Álgebra Linear - Prova 02 (2012)

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Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Cieˆncias Agra´rias - Alegre
Departamento de Matema´tica Pura e Aplicada
2a Prova - A´lgebra Linear - 2012/II
X NA˜O DESTAQUE AS FOLHAS DA PROVA.
X NA˜O SERA´ CONSIDERADA FOLHA ANEXA.
Nome:
1. (a) [1 ponto] Verifique se W = {(x, y, z) ∈ R3 ; x = 2y− z, y, z ∈ R} e´ um subespac¸o vetorial
do R3.
(b) [1 ponto] Verifique se GL2(R), o conjunto das matrizes invers´ıveis de ordem 2 e elementos
reais, e´ um subespac¸o vetorial do M2×2(R).
2. Sejam
W1 = {at2 + bt+ c ∈ P 2(R) : a− b = 0 e a− c = 0}
W2 = {at2 + bt+ c ∈ P 2(R) : a− b+ 2c = 0}
subespac¸os de P 2(R).
(a) [0,8 pontos] Determine W1 ∩W2.
(b) [0,8 pontos] Exiba uma base para W1 ∩W2.
(c) [0,8 pontos] Determine W1 +W2.
(d) [0,3 pontos] W1 +W2 e´ soma direta? Justifique.
(e) [0,3 pontos] W1 +W2 = P
2(R)?
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3. (a) [1,4 ponto] Encontre W = [(1, 0,−1), (2, 3, 0)].
(b) [0,3 pontos] α = {(1, 0,−1), (2, 3, 0)} e´ uma base de W .
(c) [0,3 pontos] A partir de α, encontre uma base para o R3.
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4. Considere α = {(1,−1), (2, 5)} e β = {(−1,−3), (0, 4)} bases do R2.
(a) [1 ponto] Encontre [I]αβ e [I]
β
α.
(b) [0,4 pontos] Dado ~v = (1, 1) encontre suas coordenadas na base α.
(c) [0,6 pontos] Encontre as coordenadas de [~v]β de duas maneiras distintas.
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5. [2 pontos] Marque V ou F. Prove as verdadeiras e deˆ contra-exemplo para as falsas.
( ) det
(
[I]βα
)
= 0, onde [I]βα e´ uma matriz mudanc¸a de base.
( ) Sejam W um espac¸o vetorial e β = {~v1, ~v2, ..., ~vn} ⊂W uma base de W . Enta˜o todo vetor
~w ∈W se escreve de maneira u´nica como combinac¸a˜o linear dos vetores de β.
( ) R2 e´ um subespac¸o vetorial do R3.
( ) A transformac¸a˜o
T : P 2(R) → P 2(R)
at2 + bt+ c 7→ T (at2 + bt+ c) = (at2 + bt+ c)′ = 2at+ b ,
chamada de operador derivada, e´ uma transformac¸a˜o linear.
(Sugesta˜o: Lembre das propriedades da derivada.)
( ) Se {~v1, ~v2, ..., ~vn} e´ L.D., pelo menos um de seus vetores e´ combinac¸a˜o linear dos outros.
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