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Funções
Definição (Função) Dados os conjuntos A e B, uma função f de A em B, denotada f : A B
(lê-se: f de A em B), é qualquer relação que associa a todo elemento de A um único elemento de B.
Domínio, Contra-Domínio e Imagem de uma função
Em uma função f : A B o domínio é o conjunto A e o contra-domínio é o conjunto B. A imagem de f é o subconjunto de B cujos elementos estão associados a algum elemento do domínio. Genericamente denotamos os pares ordenados de f por (x; y), onde x A e y B, e escrevemos y = f(x) (lê-se f de x é igual a y). Dizemos que y é a imagem de x sob a função f. Dizemos também que x é a variável independente e que y é a variável dependente. 
Exemplo:Dados os conjuntos A= e a relação y=2x, mostrada na figura define uma função f: A B. 
Nesta função temos:
-domínio: D(f)= ;
-contradomínio: CD(f)= ;
-imagem: I (f) = .
Exercícios:Qual é o domínio,o contradomino e a imagem das seguintes funções:
a)Seja a função f:, definida por y = x² - 2x +1
b)Dada a função f : ,definida por f(x) = x² - x -1 calcular f(-1) e f(0).
c) Dada a função f de A= em definida por f(x) = 3x + 7.
d) Quais das seguintes relações são funções?
Funções polinomiais
Uma função definida por uma equação da forma onde n é um inteiro não negativo e os coeficientes a0, a1, a2, ...an são números reais constantes é denominada função polinomial. Se ,diz-se que esta função polinomial é de grau n. 
Casos particulares: f(x) = função constante
 
 f(x) = função afim
 
 f(x) = x função identidade
 Exemplos função polinomial do 1º grau: 
 a) y = 2 ( função constante)
 b) y = x ( função identidade)
 c) y = 3x (função linear)
 d) y =3x + 1 ( função afim)
Gráficos:
 y b) y
 2 y=x
 x x
 
c) y d) y y=3x + 1
 y=3x
 x x 
 
Imagem
O conjunto imagem da função afim f : R em R definida por f(x)= ax +b com a .
Exercícios:
1)Sendo f(x) = -3x +1 
a)Calcular f(0) b)Calcular 
2)Construir os gráficos das seguintes funções:
a)y = 2x -3 b)y = -x +2 c) y = 4 – 2x
3)A relação R de E = em F = definida por y = x ( onde x é uma função?Justificar.
4)Assinale V(verdadeiro) ou F (falso):
( )Toda relação é uma função.
( )Toda função é uma relação.
( )Se a relação R de A em B é uma função,então o domínio de R é A.
( )Tanto nas relações como nas funções de um conjunto E em um conjunto F, seus conjuntos imagens são subconjuntos de F.
5)Seja f a função de R em R definida por f(x) = x² - 3x + 4.Calcular :
a) f( 2 ) ; b ) f ( ); c) f ( ; d) f( -1).
Função Polinomial do 2º grau
 Uma aplicação f de |R em |R recebe o nome de função quadrática ou do 2º grau quando associa a cada x |R o elemento ( ax² + bx + c ) |R, onde a ≠ 0.
Gráfico da função y = x² - 1 (parábola)
 
Gráfico da função y = - x² +1 
 
	 x
	-3
	-2
	-1
	0
	1
	2
	3
	Y= - x² +1
	-8
	-3
	0
	1
	0
	-3
	-8
 
	 x
	-3
	-2
	-1
	0
	1
	2
	3
	Y= x² -1
	8
	3
	0
	-1
	0
	3
	8
 
Zeros 
Os valores de x para os quais a função quadrática f(x)= ax² + bx +c se anula,isto é, f(x)=0 ,denomina-se zeros da função quadrática.Achar os zeros da função quadrática equivale a resolver a equação do 2ºgrau:
 ax² + bx + c = 0
 Para resolver uma equação do 2ºgrau recorremos à fórmula :
 X = 
 ∆ = 
Vértice : xv = - yv = - 
Imagem
A função y = ax² + bx +c assume um valor mínimo quando a > 0 e assume um valor máximo quando a < 0. Este valor mínimo ( ou máximo) é a ordenada yv do vértice.
Exercícios;
1)Para que valores de m as seguintes funções definem uma função quadrática?
a) f(x) = mx² + x -4 b) f(x) = ( m + 2 ) x² -2 c) f(x) = x² + 2x + 1
 resp. a) m b) m c) m 
2)Construir o gráfico das funções definidas em R e determinar o domínio e a imagem.
a) y = x² - 3x , b) y = - x² +4 , c) y = 3x² - 9x + 6, d) y = – x² + 1
 
Função exponencial é toda função , definida por  com  e .
Representação da função exponencial no plano cartesiano
Para a representação gráfica da função  arbitraremos os seguinte valores para x:
-6, -3, -1, 0, 1 e 2.
Montando a tabela temos:
	x
	-6
	-3
	-1
	0
	1
	2
	Y=1,8x
	0,03
	0,17
	0,56
	1
	1,8
	3,24
Abaixo temos o gráfico desta função exponencial, onde localizamos cada um dos pontos obtidos da tabela e os interligamos através da curva da função. 
 As funções exponenciais  podem ser classificadas como função crescente ou função decrescente. 
Função Exponencial Crescente Função Exponencial Decrescente
 
 f(x)=ax , a> 1 Se 0 < a < 1 Gráfico I Gráfico II 
Se  temos uma função exponencial crescente, qualquer que seja o valor real de x.
No gráfico I da função acima podemos observar que à medida que x aumenta, também aumenta f(x) ou y. Graficamente vemos que a curva da função é crescente.
Se  temos uma função exponencial decrescente em todo o domínio da função.No gráfico II podemos observar que à medida que x aumenta, y diminui. Graficamente observamos que a curva da função é decrescente.
 
Recordando logaritmo
Toda equação que contém a incógnita na base ou no logaritmando de um logaritmo é denominada equação logarítmica.
 
Exemplos:a) b) = 2
Propriedades: 
1)log do produto: Se 0 < a , b > 0 e c > 0, então 
2)log do quociente: Se 0 < a , b > 0 e c > 0,então .
3)log da Potência: Se 0 < a , b > 0 e n ,então .Mudança de base: 
Função logarítmica de base a é toda função , definida por  com  e .
Função Logarítmica Crescente Função logarítmica decrescente
Se  temos uma função logarítmica crescente, qualquer que seja o valor real positivo de x.No gráfico podemos observar que à medida que x aumenta, também aumenta f(x) ou y. Graficamente vemos que a curva da função é crescente.
Se  temos uma função logarítmica decrescente em todo o domínio da função.No gráfico podemos observar que à medida que x aumenta, y diminui. Graficamente observamos que a curva da função é decrescente.
 
 Exercícios
1)Resolver as seguintes equações exponenciais:
2x = 128; b)2x = ; c) 3x = 243; d)4x = ; e)53x -1 = ( )2x+ 3 
e)811-3x = 27 f)74x+3 =49 g) 112x+5 =1
2)Determinar:
a)
3)Resolver:
a)
4)Resolver:
a) b) 
5)Construir os gráficos:
a) y = 2x , b) y = , c) y = , d).
 
 Gabarito:
1)S=, S=, S= , S= , S= , S= , S= , S=.
2) 4; 2; 2; -1/2; -2 3) 4) S= ; S=
1)Resolver:
1)Calcular os logaritmos de 4 no sistemas de base:
a) 2; b)4; c)16; d)1/2
2) a) log4 (3x + 2) = log4 (2x + 5); b) log2 ( 5x² - 14x +1 ) = log2 (4x² - 4x – 20 )
c)log5 ( 4x – 3 ) = 1 ; d ) log4 ( 2x² + 5x + 4) = 2
Gabarito: 
1) 2; 1; ½; -2. 2) a) 
1)Resolver:
a)9x =27 b)100x =0,001 c)125x = 0,04 d) 8x =0,25 e)x = 8 f) 52x² + 3x – 2 = 1 
2)Escreva a expressão como o logaritmo de um único número:
a) ln(x-2) – ln (x + 2) b) ln(2x +1) + ln(2x-1) c) 3lnx + 2lny - 4lnz 
 d)2[ ln x – ln(x + 1)] – 3 [ ln x – ln( x-1)] Gabarito:a) b)ln[(2x)² - 1 c) ln d) ln .