Capítulo-3-calculo-diferencial-3

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Capítulo 3 – Cálculo Diferencial e Integral 3
3.1 Extremo de funções de duas variáveis
Dada uma função devemos:
Calcular:
- e 
- e 
- e 
- e isolar o y depois e substituir o valor de y, resolver a equação achando os valores de x e y.
- 
- Saber as regras: (pg. 101)
Se D>0 e >0, então tem um mínimo relativo (local) em .
Se D>0 e <0, então tem um máximo relativo (local) em .
Se D<0 e <0, então tem um ponto de sela em .
Se D=0, então o teste é inconclusivo e outros métodos precisam ser usados.
Exemplo do livro, feito de outra maneira. (pg.101).
Determine os valores de máximo e mínimo locais e os pontos de sela de
 .
Resolução:
- e 
- e 
- e 
- 
- 
Logo:
Como 
Portanto os pares são:
- 
Aplicando as regras e usando os pontos.
 < 0 ponto de sela.
 > 0.
 > 0.
 
 então
 ponto mínimo relativo.
 ponto mínimo relativo.
Exemplo 2 (pg. 103).
Um determinado lago tem o relevo do fundo determinado pela equação sendo R a profundidade em metros(m), x e y a distância medida em metros lineares (m) qual o ponto mais fundo deste lago?
Resolução:
 
 
 
 
 
 
 >0 logo ponto de mínimo.
 portanto o ponto de mínimo é (0,0,-50) e a sua profundidade será de 50 metros.
Resolvendo problemas. Exemplo 3 (pg. 105).
Uma empresa de embalagens fui contratada para fabricar uma caixa com tampa para transportar certo tipo de alimento. O cliente informou que a caixa deve conter um volume de 0,018 m3 . A empresa sabe que o material da base e da tampa custam 1,20 R$/m2 e o material dos lados custa 0,80 R$/m2 . Para minimizar o custo de produção de cada caixa quais dimensões elas devem ter?
Resolução:
Devemos focar no que o problema pede minimizar o custo de produção, ou seja, criar uma função xy sobre o custo.
Considere a caixa e suas dimensões x, y e z.
x
y
z
Considerando o valor das laterais e da tampa teremos uma equação de custo:
Devemos ter o custo em função de duas variáveis xy, para isto, isolamos uma variável (z) na equação de volume e substituímos na equação de custo.
Isolando z no volume:
Substituindo em C teremos:
Agora procedemos conforme os exercícios anteriores.
 
 
 
 e 
Substituindo uma na outra teremos:
Portanto:
x=0 não serve.
Sendo 
E 
Então estas serão as dimensões da caixa.
3.2 Multiplicadores de Lagrange.
Dada a função com a condição (restrição) e uma constante N (chamada de multiplicar de Lagrange), montamos um sistema para determinar os extremos da função.
Exemplos de sistemas:
 com a condição 
 com a condição 
Calculando os valores de x,y,z, N e k que satisfazem o sistema. Estaremos calculando os extremos da função com a condição .
Exemplo (análogo ao da pg 111)
Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 3m2 de papelão. Determine o volume máximo desta caixa.
Resolução:
Considere a caixa e suas dimensões x, y e z.
x
y
z
 extremos da função.
 restrição.
Montando o sistema
Resolvendo o sistema e considerando apenas as respostas positivas, teremos:
Portanto o volume máximo será:
Exemplo 5 pg 114
Determine os valores extremos da função no círculo 
 extremos da função
 condição
Montando o sistema
Resolvendo o sistema teremos:
 e portanto temos: 
Para sabermos qual é ponto de máximo e qual é o ponto de mínimo basta substituir na equação .
 ponto de máximo.
 ponto de mínimo.
Atividade 14 pg 118
Usando o multiplicador de Lagrange.
Considere a caixa e suas dimensões x, y e z.
x
y
z
 restrição.
Considerando o valor das laterais e da tampa teremos uma equação de custo:
 extremos da função.
Montando o sistema
Resolvendo o sistema:
(1)=(2)
(2)=(3)
Substituindo em (4)
Como 
Note que são os valores encontrados anteriormente.