Álgebra Linear - Prova 02 (2013)

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Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Cieˆncias Agra´rias - Alegre
Departamento de Matema´tica Pura e Aplicada
2a Prova - A´lgebra Linear - 2013/I
Nome:
1. Mostre que:
(a) [1,2 pontos] E´ subespac¸o de M3(R) o subconjunto
W = {A = [aij ] ∈M3(R) ; aij = −aji} .
formado pelas matrizes anti-sime´tricas de ordem 3× 3.
(b) [1,6 pontos] O espac¸o M3(R) e´ soma direta dos subespac¸os das matrizes sime´tricas e
anti-sime´tricas?
2. [2 pontos] Suponha que { ~u1, ..., ~un} e´ uma base do espac¸o vetorial V .
Mostre que { ~u1, ~u1 + ~u2, ~u1 + ~u2 + ~u3, ..., ~u1 + ~u2 + ...+ ~un} tambe´m e´ base de V .
3. (a) [1,6 pontos] Encontre W = [(1, 2,−1), (0, 3,−2)].
(b) [0,4 pontos] α = {(1, 2,−1), (0, 3,−2)} e´ uma base de W?
(c) [0,4 pontos] Acrescente um vetor ~v ao conjunto α, de modo que α ∪ {~v} seja base do R3.
4. Sejam α = { ~u1, ~u2, ~u3} e β = {~v1, ~v2, ~v3} bases de V , tais que ~v1 = ~u1 − ~u2 − ~u3,
~v2 = 2 ~u2 + 3 ~u3 e ~v3 = 3 ~u1 + ~u3.
(a) [1,6 pontos] Determine [I]βα e [I]
α
β .
(b) [0,4 pontos] Se ~u = ~v1 + 2~v2 − ~v3 encontre [~u]α.
(c) [0,6 pontos] Sendo γ outra base de V , determine [I]αγ , onde
[I]βγ =
 1 1 00 1 1
0 0 1
 .
5. [1,6 pontos] Sendo U,W ⊂ V , subespac¸os de V , encontre um contra-exemplo para as falsas
afirmac¸o˜es abaixo.
(a) ( ) O conjunto U ∪W e´ subespac¸o de V .
(b) ( ) dimU +W = dimU + dimW .