Listão de Cálculo Integral Resolvido

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INSTITUTO POLITÉCNICO – Centro Universitário UNA
A área da região de uma região está a direita do eixo y e a esquerda da parábola x = 2y – y2 (a região sombreada da figura). Imagine que esta região representa a área na qual será construída uma determinada loja. Podemos afirmar que tal área é: 
Resposta A.
Resolução:
De uma chapa metálica de 1m2 de área, foi recortado um molde de uma peça para o uso industrial. A parte hachurada da figura abaixo representa a sobra da peça metálica após a retirada do moldete. Determine a quantidade em m2 da sobra desta peça.
Resposta D.
Resolução:
A função que descreve a velocidade de uma partícula é dada em metros por segundo V(t) = 3t – 5. Considerando o movimento desta partícula no intervalo [0,3] segundos é possível determinar seu deslocamento (em metros) é:
Resposta B.
Resolução:
Considerando a mesma função velocidade dada no exercício anterior, é possível determinar também a distância percorrida pela partícula. Lembrando que a distância percorrida não considera apenas as posições final e inicial da partícula, a distância, em metros, que a partícula percorreu foi de:
Resposta D.
Resolução:
	
	
	
	
A função aceleração (em m/s2) e a velocidade inicial de uma partícula movendo-se ao longo de uma reta são descritas respectivamente por: 
a(t) = t + 4 e v(0) = 5 num intervalo de 0 a 10 segundos. Podemos afirmar que a função que descreve a velocidade da partícula (em m/s) no instante t é:
Resposta C.
Resolução:
Considerando os dados da questão anterior podemos afirmar que a distância percorrida durante o intervalo dado é de:
Resposta A.
Resolução
Durante um intervalo de 0 e 3 segundos, uma partícula move-se em linha reta e sua aceleração (em m/s2) instante t é dada pela função a(t) = 2t + 3. Sabendo que a velocidade inicial da partícula é v(0) = - 4, a função que descreve sua velocidade (em m/s) no instante t é descrita por:
Resposta B.
Resolução:
A distância percorrida no intervalo de 0 e 3 segundos da partícula do exercício anterior em metros é de:
Resposta D.
Resolução:
A densidade linear de um objeto é dada pela razão entre sua massa e seu comprimento linear. Para uma barra de 4m de comprimento, a densidade linear, p(x), é dada pela expressão: medida em quilogramas por metro, onde x é a medida em metros a partir de um extremo da barra. Sendo assim, a massa total desta barra é:
Resposta C.
Resolução:
A água flui do fundo de um tanque de armazenamento a uma taxa de 
R(t) = 200 – 4t litros por minutos, onde 0 ≤ t ≤ 50. Encontre a quantidade de água que flui do tanque durante os primeiros dez minutos.
Resposta B.
Resolução:
A função custo marginal de uma empresa é representada por C’ onde C’(x) = lnx, onde x representa o número de peças produzidas sendo x ≥ 1. 
Considerando Ct(1) = 5, podemos afirmar que a função que representa o custo total Ct(x) da produção de x unidades é dada por:
Resposta A.
Resolução:
 Um pesquisador estima que t horas após meia-noite, em um período típico de 24 horas, a temperatura em certa cidade é dada, em graus Celsius, pela função: , sendo 0 ≤ t ≤ 24. A temperatura média na cidade entre 6h da manhã e 4h da tarde é:
Resposta B.
Resolução:
Anulada
Os registros mostram que t meses após o inicio do ano, o preço, em reais, de um determinado produto vendido nos supermercados a granel foi representado por: P(t) = 0,09t2 – 0,2t + 1,6 o quilo. O preço médio deste produto durante os 3 primeiros meses do ano foi de:
Resposta C.
Resolução:
 Em certo experimento, o número de bactérias presentes em uma cultura após t minutos foi Q(t) = 2000e0,05t. O número médio aproximado de bactérias presente neta cultura durante os primeiros 5 minutos do experimento é:
Resposta B.
Resolução:
 A temperatura t, em graus, que qualquer ponto (x,y) de uma placa plana é: 
.
Se a distância for medida em centímetros, a taxa de variação da temperatura em relação a distância movida ao longo da placa nas direções dos eixos positivos x e y, respectivamente, no ponto (3,1) é:
Resposta A.
Resolução:
As dimensões de uma caixa retangular são 10 cm, 12 cm e 15 cm, e as medidas são corretas até 0,02 cm. O valor aproximado do erro máximo cometido no cálculo do volume desta caixa a partir das medidas dada é:
Resposta B.
Resolução: 
 Um recipiente de metal, fechado, na forma de um cilindro circular reto, tem altura interna de 6 cm, raio interno de 2cm, a espessura de 0,1 cm. Se o custo do metal a ser usado é de R$ 10,00 o centímetro cúbico, o custo aproximado do metal que será empregado na produção do recipiente é:
Resposta C.
Resolução:
O comprimento e a largura de um retângulo foram medidos como 30 cm e 24 cm, respectivamente, com um erro de medida de, no máximo, 0,1 cm. Podemos utilizar os diferenciais para estimar o erro máximo cometido no cálculo da área do retângulo que será de:
Resposta C.
Resolução: 
Uma caixa retangular com tampa tem sua superfície total de 64 cm2. Uma empresa usará esta caixa para o estoque de um de seus produtos e para isso pretende encontrar as dimensões desta caixa, em centímetros, quando seu volume atingir seu valor máximo. Podemos afirmar que tais dimensões correspondem a:
Resposta A.
Resolução:
Uma peça mecânica será construída e seu formato é obtido através da revolução da curva y = x3 em torno do eixo 0x, no intervalo 0 ≤ x ≤ 2. Considerando x e y expressos em centímetros, o volume desta peça em cm3 é:
Resposta C.
Resolução:
 
 
 
Uma partícula move-se ao longo de uma reta com uma função velocidade V(t) = t2 – t, onde v é medida em metros por segundo. A distância percorrida pela partícula durante o intervalo [0,5] corresponde, aproximadamente, a:
Resposta A.
Resolução:
 A curva que descreve a parte frontal de um túnel é dada por y= -x2 + 6x-5. A figura mostra este túnel no sistema cartesiano considerando o chão sobre o eixo 0x. 
Podemos afirmar que a área desta parte frontal do túnel é:
Resposta D.
Resolução:
Uma mina produz mensalmente 500 toneladas de um certo minério. Estima-se que o processo extrativo dure 30 anos (360 meses) a partir de hoje e que o preço por tonelada do minério daqui a t meses seja 
f(t) = - 0,01t2 + 10t + 300 unidades monetárias. Qual a receita (em reais) será gerada pela mina ao longo dos 360 meses?
Resposta B.
Resolução:
De acordo com a lei dos gases ideias, a pressão, a temperatura e o volume de um gás estão relacionados por , sendo K uma constante de proporcionalidade. Suponha que V é medido em polegadas cúbicas pol3, T é medido em Kelvins (K), e que para um certo gás a constante de proporcionalidade é K = 10 pol.Ib/K. Determinar, em a taxa de variação instantâneo da pressão em relação a temperatura se a temperatura for 80 k e o volume permanecer fixo em 50 pol3.
Resposta D.
Resolução:
Uma peça será produzida através da rotação da região limitada pelas curvas y2 = x, x = 2y em torno do eixo y. Para calcular o preço da fabricação desta peça é necessário saber a quantidade de matéria prima que será utilizada. Sendo assim podemos afirmar que o volume da peça, em unidades de volume é:
Resposta A.
Resolução:
Anulada
Uma caixa de papelão sem tampa deve ter um volume de 32000 cm3. Para minimizar a quantidade de papelão utilizado, devemos ter comprimento, largura e altura, respectivamente, iguais a:
Resposta A.
Resolução:
Na figura abaixo, a curva q = f (p) é a função de demanda de um produto. Para nível de preço p0, o consumo é q0. Aumentando-se o preço, a quantidade procurada diminuí, isto é, apenas parte dos compradores está disposta a pagar o novo preço. A área sombreada na figura representa o excedente do consumidor, ou seja, o total procurado pelos compradores quando o preço se desloca a partir de p0.
O excedente do consumidor para um produto cuja demanda é dada pela função q = 16 – p2 para p variando no intervalo de [1,4] é:
Resposta C.
Resolução:Na construção de um espaço de lazer, ou seja, um parquinho para crianças num condomínio, um engenheiro se depara com a necessidade de calcular a área existente entre duas curvas. A primeira curva é dada por: y = 1 – x2 e a segunda é dada por y = - 3. Ao apresentar os cálculos da área a ser construída, o engenheiro errou os cálculos e apontou como resposta 12 m2. Quantos metros ele calculou a mais?
Resposta B.
Resolução:
(ENADE-2011) Considere a função f : R → R definida por f(x) = x4–5x2 + 4, para cada x R. A área da região limitada pelo gráfico da função y = f(x), o eixo 0x e as retas x = 0 e x = 2 é igual a:
Resposta D.
Resolução:
Suponha que a velocidade de uma partícula movendo-se ao longo de um eixo seja V(t) = 3t2 + 2, medida em metros por segundo. A velocidade média da partícula no intervalo de 1 segundo a 4 segundos é de:
Resposta B.
Resolução:
Consideramos um sólido metálico no qual a temperatura (em graus Celsius) em um de seus pontos (x, y, z) é dada por . A taxa de variação da temperatura com relação a coordenada x é dada por:
Resposta A.
Resolução:
Uma tigela tem um formato que pode ser obtido pela revolução, em torno do eixo y, do gráfico de entre y = 0 e y = 5. Podemos afirmar que o volume desta tigela é:
Resposta D.
Resolução:
Temos que o coeficiente angular m(x) de uma curva y = f(x) é obtido através de sua derivada, isto é, m(x) = e passa pelo ponto P(4,2), podemos dizer que esta curva tem por lei a função:
Resposta A.
Resolução:
A aceleração de uma partícula obedece a equação a(t) = 12t2 – 36t + 24 determine a equação velocidade da partícula, sabendo que V(0) = - 36:
Resposta B.
Resolução:
Um pintor deve pintar uma placa cuja forma é definida pelas curvas x = 0 e x = 1. Para calcular a quantidade de tinta necessária, ele teve que calcular a área da placa. Qual dos seguintes valores ele encontrou para essa área?
Resposta C.
Resolução:
Ao construir um parquinho a empresa responsável pela execução do projeto tem que se preocupar com a fixação de alguns brinquedos. Entre eles, um brinquedo que imita um sólido de revolução gerado pela região de uma parábola cúbica y = x3, pelo eixo vertical e pela reta y = 8 que gira em torno do eixo vertical. O engenheiro com o intuito de saber quantos metros de areia deve ser colocado no parquinho necessita saber o volume deste brinquedo quando rotacionado em torno do eixo vertical. (Use π = 3,14)
Resposta D
Resolução:
A igreja de São Francisco de Assis, cartão postal de Belo Horizonte, localiza-se no conjunto arquitetônico da Lagoa da Pampulha. Marco do Modernismo, ela foi planejada por Oscar Niemeyer e construída durante o governo de Juscelino Kubistchek a frente da Prefeitura Municipal. Foi também alvo de polêmica, visto que Dom Cabral recusou-se a consagrá-la ao uso Portinari e jardins de Burle Marx, tem sua vista frontal construída como um arco de parábola.
 
Considere, por suposição, que o arco da parábola que modela tal construção tenha equação , no intervalo real em que as ordenadas são positivas, com x e y medidos em metros. O cálculo da área da fechada da igreja, segundo esta função resulta em:
Resposta A.
Resolução:
Um engenheiro estuda o comportamento de um gás ideal, ao se expandir passando por pequenos orifícios, fenômeno denominado de efusão gasosa. A realizar um experimento, o engenheiro constata que o vazamento de gás a alta pressão através de um orifício de um cilindro de alumínio, é modelado pela função v(t) = 2e-t, em que v(t) representa o vazamento instantâneo de gás em um determinado instante de tempo t. Calculando o vazamento médio entre os instantes t = 0 e t = 2, este encontrou o valor:
Resposta A.
Resolução:
Maria quer armazenar água para o período da seca. Preocupada com a situação, construiu diversos vasilhames. Um dos vasilhames foi obtido pela rotação da região abaixo em torno do eixo y e obteve:
Determine o volume de água que Maria poderá estocar nesse vasilhame:
Resposta B.
Resolução:
Uma mancha de óleo tem formato retangular. A que taxa está variando a área da mancha de óleo se seu comprimento é de 8 metros e está crescendo a uma taxa de 3 m/s, enquanto que sua largura é de 6 metros está crescendo a uma taxa de 2 m/s.
Resposta D.
Resolução:
 (CESGRANRIO 2012, Engenheiro de Petróleo) A figura a seguir mostra uma parte dos gráficos das funções reais de variáveis reais dadas por f(x)=x3 e g(x) = x2. A parte pintada representa a região do plano R2 em que x3 ≤ y ≤ x2, com x ≥ 0. Se o quadrado formado pelos pontos (0,0); (0,1); (1,1) e (1,0) tem área igual a 1 unidade de área, quantas unidades de área tem a região pintada?
Resposta A.
Resolução:
Se uma partícula se move ao longo de uma reta com velocidade igual a V(t) = t.e-t m/s após t segundos, então a distância percorrida durante o primeiros 5 segundos é:
Resposta C.
Resolução:
Um tanque contém 25g de sal dissolvido em 100 litros de água. Uma solução de sal em água, com ¼ g de sal por litro entra no tanque a uma vazão de 3 litros por minuto e a solução do tanque, bem misturada, sai com a mesma vazão.
Considerando todos os dados relatados acima encontrou-se a expressão que dá a quantidade de sal Q(t) no tanque no instante t que é:
Q(t) = 75 – 50
Determine o valor médio da quantidade sal neste tanque, nos primeiros 10 minutos.
Sabe-se que o valor médio de uma função em um intervalo [a,b] é dado por 
Resposta B.
Resolução:
Em uma indústria foi produzida por um ferramenteiro uma peça metálica maciça que corresponde ao solido gerado pela revolução da região sob a função y = f(x) = x3, no intervalo [1,2] em torno do eixo x, sendo assim determine o volume desta peça.
Resposta A.
Resolução:
Uma partícula move-se ao longo de um eixo s e sua velocidade é dada pela função V(t) = t3 – 2t2 +1, sendo t dado em segundos e a velocidade em metros por segundo. Se a posição do corpo no instante 0 seg. é 1 m, a função posição dessa partícula será;
Resposta B.
Resolução:
Uma área de lazer localizada em um condomínio está limitada pelas curvas y + x2 – 6 = 0 e y + 2x – 3 = 0, como mostra a figura abaixo. O valor da área da região sombreada na figura corresponde a:
Resposta B.
Resolução:
Uma estufa para cultivo de hortaliças foi dimensionada com uma configuração esférica. Foram instalados três sensores de temperatura, dois nos ponto A(1, 7, 2) e B(2, 4, 2) e o terceiro no centro da esfera como mostra a figura abaixo.
A distância entre o os sensores C e B é de:
Resposta D.
Resolução:
 
Um reservatório de água apresenta um pequeno vazamento na sua parte inferior. Água flui do fundo do reservatório a uma taxa de r(t) = 200 – 4t litros por minuto onde 0 ≤ t ≤ 50 minutos. Mantida esta taxa, qual o volume da água, em litros, que flui do reservatório nos primeiros 10 minutos?
Resposta A.
Resolução:
A temperatura em um ponto (x, y) é T(x, y), medida em graus Celsius. Um inseto rasteja de modo que sua posição depois de t segundos seja dada por onde x e y são medidos em centímetros. A função temperatura satisfaz Tx(2,3) = 4 e Ty(2,3) = 3. Quão rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de três segundos?
Resposta A.
Resolução:
Sabendo-se que a construção de um funil é baseada na rotação da curva sob o eixo dos x e limitada pelas retas x = 1 e x = 4, sendo cm a unidade de comprimento usada no eixo x. Qual o volume de líquido necessário para preencher o funil caso esteja fechado? Considere π=3,14.
Resposta A.
Resolução:
Um fornecedor de peças para a indústria automobilística projetou uma peça para determinado modelo de veículo conforme a figura abaixo – constitui-se de uma região delimitada pelos eixos x e y e pelo gráfico da função y = f(x) = 9 – x2.
A área da peça é:
Resposta B.
Resolução:
O raio de um cone circular reto aumenta a uma taxa de 1,8 cm/s ao passo que sua altura esta decrescendo a uma taxa de 2,5 cm/s. A que taxa o volume do cone está mudando quando o raio vale120 cm e a altura de 140 cm?
Resposta B.
Resolução:
 A voltagem V em um circuito elétrico simples está decrescendo devagar a medida que a bateria se descarrega. A resistência R está aumentando deva devagar com o aumento do calor do resistor. Use a Lei de Ohm, V = I.R para encontrar como a corrente I esta variando no momento em que R=400Ω, I = 0,08 A, dv/dt=-0,01V e dR/dt=0,03 Ω/s.
Resposta A.
Resolução:
A pressão de um mol de um gás ideal é aumentada a taxa de 0,05 kPa/s, e a temperatura é elevada a taxa de 0,15 K/s. Utilize a equação PV = 8,31T para achar aproximadamente a taxa de variação do volume quando a pressão é 20kPa e a temperatura 320K.
Resposta D.
Resolução: