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Algebra Linear - Prova 01 (2013)

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Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Cieˆncias Agra´rias - Campus Alegre
Departamento de Matema´tica Pura e Aplicada
1a Prova - A´lgebra Linear - 2013/I
Nome: Matr´ıcula:
1. Classifique o sistema de equac¸o˜es, quanto ao conjunto soluc¸a˜o, a partir dos valores de a e b. 4x+ 12y + 8z = 22x+ 5y + 3z = −1−4y − 4bz = a .
2. (a) Calcule
∣∣∣∣∣∣
1 −3 −7
−1 −2 −4
−2 −4 −5
∣∣∣∣∣∣ .
(b) Sem encontrar o conjunto soluc¸a˜o, mostre que e´ poss´ıvel e determinado o sistema x− 3y − 7z = 1−x− 2y − 4z = −2−2x− 4y − 5z = −1
e ainda, sem encontrar o conjunto soluc¸a˜o, mostre que sua soluc¸a˜o pode ser escrita na forma
X =
1
15
·
 6 −13 2−3 19 −11
0 −10 5
 ·
 1−2
−1
 .
3. (a) Encontre o conjunto soluc¸a˜o S do sistema linear homogeˆneo x+ y + 2z = 03x+ 3y + 6z = 0−x− y − 2z = 0 .
(b) Mostre que toda soluc¸a˜o (x, y, z) ∈ S pode ser escrita na forma
y(−1, 1, 0) + z(−2, 0, 1), onde y, z ∈ R.
4. Marque V ou F . Prove as verdadeiras e deˆ contra-exemplo para as falsas.
Para as verdadeira admita A,B,C ∈M3×3(R) e α, β ∈ R.
(a) ( ) AB = AC ⇒ B = C.
(b) ( ) α(βA) = (αβ)A.
(c) ( ) (AB)t = AtBt.
(d) ( ) Se X 6= [0, 0, 0]t e (A− α · Id)X = [0, 0, 0]t ⇒ det(A− α · Id) = 0.

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