exponenciais_e_logaritmicas

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10. Derivada da função exponencial e da função logarítmica 
 
Para que você se sinta mais confortável na leitura do que segue é fundamental recordar 
algumas propriedades que a função exponencial de base e é a função definida no 
conjunto dos números reais por ( ) xf x e= possui. 
 
O número e é um número irracional que é definido como sendo o limite 
1lim 1
x
x
e
x→+∞
 
= + 
 
. A demonstração de que esse limite existe foge um pouco aos objetivos 
do nosso curso. Entretanto, no curso de Introdução à Análise e no curso de Séries e 
Equações Diferenciais Ordinárias, será mostrado que, de fato, esse limite existe. 
 
Para calcularmos a derivada da função exponencial de base e , primeiramente vamos 
estabelecer alguns limites, todos baseados no limite acima. O primeiro deles é o 
seguinte 
1lim 1
x
x
e
x→−∞
 
+ = 
 
. 
 
De fato, se fizermos ( )1x t= − + , com 0t > , teremos: 
 
( )1 1 1
1
1 1 11 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 11
1
x t t t
t t t
t t
x t t t t
t t t t t
t t t t t t
− + − − − −
−
         
+ = − = − = ⋅ =         + + + +         
  + + + +     
⋅ = ⋅ = + ⋅       +      
 
 
Agora para calcularmos 1lim 1
x
x x→−∞
 
+ 
 
basta fazermos a substituição acima e notar ainda 
mais que x → −∞ acarreta t → +∞ . Daí 
 
1 1 1lim 1 lim 1 lim 1 lim 1
1 1
x t t
x t t t
t t
e e
x t t t t→−∞ →+∞ →+∞ →+∞
     
+ = + ⋅ = + ⋅ = ⋅ =     + +     
. 
 
O próximo limite que estabeleceremos será 
 
( )1
0
lim 1 h
h
h e
→
+ = . 
 
De fato, vamos calcular os dois limites laterais ( ) 1
0
lim 1 h
h
h
+→
+ e ( ) 1
0
lim 1 h
h
h
−→
+ , e 
mostrarmos que ambos valem e . Vamos lá. Se fizermos 1h
x
= , temos que 0h +→ 
acarreta que x → +∞ e daí: 
 
( ) 1
0
1lim 1 lim 1
x
h
xh
h e
x+ →+∞→
 
+ = + = 
 
 
 
Agora vamos calcular ( )1
0
lim 1 h
h
h
−→
+ . Fazendo 1h
x
= , temos que 0h −→ acarreta que 
x → −∞ e daí: 
 
( )1
0
1lim 1 lim 1
x
h
xh
h e
x− →−∞→
 
+ = + = 
 
. 
 
Portanto, podemos afirmar que ( )1
0
lim 1 h
h
h e
→
+ = . 
 
O terceiro e último limite será o seguinte 
 
0
1lim 1
h
h
e
h→
−
= . 
 
Vamos prová-lo. Fazendo 1hu e= − , temos que ( )1, ou seja, ln 1he u h u= + = + . Temos 
ainda que 0h → acarreta que 0u → . Portanto, 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )01 1 10 0 0 0 0 0
lim11 1 1 1 1lim lim lim lim 1
ln 1ln 1 lnln 1 limln 1 ln lim 1
h
u
h u u u u u u
u u
e u
uh u eu u u
u
→
→ → → →
→ →
−
= = = = = = =
++ + + +
 
De posse dessas informações, podemos finalmente calcular a derivada da função 
( ) xf x e= . De fato: 
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0 0
1 1
' lim lim lim lim lim
x hx h x h
x x
h h h h h
e ef x h f x e e ef x e e
h h h h
+
→ → → → →
−+ −
− −
= = = = ⋅ = 
 
Em resumo: 
 
( ) 'x xe e= 
 
Para finalizarmos, podemos calcular a derivada da função exponencial ( ) xf x a= numa 
base qualquer 1a > . Basta para isso 
 
• Recordar a fórmula de mudança de base: loglog
log
c
b
c
a
a
b
= 
• Ter em conta que ( )ln logex x= . 
 
Para calcularmos a derivada de ( ) xf x a= , procedemos de maneira análoga ao cálculo 
da derivada de ( ) xf x e= . De fato, 
 
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0 0
1 1
' lim lim lim lim lim
x hx h x h
x
h h h h h
a af x h f x a e af x a
h h h h
+
→ → → → →
−+ −
− −
= = = = ⋅ 
Fica então a pergunta: quanto vale 
0
1lim
h
h
a
h→
− ? Podemos calculá-lo utilizando um 
artifício semelhante ao que foi utilizado no cálculo de 
0
1lim
h
h
e
h→
−
. Fazendo 1hu a= − , 
temos que ( ) ( ) ( )log 1 ln 11, ou seja, log 1
log ln
eh
a
e
u u
a u h u
a a
+ +
= + = + = = . Temos ainda que 
0h → acarreta que 0u → . Portanto, 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
0
1 1 10 0 0 0
0 0
lim11 1 1 1lim lim ln lim ln lim ln ln
ln 1 ln 1 ln 1 limln 1 ln lim 1
ln
1ln ln
ln
h
u
h u u u u u u
u u
a u
a a a a
u uh u u u
a u
a a
e
→
→ → → →
→ →
−
= = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅
+ + + + +
= ⋅ =
 
Portanto, a derivada de ( ) xf x a= é dada por 
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0 0
1 1
' lim lim lim lim lim ln
x hx h x h
x x
h h h h h
a af x h f x a e af x a a a
h h h h
+
→ → → → →
−+ −
− −
= = = = ⋅ = ⋅ . 
 
Em resumo 
 
( ) 'x xa a= 
 
Utilizando agora a fórmula para o cálculo da derivada da função inversa de uma dada 
função e lembrando que a função logarítmica é a inversa da função exponencial, podemos 
calcular a derivada de ( ) ( ) ( )log lnef x x x= = , para 0x > . De fato, sendo ( ) xf x e= a função 
exponencial de base e, a inversa de f é a função ( ) ( )ln .g x x= Sabemos que a derivada de f é 
dada por ( )' xf x e= . Usando a fórmula para a derivada da inversa temos que 
( ) ( )( ) ( )ln
1 1 1
'
'
x
g x
xf g x e= = = , ou seja, 
 
( )( )' 1ln ,x
x
= para todo 0.x > 
 
 
Vejamos agora, alguns exemplos: 
 
Exemplo 1. A derivada da função ( ) 2xf x = é ( )` 2 ln 2xf x = ⋅ . Cuidado com o seguinte 
equívoco comum: algumas pessoas escrevem que essa derivada é: ( ) 12xf x x −′ = ⋅ , 
tratando a função ( ) 2xf x = como uma função potência, ( ) 2g x x= , o que é errado, uma 
vez que essas são funções são totalmente diferentes. 
 
Exemplo 2. A derivada da função ( ) 8 ln xf x x= + é ( ) 1ln8 2xf x
x
′ = ⋅ + . 
Exemplo 3. Vamos calcular a derivada das seguintes funções ( ) ( )2ln 1f x x= + e 
( ) ( )2ln 1 xg x e= + . Para começar, observe que ( ) ( )( ) ,f x m n x= onde ( ) ( )lnm x x= e 
( ) 2 1.n x x= + Assim, usando a Regra da Cadeia, ficaremos com: 
( ) ( )( ) ( ) 2 21 2' ' ' 21 1
xf x m n x n x x
x x
= × = × =
+ +
. 
 
No caso da função g usamos a Regra da Cadeia e obtemos: 
 
( )
2
2
2 2
1 2
' 2 .
1 1
x
x
x x
xeg x e x
e e
= × × =
+ +
 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
 
 
1. Calcule a derivada das seguintes funções 
 
a. ( ) 2 8x xf x e= − 
b. ( ) ln
1 x
xf x
e
=
+
 
c. ( ) 5 5xf x x= − 
d. ( )
1 x
xf x
e
=
−
 
 
 
2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de ( ) 7 4x xf x e= + , no ponto em que 
0.x = 
 
3. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de ( ) lnf x x= , no ponto em que 
1x = . 
 
4. Suponha que 0a > e 1a ≠ . Considere a função ( ) logaf x x= . Mostre que 
( ) 1
ln
f x
x a
′ =
⋅
. 
 
5. Calcule a derivada das seguintes funções. 
 
a. ( ) 34log lnf x x x= − 
b. ( ) 103 logxf x x= ⋅ . 
 
 
 
Soluções 
 
1. 
a. ( ) ( )2 8 2 8 ln8x x x xf x e f x e′= − ⇒ = − ⋅ 
b. ( ) ( ) ( )( )2
11 lnln
1 1
x x
x x
e e x
x xf x f x
e e
+ ⋅ − ⋅
′= ⇒ =
+ +
 
c. ( ) ( )5 45 5 5 ln5x xf x x f x x′= − ⇒ = − ⋅ 
d. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2
1 1 1
1 1 1
x x x x
x
x x
e x ex e xef x f x
e e e
− ⋅ − ⋅ −
− +
′= ⇒ = =
−
− −
 
 
2. Primeiro vamos determinar o coeficiente angular dessa reta. Sabemos que ele é dado 
por ( )0f ′ . Então vamos calcular ( )f x′ . Sabemos que ( ) 7 4x xf x e= + , daí 
( ) 7 ln 7 4x xf x e′ = ⋅ + e, portanto, ( ) 0 00 7 ln 7 4 ln 7 4 1,9 4 6f e′ = ⋅ + ⋅ = + ≈ + ≈ . Como 
( ) 0 00 7 4 1 4 5f e= + = + = . Portanto, a equação da reta pedida será 
( )5 6 0 6 6 5y x x y x− = − = ∴ = + . 
 
3. Primeiro vamos determinar o coeficiente angular dessa reta. Sabemos que ele é dado 
por ( )1f ′ . Então vamos calcular ( )f x′ . Sabemos que ( ) lnf x x= . Daí, ( ) 1f x
x
′ = e, 
portanto, ( ) 11 1
1
f ′ = = . Como ( )1 ln1 0f = = , temos que a equação da reta pedida é 
( )0 1 1 1y x y x− = ⋅ − ∴ = − . 
 
4. Sabemos pela fórmula de mudança de base que ( ) ln
ln
xf x
a
= , a mudança tendo sido 
feita para a base e . Daí, ( )
1 1
ln ln
xf x
a x a
′ = =
⋅
, como queríamos mostrar. 
 
 
5. 
 
a. ( ) ( )3 1 14log ln 4 ln3f x x x f x x x′= − ⇒ = ⋅ −⋅ 
 
b. ( ) ( )10 10 101 33 log 3 ln3 log 3 ln3 3 logln10 ln10
x
x x x xf x x f x x x
x x
′= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ +
⋅ ⋅