ 1+, portanto o limite na˜o existe 12. Na˜o, pois lim x→1 f(x) = 1 2 6= 2 = f(1) 13. Sim, e´ cont´ınua em R. O denominador nunca se anula pois x6 + x2 ≥ 0 ⇒ x6 + x2 + 2 ≥ 2 > 0. Analogamente, o radicando y = x2 + 1 > 0. Logo o domı´nio de f e´ igual a R. Assim basta verificar se as func¸o˜es do numerador e denominador sa˜o cont´ınuas para todo x ∈ R, pois sabemos que o quociente de func¸o˜es cont´ınuas e´ uma func¸a˜o cont´ınua. Verificando: A func¸a˜o do denominador e´ cont´ınua em R pois e´ uma func¸a˜o polinomial (qualquer func¸a˜o polinomial e´ cont´ınua em R). A func¸a˜o do numerador e´ a composic¸a˜o de duas func¸o˜es: a func¸a˜o raiz e uma func¸a˜o polinomial. Como a func¸a˜o raiz e´ cont´ınua em [0,∞), em particular e´ cont´ınua em (0,∞), isto e´, neste caso ∀x ∈ R, y = x2 + 1 > 0⇒ ∀x ∈ R, y ∈ (0,∞)⇒ √y e´ cont´ınua em (0,∞) . Como a a composta de cont´ınuas e´ cont´ınua, a func¸a˜o do numerador e´ cont´ınua. 14. –1 1 2 3 –3 –2 –1 1 2 3 e´ cont´ınua em x = 1 e descont´ınua em x = 0 15. (a) a = 3 e b = −4 y x –2 –1 0 1 2 3 –2 2 4 4 16. f(x) = |x| e g(x) = { x |x| , x 6= 0 0 , x = 0 C�lculo I/Lista CI/Lista3-C�lculoI-2011-2.pdf 2 Prof.: Etereldes Lista 3 - Ca´lculo I - 2011/2 Limite infinito e no infinito Teoremas do confronto e anulamento Limites trigonome´tricos Nos exerc´ıcios 1. a 4. os gra´ficos de g e h sa˜o dados. Ache os limites laterais de f no ponto indicado. 1. f(x) = g(x) h(x) , no ponto x = 2 h g y x –2 0 2 4 –2 2 4 6 8 2. f(x) = g(x) h(x) , no ponto x = 3 g y x –2 2 4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 h y x –100 0 100 200 300 –2 2 4 6 8 3. f(x) = g(x) h(x) , no ponto x = 2 g y x –1 1 2 3 4 5 6 –2 2 4 h y x –300 –200 –100 0 100 200 300 –2 2 4 6 8 4. f(x) = g(x) h(x) e f(x) = (g ◦ h)(x) ambas no ponto x = 4 h g y x –2 2 4 6 8 –2 2 4 6 8 Nos exercic´ıos 5. a 10. calcule o limite, caso exista. Caso na˜o exista, justifique. 5. lim x→+∞ ( xn − xn−1) 6. lim x→+∞ (x+ 1)(x+ 2) · · · (x+ 10) (x2 + 1) 5 7. lim x→−∞ √ x2 − 2x+ 2 x+ 1 8. lim x→−∞ ( x+ √ x2 + 3x+ 2 ) 9. lim x→−1 ( 3 x+ 1 − 5 x2 − 1 ) 10. lim x→5 (√ 25− x2 x− 5 ) 11. Seja f definida por f(x) = x3 + 2x2 + x x3 + 5x2 + 7x+ 3 se x 6= −3, x 6= −1 0 se x = −3 −1/2 se x = −1 3 (a) A func¸a˜o f esta´ definida em R? Justifique. (b) Deˆ os pontos onde f e´ cont´ınua. Justifique. (c) Deˆ os pontos onde f e´ descont´ınua. Justifique. (d) A func¸a˜o f e´ cont´ınua em R? Justifique. Nos exerc´ıcios 12. a 15. determine as equac¸o˜es das ass´ıntotas verticais e horizontais do gra´fico da func¸a˜o dada. 12. f(x) = 3x x− 1 13. f(x) = 2x√ x2 + 4 14. f(x) = 2x2 + 1 2x2 − 3x 15. f(x) = x√ x2 − 4 16. A func¸a˜o f e´ tal que para x 6= 2, f satisfaz 1 + 4x− x2 ≤ f(x) ≤ x2 − 4x+ 9. Calcule lim x→2 f(x). 17. Seja f uma func¸a˜o limitada. Use o teorema do anulamento (e´ o corola´rio do teorema do confronto) para provar que lim x→0 x2f(x) = 0. 18. Sabendo que para x > 1, f(x) satisfaz (x− 1)2 < (x2 − 1) · f(x) < (x+ 1)2, calcule lim x→+∞ f(x). Nos exercic´ıos 19. a 27. calcule o limite, caso exista. Caso na˜o exista, justifique. 19. lim x→0 senx3 x 20. lim x→0 tan(pix) tanx 21. lim x→0 sen 2 ( ax2 ) x4 22. lim x→0 1− cos(ax) x2 23. lim x→0 1− secx x2 24. lim x→0 sen (x) sen (3x) sen (5x) tan(2x) tan(4x) tan(6x) 25. lim x→0 √ 1 + tanx−√1 + senx x3 26. lim x→0 ( x cos 1 x ) 27. lim x→−2 ( x2 − 4) sen ( 1 x+ 2 ) 28. lim x→+∞ x− cosx x 29. lim x→−∞ 1 + x senx x 30. lim x→−∞x 2 senx Nos exerc´ıcios 31. a 33. verifique se a func¸a˜o dada tem extensa˜o cont´ınua a toda reta R. 31. f(x) = sen 24x x 32. f(x) = −1 + senx x− pi/2 33. f(x) = sen ( x2 − 4) x+ 2 RESPOSTAS 1. lim x→2− f(x) = +∞; lim x→2+ f(x) = −∞ 2. lim x→3− f(x) = 0; lim x→3+ f(x) = −∞ 3. lim x→2− f(x) = 0; lim x→2+ f(x) = 0 4. lim x→4− g(x) h(x) = lim x→4+ g(x) h(x) = −∞ lim x→4− (g ◦ h)(x) = lim x→4+ (g ◦ h)(x) = 5 5. @, pois quando x→ +∞ a func¸a˜o → +∞ 6. 1 7. −1 8. −3 2 9. @, pois a func¸a˜o → −∞ se x→ −1− (ou, a func¸a˜o → +∞ se x→ −1+) 10. @, pois a func¸a˜o→ −∞ se x→ 5−. Obs.: 6 ∃x;x→ 5+, pois neste caso −5 ≤ x < 5. 11. (a) Sim, pois a u´nica restric¸a˜o da expressa˜o e´ o denominador na˜o nulo, os u´nicos pontos que anulam o denominador sa˜o x = −1 e x = −3 e nestes pontos a func¸a˜o foi definida por outras expresso˜es, a saber f(−1) = −1/2 e f(−3) = 0. (b) Em R − {−3,−1} a func¸a˜o e´ cont´ınua pois e´ o quociente de func¸o˜es polinomiais e toda func¸a˜o polinomial e´ cont´ınua. Em x = −1 a func¸a˜o e´ cont´ınua pois lim x→−1 f(x) = −1 2 = f(−1). (c) A func¸a˜o e´ descont´ınua em x = −3 pois f(x)→ +∞ se x→ −3− (outra justificativa seria f(x)→ −∞ se x→ −3+, basta na˜o ter um dos limites laterais). (d) Na˜o, pois na˜o e´ cont´ınua em x = −3. 12. V: x = 1; H: y = 3 13. V: na˜o tem; H: y = −2, y = 2 14. V: x = 0, x = 3 2 ; H: y = 1 15. V: x = −2, x = 2; H: y = −1, y = 1 16. 5 17. (i) Para g(x) = x2 e a = 0, temos lim x→a g(x) = lim x→0 x2 = 0 4 (ii) f e´ limitada, isto significa que ∃M ; |f(x)| ≤M . Assim, as duas hipo´teses (i) e (ii) do teorema do anula- mento se verificam. Logo vale a tese do teorema, a saber lim x→a g(x)f(x) = 0⇒ lim x→0 x2f(x) = 0. 18. 1 19. 0 20. pi 21. a2 22. a2 2 23. −1 2 24. 5 16 25. 1 4 26. 0 27. 0 28. 1 29. @, oscila entre −1 e 1 30. @, oscila entre −∞ e +∞ 31. Sim, g(x) = sen 24x x , x 6= 0 0 , x = 0 32. Sim, g(x) = −1 + senx x− pi/2 , x 6= pi/2 0 , x = pi/2 33. Sim, g(x) = sen ( x2 − 4) x+ 2 , x 6= −2 −4 , x = −2 C�lculo I/Lista CI/Lista4-C�lculoI-2011-2.pdf 2 Prof.: Etereldes Lista 4 - Ca´lculo I - 2011/2 Teorema do Valor Intermedia´rio Miscelaˆnia Nos exerc´ıcios 1. a 15. calcule cada limite, quando poss´ıvel. Caso conclua que o limite na˜o existe, justifique. 1. lim x→−∞ ( xn − xn−1) 2. lim x→−∞ x 3 √ 1− x3 3. lim x→+∞ √ x+ √ x√ x+ 1 4. lim x→1 3x3 − 2x2 − 3x+ 2 (2x− 2)2 5. lim x→0 (1 + x)5 − (1 + 5x) x5 + x2 6. lim x→ 1 2 2 √ 6x− 3√4x 4x2 − 4x+ 1 7. lim x→1 x100 − 2x+ 1 x50 − 2x+ 1 8. lim x→−2 3 √ x− 6 + 2 x3 + 8 9. lim x→0 sen (x) + sen (3x) + sen (5x) tan(2x) + tan(4x) + tan(6x) 10. lim x→0 (x− sen (ax))(x+ tan(bx)) 1− cos(cx) , a, b, c 6= 0 11. lim x→0 1− cos3 x x senx cosx 12. lim x→1 sen (pix) 1− x2 13. lim x→pi sen (tanx) tanx 14. lim x→pi 2 sen (x)− 1 x cosx 15. lim x→0+ cos ( 1√ x ) sen (√ x+ 1− 1√ x ) 16. lim x→+∞ x− senx x+ senx 17. lim x→−∞ x2 sen (x)− 1 x3 + 1 18. Achar as constantes a e b de modo que lim x→+∞ ( ax+ b− x 3 + 1 x2 + 1 ) = 0. 19. Calcule os limites laterais de f(x) = g(x) senx em x = 0, se g(x) = { cos(x) + 3 , x < 0 x2 − 9 , x ≥ 0 Nos exerc´ıcios 20. e 21. verifique se a func¸a˜o e´ cont´ınua no ponto indicado. Justifique a resposta. 20. f(x) = x3 cos ( 1 x ) se x 6= 0 1 se x = 0 em x = 0 21. f(t) = 1−√t 1− 3√t se t 6= 1 3/2 se t = 1 em t = 1 3 22. Verifique se existe a ∈ R tal que f(x) = { 1 + ax , x ≤ 0 x4 + 2a , x > 0 seja cont´ınua em R. 23. Seja f : R −→ R, tal que x senx ≤ f(x) ≤ x2 cos2 x, ∀x ∈ ( −pi 2 , pi 2 ) . Verifique se f e´ cont´ınua em x = 0. 4 Para cada func¸a˜o dos exerc´ıcios 24. a 26. determine um intervalo de amplitude 1, no qual esta´ localizado pelo menos um zero dessa func¸a˜o. 24. f(x) = x3 + x− 1 25. f(x) = x3 + 3x− 5 26. f(x) = 1 + x cos pix 2 27. Mostre que os gra´ficos de y = 1 e y = x2 tanx teˆm intersec¸a˜o em pelo menos um ponto do intervalo ( −pi 2 , pi 2 ) . 28. Deˆ um exemplo de uma func¸a˜o tal que que em dois pontos distintos x = a e x = b a func¸a˜o tem sinais contra´rios, f na˜o e´ cont´ınua no intervalo [a, b] e a tese do Teorema do Valor Intermedia´rio e´ verdadeira. 29. Deˆ um exemplo de uma func¸a˜o tal que que em dois pontos distintos x = a e x = b a func¸a˜o tem sinais contra´rios, f na˜o e´ cont´ınua no intervalo [a, b] e a tese do Teorema do Valor Intermedia´rio e´ falsa. 30. Se uma func¸a˜o f muda de sinal quando x varia de um ponto x = x1 para o ponto x = x2, existira´ obrigatoriamente um ponto entre x1 e x2 onde a func¸a˜o f se anula? Justifique sua resposta. RESPOSTAS 1. Se n for par, @ pois a func¸a˜o → +∞ e se n for ı´mpar, @ pois a func¸a˜o → −∞ 2. −1 3. 1 4. @ pois se x→ 1− a func¸a˜o → −∞ (ou se x→ 1+ a func¸a˜o → +∞) 5. 10 6. @ pois se x→ 1 2 − a func¸a˜o → −∞ (ou se x→ 1 2 + a func¸a˜o → −∞) 7. 49 24 8. 1 144 9. 3 4 10. 2(1− a)(1 + b) c2 11. 3 2 12. pi 2 13. 1 14. 0 15. 0 16. 1 17. 0 18. a = 1, b = 0 19. lim x→0− f(x) = −∞ lim x→0+ f(x) = −∞ 20. Na˜o, pois lim x→0 f(x) = 0 6= 1 = f(0) 21. Sim, pois lim t→1 f(t) = 3 2 = f(1) 22. 1 2 23. Sim 24. f(0) = −1 < 0 < 1 = f(1), f e´ cont´ınua em [0, 1]. Pelo Teorema do Valor Intermedia´rio (TVI), existe um c; 0 < c < 1; f(c) = 0, isto e´, existe um zero da func¸a˜o no intervalo [0, 1]. 25. Idem ao 22. para o intervalo [1, 2] 26. Idem ao item 22. para o intervalo [ 1 2 , 3 2 ] 27. Aplicando o TVI em f(x) = −1 + x2 tanx no in- tervalo [0, pi/3], mostra-se que f tem um zero no intervalo [0, pi/3]. Isto e´, ∃c; c ∈ [0, pi/3]; f(c) = 0. Como [0, pi/3] ⊂ (−pi/2, pi/2), temos que ∃c; c ∈ (−pi/2, pi/2); −1 + c2 tan c = f(c) = 0. Isto e´, ∃c; c ∈ (−pi/2, pi/2); c2 tan c = 1. 28. f(x) = (x+ 1)2 1− x em [−2, 2]; 29. f(x) = 1 x em [−1, 1] 30. Na˜o. Ver exemplo 29. C�lculo I/Lista CI/Lista5-C�lculoI-2011-2.pdf 2 Prof.: Etereldes Lista 5 - Ca´lculo I - 2011/2 Derivada por definic¸a˜o Regras ba´sicas de derivac¸a˜o Diferenciabilidade × continuidade Nos exerc´ıcios 1. a 3. use a definic¸a˜o de derivada de uma func¸a˜o para calcular f ′ (x0) e determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o no ponto (x0, f (x0)). 1. f(x) = √ x2 + 4, x0 = √ 5 2. f(x) = x+ 4 x+ 2 , x0 = 0 3. fx) = 1 x , x0 = 1 2 4. Quantas retas tangentes ao gra´fico de y = x3 + 3x sa˜o paralelas a` reta y = 6x + 1? Determine as equac¸o˜es dessas tangentes. 5. Seja f(x) = 3− x 2 , x < 1 1√ x , x ≥ 1 f e´ diferencia´vel em x = 1? f e´ cont´ınua em x = 1? 6. Seja f(x) = −x 2 , x < 1 1√ x , x ≥ 1 f e´ diferencia´vel em x = 1? f e´ cont´ınua em x = 1? 7. Determine a e b de modo que f(x) = { x2 se x < 1 ax+ b se x ≥ 1 seja diferencia´vel. 8. Seja f tal que |f(x)| ≤ x2, ∀x ∈ R. Mostre que f e´ diferencia´vel em x = 0. Derive cada func¸a˜o dos exerc´ıcios 9. a 17. (se poss´ıvel, simplifique a func¸a˜o e/ou a derivada da func¸a˜o) 9. f(x) = 2 ( x2 + 2x+ 1 ) tanx 10. f(x) = cos2 x 11. f(x) = √ x senx+ x1/3 12. f(x) = 2x cosx tanx 13. f(x) = x secx x2 + 2x+ 3 14. f(x) = ( x2 − 2x+ 2)2 x4 + x2 + 1 15. f(x) = 1 (x2 + 2)2 16. f(x) = { x3 sen (1/x) , x 6= 0 0 , x = 0 17. f(x) = |2x− 8|, x 6= 4 Nos exerc´ıcios 18. a 21. use o gra´fico da func¸a˜o para determinar os valores de x em que a func¸a˜o e´ diferencia´vel e indique os valores de x em que a derivada e´ (i) nula (ii) positiva (iii) negativa. 18. f(x) = |x+ 3| 19. f(x) = |x2 − 9| 20. f(x) =√|x| 21. f(x) = { x2 − 4 , x ≤ 0 4− x2 , x > 0 3 RESPOSTAS 1. f ′ (√ 5 ) = lim x→√5 √ x2 + 4− 3 x−√5 = √ 5 3 ; reta tangente: y − 3 = √ 5 3 ( x−√5) 2. f ′(0) = −1 2 ; reta tangente: y = −x 2 + 2 3. f ′ ( 1 2 ) = −4; reta tangente: y = −4x+ 4 4. Duas retas tangentes: y = 6x− 2 e y = 6x+ 2 5. f e´ diferencia´vel em x = 1 pois f ′(1) = −1/2; f e´ cont´ınua em x = 1, pois tem um teorema que garante que toda func¸a˜o diferencia´vel num ponto e´ cont´ınua nesse ponto. 6. f na˜o e´ cont´ınua em x = 1, pois lim x→1− f(x) = −1 2 6= lim x→1+ f(x) = 1; f na˜o e´ diferencia´vel em x = 1 pois se fosse, f seria cont´ınua em x = 1 (tem um terorema que garante que toda func¸a˜o diferencia´vel num ponto e´ cont´ınua nesse ponto) e ja´ provamos que f na˜o e´ cont´ınua em x = 1. 7. a = 2 e b = −1 8. Use o teorema do sandu´ıche para calcular a derivada pela definic¸a˜o 9. f ′(x) = 2 ( x2 + 2x+ 1 ) sec2 x+ 2(2x+ 2) tanx = 2(x+ 1) [ (x+ 1) sec2 x+ 2 tanx ] 10. f ′(x) = −2 cosx senx = − sen 2x 11. f ′(x) = 1 2 √ x senx+ √ x cosx+ 1 3 x−2/3 = senx+ 2x cosx 2 √ x + 1 3 3 √ x2 12. f(x) = 2x cosx tanx = 2x senx⇒ f ′(x) = 2( senx+ x cosx) 13. f ′(x) = ( x2 + 2x+ 3 ) (x secx tanx+ secx)− [x(secx)(2x+ 2)] (x2 + 2x+ 3) 2 = [ 3− x2 + (x3 + 2x2 + 3x) tanx] secx (x2 + 2x+ 3) 2 14. f ′(x) = ( x4 + x2 + 1 ) [ 2 ( x2 − 2x+ 2) (2x− 2)]− (x2 − 2x+ 2)2 (4x3 + 2x) (x4 + x2 + 1) 2 = = 2 ( x2 − 2x+ 2) (2x4 − 3x3 − 2) (x4 + x2 + 1) 2 15. f ′(x) = −2 (x2 + 2)−3 (2x) = −4x (x2 + 2) 3 16. f ′(x) = { −x cos 1 x + 3x2 sen 1 x , x 6= 0 0 , x = 0 17. x 6= 4, f(x) = |2x− 8| = { −2x+ 8 se x < 4 2x− 8 se x > 4 ⇒ f ′(x) = { −2 se x < 4 2 se x > 4 = 2(x− 4) |x− 4| 18. y x –2 2 4 –6 –4 –2 2 f(x) = |x+3| na˜o e´ diferencia´vel em x = −3 pois o gra´fico tem um bico no ponto (−3, f(−3)) = (−3, 0). E´ diferencia´vel em R− {−3}. (i) 6 ∃x tal que f ′(x) = 0 (ii) f ′(x) > 0 : x ∈ (−3,∞) (iii) f ′(x) < 0 : x ∈ (−∞,−3) 19. y x –2 2 4 6 8 10 12 –6 –4 –2 2 4 6 f(x) = |x2 − 9| na˜o e´ diferencia´vel em x = ±3 pois o gra´fico tem um bico nos pontos (−3, f(−3)) = (−3, 0) e (3, f(3)) = (3, 0) . E´ diferencia´vel em R−{−3, 3}. (i) f ′(x) = 0: x = 0 (ii) f ′(x) > 0 : x ∈ (−3, 0) ∪ (3,∞) (iii) f ′(x) < 0 : x ∈ (−∞,−3) ∪ (0, 3) 20. y x –1 1 2 3 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 f(x) = √|x| na˜o e´ diferencia´vel em x = 0 pois o gra´fico tem um bico no ponto (0, f(0)) = (0, 0). E´ diferencia´vel em R− {0}. (i) 6 ∃x tal que f ′(x) = 0 (ii) f ′(x) > 0 : x ∈ (0,∞) (iii) f ′(x) < 0 : x ∈ (−∞, 0) 4 21. y x –4 –2 0 2 4 –4 –3 –2 1 2 3 4 f(x) = { x2 − 4 , x ≤ 0 4− x2 , x > 0 na˜o e´ cont´ınua em x = 0 pois o gra´fico tem um salto em x = 0, logo f(x) na˜o e´ diferencia´vel em x = 0. E´ diferencia´vel em R−{0}. (i) 6 ∃x tal que f ′(x) = 0 (ii) 6 ∃x tal que f ′(x) > 0 (iii) f ′(x) < 0 : x ∈ (−∞, 0) ∪ (0,∞) C�lculo I/Lista CI/Lista6-CalculoI-2011-2.pdf 1 Prof.: Etereldes Lista 6 - Ca´lculo I - 2011/2 Diferenciabilidade × continuidade Algumas aplicac¸o˜es de derivada Regra da cadeia 1. Uma part´ıcula se move sobre uma linha reta de acordo com a equac¸a˜o s = √ t, sendo s a distaˆncia (em metros) da part´ıcula ao seu ponto de partida, apo´s decorridos t segundos da partida. (a) Calcule a velocidade me´dia da part´ıcula de t = 9 ate´ t = 16 (b) Calcule a velocidade instantaˆnea da part´ıcula quando t = 9. 2. Calcule a taxa de variac¸a˜o do volume de um bala˜o esfe´rico em relac¸a˜o ao seu raio, quando o raio do bala˜o for igual a 5 cm. 3. Um proje´til e´ lanc¸ado verticalmente para cima e t segundos apo´s o lanc¸amento esta´ a s metros do solo, onde s = s(t) = 256 t− 16t2. Calcule: (a) A velocidade do proje´til t = 4 segundos apo´s o lanc¸amento; (b) O tempo necessa´rio para o proje´til atingir a altura ma´xima; (c) A altura ma´xima atingida pelo proje´til. 4. No instante t horas um ve´ıculo esta´ 16 √ t3 − 24t + 16 quiloˆmetros a` leste de um ponto de refereˆncia na estrada. (a) Qual a velocidade no instante t = 14 e qual e´ o sentido do movimento em relac¸a˜o ao ponto de refereˆncia? (b) Onde esta´ o ve´ıculo quando a velocidade e´ zero? Nos exerc´ıcios 5. a 10. derive a func¸a˜o (se poss´ıvel, simplifique antes e/ou depois de derivar). 5. f(x) = 4 √ 2x4 + 2x cos2 x 6. f(x) = ( sen 2x) ( x3 + 2x )2/3 7. F (u) = u3 − 3u2 (u4 + 1) 5/2 8. G(r) = 5 √ 2r2 − 2 r − 1 9. M(x) = √ x+ √ x+ √ x 10. f(x) = { x3 sen 1 x4 se x 6= 0 0 se x = 0 11. Sejam f(x) = √ 2x+ 1 e g(x) = √ tanx. Calcule (f ◦ g)′ (pi 4 ) . 12. Considere f uma func¸a˜o diferencia´vel e g definida por g(x) = f2(cosx). Sabendo que f(0) = 1 e f ′(0) = −1 2 , calcule g′ (pi 2 ) . 13. Seja g : R −→ R diferencia´vel; g(0) = 1 2 e g′(0) = 1. Calcule f ′(0), onde f(x) = (cosx)g2 ( tan x x2 + 2 ) . 14. Sejam g diferencia´vel e f(x) = x g ( x2 ) . 2 (a) Mostre que f ′(x) = g ( x2 ) + 2x2g ′ ( x2 ) ; (b) Calcule g(4), sabendo que g(4) + g′(4) = 1 e f ′(2) = −1. 15. Considere as func¸o˜es g(x) = { 1 se x < −1 |x| se x ≥ −1 e f(x) = { 1 se x < 0 1− x2 se x ≥ 0 (a) Encontre (f ◦ g)(x); (b) Usando (a), encontre (f ◦ g)′(x) e determine seu domı´nio D; (c) Determine o conjunto C onde podemos aplicar a regra da cadeia para calcular (f ◦ g)′(x); (d) Usando a regra da cadeia, encontre (f ◦ g)′(x), ∀x ∈ C; (e) Compare (b) e (d); (f) Esboce os gra´ficos de g, f e f ◦ g; (g) Indique nos gra´ficos os pontos onde g, f e f ◦ g na˜o sa˜o diferencia´veis. 3 RESPOSTAS 1. (a) √ 16−√9 16− 9 ; (b) lim∆t→0 √ 9 + ∆t−√9 ∆t = s′(9) = 1 6 m/seg. 2. Sendo V = volume, V ′(5) = 100pi cm3/cm. 3. (a) 128 m/seg; (b) 8 seg (c) 1024 m 4. (a) s′(1/4) = −12 < 0 ⇒ sentido: ve´ıculo se aproxima da refereˆncia, rumo oeste, com velocidade escalar de 12 km/h; (b) 8 km a` leste da refereˆncia. 5. f ′(x) = ( cos2 x ) (1/4) ( 2x4 + 2x )−3/4 (8x3 + 2)− (2x4 + 2x)1/4 (2 cos x)(− senx) cos4 x = ( 4x3 + 1 ) cosx+ 8 ( x4 + 1 ) senx 2 (2x4 + 2x)3/4 cos3 x 6. f ′(x) = ( sen 2x)(2/3) ( x3 + 2x )−1/3 ( 3x2 + 2 ) + (cos 2x)(2) ( x3 + 2x )2/3 = 2 ( 3x2 + 2 ) ( sen 2x) + 6 ( x3 + 2x ) (cos 2x) 3 (x3 + 2x)1/3 7. F ′(u) = ( u4 + 1 )5/2 ( 3u2 − 6u)− (u3 − 3u2) (5/2) (u4 + 1)3/2) (4u3) (u4 + 1)5 = −7u6 + 24u5 + 3u2 − 6u (u4 + 1)7/2 8. G′(r) = 1 5 (2r + 2)−4/5(2) = 2 5 5 √ (2r + 2)4 9. f ′(x) = 1 + 1 + 1 2 √ x 2 √ x+ √ x 2 √ x+ √ x+ √ x 10. f ′(x) = { 3x2 sen 1 x4 − 4 x2 cos 1 x4 , x 6= 0 0 , x = 0 11. √ 3 3 12. 1 13. 1 2 14. 9 7 15. (a) (f ◦ g)(x) = { 0, x < −1 1− x2, x ≥ −1 (b) (f ◦ g)′(x) = { 0, x < −1 −2x, x > −1 6 ∃(f ◦ g) ′(−1) pois (f ◦ g)′−(−1) = 0 6= (f ◦ g)′+(−1) = 2 D = dom(f ◦ g)′ = R− {−1} (c) g′(x) = 0, x < −1 −1, −1 < x < 0 1, x > 0 6 ∃ g′(−1) pois g′−(−1) = 0 6= g′+(−1) = −1 e 6 ∃ g′(0) pois g′−(0) = −1 6= g′+(0) = 1 Logo dom (g′) = R− {−1, 0} f ′(x) = { 0, x < 0 −2x, x ≥ 0 Logo dom (f ′ ◦ g) = {x ∈ (dom g) = R; y = g(x) ∈ (dom f ′) = R} = R Como C = (dom (f ′ ◦ g)) ∩ (dom (g′)), temos C = R− {−1, 0}. (d) Visando aplicar a regra da cadeia, vamos calcular primeiro f ′(g(x)) em C = R− {−1, 0}: Como g(x) = 1, x < −1 |x|, −1 < x < 0 |x|, x > 0 temos f ′(g(x)) = f ′(1) = −2, x < −1 f ′ (|x|) = −2|x| = 2x, −1 < x < 0 f ′ (|x|) = −2|x| = −2x, x > 0 . Aplicando a regra da cadeia: (f ◦ g)′(x) = f ′(g(x))g′(x) = −2× 0 = 0, x < −1 (2x)× (−1) = −2x, −1 < x < 0 (−2x)× (1) = −2x, x > 0 (e) (f ◦ g)′(x) sa˜o iguais nos pontos comuns de D e C, mas na˜o e´ poss´ıvel aplicar a regra da cadeia para calcular (f ◦ g)′(0). (f) y = g(x) y x –4 –2 0 2 4 –4 –3 –2 1 2 3 4 y = f(x) y x –4 –2 0 2 4 –4 –3 –2 1 2 3 4 y = (f ◦ g)(x) y x –4 –2 0 2 4 –4 –3 –2 1 2 3 4 C�lculo I/Lista CI/Lista7-CalculoI-2011-2.pdf 1 Prof.: Etereldes Lista 7 - Ca´lculo I - 2011/2 Teorema de Rolle Teorema do Valor Me´dio - TVM Nos exerc´ıcios 1. a 6. verifique se o Teorema de Rolle pode ser aplicado a` f nos intervalos indicados. 1. f(x) = 1− |x− 1|, x ∈ [0, 2] 2. f(x) = x2 − 2x, x ∈ [−1, 3] 3. f(x) = (x− 3)(x+ 1)2, x ∈ [−1, 3] 4. f(x) = x− x 13 , x ∈ [0, 1] 5. f(x) = x− x 13 , x ∈ [−1, 1] 6. f(x) = x 2 − 4 x2 , x 6= 0 0, x = 0 I = [−2, 2] gra´fico do ex. 6 x y –40 –30 –20 –10 10 7. A altura de uma bola, t segundos apo´s o lanc¸amento, e´ dada por f(t) = −16t2 + 48t+ 32. (a) Verifique que f(1) = f(2); (b) Segundo o Teorema de Rolle, qual deve ser a velocidade v da bola em algum instante do intervalo [1, 2]? Enuncie o Teorema de Rolle; (c) Encontre a velocidade me´dia da bola durante os dois primeiros segundos; (d) Em que instante a velocidade instantaˆnea e´ igual a` velocidade me´dia acima? Enuncie o teorema que nos garante isso. 8. Seja f : [−1, 2] −→ R cont´ınua em [−1, 2], diferencia´vel em (−1, 2), com f(−1) = −1 e f(2) = 5. Prove que existe um ponto no gra´fico de f em que a reta tangente e´ paralela a` reta y = 2x. 9. Seja p(x) = Ax2+Bx+C. Prove que, para qualquer intervalo [a, b], o valor de c cuja existeˆncia e´ garantida pelo Teorema do Valor Me´dio (TVM), e´ o ponto me´dio do intervalo. 10. Se a > 0 e n e´ um inteiro na˜o negativo qualquer, prove que p(x) = x2n+1 + ax+ b na˜o pode ter duas ra´ızes reais. 11. Mostre que g(x) = 8x3 + 30x2 + 24x+ 10 admite uma u´nica raiz no intervalo (−3,−2). 12. Seja P uma func¸a˜o polinomial na˜o constante. (a) Prove que, entre dois zeros consecutivos de P ′ (isto e´, dois valores de x que anulam a derivada e tal que entre eles na˜o existe outro valor que anula a derivada), existe no ma´ximo uma raiz de P . (b) Se P tem treˆs ra´ızes distintas em [a, b], prove que P ′′(c) = 0, para algum valor c ∈ (a, b). 2 RESPOSTAS 1. Na˜o, a hipo´tese f diferencia´vel em (0, 2) falha, pois f na˜o e´ diferencia´vel em x = 1 ∈ (0, 2). 2. Sim 3. Sim 4. Sim 5. Na˜o, f diferencia´vel em (−1, 1) na˜o se verifica, pois f na˜o e´ diferencia´vel em x = 0 ∈ (−1, 1). 6. Na˜o, a hipo´tese f cont´ınua em [−2, 2] na˜o se verifica, pois f na˜o e´ cont´ınua em x = 0 ∈ [−2, 2]. 7. (a) f(1) = f(2) = 64 (b) v = 0 (c) 16 m/seg (d) t = 1 seg 8. Existe uma reta tangente ao gra´fico e paralela a` reta y = 2x ⇐⇒ ∃x ∈ [1, 2] tal que f ′(x) = 2 (coefi- cientes angulares iguais). Calcule o coeficiente angular da reta secante ao gra´fico que conte´m os pontos (−1, f(−1)) e (2, f(2)), depois aplique o Teorema do Valor Me´dio (TVM). 9. (i) p e´ cont´ınua em [a, b] pois p e´ uma func¸a˜o polinomial; (ii) p e´ diferencia´vel em (a, b) pois p e´ uma func¸a˜o polinomial. Se valem as hipo´teses (i) e (ii) do TVM, enta˜o vale a tese : ∃c ∈ (a, b) tal que p′(c) = p(b)− p(a) b− a = ( Ab2 +Bb+ C )− (Aa2 +Ba+ C) b− a = A ( b2 − a2)+B(b− a) b− a = = A(b− a)(b+ a) +B(b− a) b− a = (b− a)[A(b+ a) +B] b− a = A(b+ a) +B. Ale´m disso, como p′(x) = 2Ax+B, temos que p′(c) = 2Ac+B. Igualando as duas expresso˜es de p′(c) e simplificando, chegamos a c = a+ b 2 . 10. Suponha, por absurdo, que p(x) tem duas ra´ızes reais x1 e x2 com x1 < x2. As hipo´teses do Teorema de Rolle para p em [x1, x2] sa˜o verdadeiras: (i) e (ii) p e´ cont´ınua em [x1, x2] e diferencia´vel em (x1, x2) pois p e´ uma func¸a˜o polinomial; (iii) p (x1) = p (x2) = 0 pois x1 e x2 sa˜o ra´ızes de p(x). Aplicando o Teorema de Rolle: ∃c ∈ (x1, x2) tal que p′(c) = 0 (*) Por outro lado, p′(x) = (2n+ 1)x2n + a = (2n+ 1) (xn)2 + a. Como, (2n+ 1) (xn) 2 ≥ 0, ∀x ∈ R e por hipo´tese a > 0, temos que p′(x) > 0, ∀x ∈ R (**) As concluso˜es (*) e (**) sa˜o contradito´rias, logo na˜o e´ poss´ıvel supor que existem duas ra´ızes reais. 11. 1a parte: Como a func¸a˜o polinomial g e´ cont´ınua em [−3,−2], g(−3) = −8 < 0 e g(−2) = 18 > 0, pelo Teorema do Valor Intermedia´rio, g possui pelo menos uma raiz entre −3 e −2. 2a parte: Suponha, por absurdo, que g admite duas ra´ızes c1 e c2 tal que −3 < c1 < c2 < −2. Logo g(c1) = g(c2) = 0. Como a func¸a˜o polinomial g e´ cont´ınua em [−3,−2] e diferencia´vel em (−3,−2), pelo Teorema de Rolle, ∃c entre c1 e c2 tal que g′(c) = 0. (*) Por outro lado, g′(x) = 24x2 + 60x + 24 = 12(x + 2)(2x + 1), analisando o sinal de g′(x), temos g′(x) > 0 quando −3 < x < −2, logo g′(c) > 0, que contradiz com (*). Conclusa˜o: g na˜o admite duas ra´ızes entre −3 e −2. Pela 1a parte, g possui pelo menos uma raiz entre −3 e −2 e pela 2a parte, g na˜o admite duas ra´ızes entre −3 e −2, consequentemente g possui uma u´nica raiz entre −3 e −2. 12. (a) Suponha que x1 e x2 sa˜o dois zeros consecutivos de P ′. Suponha, por absurdo, que entre x1 e x2 existem duas ra´ızes de P . Sejam x3 e x4, com x3 < x4 essas ra´ızes de P . Assim, (x3, x4) ⊂ (x1, x2). Aplicando o Teorema de Rolle para a func¸a˜o P em [x3, x4]: [(i)P (x3) = P (x4) = 0], verifique as outras duas hipo´teses, afirmamos que ∃ c ∈ (x3, x4) ⊂ (x1, x2) tal que P ′(c) = 0 =⇒ ∃ c ∈ (x1, x2) tal que P ′(c) = 0, o que contradiz com a hipo´tese de que x1 e x2 sa˜o dois zeros consecutivos de P ′. (b) Sejam x1, x2 e x3 as treˆs ra´ızes, com x1 < x2 < x3. O Teorema de Rolle aplicado a P nos intervalos [x1, x2] e [x2, x3] nos garante (verifique as hipo´teses) que ∃ c1 ∈ (x1, x2) e ∃ c2 ∈ (x2, x3) tais que P ′ (c1) = P ′ (c2) = 0. Agora, o Teorema de Rolle aplicado a P ′ no intervalo [c1, c2] nos garante (verifique as hipo´teses) que ∃ c ∈ (c1, c2) tal que P ′′ (c) = 0. C�lculo I/Lista CI/Lista8-CalculoI-2011-2.pdf 1 Prof.: Etereldes Lista 8 - Ca´lculo I - 2011/2 Crescimento e decrescimento de func¸o˜es Ma´ximos e mı´nimos locais Ma´ximos e mı´nimos absolutos Nos exerc´ıcios 1. a 3. deˆ os intervalos em que a func¸a˜o e´ crescente e em que e´ decrescente. 1. f(x) = x+ 3 x2 2. g(t) = 3t2 + 4t 1 + t2 3. F (u) = u2 − u+ 1 2(u− 1) 4. Seja f uma func¸a˜o tal que f(0) = 0 e f ′(x) = x2 1 + x2 , ∀x ∈ R. Mostre que 0 < f(x) < x,∀x > 0. 5. Mostre que senx < x, ∀x > 0. (Sugesta˜o: para x ≥ pi/2, use propriedades da trigonometria, para 0 < x < pi/2, use derivada) 6. Prove a desigualdade cosx > 1− x 2 2 , x 6= 0. (Sugesta˜o: prove para x > 0 e depois use o fato de que as func¸o˜es de ambos os lados sa˜o pares) 7. Prove, para x > 0, a desigualdade x− x 3 6 < senx. 8. Mostre que: (a) ex > x, ∀x ∈ R (b) ex > x 2 2 , ∀x ≥ 0 Nos exerc´ıcios 9. a 11. localize os pontos onde ocorrem os extremos absolutos das func¸o˜es nos intervalos dados. 9. f(x) = x3 − 3x2, x ∈ [−1, 3] 10. f(x) = 2 cosx+ sen 2x, x ∈ [0, 4pi] 11. f(x) = x5 5 − x 3 3 + 2, x ∈ [−2, 2] 12. Mostre que f(x) = lnx x tem ma´ximo absoluto em x = e. Conclua que pie < epi. 13. Ache a inclinac¸a˜o ma´xima da curva y = x3 − 3x+ 3 no intervalo [−32 , 52]. 14. Mostre que p(x) = x3 − 3x2 + 6 tem exatamente uma raiz real e localize-a em um intervalo de amplitude ma´xima 1. 15. Mostre que f(x) = x2− x senx− cosx tem exatamente duas ra´ızes reais e localize-as em intervalos de amplitude ma´xima pi/2. 16. Prove que para todo x > 0 vale a seguinte desigualdade: x+ 1 x ≥ 2. (Sugesta˜o: estude o crescimento da expressa˜o do lado esquerdo e determine o mı´nimo absoluto dessa expressa˜o no intervalo dado). 17. A concentrac¸a˜o C de certa substaˆncia qu´ımica no fluxo sangu¨´ınio em t horas apo´s ter sido injetado no mu´sculo e´ dada por C = 3t 54 + t3 . Em que instante a concentrac¸a˜o e´ ma´xima? Qual e´ a concetrac¸a˜o ma´xima? 2 RESPOSTAS 1. Crescente em (−∞, 0) ∪ ( 3√6,∞), decrescente em (0, 3√6). 2. Crescente em (−12 , 2), decrescente em (−∞,− 12) ∪ (2,∞). 3. Crescente em (−∞, 0) ∪ (2,∞), decrescente em (0, 1) ∪ (1, 2). 4. Primeiro vamos mostrar que f(x) > 0, ∀x > 0. (i) f ′(x) = x2 1 + x2 > 0, ∀x 6= 0 =⇒ f e´ crescente em (−∞, 0) ∪ (0,∞); (ii) A func¸a˜o f e´ cont´ınua em R pois f e´ diferencia´vel em R. Por (i) e (ii) conclu´ımos: f e´ crescente em (0,∞) e cont´ınua em [0,∞) =⇒ f(x) > f(0), ∀x > 0. Finalmente, como por hipo´tese f(0) = 0, conclu´ımos que f(x) > 0, ∀x > 0. Agora vamos mostrar que f(x) < x, ∀x > 0. Mas f(x) < x, ∀x > 0⇐⇒ x−f(x) > 0, ∀x > 0. Considerando F (x) = x− f(x) temos que provar que F (x) > 0, ∀x > 0. Provando: (i) F ′(x) = 1− x 2 1 + x2 = 1 1 + x2 > 0, x 6= 0 =⇒ f e´ crescente em (−∞, 0) ∪ (0,∞); (ii) A func¸a˜o F e´ cont´ınua em R pois e´ a diferenc¸a de func¸o˜es cont´ınuas em R. Por (i) e (ii) conclu´ımos: F e´ crescente em (0,∞) e cont´ınua em [0,∞) =⇒ F (x) > F (0), ∀x > 0. Como F (0) = 0− f(0) = 0, conclu´ımos que F (x) > 0, ∀x > 0. 5. Para x ≥ pi 2 . Como 1 < pi 2 e senx ≤ 1, temos que senx ≤ 1 < pi 2 ≤ x. Logo senx < x. Para 0 < x < pi 2 . Como senx < x⇐⇒ x− senx > 0, considere F (x) = x− senx. Como F e´ a soma de func¸o˜es cont´ınuas em R, conclu´ımos que F e´ cont´ınua em R. (*) F ′(x) = 1− cosx e sabemos que cosx < 1, ∀x ∈ ( 0, pi 2 ) . Logo F ′(x) = 1− cosx > 0 ∀x ∈ ( 0, pi 2 ) . Assim conclu´ımos que F e´ crescente em ( 0, pi 2 ) . (**) Pelas concluso˜es (*) e (**), temos que F (x) = x− senx > F (0) = 0, ∀x ∈ ( 0, pi 2 ) . 6. Como ∀x > 0, cosx > 1− x 2 2 ⇐⇒ ∀x > 0, (cosx)− 1 + x 2 2 > 0, considere F (x) = (cosx)− 1 + x 2 2 . Como F (0) = 1 − 1 + 0 = 0, se provarmos que (i) F e´ cont´ınua em [0,∞) e (ii) F e´ crescente em (0,∞) conclu´ıremos que F (x) > F (0) = 0, ∀x > 0. Provando (i) e (ii): (i) F e´ cont´ınua em R pois e´ a soma, diferenc¸a e quociente de func¸o˜es cont´ınuas em R. (ii) Para provar que F e´ crescente em (0,∞) basta provar que F ′(x) > 0, ∀x > 0. Mas F ′(x) = − senx+ x. Logo basta provar que − senx+ x > 0, ∀x > 0, isto e´, senx < x, ∀x > 0, ja´ provado no exerc´ıcio 5. Agora, seguindo a sugesta˜o, x < 0⇒ −x > 0⇒ F (−x) > 0 (provado acima). Mas F (−x) = (cos(−x))− 1+ (−x)2 2 = F (x). Logo ∀x < 0, F (x) = F (−x) > 0. 7. Considere G(x) = ( senx)− x+ x 3 6 . Temos G′(x) = (cosx)− 1 + x 2 2 . Esta e´ a func¸a˜o F do exerc´ıcio 6. e ja´ provamos que (cosx)− 1 + x 2 2 > 0, ∀x > 0. Assim, conclu´ımos que G e´ crescente em (0,∞). (*) Como G e´ a soma de func¸o˜es cont´ınuas em R, conclu´ımos que G e´ cont´ınua em R. (**) Pelas concluso˜es (*) e (**), temos que G(x) = ( senx)− x+ x 3 6 > G(0) = 0, ∀x > 0. 8. (a) Vamos analisar cada possibilidade. (i) Supondo x < 0. Sabemos que ex > 0, ∀x, em particular quando x < 0 temos que ex > 0 > x. (ii) Supondo x ≥ 0. Para x = 0, e0 = 1 > 0. Considere a func¸a˜o f(x) = ex − x, cont´ınua em [0,∞). Derivando, f ′(x) = ex − 1. Mas x > 0 ⇒ ex > 1 ⇒ f ′(x) > 0 ⇒ f e´ estritamente crescente em [0,∞) ⇒ f(x) > f(0) = e0 − 0 = 1 > 0⇒ f(x) = ex − x > 0⇒ ex > x. (b) Considere a func¸a˜o f(x) = ex− x 2 2 , cont´ınua em [0,∞). Derivando f ′(x) = ex−x. Foi mostrado no item anterior que ex > x,∀x, logo f ′(x) > 0. Mas f ′(x) > 0 ⇒ f e´ estritamente crescente em [0,∞) ⇒ f(x) > f(0) = e0 − 0 = 1 > 0⇒ f(x) = ex − x 2 2 > 0 ⇒ ex > x 2 2 . 3 9. A func¸a˜o polinomial f(x) = x3 − 3x2 e´ cont´ınua no intervalo fechado e limitado [−1, 3], logo f satisfaz as hipo´teses do Teorema dos Valores Extremos (e´ o teorema de Weierstrass). Aplicando esse teorema, comparamos os valores f(−1) e f(3) com os valores de f nos pontos cr´ıticos que esta˜o no interior de [−1, 3]. Conclu´ımos que: mı´n f = f(−1) = f(2) = −4 e ma´x f = f(0) = f(3) = 0. 10. A func¸a˜o f(x) = 2 cosx+ sen 2x e´ cont´ınua em R pois e´ a soma de produto e composta de func¸o˜es cont´ınuas em R, logo f e´ cont´ınua no intervalo fechado e limitado [0, 4pi]. Assim, pelo Teorema de Weierstrass, comparamos os valores f(0) e f(4pi) com os valores de f nos pontos cr´ıticos que esta˜o em (0, 4pi). Conclu´ımos: mı´n f = f(5pi/6) = (17pi/6) = −3√3/2 e ma´x f = f(pi/6) = (13pi/6) = 3√3/2. 11. A func¸a˜o polinomial f(x) = x5 5 − x 3 3 + 2 e´ cont´ınua no intervalo fechado e limitado [−2, 2]. Assim, pelo Teorema dos Valores Extremos, comparamos os valores f(−2) e f(2) com os valores de f nos pontos cr´ıticos que esta˜o em (−2, 2). Conclu´ımos: mı´n f = f(−2) = −26 15 e ma´x f = f(2) = 86 15 . 12. Domı´nio de f = (0,∞). Derivando, f ′(x) = 1− lnx x2 . Analisando o sinal de f ′(x), temos f ′(x) > 0 quando 0 < x < e; f ′(x) < 0 quando x > e⇒ f e´ crescente quando 0 < x < e; f e´ decrescente quando x > e. Logo f tem um ma´ximo relativo no u´nico ponto cr´ıtico x = e. Como f e´ cont´ınua em x = e, conclu´ımos que f tem um ma´ximo absoluto em x = e. Provando a desigualdade: f tem ma´ximo absoluto em x = e⇒ f(pi) < f(e) = ln e e = 1 e ⇒ f(pi) = lnpi pi < 1 e . Como e > 0 e pi > 0, temos: e lnpi < pi. Aplicando a propriedade de logaritmo de poteˆncia, temos e lnpi = lnpie, logo lnpie < pi. Sabemos que a func¸a˜o exponencial e´ estritamente crescente, logo elnpi e < epi. Sabemos que eln x = x,∀x > 0, em particular elnpie = pie. Logo, pie < epi. 13. Ma´x f ′ = f ′(5/2) = 63/4. 14. Estudando o crescimento de f e aplicando o Teorema do Valor Intermedia´rio, conclui-se que a u´nica raiz esta´ em (−2,−1). 15. Idem anterior, uma raiz esta´ em (−pi/2, 0) e a outra em (0, pi/2). 16. No intervalo (0,∞), o mı´nimo absoluto de f(x) = x+ 1 x e´ igual a f(1) = 2. Logo f(x) ≥ f(1) = 2. 17. No instante t = 3. A concentrac¸a˜o ma´xima e´ 1 9 = 0, 1111... = 0, 1. C�lculo I/Lista CI/Lista9-CalculoI-2011-2.pdf 1 Prof.: Etereldes Lista 9 - Ca´lculo I - 2011/2 Func¸a˜o impl´ıcita Taxas relacionadas 1. Determine a expressa˜o de pelo menos duas func¸o˜es y = y(x) definidas implicitamente pela equac¸a˜o xy2 + x+ y = 1. Explicite seus domı´nios. 2. Seja y = f(x) definida implicitamente pela equac¸a˜o sec2(x + y) − cos2(x + y) = 3 2 . Calcule f ′ (pi 4 ) , sabendo que f (pi 4 ) = 0. 3. Seja y = f(x) definida implicitamente pela equac¸a˜o x2−x√xy+2y2 = 10. Encontre o coefciente angular da reta normal ao gra´fico da func¸a˜o f no ponto (4, 1). 4. Considere y = f(x) definida implicitamente por x4 − xy + y4 = 1. Calcule f ′(0) , sabendo que f(x) > 0, ∀x ∈ R. 5. Considere a curva da figura ao lado conhecida por cisso´ide de Dio´cles cuja equac¸a˜o e´ (2− x)y2 = x3. (a) Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da curva em (1, 1); (b) Obtenha as equac¸o˜es das retas tangentes ao gra´fico da curva nos pontos em que x = 3 2 . y x –4 –2 0 2 4 –1 1 2 6. Considere a leminiscata de equac¸a˜o ( x2 + y2 )2 = x2−y2 (figura ao lado). Determine os quatro pontos da leminiscata em que as retas tangentes sa˜o horizontais. Ache, em seguida, os dois pontos em que as tangentes sa˜o verticais. y x –1 0 1 –1 1 7. Cascallho esta´ caindo e formando uma pilha coˆnica que aumenta a uma taxa de 3 m3/min, de modo que o raio do cone e´ sempre igual a sua altura. Encontre a taxa de variac¸a˜o da altura da pilha quando a altura e´ de 3 m. 8. Uma caˆmara de televisa˜o no n´ıvel do solo esta´ filmando a subida de um oˆnibus espacial que esta´ subindo verticalmente de acordo com a equac¸a˜o s = 15t2, sendo s a altura e t o tempo. A caˆmara esta´ a 600 m do local de lanc¸amento. Encontre a taxa de variac¸a˜o da distaˆncia entre a ca˜mara e a base do oˆnibus espacial, 10 seg apo´s o lanc¸amento (suponha que a caˆmara e a base do oˆnibus esta˜o no mesmo n´ıvel no tempo t = 0). 2 9. Num determinado instante, um controlador de tra´fego ae´reo veˆ dois avio˜es na mesma altura voando a velocidades constantes, em trajeto´rias ortogonais que se cruzam num ponto P (veja figura). Neste instante, um dos avio˜es esta´ a 150 milhas do ponto P e se aproxima de P a` 450 milhas por hora, enquanto o outro esta´ a 200 milhas do ponto P e se movendo a` 600 milhas por hora, tambe´m em direc¸a˜o ao ponto P . 150 200 P (a) Antes do ponto P , a distaˆncia entre os avio˜es esta´ diminuindo? a que taxa? (b) Os avio˜es correm risco de choque? em caso afirmativo, quanto tempo o controlador tem para fazer com que um dos avio˜es mude a sua trajeto´ria? 10. Um ponto move-se ao longo da elipse x2+4y2 = 1. A abcissa x esta´ variando a uma velocidade dx dt = sen 4t. Mostre que (a) dy dt = −x sen 4t 4y (b) d2y dt2 = − sen 24t+ 16xy2 cos 4t 16y3 . 11. Um ponto move-se sobre a semi-circunfereˆncia x2+ y2 = 5, y ≥ 0. Suponha dx dt > 0. Determine o ponto da curva em que a velocidade de y seja o dobro da velocidade de x. 12. Uma escada de 8 m esta´ encostada numa parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pe´ da parede a uma velocidade constante de 2 m/seg, com que velocidade a extremidade superior estara´ descendo no instante em que a inferior estiver a 3 m da parede? 13. Enche-se de a´gua um reservato´rio, cuja forma e´ de um cone circular reto (veja a figura), a uma taxa de 0, 1 m3/seg. O ve´rtice esta´ a 15 m do topo e o raio do topo e´ de 10 m. Com que velocidade o n´ıvel h da a´gua esta´ subindo no instante em que h = 5 m? a´gua 10 m 15 m h 14. O raio de luz de um farol, que esta´ situado a 3 km de uma praia reta, faz 8 rpm (rotac¸o˜es por minuto). Considere a altura do farol desprez´ıvel em relac¸a˜o a sua distaˆncia ate´ a praia. Ache a velocidade da extremidade do raio de luz, ao longo da praia, quando ele faz um aˆngulo de 45◦ com a linha da praia. RESPOSTAS 1. y = f(x) = −1−√1 + 4x− 4x2 2x y = g(x) = −1 +√1 + 4x− 4x2 2x ; domı´nio = ( 1−√2 2 , 0 )⋃( 0, 1+ √ 2 2 ) 2. −1 3. 0 4. 1 4 5. (a) y = 2x− 1 (b) y = 3 √ 3x− 3√3 e y = −3√3x+ 3√3 6. Tangentes horizontais em: x = √ 6 4 e y = √ 2 4 ; x = √ 6 4 e y = − √ 2 4 ; x = − √ 6 4 e y = √ 2 4 ; x = − √ 6 4 e y = − √ 2 4 . Tangentes verticais em: x = 1 e y = 0; x = −1 e y = 0. 7. 10, 6 cm/min 8. 278, 54 m/seg 9. (a) esta´ diminuindo a` velocidade escalar de 750 mi/h (b) 20 min 11. (−2, 1) 3 12. velocidade escalar de 6√ 55 m/seg ∼= 80, 9 cm/seg 13. 0, 9 100pi m/seg ∼= 0, 2865 cm/seg 14. 96pi ∼= 301, 6 km/min ∼= 5, 03 km/h C�lculo I/P1 2011_2.pdf 1 Prof.: Etereldes 05/09/2011 Prova I - Ca´lculo I 1. (2,0) Encontre o lim x→+∞ f(x) se, para todo x > 1 tem-se 10ex − 21 2ex < f(x) < 5 √ x√ x− 1 . 2. (2,0) Calcule lim x→5 2x − 32 x− 5 . Este limite representa a derivada de uma func¸a˜o f num ponto a. Encontre f e a. 3. (1,5) Derive a func¸a˜o f(v) = v3 − 2v√v v . 4. (2,0) Encontre equac¸o˜es da reta tangente e da reta normal (perpendicular a` tangente) ao gra´fico de f(x) = 2xex no ponto (0, 0). 5. (2,5) Marque falso ou verdadeiro. Justifique sua resposta. (a) (0,5) lim x→4 2x x− 4 − 8 x− 4 = limx→4 2x x− 4 − limx→4 8 x− 4. (b) (0,5) Se lim x→5 f(x) = 2 e limx→5 g(x) = 0, enta˜o lim x→5 f(x) g(x) na˜o existe. (c) (0,5) Se lim x→0+ f(x) =∞ e lim x→0+ g(x) =∞, enta˜o lim x→0+ [f(x)− g(x)] = 0. (d) (0,5) Se lim x→6 [f(x)g(x)] existe, enta˜o deve ser f(6)g(6). (e) (0,5) A equac¸a˜o x10 − 10x2 + 5 = 0 tem uma raiz no intervalo (0, 2). EXTRA (1,0) Calcule lim x→0 3 √ 1 + cx− 1 x , onde c ∈ R∗. Encontre o valor de c para que a func¸a˜o g(x) = 3 √ 1 + cx− 1 x se x > 0 √ 3x2 + 5x+ 1 se x ≤ 0 seja cont´ınua. OBS: Respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas! Boa prova! C�lculo I/Sol P1m 2012-1.pdf MAT09570 – CÁLCULO 1 Turmas da Manhã – Período 2012/1 1ª Prova Parcial 1. (1 ponto) Esboce o gráfico de f (x)= 1−|x+1|. Indique no seu esboço os pontos onde o gráfico intercepta os eixos coordenados. 2. (1,5 pontos) Seja f (x)= 1 1+2x . Encontre uma fórmula para f −1(x). Qual o domínio e a imagem de f −1 ? 3. Calcule os limites (a) (1,5 pontos) lim x→−∞ x+2p 9x2+1 ; (b) (1 ponto) lim x→0 (e x −1)cos 1 x2 . 4. (2 pontos) Mostre que existe x ∈ (0,6) tal que cos(pix)= 5 x . 5. Seja f a função dada por f (x)= p 1−2x−1 x se x < 0; − p 2x2+1 se 0É x < 2; 3 x se x Ê 2. (a) (1,5 pontos) Em que pontos f é contínua? (b) (1,5 pontos) Calcule f ′(3) diretamente da definição de derivada e determine a equa- ção da reta tangente ao gráfico de f no ponto (3,1). Nota: Não é permitido o uso de calculadoras. Todas as questões devem ser justificadas atra- vés de cálculos ou pela citação de teoremas apropriados. Respostas sem justificativas serão desconsideradas. A duração da prova é de 2 horas. 1 Prof.: Etereldes 13/04/2012 Soluc¸a˜o da Prova I - Ca´lculo I 1. Como |x + 1| = { x+ 1, se x ≥ −1 −x− 1, se x < −1 enta˜o f(x) = { −x, se x ≥ −1 x+ 2, se x < −1 . Assim seu gra´fico e´: 2. Vamos encontrar o domı´nio e imagem de f . Como 1 + 2x 6= 0 para todo x ∈ R, o domı´nio de f e´ R. Como 2x > 0 para todo x, enta˜o f(x) < 1 para todo x. Ale´m disso f(x) > 0 para todo x. Logo, o Im(f) = {y ∈ R; 0 < y < 1}. Sendo assim a f−1 : {y ∈ R; 0 < y < 1} 7−→ R. f−1 e´ a func¸a˜o tal que 1 1 + 2f−1(y) = y. Poratnto f−1(y) = log2 ( 1− y y ) . 3. a) lim x→−∞ x(1 + 2 x )√ 9x2(1 + 1 9x2 ) = lim x→−∞ x(1 + 2 x ) 3|x| √ (1 + 1 9x2 ) = −1 3 lim →−∞ (1 + 2 x )√ (1 + 1 9x2 ) = −1 3 . b) Veja que se x > 0 enta˜o ex − 1 > 0. Como −1 ≤ cos( 1 x2 ) ≤ 1 para todo x 6= 0, enta˜o −(ex − 1) ≤ (ex − 1) cos( 1 x2 ) ≤ (ex − 1). Pelo teorema do confronto temos − lim x→0+ (ex − 1) ≤ lim x→0+ (ex − 1) cos( 1 x2 ) ≤ lim x→0+ (ex − 1). Logo, lim x→0+ (ex − 1) cos( 1 x2 ) = 0. Por outro lado, se x < 0 enta˜o ex−1 < 0. Como −1 ≤ cos( 1 x2 ) ≤ 1 para todo x 6= 0, enta˜o (ex − 1) ≤ (ex − 1) cos( 1 x2 ) ≤ −(ex − 1). Pelo teorema do confronto temos lim x→0− (ex−1) ≤ lim x→0− (ex−1) cos( 1 x2 ) ≤ − lim x→0− (ex−1). Poratnto, lim x→0− (ex−1) cos( 1 x2 ) = 0. Como os limites laterais sa˜o zero, enta˜o o limite e´ zero. 4. Seja f(x) = cos(pix) − 5 x . Veja que f e´ cont´ınua em (0, 6] em particular em [1, 6]. Ale´m disso f(1) = cos(pi) − 5 = −6 < 0 e f(6) = cos(6pi) − 5 6 = 1 6 > 0. Pelo Teorema do valor intermedia´rio, existe x ∈ (1, 6) tal que f(x) = 0. 5. a) Os possiveis pontos de descontinuidade de f sa˜o x = 0 e x = 2. Vamos analisar o acontece nestes pontos. Como lim x→0 √ 1− 2x− 1 x = lim x→0 √ 1− 2x− 1 x √ 1− 2x+ 1√ 1− 2x+ 1 = limx→0 −2x x( √ 1− 2x+ 1) = −1 2 enta˜o lim x→0− f(x) = −1. Ale´m disso, lim x→0+ f(x) = lim x→0+ − √ 2x2 + 1 = −1 = f(0). Logo, f e´ cont´ınua em x = 0. Vamos analisar em x = 2. lim x→2− f(x) = lim x→2− − √ 2x2 + 1 = − √ 9 = −3. e lim x→2+ f(x) = lim x→0+ 3 x = 3 2 = f(2). Logo lim x→2 f(x) na˜o existe, e portanto f na˜o e´ cont´ınua em x = 2. Concluimos enta˜o que f e´ cont´ınua R− {2}. b) f ′(3) = lim h→0 f(3 + h)− f(3) h = lim h→0 3 3+h − 3 3 h = lim h→0 3−(3+h) 3+h h = − lim h→0 −h 3+h h = −1 3 . A equac¸a˜o da reta tangente no ponto (3, 1) e´ y − 1 = f ′(3)(x − 3) = −1 3 (x − 3), ou seja, y = −x 3 + 2. P1m 2012-1 Sol P1m 2012-1 C�lculo I/Sol P2 2011-2.pdf 1 Prof.: Etereldes 17/10/2011 Prova II - Ca´lculo I 1. (1,0) Calcule o limite lim x→0 tg(pix) ln(1 + x) . 2. (1,0) Mostre que a equac¸a˜o 3x+2 cos(x)+5 = 0 tem exatamente uma raiz real. (Sugesta˜o: use o teorema de Rolle) 3. Uma viga retangular sera´ cortada de uma tora de madeira com raio de 30cm. (a) (1,0) Mostre que a viga com a´rea da sec¸a˜o transversal ma´xima e´ quadrada. (b) (1,0) Quatro pranchas retangulares sera˜o cortadas de cada uma das quatro sec¸o˜es da tora que restara˜o apo´s o corte da viga quadrada (como na figura abaixo). Determine as dimenso˜es das pranchas que tera˜o a´rea da sec¸a˜o tranversal ma´xima. 4. (2,0) Esboce o gra´fico de uma func¸a˜o que satisfac¸a as condic¸o˜es dadas abaixo: f(0) = 0, f ′(2) = f ′(1) = f ′(9) = 0, lim x→∞ f(x) = 0, lim x→6 f(x) = −∞, f ′(x) < 0 em (−∞,−2) ∪ (1, 6) ∪ (9,∞), f ′(x) > 0 em (−2, 1) ∪ (6, 9), f ′′(x) < 0 em (0, 6) ∪ (6, 12) e f ′′(x) > 0 em (−∞, 0) ∪ (12,∞). 5. (2,0) Esboce o gra´fico de f(x) = 3 √ x2 − 1. Determine o domı´nio, ass´ıntotas se houver, intervalos de crescimento e decrescimento, ma´ximos e mı´nimos, concavidade e pontos de inflexa˜o. 6. Marque falso ou verdadeiro. Se verdadeiro justifique e se falso deˆ um contra exemplo. (a) (0,5) Se f e g sa˜o crescentes em um intervalo I enta˜o fg e´ crescente em I. (b) (0,5) Se f tem um ma´ximo absoluto em c, enta˜o f ′(c) = 0. (c) (0,5) Se f ′ = g′ para 0 < x < 1, enta˜o f = g para 0 < x < 1. (d) (0,5) Na˜o existe f deriva´vel tal que f(1) = 0, f(2) = −3 e f ′(x) ≥ −1, ∀x ∈ (1, 2). OBS: Respostas sem justificativas sera˜o desconsideradas! Boa prova! 1) Esse limite é uma forma indeterminada tipo � � . Por L’Hôspital temos 2) Como ��0� � 7 � 0 , �� � � 3 2 5 � 3� 1� � 0 e � é contínua então pelo teorema do valor intermediário temos que existe � no intervalo � , 0� tal que ���� � 0. Se existissem �� e �� com ���� � � ����� � 0 então pelo teorema Rolle deveria existir um �� ��� , ��� tal que ����� � 0. No entanto, ����� � 3 2sen���, que é maior do que igual a 1 para todo x. 3) a) Veja que a área da seção transversal será � � 4��. E Além disso, �� �� � 900. Logo ���� � 4�√900 ��. Assim, "# "$ =4 %��&�$ ' √%��&$' que assume valor máximo em � � √450, pois "# "$ � 0 em � � √450 e A�0� � A�30� � 0. Usando que �� �� � 900 temos que � � �. b) A Área que queremos maximizar é � � 2��� √450� . Além disso, �� �� � 900. Logo ���� � 2�)√900
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