MEC SOL 01 - Aula 10 - Corpos Rígidos_Sistema Equivalente de Forças_Intro

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Mecânica dos Sólidos 1
Professor Maurício P. Ferreira
Engenheiro Civil, M.Sc., D.Sc.
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Faculdade de Engenharia Civil
1. Corpos Rígidos - Introdução
Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil
• Nos itens anteriores foram analisadas situações em que:
• Admitiu-se que, nas análises de equilíbrio, o corpo ou a
região de interesse poderiam ser tratados como uma única
partícula;
1. O elemento sob análise apresenta dimensões
pequenas;
2. Ou a região de interesse é restrita.
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• Exemplo:
1. Corpos Rígidos - Introdução
1. Corpos Rígidos - Introdução
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• Nas estruturas em geral seu comprimento é significativo;
• Elas não podem ser tratadas como uma única partícula,
mas sim um conjunto de partículas;
• As forças não irão atuar apenas em um ponto e agirão em
diferentes pontos de aplicação;
• Estas forças solicitando o corpo (forças externas) irão gerar
esforços (forças internas).
1. Corpos Rígidos - Introdução
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• Corpo Rígido: aquele que não se deforma.
• Deformação: efeito normalmente provocado pela atuação de
forças gerandomudança na geometria de um corpo.
indeformado
indeformado
deformado
deformado
1. Corpos Rígidos - Introdução
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• Estruturas em geral deformam-se sob a ação de forças,
não sendo portanto totalmente rígidas;
• As deformações em estruturas civis são geralmente
pequenas, afetando de modo pouco significativo suas
condições de equilíbrio ou movimento;
• É válido admitir que as estruturas comportem-se como
corpos rígidos.
2. Corpos Rígidos – Forças atuantes
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1. Forças Externas (foco desta disciplinas):
• Representam a ação de outros corpos sob o corpo rígido;
• Responsáveis pelo comportamento externo do corpo;
• Provocam movimento ou asseguram o repouso;
1. Forças Internas (foco de disciplinas posteriores):
• São aquelas que mantém unidas as partículas que formam o
corpo;
2. Corpos Rígidos – Forças atuantes
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Forças Externas
Caminhão enguiçado 
puxado por três pessoas
Forças Externas 
agindo no caminhão:
W (peso próprio)
R1 e R2 (reações solo)
F (força na corda)
C.G.
Forças Externas 
podem provocar em 
um corpo rígido:
Translação
Rotação
3. Princípio da Transmissibilidade
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O Princípio da Transmissibilidade
diz que “as condições de equilíbrio ou de
movimento de um corpo rígido
permanecem inalteradas se uma força
F agindo em um ponto do corpo for
substituída por uma força F’ de mesma
magnitude e direção, atuando em outro
ponto, desde que ambas as forças
tenham a mesma linha de ação”.
3. Princípio da Transmissibilidade
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• Forças agindo em partículas podem ser representadas por
vetores;
• Vetores em partículas tem pontos de aplicação bem
definidos (a própria partícula);
• São caracterizados como Vetores Fixos;
• Forças em corpos rígidos são representadas por Vetores
Deslizantes .
3. Princípio da Transmissibilidade
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• As condições de movimento do caminhão e a intensidade das
forçasW, R1 e R2 Permanecem inalteradas independente se o
caminhão é puxado ou empurrado por F.
3. Princípio da Transmissibilidade
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• Deve ser evitado ou usado com cuidado na determinação de
forças internas e deformações.
Existem limitações para o uso do princípio da transmissibilidade:
4. Forças não Concorrentes
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5. Momento em Torno de um Ponto
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• Quando uma força é aplicada em um corpo
cria, em relação a um ponto de referência,
uma tendência de giro em torno de um eixo
perpendicular ao plano formado pelo vetor
raio e vetor força;
• Essa tendência de giro é chamada de
torque oumomento de uma força;
• Considere uma força F agindo em um
corpo rígido no ponto A.
5. Momento em Torno de um Ponto
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• Seu efeito no corpo depende do seu ponto
de aplicação;
• Sendo r o vetor posição da força em
relação ao ponto A;
• Os vetores r e F definem um plano;
• Momento de F em relação ao ponto O é o
vetor produto de r e F.
OM r F= × sinOM r F F dθ= ⋅ ⋅ = ⋅
5. Momento em Torno de um Ponto
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• Se F for perpendicular a d o momento é maior do que se a força
estiver inclinada em relação ao braço de alavanca;
• Quando a linha de atuação da força passa pelo ponto em
questão, omomento é nulo.
5. Momento em Torno de um Ponto
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• A direção do momento é definida pelo eixo de
rotação (perpendicular ao plano que contém a
força F e o braço de alavanca d );
• No S.I (forças em N e medidas em m) a
unidade de momento éN·m;
• Sentido de um momento indica em que
direção ele tende a girar o corpo rígido;
• Normalmente usa-se os termos horário e
anti-horário para indicar o sentido.
Eixo de Rotação
5. Momento em Torno de um Ponto
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• O momento é considerado positivo quando gira o corpo no
sentido anti-horário (vetor MO aponta para fora do papel) e
negativo quando gira o corpo no sentido horário (vetor MO
aponta para dentro do papel).
6. Teorema de Varignon
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“O momento em torno de um ponto O da resultante de várias forças
concorrentes é igual à soma dos momentos das várias forças em
torno do ponto O”. (Pierre Varignon, 1654 – 1722, matemático
francês).
Significa que o momento provocado por várias forças concorrentes
pode ser calculado através da soma dos momentos gerados
individualmente por cada força ou então pelo momento gerado pela
resultante das forças.
6. Teorema de Varignon
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,O R OM M F d= = ⋅∑ ∑+
, 1 1 2 2 3 3R OM F d F d F d= ⋅ − ⋅ + ⋅
• Exemplo 01: Uma força vertical é aplicada na extremidade de uma
alavanca a qual está conectada no eixo O. Determinar (a) o momento da
força em torno de O; (b) a força horizontal aplicada em A capaz de gerar
o mesmo momento em torno de O; (c) a menor força aplicada em A
capaz de criar o mesmo momento em O; (d) qual longe do eixo uma
força de 240 lb deveria estar para gerar o mesmo momento em O.
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• Exemplo:
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(a) Momento em torno de O
24 cos60 12d = ⋅ =�
100 12OM F d= ⋅ = ⋅
inlb·in1200OM =
(b) Força Horizontal
24 sin 60 20,8d = ⋅ =�
1200 20,8OM F d F= ⋅ ∴ = ⋅
in
lb57,7F =
• Exemplo:
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(c) Menor Força
F = min para d = max. Logo, F ┴ OA, d = 24 in
1200 24OM F d F= ⋅ ∴ = ⋅
lb50F = 30º
(d) Força Vertical
1200 240OM F d d= ⋅ ∴ = ⋅
10OB =
5d = in
cos60OB d⋅ =�
in
• Exemplo 02: Determine o momento em torno de B provocado pela
força de 800 N conforme indicado abaixo.
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• Exemplo 02:
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cos60 800 0,5 400
sin 60 800 0,866 692,8
x
y
F F
F F
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ = ⋅ =
�
�
N
N
,
,
,
400 0,16 692,8 0,2
202,6
R B x y
R B
R B
M F y F x
M
M
= ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅
= N·m
,R BM F d= ⋅∑+
• Exemplo 03: Determine o momento em torno de O agindo na barra
abaixo.
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• Exemplo 03:
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( )
,
,
,
50 2 60 0 20 3sin30
40 4 3cos30
333,9
333,9
R O
R O
R O
M
M
M
= − ⋅ + ⋅ + ⋅
− ⋅ +
= −
=
N·m
,R OM F d= ⋅∑+
N·m