Provas Antigas Calculo II UFES

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C�lculo II/GabP3CalcIICiComp201102.pdf
C�lculo II/GabP3CalcIIEngComp201102.pdf
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C�lculo II/p1CalcIICiComp201102.pdf
Universidade Federal do Espírito Santo
MAT09574–Cálculo II Turmas 01 e 11 Período 2011/2
Ciência da Computação
1ª Prova Parcial
NOME:
1. Use um teste de comparação para determinar se as integrais
(a)
∫ ∞
0
dxp
x+e2x (b)
∫ pi/2
0
dx
x senx
convergem ou divergem.
2. Em que ponto a curva
x = 1−2cos2 t , y = (1−2cos2 t ) tg t , −pi/2< t <pi/2,
se autointercepta? Encontre as equações de ambas as tangentes nesse ponto.
3. Considere a curva com equação polar
r = 2+cos2θ
e determine se essa curva é simétrica com respeito ao eixo polar e com respeito à reta
θ = pi/2. Use essas informações para fazer um esboço do seu gráfico. Determine os
pontos da curva onde a tangente é vertical ou horizontal.
4. Encontre uma equação para a parábola com foco no ponto (3,1) e diretriz y = 4.
5. Um elipsóide é gerado pela rotação da elipse 4x2+ y2 = 16 em torno do eixo x. Deter-
mine a equação do elipsóide.
Observações: A interpretação dos enunciados das questões faz parte da avaliação; todas
as respostas devem ser justificadas; cada questão vale 2,0 pontos; a duração da prova é de
2 horas.
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Universidade Federal do Espírito Santo
MAT09574–Cálculo II Turma 05 Período 2010/2
Engenharia de Computação
1ª Prova Parcial
NOME:
1. Determine se a integral ∫ 1
0
1+xp
x
dx
converge ou não. Em caso afirmativo, calcule o seu valor.
2. Calcule a área da superfície gerada pela rotação da curva
x = et − t , y = 4et/2, 0É t É 1
ao redor do eixo y .
3. (a) Faça um esboço das curvas r = 3cosθ e r = 1+cosθ.
(b) Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda.
4. Encontre o foco, o vértice e a diretriz da parábola y2 = 2y +3x. Faça um esboço da parábola.
5. Coloque a equação
x2−4y2+ z2+2x+16y −2z−13= 0
na forma padrão, classifique a superfície que ela representa e faça um esboço dessa superfície.
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Universidade Federal do Espírito Santo
MAT09574–Cálculo II Turmas 05 e 15 Período 2011/2
Engenharia de Computação
1ª Prova Parcial
NOME:
1. Use um teste de comparação para determinar se as integrais
(a)
∫ ∞
1
2+e−x
x
dx (b)
∫ ∞
0
x arctanx
(1+x2)2 dx
convergem ou divergem.
2. Calcule a área da superfície gerada pela rotação da curva
x = et − t , y = 4et/2, 0É t É 1,
ao redor do eixo y . Faça um esboço da superfície.
3. Encontre a área da região dentro do laço menor do limaçon r = 12 + cosθ. Faça um
esboço da curva.
4. Encontre uma equação para a elipse com focos (1,1), (3,1) e eixo principal de compri-
mento igual a 4.
5. Uma superfície é formada por todos os pontos P tais que a distância de P ao ponto
(0,−1,0) é o dobro da distância de P ao plano y = 1. Determine a equação dessa super-
fície, identifique-a e faça um esboço da superfície.
Observações: A interpretação dos enunciados das questões faz parte da avaliação; todas
as respostas devem ser justificadas; cada questão vale 2,0 pontos; a duração da prova é de
2 horas.
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Universidade Federal do Espírito Santo
MAT09574–Cálculo II Turma 04 Período 2010/2
Engenharia Mecânica
1ª Prova Parcial
NOME:
1. Determine se a integral ∫ 1
0
1+x2
1−x2 dx
converge ou não. Em caso afirmativo, calcule o seu valor.
2. Encontre os vértices e os focos da elipse
x2+2y2−6x+4y +7= 0
e esboce o seu gráfico
3. Identifique e esboce as superfícies quádricas
(a) x2+ y2− z2 = 4 (b) x2− y2− z2 = 1
4. Esboce o gráfico da equação polar r = 1+2cos2θ.
5. Considere a curva dada parametricamente pelas equações
x = 4+ t2, y = t2− t3, −∞< t <∞.
(a) Determine os pontos da curva onde a tangente é vertical ou horizontal.
(b) Determine os intervalos em que a curva é percorrida de baixo para cima.
(c) Em que intervalos a curva é percorrida da esquerda para a direita?
(d) Determine os intervalos onde a curva é côncava para baixo.
(e) Faça um esboço da curva.
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Universidade Federal do Espírito Santo
MAT09574–Cálculo II Turmas 01 e 11 Período 2011/2
Ciência da Computação
2ª Prova Parcial
NOME:
1. Em que ponto da curva x = t3, y = 3t ,z = t4, o plano normal é paralelo ao plano 6x +
6y −8z = 1?
2. O raio de um cone circular reto aumenta a uma taxa de 4,6 cm/s enquanto sua altura
decresce à taxa de 6,5 cm/s. Qual a taxa de variação do volume do cone quando seu
raio é de 300 cm e a altura é de 350 cm?
3. Determine o plano tangente e a reta normal à superfície de equação xyz = ln(x+ y + z)
no ponto (0,0,1).
4. Determine se os limites abaixo existem ou não.
(a) lim
(x,y)→(0,0)
x2 cos y2
x2+2y2 (b) lim(x,y)→(0,0)
x4− y4
x2− y2
Em caso afirmativo, determine o valor do limite.
5. Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por
V (x,y,z)= 5x2−3xy +xyz
e determine
(a) a taxa de variação de V em P (3,4,5) na direção do vetor v= i+ j−k;
(b) a direção em que V varia mais rapidamente em P ;
(c) a taxa máxima de variação de V em P .
Observações: A interpretação dos enunciados das questões faz parte da avaliação; todas
as respostas devem ser justificadas; cada questão vale 2,0 pontos; a duração da prova é de
2 horas.
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Universidade Federal do Espírito Santo
MAT09574–Cálculo II Turma 05 Período 2010/2
Engenharia de Computação
2ª Prova Parcial
NOME:
1. Verifique se
u = e−α2k2t senkx,
onde k e α são constantes, satisfaz a equação da condução do calor ut =α2uxx .
2. Seja
g (x, y)= x
3
x2+ y4
Determine se lim
(x,y)→(0,0)
g (x, y) existe ou não. Caso exista, determine o seu valor.
3. Seja f a função dada por
f (x, y)= ln(x2+ y2), para (x, y) 6= (0,0).
(a) Esboce o gráfico de f .
(b) Determine as curvas de nível de f .
4. Determine a equação do plano normal e do plano osculador da curva
x = 2sen3t , y = t , z = 2cos3t
no ponto P (0,pi,−2).
5. Um canhão é disparado com ângulo de elevação de 30◦. Qual a velocidade com que a bala
sai da boca do canhão, se a altura máxima que ela atinge é de 500 m? Considere g ≈ 10 m/s2.
Observações: A interpretação dos enunciados das questões faz parte da avaliação; todas as
respostas devem ser justificadas; cada questão vale 2,0 pontos; a duração da prova é de 2 horas.
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Universidade Federal do Espírito Santo
MAT09574–Cálculo II Turmas 05 e 15 Período 2011/2
Engenharia de Computação
2ª Prova Parcial
NOME:
1. Seja
f (x, y)=

xy
x2+xy + y2 , (x, y) 6= (0,0)
1/3, (x, y)= (0,0).
Determine se f é contínua no
ponto (0,0).
2. Sem calcular os vetores T e N, escreva a aceleração do movimento
r(t )= (t2+1)i+2t j+ (1/3)t3k (t Ê 0)
na forma a= aTT+aNN. Determine a curvatura da trajetória no ponto (2,2,1/3).
3. Determine a aproximação linear de
f (x, y)=
√
20−x2−7y2
em (2,1) e use-a para aproximar f (1,95;1,08).
4. Uma faixa interna de 8 cm de largura é pintada ao longo de toda a borda de um retân-
gulo de dimensões 60 m por 30 m. Utilize diferenciais para aproximar a área, em metros
quadrados, da faixa pintada.
5. Seja h(x, y) = g ( f (x, y)), onde g (t ) = t2 +pt e f (x, y) = 3x + 2y − 5. Calcule ∂h/∂x e
∂h/∂y de duas maneiras diferentes: primeiro, calculando a composta h(x, y) e calcu-
lando as derivadas parciais diretamente, e segundo, usando a regra da cadeia para cal-
cular as derivadas parciais.
Observações: A interpretação dos enunciados das questões faz parte da avaliação; todas
as respostas devem ser justificadas através de cálculos ou teoremas; cada questão vale 2,0
pontos; a duração da prova é de 2 horas.
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Universidade Federal do Espírito Santo
MAT09574–Cálculo II Turma 04 Período 2010/2
Engenharia Mecânica
2ª Prova Parcial
NOME:
1. Duas partículas viajam ao longo das curvas espaciais
r1(t )=
〈
t , t2, t3
〉
e r2(t )= 〈1+2t ,1+6t ,1+14t〉
As partículas colidem? Suas trajetórias se interceptam?
2. Uma partícula se move no espaço com equação
r(t )= 2t2 i+3t j+k
(a) Determine a velocidade e a aceleração da partícula no instante t = 1.
(b) Determine as componentes tangencial e normal da aceleração no instante t = 1.
3. A temperatura em um ponto (x, y) de uma placa plana de metal é dada por
T (x, y)= 60
1+x2+ y2
onde T é medido em graus Celsius e x, y em metros.
(a) Determine a taxa de variação da temperatura com relação à distância no ponto (2,1)
na direção (i) do eixo x e (ii) do eixo y .
(b) Determine as isotermas, isto é, as curvas de nível da função T , correspondentes aos
níveis k = 6,12,30.
4. Admita que z é definido implicitamente como uma função de x e y pela equação
x3+ y3+ z3+5x2yz = 8
e que as derivadas parciais ∂z/∂x e ∂z/∂y existem. Calcule ∂z/∂x e ∂z/∂y no ponto (1,1,1).
5. Determine a equação do plano tangente ao parabolóide 2z = 4x2+9y2 no ponto (3,2,36).
Observações: A interpretação dos enunciados das questões faz parte da avaliação; todas as
respostas devem ser justificadas; cada questão vale 2,0 pontos; a duração da prova é de 2 horas.
C�lculo II/p3CalcIICiComp201102.pdf
Universidade Federal do Espírito Santo
MAT09574–Cálculo II Turmas 01 e 11 Período 2011/2
Ciência da Computação
3ª Prova Parcial
NOME:
1. Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
f (x,y)= 4xy2−x2y2−xy3
na região triangular fechada do plano xy com vértices (0,0), (6,0) e (0,6).
2. Determine a massa do sólido acima do plano xy limitado pelo cone 9x2+ z2 = y2 e pelo
plano y = 9, se a densidade de massa por unidade de volume em qualquer ponto (x,y,z)
do sólido for proporcional à distância do ponto ao plano xy . A densidade de massa por
unidade de volume aqui é medida em quilogramas por metro cúbico.
3. Calcule o volume do sólido que está dentro da esfera x2+y2+z2 = 25 e dentro do cilindro
x2+ y2 = 9.
4. Calcule a integral tripla Ñ
H
(9−x2− y2)dV
onde H é o hemisfério sólido x2+ y2+ z2 É 9, z Ê 0.
Observações: A interpretação dos enunciados faz parte da avaliação; todas as respostas de-
vem ser justificadas mediante cálculos demonstrativos ou pela citação dos teoremas usados;
cada questão vale 2,5 pontos; a duração da prova é de 2 horas.
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPI´RITO SANTO
CENTRO DE CIEˆNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
3a Prova de Ca´lculo Diferencial e Integral II
Aluno(a): ...............................................................................................................
Curso de Engenharia da Computac¸a˜o 10 de dezembro de 2010
Prof. Floreˆncio Guimara˜es Durac¸a˜o: 2h
Questo˜es
1a) Determine o ma´ximo e o mı´nimo absolutos da func¸a˜o f(x, y) = x3+x2y+xy2+y3,
no disco unita´rio x2 + y2 ≤ 1.
2a) Suponha que em uma certa regia˜o do espac¸o o potencial ele´trico seja dado por
V (x, y, z) = 5x2 − 3xy + xyz.
a) Determine a taxa de variac¸a˜o do potencial ele´trico em P (3, 4, 5) na direc¸a˜o do vetor
v = 1√
3
i + 1√
3
j − 1√
3
k.
b) Em que direc¸a˜o V varia mais rapidamente em P?
c) Qual a taxa ma´xima de variac¸a˜o em P?
3a) Determine o volume da maior caixa retangular com arestas paralelas aos eixos e
que pode ser inscrita no elipso´ide 9x2 + 36y2 + 4z2 = 36.
Sug: Se necessa´rio utilize que o ponto de ma´ximo de V e´ o ponto de ma´ximo de V 2.
4a) Ache o volume do so´lido limitado pelos parabolo´ides z = 3x2+3y2 e z = 4−x2−y2.
5a) Uma broca cil´ındrica de raio a e´ usada para fazer um furo passando no cen-
tro de uma esfera de raio b > a.
a) Determine o volume do so´lido em formato de anel que sobra na esfera.
b) Expresse o volume da parte a) em termos da altura h do anel e mostre que esse
volume so´ depende de h e na˜o de a e b.
1
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Universidade Federal do Espírito Santo
MAT09574–Cálculo II Turmas 05 e 15 Período 2011/2
Curso de Engenharia de Computação
3ª Prova Parcial
Aluno(a):
1. Encontre os pontos críticos de
f (x,y)= 2x4+ y2−x2−2y +5
e classifique-os.
2. Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar a menor distância do
ponto (0,10,−1) a um ponto da reta −x+ y + z = 11, x+ y −5z =−7.
3. Determine a massa do sólido limitado pelo parabolóide z = 1+2x2+2y2 e pelo plano
z = 7 no primeiro octante. Considere que a densidade em cada ponto do sólido é pro-
porcional à distância do ponto ao eixo z.
4. Determine o volume do sólido que está dentro da esfera x2+ y2+ z2 = 4, fora da esfera
x2+ y2+ z2 = 1, abaixo do cone z =
√
x2+ y2 e acima do plano xy .
Observações: A interpretação dos enunciados faz parte da avaliação; todas as respostas
devem ser justificadas mediante cálculos demonstrativos ou pela citação dos teoremas us-
ados; cada questão vale 2,5 pontos; a duração da prova é de 2 horas.
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DO CCE
Terceira Prova de Cálculo II – 2010/2
Aluno: __________________________________________Data: 10/12/10.
Todas as respostas deverão estar justificadas mediante cálculos explícitos.
1. Suponha que em certa região do espaço o potencial elétrico V seja 
dado por ( ) zyxyxxzyxV +−= 35,, 2 .
a. Determine a taxa de variação do potencial em ( )5,4,3P na 
direção do vetor kjiv −+= .
b. Em que direção V varia mais rapidamente em P ?
c. Qual a taxa máxima de variação em P ?
2. Encontre o volume do sólido delimitado pelo cilindro 122 =+yx e 
pelos planos 0=z , 0=x e zy= no primeiro octante.
3. Usando coordenadas polares, determine o volume do sólido que está 
sob o parabolóide 22 yxz += , acima do plano yx e dentro do 
cilindro xyx 222 =+ .
4. Calcule ∫∫∫E Vdx 2 , onde E é o sólido que está dentro do cilindro 
122 =+yx , acima do plano 0=z e abaixo do cone 
222 44 yxz += .
5. Uma caixa de papelão sem tampa deve ter um volume de 32.000 cm3. 
Determine as dimensões que minimizem a quantidade de papelão 
utilizado.
		DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DO CCE
		Terceira Prova de Cálculo II – 2010/2
C�lculo II/peCCompCalcII201102.pdf
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
PLANO DE ENSINO
DEPARTAMENTO: MATEMÁTICA
DISCIPLINA: MAT09574 – CÁLCULO II
CURSO: CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO TURMAS: 01 e 11
PROFESSOR: LUIZ FERNANDO
CASSIANI CAMARGO
HORAS/SEMANA
TEORIA EXERCÍCIO LABORATÓRIO
06 — —
HORAS/SEMESTRE
HORAS CRÉDITO PERÍODO
90 06 2011/2
EMENTA
Integrais impróprias. Equações canônicas das cônicas. Curvas no espaço. Velocidade
e aceleração. Superfícies quádricas. Funções de duas e três variáveis. Diferenciação
parcial. Máximos e mínimos. Integração dupla e tripla. Integral em coordenadas polares,
cilíndricas e esféricas. Integrais de linha e de superfície de funções reais e aplicações.
PROGRAMA
1. Integrais Impróprias: Integrais do tipo I: Intervalos infinitos. Integrais do tipo II:
Integrandos descontínuos. Teste da Comparação para integrais impróprias.
2. Cônicas e Coordenadas Polares: Curvas definidas por equações paramétricas. Cálculo
com curvas paramétricas. Coordenadas polares. Gráficos de equações polares. Áreas e
comprimentos em coordenadas polares. Seções cônicas: equações canônicas e equações
em coordenadas polares.
3. Quádricas e Coordenadas Cilíndricas e Esféricas: Cilindros. Quádricas. Identificação
e esboço de gráficos. Coordenadas cilíndricas e esféricas.
4. Curvas no Espaço: Funções vetoriais e curvas espaciais. Comprimento de arco e cur-
vatura. Movimento no espaço: velocidade e aceleração.
5. Derivadas Parciais: Funções de várias variáveis. Limites e continuidade. Derivadas
parciais. Planos tangentes e aproximações lineares. Regra da cadeia. Derivadas dire-
cionais e o vetor gradiente. Valores máximo e mínimo.
6. Integrais Duplas e Tripas: Integrais duplas. Integrais iteradas. Integrais duplas em
coordenadas polares. Aplicações das integrais duplas. Integrais triplas. Integrais
triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas.
7. Integrais de Linha e de Superfície: Integrais de linha de funções reais. Aplicações das
integrais de linha. Superfícies paramétricas. Integrais de superfície de funções reais e
áreas de superfícies paramétricas.
BIBLIOGRAFIA
Livro -Texto:
James Stewart. Cálculo, 6a edição, Volumes 1 e 2, Editora Cengage Learning, 2010.
Referências Complementares:
1. Maurice D. Weir, Joel Hass & Frank R. Giordano. Cálculo – George B. Thomas, 11a
Edição, Volumes 1 e 2, Editora Pearson, 2009.
2. Louis Leithold. O Cálculo com Geometria Analítica, 3a Edição, Volumes 1 e 2, Editora
Harbra, 1994.
OBJETIVOS GERAIS
O Cálculo Diferencial e Integral é uma das ferramentas básicas utilizadas pelos profissi-
onais de ciências exatas e tecnológicas. Nosso objetivo principal aqui é apresentar aos
estudantes os conceitos fundamentais e as técnicas básicas do Cálculo de várias variáveis.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Estender os conceitos básicos do cálculo diferencial e integral das funções de uma única
variável às funções de várias variáveis, desenvolvendo ferramental importante para o tra-
tamento de problemas que aparecem com frequência na física e nas engenharias.
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
As aulas serão expositivas, com exemplos de aplicações da teoria. Contaremos com auxílio
de monitores, cujos horários de atendimento serão divulgados tão logo estejam disponíveis.
O atendimento aos alunos pelo professor será feito com hora marcada na Sala 38 do IC1.
O professor estará também acessível pelo e-mail luizfernando@luizfernando.mat.br e
através do site da disciplina: http://luizfernando.mat.br, onde o aluno terá acesso a
outras informações relativas ao seu curso, como notas de provas, datas de provas, matéria,
plano de ensino, horários de monitores, recomendações, comunicações e sugestões.
CONTROLE DE FREQUÊNCIA
O controle de frequência dos alunos será feito por meio de listas de presença. Em todas
as aulas do semestre os alunos deverão assinar a lista do dia, que é a prova legal da
presença do aluno na aula. A ausência da assinatura do aluno na lista de presença em
determinado dia implicará no cômputo do número de faltas correspondente ao número de
horas-aulas desse dia. De acordo com as normas da UFES, cada aluno poderá faltar a até
25% das aulas da disciplina. As faltas às aulas, seja por motivo de saúde ou por qualquer
outro motivo não serão abonadas; as aulas perdidas por quaisquer motivos devem ser
enquadradas no porcentual de 25% permitido para faltas.
CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO
A avaliação do aproveitamento do aluno constará de três provas parciais e uma prova
final, aplicadas nas datas e com os conteúdos descritos a seguir. A média dos trabalhos
MT será a média das notas das três provas parciais. Se MT for igual ou superior a 7,0
o aluno ficará dispensado da prova final, com média final MF = MT. Se MT for inferior
a 7,0 o aluno deverá obrigatoriamente fazer a prova final e terá como MF a média de
MT e PF. Para aprovação, MF deverá ser maior ou igual a 5,0 e o número de faltas, em
horas-aulas, não poderá exceder 25% do número total de horas-aulas da disciplina.
CALENDÁRIO DE PROVAS
Prova Matéria Data
Primeira prova Itens 1, 2 e 3 02/09/2011
Segunda prova Itens 4 e 5 21/10/2011
Terceira prova Itens 6 e 7 07/12/2011
Prova final Itens de 1 a 7 14/12/2011
Os itens especificados acima referem-se ao Programa da disciplina. As datas e as matérias
das provas poderão ser alteradas em função do andamento do programa.
Vitória, 01 de agosto de 2011
Prof. Luiz Fernando C. Camargo
C�lculo II/peEngCompCalcII201102.pdf
UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
PLANO DE ENSINO
DEPARTAMENTO: MATEMÁTICA
DISCIPLINA: MAT09574 – CÁLCULO II
CURSO: ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO TURMAS: 05 e 15
PROFESSOR: LUIZ FERNANDO CASSIANI CAMARGO
HORAS/SEMANA
TEORIA EXERCÍCIO LABORATÓRIO
06 — —
HORAS/SEMESTRE
HORAS CRÉDITO PERÍODO
90 06 2011/2
EMENTA
Integrais impróprias. Equações canônicas das cônicas. Curvas no espaço. Velocidade
e aceleração. Superfícies quádricas. Funções de duas e três variáveis. Diferenciação
parcial. Máximos e mínimos. Integração dupla e tripla. Integral em coordenadas polares,
cilíndricas e esféricas. Integrais de linha e de superfície de funções reais e aplicações.
PROGRAMA
1. Integrais Impróprias: Integrais do tipo I: Intervalos infinitos. Integrais do tipo II:
Integrandos descontínuos. Teste da Comparação para integrais impróprias.
2. Cônicas e Coordenadas Polares: Curvas definidas por equações paramétricas. Cálculo
com curvas paramétricas. Coordenadas polares. Gráficos de equações polares. Áreas e
comprimentos em coordenadas polares. Seções cônicas: equações canônicas e equações
em coordenadas polares.
3. Quádricas e Coordenadas Cilíndricas e Esféricas: Cilindros. Quádricas. Identificação
e esboço de gráficos. Coordenadas cilíndricas e esféricas.
4. Curvas no Espaço: Funções vetoriais e curvas espaciais. Comprimento de arco e cur-
vatura. Movimento no espaço: velocidade e aceleração.
5. Derivadas Parciais: Funções de várias variáveis. Limites e continuidade. Derivadas
parciais. Planos tangentes e aproximações lineares. Regra da cadeia. Derivadas dire-
cionais e o vetor gradiente. Valores máximo e mínimo.
6. Integrais Duplas e Tripas: Integrais duplas. Integrais iteradas. Integrais duplas em
coordenadas polares. Aplicações das integrais duplas. Integrais triplas. Integrais
triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas.
7. Integrais de Linha e de Superfície: Integrais de linha de funções reais. Aplicações das
integrais de linha. Superfícies paramétricas. Integrais de superfície de funções reais e
áreas de superfícies paramétricas.
BIBLIOGRAFIA
Livro -Texto:
James Stewart. Cálculo, 6a edição, Volumes 1 e 2, Editora Cengage Learning, 2010.
Referências Complementares:
1. Maurice D. Weir, Joel Hass & Frank R. Giordano. Cálculo – George B. Thomas, 11a
Edição, Volumes 1 e 2, Editora Pearson, 2009.
2. Louis Leithold. O Cálculo com Geometria Analítica, 3a Edição, Volumes 1 e 2, Editora
Harbra, 1994.
OBJETIVOS GERAIS
O Cálculo Diferencial e Integral é uma das ferramentas básicas utilizadas pelos profissi-
onais de ciências exatas e tecnológicas. Nosso objetivo principal aqui é apresentar aos
estudantes os conceitos fundamentais e as técnicas básicas do Cálculo de várias variáveis.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Estender os conceitos básicos do cálculo diferencial e integral das funções de uma única
variável às funções de várias variáveis, desenvolvendo ferramental importante para o tra-
tamento de problemas que aparecem com frequência na física e nas engenharias.
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
As aulas serão expositivas, com exemplos de aplicações da teoria. Contaremos com auxílio
de monitores, cujos horários de atendimento serão divulgados tão logo estejam disponíveis.
O atendimento aos alunos pelo professor será feito com hora marcada na Sala 38 do IC1.
O professor estará também acessível pelo e-mail luizfernando@luizfernando.mat.br e
através do site da disciplina: http://luizfernando.mat.br, onde o aluno terá acesso a
outras informações relativas ao seu curso, como notas de provas, datas de provas, matéria,
plano de ensino, horários de monitores, recomendações, comunicações e sugestões.
CONTROLE DE FREQUÊNCIA
O controle de frequência dos alunos será feito por meio de listas de presença. Em todas
as aulas do semestre os alunos deverão assinar a lista do dia, que é a prova legal da
presença do aluno na aula. A ausência da assinatura do aluno na lista de presença em
determinado dia implicará no cômputo do número de faltas correspondente ao número de
horas-aulas desse dia. De acordo com as normas da UFES, cada aluno poderá faltar a até
25% das aulas da disciplina. As faltas às aulas, seja por motivo de saúde ou por qualquer
outro motivo não serão abonadas; as aulas perdidas por quaisquer motivos devem ser
enquadradas no porcentual de 25% permitido para faltas.
CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO
A avaliação do aproveitamento do aluno constará de três provas parciais e uma prova
final, aplicadas nas datas e com os conteúdos descritos a seguir. A média dos trabalhos
MT será a média das notas das três provas parciais. Se MT for igual ou superior a 7,0
o aluno ficará dispensado da prova final, com média final MF = MT. Se MT for inferior
a 7,0 o aluno deverá obrigatoriamente fazer a prova final e terá como MF a média de
MT e PF. Para aprovação, MF deverá ser maior ou igual a 5,0 e o número de faltas, em
horas-aulas, não poderá exceder 25% do número total de horas-aulas da disciplina.
CALENDÁRIO DE PROVAS
Prova Matéria Data
Primeira prova Itens 1, 2 e 3 02/09/2011
Segunda prova Itens 4 e 5 21/10/2011
Terceira prova Itens 6 e 7 07/12/2011
Prova final Itens de 1 a 7 14/12/2011
Os itens especificados acima referem-se ao Programa da disciplina. As datas e as matérias
das provas poderão ser alteradas em função do andamento do programa.
Vitória, 01 de agosto de 2011
Prof. Luiz Fernando C. Camargo
C�lculo II/pfCalcIIEngComp201002.pdf
Universidade Federal do Espírito Santo
MAT09574–Cálculo II Turma 05 Período 2010/2
Engenharia de Computação
Prova Final
NOME: Data: 17/12/2010
1. Para que valores de t a curva
x = t3−12t , y = t2−1
é côncava para cima? Em que pontos ela muda de concavidade?
2. Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva de intersecção da superfície
z = 2x2− y2 com o plano z = 4 no ponto (−2,−2,4).
3. Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
f (x, y)= x2+ y2+x2y +4
na região retangular R = {(x, y) | −2É x É 2,−1É y É 1}.
4. Determine os pontos de máximo e mínimo locais e os pontos de sela da função f dada por
f (x, y)= x2−4xy + y3+4y
A função f tem máximo absoluto? Tem mínimo absoluto?
5. Calcule a integral Ñ
E
(x+2y)dV
onde E é o sólido limitado pelo cilindro parabólico y = x2 e pelos planos z = 0, x = y e y = z.
Faça um esboço do sólido.
Observações: A interpretação dos enunciados das questões faz parte da avaliação; todas as
respostas devem ser justificadas; cada questão vale 2,0 pontos; a duração da prova é de 2 horas.
C�lculo II/pfCalcIIEngMec201002.pdf
Universidade Federal do Espírito Santo
MAT09574–Cálculo II Turma 04 Período 2010/2
Engenharia Mecânica
Prova Final
NOME: Data: 17/12/2010
1. Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
f (x, y)= x2+xy + y2−9x−6y +11
na região triangular com vértices O(0,0), A(6,0) e B(0,6).
2. Calcule o volume do sólido limitado pelos planos x = y +2z+1, 3y + z−3= 0, x = 0, y = 0
e z = 0. Faça um esboço do sólido.
3. Encontre o volume da cunha cortada do primeiro octante pela superfície z = 12− 3y2 e
pelo plano x+ y = 2.
4. Encontre a área da região dentro do laço menor do limaçon r = 1+2cosθ. Faça um esboço
da curva.
5. A voltagem U em um circuito elétrico simples está decrescendo devagar à medida que a
bateria se descarrega. A resistência R está aumentando devagar com o aumento do calor
no resistor. Use a Lei de Ohm, U = RI , para determinar como a corrente I está variando
no momento em que R = 400Ω, I = 0,08 A, dU/dt =−0,01 V/s e dR/dt = 0,03Ω/s.
Observações: A interpretação dos enunciados das questões faz parte da avaliação; todas as
respostas devem ser justificadas; cada questão vale 2,0 pontos; a duração da prova é de 2 horas.