Álgebra Linear - Prova 03 (2012)

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Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Cieˆncias Agra´rias - Alegre
Departamento de Matema´tica Pura e Aplicada
3a Prova - A´lgebra Linear - 2012/II
X NA˜O DESTAQUE AS FOLHAS DA PROVA.
X NA˜O SERA´ CONSIDERADA FOLHA ANEXA.
Nome:
1. Determine o operador linear T : R3 → R3 tal que (1, 0, 0) ∈ N(T ), T (0, 1, 1) = (1, 0, 1) e (0, 0, 1)
e´ autovetor associado a λ = 2.
2. Dado o operador linear
T : R3 → R3
(x, y, z) 7→ T (x, y, z) = (2z, y, 2x)
fac¸a o que se pede.
(a) Encontre os autovalores de T .
(b) T e´ diagonaliza´vel? Justifique sua resposta!!!
(c) Caso exista, encontre uma base γ do R3 na qual [T ]γγ e´ diagonal.
(Atenc¸a˜o! Na˜o e´ necessa´rio explicitar as coordenadas destes vetores.)
(d) Determine [T ]γγ . Qual a relac¸a˜o desta matriz com os vetores da base γ?
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3. Em um determinado estudo observou-se uma regra de recorreˆncia, os valores das varia´veis x e
y em uma etapa n do estudo e´ dado a partir de uma matriz M e dos valores da etapa anterior,
n ∈ {0, 1, 2, ...}, isto e´, [
xn
yn
]
=M
[
xn−1
yn−1
]
, onde M =
[
3/2 1/2
−1 0
]
(a) Determine os valores de xn e yn a partir dos valores de x0 e y0 (condic¸o˜es iniciais).
(b) Encontre uma matriz invers´ıvel P e uma matriz diagonal D tal que M = PDP−1.
(c) Se x0 = 1 e y0 = 1, quais sa˜o os valores de x100 e y100?
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4. Marque V ou F e justifique sua resposta.
(a) ( ) A aplicac¸a˜o
T : F → R
f 7→ ∫ b
a
f(x) dx
,
onde F e´ o espac¸o vetorial das func¸o˜es cont´ınuas, e´ uma transformac¸a˜o linear.
(b) ( ) Se T e´ linear enta˜o T ( ~0V ) = ~0W .
(c) ( ) T : V →W transformac¸a˜o linear e dimV < dimW , enta˜o T na˜o e´ sobrejetora.
(d) ( ) Se λ = 0 e´ um autovalor de T : V →W , enta˜o T na˜o e´ invers´ıvel.
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